DETERMINANTES Complemento terico 1 3er curso 2006 1/3

DETERMINANTES Complemento teórico 1
MAT “B” 6º I 1
Curso 2007
Definición 1 Determinantes de orden 1,2 3.
A = (a11 ) ⇒ det( A) = a11
⎛a
A = ⎜⎜ 11
⎝ a 21
a12 ⎞
⎟ ⇒ det( A ) = a 11 a 22 − a 12 a 21
a 22 ⎟⎠
⎛ a11
⎜
A = ⎜ a 21
⎜a
⎝ 31
a12
a 22
a 32
a13 ⎞
⎟
a 23 ⎟ ⇒ det( A ) = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 32 a 23 − a 12 a 21 a 33
a 33 ⎟⎠
Técnica de cálculo para el determinante de 3×3
⎛ a11
⎜
⎜ a 21
⎜a
⎝ 31
−
−
a12
a 22
a 32
a13 ⎞ a11 a12
⎟
a 23 ⎟ a 21 a 22
a 33 ⎟⎠ a 31 a 32
−
+
+
+
Ejemplo
⎛ 2 1 2⎞
⎜
⎟
Calcula det( A) tal que A = ⎜ − 4 3 1 ⎟
⎜ 2 3 5⎟
⎝
⎠
⎛ 2
⎜
⎜− 4
⎜ 2
⎝
1
3
3
2⎞
⎟
1⎟
5 ⎟⎠
2
1
−4
3
2
3
det(A) = −2·3·2 − 2·1·3 −1·(-4)·5 + 2·3·5 + 1·1·2 + 2·(-4)·3
det(A) = −12 − 6 − (-20) + 30 + 2 + (-24)
det(A) = 10
Menor complentario
Definición 2 (Menor complementario)
Llamamos Menor complementario del elemento a ij (anotamos: M ij ) de una matriz, al determinante que se obtiene de
suprimir en la matriz, la fila i y la columna j.
Ejemplo
⎛ a11
⎜
⎜ a 21
⎜a
⎜ 31
⎜a
⎝ 41
a12
a13
a 22
a 23
a 32
a 33
a 42
a 43
a14 ⎞
⎟
a 24 ⎟
el Menor Complentario del elemento
a 34 ⎟
⎟
a 44 ⎟⎠
a 32 es M 32
⎛ a11
⎜
= det⎜ a 21
⎜a
⎝ 41
a13
a 23
a 43
a14 ⎞
⎟
a 24 ⎟
a 44 ⎟⎠
1/3
2/3
Definición 3 Adjunto
Llamamos Adjunto de un elemento a ij de una matriz A (anotamos: A ij ( A ) ) a ( −1) i + j M ij , en símbolos:
A ij ( A ) = ( − 1) i + j M
ij
.
Ejemplo Considerando el ejemplo anterior, al adjunto del elemento a 32 es A32 ( A) = ( −1) 3+ 2 M 32 por lo tanto
A 32 ( A ) = − M 32
Ejemplo
En la matriz
⎛ 2 1 2⎞
⎜
⎟
A = ⎜− 4 3 1⎟ ,
⎜ 2 3 5⎟
⎝
⎠
a23
⎛ 2 1⎞
⎟⎟ = 2 ·3 − 1 ·2 = 4 , y el adjunto correspondiente es
El menor complentario del elemento a 23 es M 23 = det ⎜⎜
⎝ 2 3⎠
A 23 = ( − 1) 2 + 3 M 23 , cuyo valor es A 23 = − 4 .
Desarrollo del determinante de una matriz por runa fila
⎛ a11
⎜
Consideremos la matriz A = ⎜ a 21
⎜a
⎝ 31
a12
a 22
a 32
a13 ⎞
⎟
a 23 ⎟
a 33 ⎟⎠
Por definición det( A) = a11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a13 + a12 a 23 a 31 − a13 a 22 a 31 − a11 a 32 a 23 − a12 a 21 a 33
De donde, sacando algunos factores comunes, obtenemos:
det( A) = a11 ( a 22 a 33 − a 32 a 23 ) + a12 ( − 1)( a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a13 ( a 21 a 32 − a 22 a 31 )
⎛a
= a 11 det ⎜⎜ 22
⎝ a 32
a 23
a 33
⎞
⎛a
⎟⎟ + a 12 ( − 1) det ⎜⎜ 21
⎠
⎝ a 31
a 23
a 33
⎞
⎛a
⎟⎟ + a 13 det ⎜⎜ 21
⎠
⎝ a 31
= a 11 A11 ( A ) + a 12 A12 ( A ) + a 13 A13 ( A )
que llamamos desarrollo del determinante de la matriz A por la 1ª fila.
a 22
a 32
⎞
⎟⎟
⎠
DETERMINANTES – continuación
3/3
Es posible obtener desarrollos del determinante anterior por cualquier fila o columna!, así:
1) El desarrollo del determinante por una fila i, (o iésima fila) es:
det( A) = a i1 A i1 ( A ) + a i 2 A i 2 ( A ) + a i 3 A i 3 ( A )
2) El desarrollo del determinante por la columna j, o jotaésima columna es:
det( A) = a1 j A1 j ( A) + a 2 j A2 j ( A) + a 3 j A 3 j ( A )
Definición 4
Llamamos determinante de una matriz
A n × n a:
det( A) = a 11 A 11 ( A ) + a 12 A12 ( A ) + a 13 A13 ( A ) + L + a 1 n A1 n ( A )
Dada una matriz
•
A n × n , son válidos los desarrollos de los determinantes por cualquier fila o columna:
1) det( A) = a i1 A i1 ( A ) + a i 2 A i 2 ( A ) + a i 3 Ai 3 ( A ) + L + a in Ain ( A ) desarrollo del determinante de la
matriz A por la iésima fila, o por la fila i.
2) det( A ) = a 1 j A1 j ( A ) + a 2 j A 2 j ( A ) + a 3 j A3 j ( A) + L + a nj Anj ( A) desarrollo del determinante de la
matriz A por la jotaésima columna, o por la columna j.
Profesor Daniel Olmos