Pedro Viñuela. Consideraciones sobre el cálculo infinitesimal
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Pedro A. Viñuela Villa Consideraciones sobre el cálculo infinitesimal leibniziano y el cálculo de fluxiones newtoniano Resumen: El presente trabajo contrasta el cálculo infinitesimal de Leibniz y el cálculo de fluxiones de Newton para poner de relieve algunos aspectos relevantes del pensamiento leibniziano: la importancia del simbolismo en matemáticas, la relación entre la doctrina del pensamiento simbólico y la concepción de los infinitesimales como «ficciones útiles». Palabras clave: Cálculo. Característica. Pensamiento simbólico. Infinitesimal. Ficción. Abstract: This paper compares the Leibnizian calculus and Newtonian calculus in order to present some relevant aspects of Leibniz’s thought: the importance of symbolism in mathematics, the relation between the doctrine of symbolic thought and the vision of infinitesimals as «useful fictions». Key words: Calculus. Characteristic. Symbolic thought. Infinitesimal. Fiction. 1. Introducción El cálculo infinitesimal constituye el logro matemático más notable del siglo XVII. Proporciona a la ciencia de la naturaleza una herramienta sumamente poderosa y efectiva para analizar y comprender cuantitativamente diversos procesos de cambio y movimiento del mundo fenoménico. Aunque Leibniz y Newton son considerados sus inventores o descubridores, no debe pensarse que crearon el cálculo ex nihilo. Los desarrollos infinitesimales se remontan al uso del método de exhaución por Arquímedes para calcular áreas de superficies y volúmenes de sólidos. Los matemáticos europeos venían usándolos y trabajando en ellos desde hacía tiempo, en especial a partir de los estudios de Cavalieri y de su método de los indivisibles. De hecho, el cálculo continuó desarrollándose y ampliándose después de la muerte de Leibniz y Newton, recibiendo su expresión y fundamentación más rigurosa en el siglo XIX. Sin embargo, si se atribuye la gloria a estos dos grandes hombres se debe a que ambos elaboraron procedimientos y simbolismos algebraicos que hicieron posible ofrecer un tratamiento unificado de los diversos métodos infinitesimales desarrollados anteriormente por sus predecesores mediante un método algorítmico simple y general. En las manos de estos dos grandes matemáticos los nuevos métodos unificados se convirtieron en instrumentos poderosos de la ciencia (cf. Courant y Robbins 1996, p. 398; Mancosu 1996, p. 150; Boyer 1959, p. 186). La idea central del cálculo, como se sabe, es que los procesos de diferenciación y de integración son en términos generales inversos o, dicho en términos geométricos, la determinación de la tangente a una curva dada y el cálculo del área delimitada por el eje y la curva son problemas inversos. Leibniz y Newton reconocieron con claridad la íntima conexión entre ambos procesos, dejando claramente establecida la relación existente entre cálculo diferencial y cálculo integral, lo que hoy se conoce habitualmente como teorema fundamental del cálculo.1 Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, LI (129-131), 231-241, Enero-Diciembre 2012 / ISSN: 0034-8252 232 Pedro A. Viñuela Villa 2. Cálculo infinitesimal leibniziano y cálculo fluxional newtoniano de infinitos lados (cf. Bos 1980, pp. 84-86). De ahí que Leibniz haya considerado la integración como una especie de suma y que haya adoptado el o que hoy se conoce habitualmente como fundamental delS como integral, lo que hoyteorema se conoce habitualmente teorema signo de una estilizada, a saberfundamental ∫, para designardel A pesar de la agria disputa por la prioridad se conoce habitualmente cálculo.(1) como teorema fundamental del dicha operación. Leibniz vio con claridad, por en la invención del cálculo, se ha demostrado que tanto, que las operaciones de diferenciación e tanto Newton como Leibniz llegaron de maneintegración son inversas y recíprocas. ra independiente a sus métodos y resultados. Newton presentóysus resultados una serie lculo infinitesimal leibniziano yseriescálculo fluxional 2.suCálculo leibniziano cálculo en fluxional Newton descubrió método de infinitesimal infini2 La pride exposiciones tardíamente publicadas. wtoniano finitesimal tasleibniziano cálculo newtoniano y el cálculo de yfluxiones durantefluxional los años mera exposición impresa del cálculo de Newton 1665-1666. cuando sus descubrimientos se e la agria disputa por laAun invención seenhaen Aprioridad pesar de en la la agria disputa del por cálculo, la apareció prioridad invención del cálculo, se ha 1687la en los Philosophiae naturalis remontan a 1675, Leibniz fue el primero en hacer isputa por laNewton prioridad endemostrado laLeibniz invención deltanto cálculo, se ha do que tanto como llegaron de Newton manera independiente que como Leibniz llegaron de manera independiente principia mathematica. Los Principia no utilizan públicos susllegaron resultados lassu Acta Eruditorum en infinitas y el o Newton como Leibniz deenmanera independiente odos y resultados. Newton de series a descubrió sus métodos ymétodo resultados. Newton su métododeldemétodo seriesdeinfinitas la descubrió notación característica fluxiones,y el breve ensayo 1684 titulado Nova methodus tados. Newtonundescubrió su método series infinitas y el cuando de fluxiones durante losde años Aun sus cálculo dede1665-1666. fluxiones durante los años 1665-1666. Aun cuando sino que están escritos en una especie de cálculosus pro et minimis, tangentibus, es durante los maximis años 1665-1666. Aun cuando mientos se remontan a 1675, Leibniz itemque fue elseprimero ensus públicos descubrimientos remontan ahacer 1675, Leibniz more fue el primero basado en hacer infinitesimal geometrico en elpúblicos métoquaeLeibniz nec fractas nec quantitates emontan a 1675, fue primero en públicos sus elresultados enhacer lasensayo Acta Eruditorum en un breve ensayo de 1684 titulado ados en las Acta Eruditorum en irrationales un breve de 1684 titulado do de las razones primeras y últimas (methodus moraturenetun singulare pro illis calculi genus (cf. et minimis, sthodus Acta Eruditorum breve ensayo de pro 1684 titulado Nova methodus maximis itemque tangentibus, quae ennec pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec rationum primarum et ultimarum), expuesto pp. 187-201). En este quae opúsculo et Hofmann minimis,1974, itemque tangentibus, nec calculi fractas nec irrationales quantitates moratur et singulare pro illis calculi genus c maximis irrationales quantitates moratur et singulare pro illis genus la sección primera del libro primero de dicha les quantitates moratur et singulare pro illis calculi genus (cf. Hofmann 1974, pp. 187-201). En este opúsculo Leibniz ofrece las fórmulas Leibniz ofrece las fórmulas de la derivada del ann 1974, pp. 187-201). En este opúsculo Leibniz ofrece las fórmulas obra. Newton declara haber preferido reducir las p. 187-201). En este opúsculo ofrece fórmulas demostraciones de ,laslaproposiciones , lalas laproducto derivada producto derivada del cociente de laLeibniz derivada a «las pri,del derivada del cociente rivada del producto producto , la derivada del cociente meras y últimas sumas y razones de cantidades y la derivada del cociente y evanescentes, es decir, a los límites de una de x . En 1686 y la derivada de una potencia de x y la derivada denacientes . Enpotencia 1686 . En 1686 de una potencia de x esas sumas y razones», porque, aunque el método a derivada de una potencia de x . En 1686 Leibniz publicó el artículo De indivisibilium geometria recondita et analysi indivisibilium ublicó el artículo De geometria recondita et analysi de los indivisibles abreviadelassudemostraciones tículo De geometria recondita et analysi indivisibilium Leibniz publicó el artículo De geometria reconatque infinitorum, donde proporcionaba fundamentos concepción del nitorum, donde proporcionaba los fundamentos de su concepciónlosdel onde proporcionaba los fundamentos de su concepción del (largas y tediosas según el proceder de los geócálculo integral. dita et analysi indivisibilium atque infinitorum, egral. metras antiguos), «la hipótesis de los indivisibles donde proporcionaba los fundamentos de su conLeibniz concibe la curva como un polígono «infinitangular», es decir, parece de un alguna manera más ruda y, por como ello, esun oncibe la curvacepción como uncálculo polígono «infinitangular», es decir, como integral. rva como un polígonodel«infinitangular», es decir, un considerada polígono compuesto porcomo un número infinitamente grande de lados. Inspirado menos geométrica como método» compuesto por un número infinitamente grande de lados. Inspirado Leibniz concibe la curvadecomo un polígono por un número infinitamente grande por sus estudioslados. sobreInspirado las propiedades de2011, series numéricas, mismo p. 71). El prefacio como de The él Method studios sobre las propiedades de series numéricas, como(Newton él mismo «infinitangular», es decir, como un polígono re las propiedades de series numéricas, como él mismo explica en Historia et origo calculiofdifferentialis (cf. Durán 2006, pp. 235-240), Fluxions and Infinite Series; with its ApplicaHistoria et origo calculi (cf. Durán 2006, pp. 235-240), compuesto pordifferentialis un número infinitamente grande origo calculi differentialis (cf. Durán 2006, pp. los 235-240), Leibniz considera que problemas deto tangentes y cuadraturas son problemas 3 declara que tion the Geometry of Curve-Lines nsidera que los problemas de tangentes y cuadraturas son problemas de lados. Inspirado por sus estudios sobre las e los problemas de tangentes y cuadraturas problemas inversos de modo son análogo a como las operaciones de sumar términos numéricos elnuméricos principio fundamental sobre el que está conselogo modo análogo a como las operaciones de sumar términos propiedades de series numéricas, como él mismo a como las operaciones de sumar términos numéricos consecutivos y establecer diferencias entre ellos de tienen una que relación truido el método fluxiones, es muyrecíproca simple vos establecer diferencias entre ellos tienen una recíproca explica en ellos Historia et origo calculi differentialis ecery diferencias entre tienen una relación recíproca entre sí. La analogía con elrelación cálculo numérico es importante. A medida que las y es tomado de la mecánica racional, consiste en: La analogía con el cálculo numérico es importante. A medida que las (cf. Durán 2006, pp. 235-240), Leibniz considera con el cálculo numérico es importante. medida que lasse hacen más pequeñas, mejores son las diferencias deA los términos stérminos de los setérminos se aproximaciones hacen más mejores pequeñas, las que los problemas de tangentes cuadraturas hacen más pequeñas, sonmejores las dey las cuadraturas yson las tangentes de la curva (considerada Toda cantidad matemática, particularmente ciones de las son cuadraturas y las de laa como curva inversos delamodo análogo as cuadraturas y problemas las tangentes detangentes curva (considerada como polígono). Y finalmente se (considerada hacenla exactas cuando las diferencias se hacen extensión, puede concebirse como generalas operaciones deexactas sumar términos numéricos gono). Y se finalmente se hacen cuando lassediferencias se hacen nalmente hacen exactas cuando las diferencias hacen infinitamente pequeñas (o los términos sucesivos se hacen infinitamente da por un movimiento local continuo; y que consecutivos ypróximos), establecer diferencias entre elloslainfinitamente ente pequeñas (o lossucesivos términos se hacen ñas (o los términos sesucesivos hacen infinitamente es decir, cuando curvacualquier es considerada un analogía polígono de cantidad, al como menos por tienenes una relación recíproca entre Lacomo analogía ,cuando es decir, cuando laconsiderada curva es lados considerada un polígono de la curva como unsí. polígono de 84-86). infinitos (cf. Bos 1980, pp. De ahí que Leibniz haya considerado la y acomodación, pueden concebirse como con el De cálculo numérico es como importante. A mediados (cf.pp. Bos 1980, pp. 84-86). De ahí que Leibniz hayala considerado la haya s 1980, 84-86). ahí que Leibniz haya considerado integración una especie de sumageneradas y que adoptado el signo de una S de una manera similar. Por conda quey las de alos términos se hacen an especie de suma que haya adoptado el signo dedesignar una S dicha como una especie dediferencias suma y que haya adoptado el signo desiguiente, una S debe Leibniz estilizada, saber ∫, para operación. vio con claridad, por haber velocidades compaara designar dicha operación. Leibniz claridad, por más pequeñas, mejores lascon aproximaciones a saber ∫, para designar dicha operación. Leibniz vio con tanto, quesonvio las operaciones de claridad, diferenciación e integración sondurante inversas y rativaspor de aumento y disminución, aciones de diferenciación e integración y inversas de las cuadraturas y las tangentes deinversas la curvason e las operaciones de diferenciación e son integración y recíprocas. dichas generaciones, cuyas relaciones son fijas y determinables. (Newton 1736, p. xi).4 (considerada como polígono). Y finalmente se . Newton presentó sus resultados en una serie de exposiciones tardíamente hacen exactas cuando las diferencias se hacen s resultados una serie de exposiciones tardíamente publicadas. (2) La primera exposición impresa del cálculo Newton apareció presentó sus en resultados en una serie de exposiciones tardíamente Newton sostiene en estade obra que todos los infinitamente pequeñas (o los términos sucesiimera exposición impresa del cálculo de Newton apareció en 1687 en los Philosophiae naturalis principia mathematica. Los Principia s. (2) La primera impresa próximos), del cálculo Newton apareció problemas relativos a la naturaleza de las curvasno vos seexposición hacen infinitamente es de decir, naturalis principia mathematica. Los PrincipiaLos no utilizan la notación del método fluxiones, sino que están nophiae los Philosophiae mathematica. no de pueden reducirse a sólo dos, a saber: (i) encontrar cuandonaturalis la curva esprincipia considerada como uncaracterística polígono Principia característica del método de fluxiones, sino que están escritos en una especie de cálculo infinitesimal more geometrico basado en el a notación característica del método de fluxiones, sino que están cie de cálculo infinitesimal more geometrico basado en el método de las razones primeras y últimas (methodus rationum primarum et n una especie de cálculo infinitesimal more geometrico basado en el es primeras y últimas (methodus rationum primarum et ultimarum), expuesto en la sección primera del libro primero de dicha obra. e las razones primeras yRev. últimas rationum et Filosofía(methodus Univ. Costa Rica, LI (129-131), primarum 231-241, Enero-Diciembre 2012 / ISSN: 0034-8252 o enexpuesto la sección del libro declara primero de dicha obra. Newton haber preferido reducir demostraciones de las proposiciones m), enprimera la sección primera del libro primero de dichalas obra. reclara preferido reducir las demostraciones de las proposiciones a «las y últimas y razones de cantidades nacientes y haber preferido reducir las primeras demostraciones de lassumas proposiciones últimas sumas y razones de cantidades nacientes y rimeras y últimas sumas y razones de cantidades nacientes y 2 fluxiones, que es muy simple y es tomado de la mecánica racional, consis Toda cantidad matemática, particularmente la extensión, puede concebirse generada por un movimiento local continuo; y que cualquier cantidad, al m por analogía y acomodación, pueden concebirse como generadas de una m Consideraciones sobre cálculo infinitesimal leibniziano... 233 similar. Porelconsiguiente, debe haber velocidades comparativas de aume disminución, durante dichas generaciones, cuyas relaciones son fij determinables. (Newton 1736, p.como xi). (4) la velocidad del movimiento en cualquier tiempo cinemático, herramienta para la investiga- propuesto, siendo dada continuamente (es decir, ción de la naturaleza. sostiene en esta obra que losLeibniz, problemas relativos a la na en cualquier tiempo) la Newton longitud del espacio desEl punto de todos partida de en cambio, no las curvas pueden a sólo dos, en a saber: (i) encontrar la veloci crito; y (ii) encontrar lade longitud del espacio des- reducirse es cinemático ni basado consideraciones físicrito en cualquier tiempo propuesto, siendo movimiento en dada cualquier tiempo siendo dada cas, sino que es propuesto, algebraico, teniendo como tras- continuame continuamente la velocidad del movimiento (cf. fondo sus de filosofía y lógica, así como y (ii) enco decir, en cualquier tiempo) la estudios longitud del espacio descrito; Newton 1736, p. 19). Estos problemasdel generales se una formación matemáticas, que es –como longitud espacio descrito en encualquier tiempo propuesto, siend corresponden con los procesos de diferenciación él mismo reconoce‑ deficiente respecto a los 1736, p. 19 continuamente la velocidad del movimiento (cf. Newton e integración respectivamente. En este escrito se principales avances de su época. En efecto, Lei-de diferenci problemas generales se corresponden con los procesos introduce la característica notación newtoniana bniz llega relativamente tarde a las matemáticas integración respectivamente. En este escrito se introduce la caract que utiliza las letras finales del alfabeto (v, x, y, z) modernas. Inspirado por sus tempranos estudios notación newtoniana utiliza las letras finales del alfabeto (v, x, y, para representar las cantidades fluyentes o fluen- que de lógica y combinatoria, accede a ellas recién en representar las cantidades fluyentes o fluentes (fluents), las variables qu tes (fluents), las variables que varían continua e su decisiva estancia en París de 1672-1676. Sus indefinidamente, mientras que dichas letras con continua e indefinidamente, mientras que dichas letras con un punto sob estudios de lógica aristotélica lo introdujeron, designan las fluxiones (fluxions) o tasas de cambio de la un punto sobre ellas ( , , , ) designan como él dice, en el «país de los escolásticos», las fluxiones (fluxions)respecto o tasas dealcambio de (las velocidades instantáneas del movimiento). tiempo donde se interesó sobre todo por la silogística la variable respecto alpuntualiza tiempo (las velocidades que las fluxiones son formales las velocidades o celeridades (Veloc y los aspectos de la computación y las instantáneas del movimiento). Newton puntualiza Celerities) por las cuales cada fluente es aumentado o incrementado propiedades de los números. De hecho Leibniz que las fluxiones son las velocidades o celeridamovimiento generador (generating Motion) (cf. 1736, p. 20). no obtuvo un conocimiento real yNewton una adecuada des (Velocities or Celerities) por las cuales cada familiaridad con la geometría, ni en la escuela ni fluente es aumentado o incrementado por su Como se puede ver, la notación fluxional de Newton se asienta en la universidad, sino tan sólo en su madurez. En movimiento generador (generating Motion) (cf. concepción cinemática de las curvas y de su generación. Newton 1714, mirando en retrospectiva, indica en HistoNewton 1736, p. 20). interesado loscalculi procesos temporales y dinámicos subyac ria eten origo differentialis que inicialmente Como se puede ver,especialmente la notación fluxional de no prestó su suficiente atención a Euclides concibiendo y que físicos. Elabora método de fluxiones la ge Newton se asienta en los una fenómenos concepción cinemásólo comenzó a conocer profundidad el análiun punto de vista cinemático, comoenherramienta para la investiga tica de las curvas y dedesde su generación. Newton sis de Descartes a instancias de Huygens.5 estaba especialmente interesado en los procesos la naturaleza. A continuación se presenta, a modo de resutemporales y dinámicos subyacentes a los fenómen, una comparación del cálculo el menos físicos. ElaboraEl su punto método de fluxiones de partida de Leibniz, en cambio, noleibniziano, es cinemático ni bas 6 concibiendo la geometría desde un punto de vista y el cálculo moderno: consideraciones físicas,cálculo sinonewtoniano que es algebraico, teniendo como trasfon estudios de filosofía y lógica, así como una formación en matemáticas, q como él mismo reconoce- deficiente respecto a los principales avance época. En efecto, Leibniz llega relativamente tarde a las matemáticas mo Inspirado por sus tempranos estudios de lógica y combinatoria, accede recién en su decisiva estancia en París de 1672-1676. Sus estudios d aristotélica lo introdujeron, como él dice, en el «país de los escolásticos» se interesó sobre todo por la silogística y los aspectos formales computación y las propiedades de los números. De hecho Leibniz no ob conocimiento real y una adecuada familiaridad con la geometría, ni en la ni en la universidad, sino tan sólo en su madurez. En 1714, mira 3 Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, LI (129-131), 231-241, Enero-Diciembre 2012 / ISSN: 0034-8252 prestósesuficiente atención a resumen, Euclides yuna que sólo comenzó adel conocer A no continuación se presenta, a modo de resumen, una comparación cálculoen A continuación presenta, a modo de comparación del cálculo profundidad el análisis de Descartes a instancias de Huygens.(5) leibniziano, el cálculo newtoniano y el cálculo moderno: (6) leibniziano, el cálculo newtoniano el cálculo (6) differentialis que inicialmente retrospectiva, indica en yHistoria etmoderno: origo calculi retrospectiva, indica en Historia et origo calculi differentialis queinicialmente inicialmente no prestó suficiente atención a Euclides y que comenzó a conocer retrospectiva, indicase enpresenta, Historia aetmodo origo de calculi differentialis que A continuación resumen, unasólo comparación del cálculo en no prestó suficiente atención a Euclides y que sólo comenzó a conocer profundidad el análisis de Descartes a instancias de Huygens.(5) no prestó suficiente atención a Euclides y que moderno: sólo comenzó leibniziano, el cálculo newtoniano y el cálculo (6) a conocer enen Cálculo leibniziano Cálculo newtoniano Cálculo moderno profundidad el análisis de Descartes a instancias de Huygens.(5) profundidad el análisis de Descartes a instancias de Villa Huygens.(5) Pedro A. Viñuela 234 Cálculo leibniziano Cálculo newtoniano Cálculo moderno A continuación se presenta, a modo de resumen, una comparación del cálculo Variable (variando en Variable (variando Función continuación amodo modo resumen, una comparación delcálculo cálculo leibniziano, elpresenta, cálculo y(variando el cálculo moderno: (6) A Acontinuación presenta, anewtoniano dederesumen, una comparación del Variablesese (variando en Variable Función una serie de valores en el tiempo) Cálculo leibniziano Cálculo newtoniano Cálculo moderno leibniziano, cálculo newtoniano ytiempo) el cálculo moderno: (6) unaelel serie denewtoniano valores enyelel leibniziano, cálculo cálculo moderno: (6) Conceptos infinitamente próximos) Cálculo newtoniano Cálculo leibniziano Cálculo moderno Conceptos infinitamente próximos) fundamentales Variable (variando en Variable (variando Función fundamentales Diferencial: diferencia Fluxión:Cálculo velocidad Cálculo newtoniano Cálculo moderno una serie deleibniziano valores tiempo) Diferencial: diferencia Fluxión:en elvelocidad infinitamente pequeña finita onewtoniano tasa ende Conceptos infinitamente próximos) Función Variable (variando el Conceptos Variable (variando Cálculo leibniziano Cálculo Cálculo moderno infinitamente pequeña finitaCálculo o tasa de Cálculo leibniziano newtoniano Cálculo moderno entre valores sucesivos cambio respecto al fundamentales Variable (variando en Variable Función tiempo) fundamentales en una serie de entre valores sucesivos cambio respecto al (variando en Diferencial: la serie tiempo deel la(variando variable diferencia Fluxión: velocidad una serie de valores en tiempo) Variable (variando en Variable Función en la serie tiempo de la variable valores infinitamente Variable (variando en Variable (variando Función pequeña o tasa de Conceptos una infinitamente próximos) unainfinitamente serie valores el tiempo) próximos) serie dede valores enen el finita tiempo) entre valores sucesivos cambio respecto al fundamentales Conceptos infinitamente próximos) Conceptos infinitamente próximos) Variable base; dx en = constante (de modo laDiferencial: serie tiempo de la variable diferencia Fluxión: velocidad Tiempo; (de fundamentales Variable base; dx = constante (de modo fundamentales Fluxión: velocidad Tiempo; (de finita criterio queDiferencial: ddxinfinitamente = … = diferencia 0) pequeña finita o que tasa de modo Diferencial: diferencia Fluxión: velocidad criterio queDiferencial: ddx =infinitamente … = 0) diferencia Fluxión: velocidad modo querespecto o tasa de cambio pequeña entre valores sucesivos al infinitamente pequeña finita ocambio o tasa tasa respecto de ) infinitamente pequeña finita de al tiempo de la variable entre valores sucesivos ) tiempo en la serie de la variable Variable base; dx =valores constante (de modo entre sucesivos cambio respecto al Tiempo; (de entre valores sucesivos cambio respecto al en laddx serie criterio la serie = … = 0) tiempo modo enen la que serie tiempo dede la la variable Diferenciación: Encontrar lavariable fluxiónque Derivación: Diferenciación: Encontrar la fluxión Derivación: a partir de) un a partir de un Variable base; dx = constante (de modofluente Tiempo; (de dado: dado: Variable base; dx =dxconstante =que constante criterio ddx =(de … modo = 0) fluente Variable base; (de modo (de que Tiempo; modo Variable base; dx = constante (de modo Tiempo; (de Diferenciación: Encontrar la fluxión Derivación: Tiempo; (de modo ddx criteriocriterio que ddx =que … = 0)= … criterio que ddx =… =→ 0) que Variable variable Variable → tasa de Función → función modo que ) atasa partir de un modo que Variable → variable Variable → de Función → función = 0) infinitamente pequeña cambio con dado: ) ) ) respecto infinitamente pequeña cambio con fluente respecto al tiempo de la la fluxión Diferenciación: Derivación: al tiempo Encontrar de la variable partir Variable → variable Encontrar Variable → tasade deun Función → función Diferenciación: Encontrar fluxión Derivación: variable Diferenciación: laala fluxión Derivación: fluente dado: infinitamente pequeña Encontrar cambio con respecto Derivación: Diferenciación: la fluxión a a partir de un a partir de un x → dx f → f’ al un tiempo dedado: la fluente dado: partir de fluente fluente dado: x → dx f → f’ dyVariable → ddy f’Función → f’’ → función x → variable → variable Variable → tasa de Función ® función Variable variable dy → ddy f’ → f’’ x→ infinitamente cambio Variable variable Variable → tasa Función función Variable infinitamente pequeñapequeña decon Variable →→ variable Variable →tasa tasa dederespecto Función →→ función la derivada de al tiempo la(f’f siendo x pequeña →pequeña dx f’ f y definida infinitamente cambio con respecto cambio con respecto al f’ derivada infinitamente cambio con respecto (f’de siendo la def f→ y definida en términos del concepto de límite variable al tiempo de la dy → ddy f’ → f’’ x → al tiempo de la x dx tiempo de la variable en términos f’ f’’del concepto de límite como: variable variable como: dy ddy Operaciones x → dx f → f’f y definida Operaciones (f’siendo siendo derivada (f’ la la derivada de fde y definida en fundamentales fundamentales en términos del concepto dy → ddy f’ → f’’ de límite x→ x→ f → f’ x→ dxdx f → f’ términos del concepto de límite )como:) como: ddy f’ → f’’ x→ dydy →→ ddy f’ → f’’ x→ Operaciones (f’ siendo la derivada de f y definida fundamentales en términos del de límite siendo derivada de f definida y definida ) (f’(f’ siendo la la derivada de f yconcepto como: Sumación: Encontrar la Integración: en términos del concepto de límite en términos del concepto de límite Sumación: Encontrar la Integración: Operaciones cantidad fluente a como: como: fluente a fundamentales Variable → variable cantidad Operaciones partir de una fluxión Operaciones Función → función ) partir de una fluxión → variable Función → función Sumación: Integración: Encontrar la cantidad fundamentales Variable dada: fundamentales infinitamente grande Encontrar la Integración: ) dada: ) infinitamenteSumación: grande fluente a partir de una a cantidad fluente Variable fluxión dada: variable función → función Operaciones x → ∫x partir de una fluxión Función Función Variable → variable x→ ∫x infinitamente grande fundamentales f →Integración: F dada: Sumación: Encontrar la ydx → ∫ydx infinitamente grande f→F ydx → ∫ydx cantidad Sumación: Encontrar Integración: Sumación: Encontrar la la fluente fa F Integración: x ∫x Variable partir de auna Función → función x → ∫x→ variable cantidad fluente a fluxión cantidad fluente dada: (con ydx ∫ydx infinitamente grande f→ F) partir de una fluxión ydx → ∫ydx Variable → variable Función → función partir de una fluxión (con ) Variable → variable (con Función → función ) dada: infinitamente grande dada: infinitamente grande x → ∫x ydx → ∫ydx Lugar En los diferenciales dx, En los momentos o, o2,… Análisis no estándar f → F x → ∫x x → ∫x (con ) f→ principal de los ddx,… del tiempo Smooth infinitesimal ydx ∫ydx f→ F Fanalysis ydx →→ ∫ydx infinitesimales (con ) 4 4 (con (con ) ) Integración término a Principales Triángulo término y4 diferenciación técnicas característico; de series de potencia matemáticas analogías con -, + y ÷, x 4 4 4 Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, LI (129-131), 231-241, Enero-Diciembre 2012 / ISSN: 0034-8252 Consideraciones sobre el cálculo infinitesimal leibniziano... Es importante destacar que tanto el cálculo de Newton como el de Leibniz se refieren a variables, mientras que el cálculo moderno trata con funciones. Todas las funciones son finitas y el concepto básico es el concepto de límite. En el análisis moderno ya no se habla de cantidades infinitamente pequeñas ni infinitamente grandes. Aunque Newton trató de basar su cálculo en el uso de límites, lo hizo de manera poco clara y satisfactoria.7 Según Courant, la fundamentación del cálculo fue oscurecida por el no reconocimiento del derecho exclusivo del concepto de límite como la fuente de los nuevos métodos (cf. Courant y Robbins 1996, p. 433). En la actualidad el concepto de límite ha sido completamente clarificado, avance con el que no contaban Leibniz y Newton en su época. Se puede apreciar, por tanto, una clara y significativa diferencia de enfoques entre ambos matemáticos, que concierne tanto a la manera de acceder a los problemas infinitesimales como a la fundamentación del cálculo y al problema del rigor en el desarrollo de las matemáticas. Como advierte Hall (2002, p. 431), Newton fue un geómetra por elección, mientras que Leibniz fue sobre todo un algebrista. Aunque ambos trabajaron con cantidades infinitamente pequeñas y se dieron cuenta de los problemas lógicos que su utilización implicaba, Newton, a diferencia de Leibniz, se tomó el problema del rigor mucho más en serio. Como afirma Bos (1980, p. 93), Newton creía que su cálculo podía proporcionar una fundamentación rigurosa por medio del concepto de razones primeras y últimas, un concepto afín al concepto de límite (aunque no idéntico a él). Pensaba que era «posible ofrecer una explicación completamente geométrica, expresada en términos de su geometría cinemática, para el éxito del método de los infinitesimales» (Kitcher 1984, p. 237). Mientras los seguidores de Leibniz fueron criticados por utilizar libremente la manipulación algebraica de «símbolos vacíos», Newton y sus adeptos fueron considerados como seguidores de «los verdaderos métodos de los antiguos», cercanos al ideal euclídeo del rigor. Los escritos de Leibniz dan a entender que él no llegó a considerar el problema del rigor, en lo que al cálculo infinitesimal concierne, como algo especialmente urgente. Esta actitud puede parecer 235 extraña en alguien que insistentemente reclama la necesidad de demostrar todas las proposiciones, incluso los axiomas, y que constantemente señala la importancia de que la ciencia se asiente sobre principios firmes y rigurosos. En algunos pasajes de su obra Leibniz explica las razones de ello. La ciencia en sus inicios (como en el nacimiento del cálculo) no debe ser refrenada por exceso de celo formal ni por una desmesurada escrupulosidad en sus procedimientos, por cuanto el rigor excesivo puede ser contraproducente e incluso puede llegar a paralizar el avance de la propia ciencia (cf. NE IV 2 § 8). La fundamentación del saber ha de valorarse en perspectiva y supeditarse a la naturaleza y repercusión de los resultados que produce. No se puede pretender fundamentar sobre bases absolutamente rigurosas algo que todavía no se ha alcanzado plenamente. El empeño por profundizar en la inteligencia de los primeros principios de la ciencia, admitidos en un comienzo sin prueba, y sin una estricta fundamentación, responde sensu stricto a una fase del desarrollo del saber en la que ya se ha apuntalado y afianzado la conquista del nuevo territorio y en la que la ciencia ha logrado una suficiente madurez y seguridad en sí misma (cf. NE IV 7 § 1). En otras palabras, la fundamentación rigurosa de los cimientos del cálculo infinitesimal puede esperar a la consolidación de la ciencia. Inicialmente debe predominar la búsqueda de procedimientos adecuados y la constatación de la corrección de los resultados. De este modo, se ha de privilegiar en primera instancia el desarrollo de la lógica inventiva de la ciencia, de los aspectos heurísticos de la matemática infinitesimal como ars inveniendi, en lugar de concentrarse en su justificación rigurosa, a fin de lograr la consolidación de sus métodos y resultados, que están dirigidos a favorecer, en última instancia, el progreso y el bienestar del género humano. Esta actitud encuentra su explicación más plausible en el hecho de que Leibniz tenía conciencia plena de que el cálculo suponía un avance revolucionario en matemáticas, de modo que era preciso subordinar el escrúpulo formal y la búsqueda del rigor al progreso de esta rama nueva de las matemáticas. Según Hall (1980, p. 90), la principal diferencia entre Leibniz y Newton (y Huygens) reside en la valoración del cálculo. Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, LI (129-131), 231-241, Enero-Diciembre 2012 / ISSN: 0034-8252 236 Pedro A. Viñuela Villa Leibniz tuvo conciencia de que no se trataba de más ambicioso de crear una notación simbólica universal que se convertiría en el instrumento una mera prolongación y continuación de los definitivo de perfeccionamiento de la ciencia y métodos analíticos ya existentes, de un perfecciode la filosofía. Leibniz dimensionó con acierto namiento, si se quiere, de lo ya disponible, sino matemáticas, es elplenamente es plenamente de valor de lamatemáticas, notación de su nuevo cálculo y provienen de consciente las de una mutación decisiva y de un salto cualitativo matemática en gr matemática provienen gran deqq ventajas matemáticas, operacionales propiciadas ella (cf. es plenamente consciente de matemáticas, essimbólico. plenamente consciente de es plenamente de que la potencia y por elenéxito demedida la respecto de lomatemáticas, previamente alcanzado. Newton, consciente Leibniz considerab matemáticas, es plenament matemáticas, es plenamen matemáticas, es matemática plenamente consciente de que la potencia Hall p. la 90).índoleLeibniz simbólico. consideraba, como afirma provienen en gran medida de plenamente consciente de que potencia y elen éxito la 1980, matemática provienen en gran medida de la lay matemática provienen grandemedida de peculiar de lenguaje aunque consciente del la carácter innovador de sus álgebra, elsu cálculo infinitesi matemática provienen en matemática provienen en provienen enéxito gran medida demás la índole peculiar Leibniz destaca las virtudes de su simbolisálgebra, el cálculo infinitesimal la lógic simbólico. Leibniz consideraba, como matemáticas, plenamente consciente de la potencia y el de la ienen en granlogros, medida laasí.índole peculiar de matemática su que lenguaje simbólico. Leibniz consideraba, como afirma Dg noes lode vio Leibniz, en cambio, consisimbólico. Leibniz consideraba, como afirma Dascal (1978, p. 5), sus éxitos en yelafirma proyecto ambicioso deD simbólico. Leibniz considera simbólico. consider en su escrito Symbolismus memorabilis calsimbólico. consideraba, como afirma Dascal p.not 5) proyecto ambicioso deLeibniz crear una álgebra, el cálculo infinitesimal yy(1978, la lógica matemática en (1978, gran medida de la índole peculiar de su lenguaje z consideraba, como afirma Dascal p. 5), sus éxitos enmo el la álgebra, elmás cálculo infinitesimal la lógica deró su provienen cálculo infinitesimal como uninfinitesimal gran paso álgebra, el cálculo yLeibniz lógica como simples muestras de su convertiría en el instrumento álgebra, el cálculo infinite álgebra, el cálculo infinite culi algebraici et infinitesimalis in comparatione álgebra, infinitesimal y la lógica como simples convertiría en el instrumento definitivo de pm proyecto más ambicioso de crear una notac simbólico. consideraba, como afirma Dascal (1978, p. 5), sus éxitos en el proyecto más ambicioso de crear una nota lo infinitesimal y Leibniz la allógica comolomás simples muestras de el sucálculo adelante, modo como fue laambicioso introducción del crear proyecto de una notación simbólica universal que se Leibniz dimension matemáticas, la es filosofía. plenamente consciente de qu proyecto más ambicioso d proyecto más ambicioso potentiarum et differentiarum, et de lege homoproyecto más ambicioso de crear una notación simbólica la filosofía. Leibniz dimensionó con acierto convertiría en el instrumento definitivo de per el una cálculo infinitesimal y la lógica como simples muestras de su mbiciosoálgebra, de crear notación simbólica universal que se convertiría en el instrumento definitivo de per álgebra, de manera que la matemática jamás volconvertiría en el instrumento definitivo de perfeccionamiento de la ciencia y de cálculo y en dedegran las medida opera de laude matemáticas, es plenamente consciente de quematemática la potenciaprovienen y el éxito la ventajas convertiría en el instrument convertiría en el instrumen geneorum transcendantal, publicado en 1710 convertiría en el instrumento definitivo de perfeccionamiento cálculo y de las ventajas operacionales propic la filosofía. Leibniz dimensionó con acierto el proyecto ambicioso de crear una notación simbólica universal que se instrumento definitivo perfeccionamiento de la ciencia y de la filosofía. Leibniz dimensionó con acierto eld veríamás a serde la la misma. Leibniz tenía consciencia, simbólico. Leibniz consideraba, como afirma Da filosofía. Leibniz dimensionó con acierto valorpeculiar de la notación de su nuevo matemática provienen en gran medida de la el índole de su lenguaje la filosofía. Leibniz dimensi Leibniz destaca las virtudes la filosofía. Leibniz dimens en Miscellanea Berolinensia ad incrementum álgebra, el cálculo infinitesimal y la lógica la filosofía. Leibniz dimensionó con acierto el valor de la notac cálculo y de las ventajas operacionales propicia convertiría en el instrumento definitivo de perfeccionamiento de la ciencia y de iz dimensionóencon aciertodel elverdadero valor deLeibniz la notación de sucomo nuevo definitiva, valor y consideraba, trascendencia cálculo y por de las ventajas operacionales cálculo y de las ventajas operacionales propiciadas ella (cf. 1980, simbólico. afirma Dascal (1978, p. 5), susHall éxitos en el p. 90).propicia Leibniz destaca las de su cálculo yde las ventajas oper proyecto más ambicioso crear una notaci memorabilis calculi algebraic scientiarum, poniendo denuevo relieve lavirtudes analogía que cálculo yde desu las ventajas ope cálculo de operacionales propiciadas por ellasimbol (cf. H álgebra, el ella cálculo infinitesimal lalas lógica como simples muestras la filosofía. Leibniz dimensionó con el valor de laventajas notación de su histórica del cálculo. ntajas operacionales propiciadas por (cf. acierto Hall 1980, p.yy90). memorabilis calculi algebraici et infinitesim convertiría en el instrumento definitivo de perf Leibniz destaca las virtudes de su simbolis Leibniz destaca las virtudes de su simbolis Leibniz destaca las virtudes de su simbolismo en su escrito Symbolismus permite establecer su notación entre la elevación et differentiarum, et de lege h proyecto más ambicioso de crear una notación simbólica universal que se cálculo y de las ventajas operacionales propiciadas por ella (cf. Hall 1980, p. 90). Leibniz destaca las Leibniz destaca las virtud lavirtudes filosofía. Leibniz dimensionó con acierto el va Leibniz las de simbolismo suvirtude escrit et differentiarum, et de lege homogeneorum memorabilis calculi algebraici infinitesimal las virtudes de su simbolismo en en sucalculi Symbolismus memorabilis calculi algebraici et infinitesima convertiría elescrito instrumento definitivo de potencia perfeccionamiento desu la ciencia y de memorabilis algebraici etdestaca comparatione potentiarum ainfinitesimalis una deinuna suma de variables yet laen en Miscellanea Berolinensia memorabilis calculi algebra cálculo yproducto de las ventajas operacionales propiciad memorabilis calculi algebr filosofía. Leibniz dimensionó conen acierto el valor deunla notación de su nuevo memorabilis calculi algebraici etlainfinitesimalis in comparatio Miscellanea Berolinensia ad incrementum et differentiarum, et de lege homogeneorum tr Leibnizet destaca las virtudes de suet simbolismo su escrito uli algebraici infinitesimalis in comparatione eten differentiarum, et de lege homogeneorum tr diferenciación deSymbolismus depublicado variables. Esta etladifferentiarum, de potentiarum lege homogeneorum transcendantal, en 1710 analogía que permite establ 3. Característica universal et differentiarum, et de cálculo y de las ventajas operacionales propiciadas por ella (cf. Hall 1980, p. 90). et differentiarum, et delege lege et differentiarum, et de lege homogeneorum transcendantal, pu la analogía que permite establecer su notació en Miscellanea Berolinensia ad incrementum memorabilis calculi algebraici et infinitesimalis in comparatione potentiarum analogía se observa constantemente si se continúa , et de lege homogeneorum transcendantal, publicado en 1710 en Miscellanea Berolinensia ad incrementum en Miscellanea Berolinensia ad incrementum scientiarum, poniendo de relieve de una suma de variables y la Leibniz destaca las virtudes de su simbolism y notación del cálculo en Berolinensia enMiscellanea Miscellanea Berolinensi en Miscellanea Berolinensia ad incrementum pon una de variables la diferenciación potenciación y lasuma de modo que la analogía que permite establecer su notación et differentiarum, de lege homogeneorum transcendantal, publicado en 1710 erolinensia ad incrementum scientiarum, poniendo de lade analogía que permite su notación laet analogía que permite establecer notación entre la elevación aestablecer una potencia analogía sey scientiarum, observa constan memorabilis calculi algebraici et infinitesimali Leibniz destaca las virtudes derelieve sulasu simbolismo en sudiferenciación, escrito Symbolismus la analogía que permite esta la analogía que permite la analogía que permite establecer su notación entre la elevación analogía se observa constantemente si sd es posible operar con los diferenciales como si de una suma de variables y la diferenciación d en Miscellanea Berolinensia ad incrementum scientiarum, poniendo de relieve de una suma de variables y la diferenciación ermite establecer su notación entre la elevación a una potencia de una suma de variables y la diferenciación de un producto de variables. Esta diferenciación, de modo que et de lege homogeneorumesta tra calculi algebraici comparatione potentiarum A partir dememorabilis ahora nos concentraremos sobreet infinitesimalisetindifferentiarum, de una suma de variables ysy de una suma de variables de una suma de variables y la diferenciación de un producto de se tratase de potencias algebraicas. Con ello se diferenciación, de modo que es posible oper analogía se observa constantemente si se que permite establecer su notación entre la elevación a una potencia variableslayanalogía la diferenciación de un producto de variables. Esta analogía se observa constantemente si se analogía se observa constantemente si se continúa la potenciación y la en Miscellanea Berolinensia ad incrementum tratase de potencias algebraic differentiarum, et de lege homogeneorum transcendantal, publicado en 1710 todo en algunosetaspectos fundacionales del cálanalogía se observa analogía se observa cons revela yoperar enfatiza que dpotencias actúa como operador se constantemente siun se continúa laconst po la analogía que permite establecer susenotación tratase delos algebraicas. ello see diferenciación, de modo que es posible operar de una suma desivariables y la diferenciación dees un producto de variables. Esta erva constantemente se continúa laBerolinensia yposible la observa diferenciación, de modo que es posible operar diferenciación, depotenciación modoanalogía que con diferenciales como siCon en Miscellanea ad incrementum scientiarum, poniendo de relieve un operador diferencial sobre culo infinitesimal leibniziano, que son de interés de modo diferenciación, de modo qu de una de variables y lacon diferenciación de diferencial sobre una variable. diferenciación, detratase modo que esdiferencial posible operar los diferenc un operador una variable. la analogía que permite establecer su notación entre la elevación ala una potencia de potencias algebraicas. Con ello se re se observa constantemente si se continúa la potenciación y diferenciación, e modo analogía que es posible operar con diferenciales como si se tratase de potencias algebraicas. Con ello seque re tratase delos potencias algebraicas. Con ello se revela ysuma enfatiza que dsobre actúa como filosófico y de de alcance sistemático en el pensaanalogía se observa constantemente si se c tratase de potencias algebra La regla de la diferenciació tratase de potencias algebra una suma de variables y la diferenciación de un producto de variables. Esta La regla de la diferenciación del producto de tratase de potencias algebraicas. Con ello se revela y enfatiza qu un operador diferencial sobre una variable. diferenciación, modo que es posible operar con los diferenciales como si se ias algebraicas. Con ellodese revela y enfatiza que d actúa como un operador diferencial sobre una variable. un operador diferencial sobre una variable. miento de Leibniz. En particular nos referiremos diferenciación, de modo que es posible operar La regla de la diferenciación del product un operador diferencial sobr analogía se observa constantemente si se continúa la potenciación y la un operador diferencial sob dos variables establece que un operador diferencial sobre una variable. tratase de potencias algebraicas. Con ello se revela y enfatiza que d actúa como encial sobre una variable. (cf. Leibn sucintamente La al papel del simbolismo y del tratase de potencias algebraicas. Con ellop.se106 rev diferenciación, modo que es posible operar losp.dos diferenciales como se del La regla de la diferenciación producto La con regla de la diferenciación del producto regla deuna ladevariable. diferenciación del de variables establece que (cf. producto Leibniz 1989, 106).(8) A partir desiella se (cf. Leibniz 1989, un operador diferencial sobre un operador diferencial sobre una variable. La regla de la diferenciaci pensamiento simbólico en la concepción de los La regla de la diferenciac tratase de potencias algebraicas. Con ello se revela y enfatiza que d actúa como La regla1989, de la del producto de1989, dos diferenciación del producto de dos variables que tiene que (cf. Leibniz p. (cf. Leibniz 1989, p. 106). 106). , siendo yquevariable . (cf.establece Leibniz p. diferenciación 106).(8) A partir de ella se tiene un operador diferencial sobre una variable. infinitesimales como ficciones útiles. (cf. La regla de la diferenciación del producto de dos variables establece que (cf. Leib Leied , siendo y . Si desarrol (cf. Leibniz 1989, p. 106).(8) A partir de (cf. Leibniz 1989, p. 106).(8) A partir de ella se tiene que La regla de la diferenciación delse producto variables se tiene que Bos (1980, p. 60) afirma que la principal idea ,,,de siendo yyydel .que se siendo .. Si Si se desarrolla siendo Side se desarrolla variables se tiene que , La siendo y p. 106).(8) . del Si Aseproducto desarrolla el se cuadrado binomio (cf.regla Leibniz partir tiene que de la1989, diferenciación deella dos variables establece (cf. 1989, p. 106).( yLeibniz . dos De este mo que se encuentra a la base de la invención del , siendo yysimbolis , siendo desarrolla el cuadrado del binomio de dos varia, siendo y . Si se desarrolla el cuadrado del y . Si se desarrolla el cuadrado del(cf. binomio de dosp. 106).(8) variables que variables se detiene tiene que y se . De este modo, el variables se tiene que , con Leibniz 1989, A partir ella se tiene que desarrollos de y cálculo infinitesimal leibniziano es de naturaleza variables se que bles setiene tiene que variables se tiene que , binomio siendo ylaeste .entre Si tiene se desarrolla y Si se. desarrolla el, cuadrado del deuna variables que ne que, siendo con yexhibe .dos el simbolism y . De De este modo, elo,los simbolism y modo, como esce desarrollos de y . de De este modo, elsesimbolismo similitud que diferenciación se conv filosófica, a saber: la idea la characteristica . , con y y . De este m variables se tiene que ySe . en Deuna este , siendo . entre Si seyo, desarrolla el cuadrado binomio de dosobserva tiene que , gracias con .desarrollos De este modo, el simbolismo exhibe sim . De estevariables modo, el se simbolismo exhibede una ysimilitud loscomodesarrollos que la Leibniz, diferenciación una m yy se o, escri de o, como como escri dedel desarrollos y escribe .convierte a la combinatoria (cf. Lm universalis como lenguaje simbólico general. A De este modo, el simbolismo exhibe una similiy . De este modo, el simbolismo variables se tiene que , con y desarrollos de y desarrollos de y . De este modo, el simbolismo exhibe una similitud entre los desarrollos de y o, como escribe Leibniz, gracias a la combinatoria (cf. Leibniz 1989, p que la diferenciación se convierte en una man y o, como escribe Leibniz, . Se observa que la diferenciación se convierte en una ma que la diferenciación se convierte en manipulación simbólica y mecánica lo largo de toda su vida, jamás abandonó entre los desarrollos desarrollos de de y (cf. o, como escrib yLeibniz . como De este modo, el tud simbolismo exhibe una similitud entre los que la diferenciación se con Ahora bien, la notación de Le que la diferenciación sep. co que la diferenciación se convierte en una manipulación simbó gracias a la combinatoria Leibniz 1989, 44 y o, escribe Leibniz, . Se observa de ción se desarrollos convierte en una manipulación simbólica y mecánica gracias a la combinatoria (cf. Leibniz 1989, p. gracias a la combinatoria (cf. Leibniz 1989, p. 419, nota 24). el proyecto de crear una characteristica generalis como escribe Leibniz, . Se observa que que la diferenciación se convierte en una man desarrollos de y o, como escribe Leibniz, . Se observa Ahora bien, la notación de Leibniz «no es m gracias a la combinatoria (cf como advierte Courant-, sino gracias a la combinatoria (c gracias a la combinatoria (cf. Leibniz 1989, p. 419, nota 24). laque diferenciación se convierte en una manipulación simbólica y mecánica inatoria que (cf. Leibniz 1989, p. 419, nota 24). empleara los caracteres, adecuadamente idea- en gracias la combinatoria (cf. Leibniz 1989, p. 41 la«no diferenciación se aconvierte en yuna manipulaque labien, diferenciación se convierte una manipulación simbólica mecánica como advierte Courant-, sino es en real Ahora bien, la notación de Leibniz «no Ahora bien, lasugestiva notación deque Leibniz «no es mer mer Ahora la notación de es meramente por sí misma – es razón es enque muchos cálc graciasdos, a ladecombinatoria Leibniz 1989, p. Leibniz 419, nota 24). modo que todas(cf. las consecuencias que se gracias a la combinatoria (cf. Leibniz 1989, p. 419, nota 24). Ahora bien, la notación de L ción simbólica y mecánica gracias a la combinaAhora bien, la notación de bien,es notación de Leibniz «no es símbolos meramente razón essumamente que la en muchos cálculos y sugestiva transfor como advierte Courant-, sino en tación de Leibniz «no es meramente sugestiva porAhora sí misma –laen como advierte Courant-, sino que es en realid como advierte Courant-, sino que realidad flexible yque útil.es La con los dx yesrealid dy ex Ahora bien, notación de Leibniz «no mera pudieran establecer, en el curso del razonamientoria (cf. Leibniz 1989, p. 419, nota 24). como advierte Courant-, sin como advierte Courant-, si advierte que es en sumamente fl concomo los símbolos yrealidad dy exactamente com razón es que en muchos cálculos yyestransforma bien, Leibniz «no esdecomo meramente sugestiva por sí misma –dx ourant-, Ahora sino que es la ennotación realidad sumamente flexible y útil. La razón essino que enTratando muchos cálculos transform razón de es quelaen muchos cálculos y transformaciones formales asino dx ytratar dy como nú advierte Courant-, en realida bien, notación Leibniz «no es Courant-, meramente sugestiva por sípodemos misma –que to, procedieranAhora directamente de los caracteres Ahora bien, lasímbolos notación de Leibniz «no esyque razón es que en muchos cá razón es que en muchos cá razón es que en muchos cálculos y transformaciones formales Tratando a dx y dy como números es posi con los dx y dy exactamente como advierte Courant-, sino que es en realidad sumamente flexible y útil. La muchos como cálculos y transformaciones formales podemos tratar con los símbolos dx y dy exactamente com con los símbolos dx y dy exactamente como si fueran números ordinarios. razón es que en muchos cálculos transforma muchos cálculos pueden como advierte Courant-, sino la que es en realidad sumamente flexible y útil. La mismos. Un simbolismo semejante potenciaría meramente sugestiva misma –como adviercon los dx ycomo dy con símbolos ynúm dy con los ysímbolos dx y dar dy exactamente como si fueran muchos que pueden llevarse ap. ca con los símbolos dx ylos dy exactamente Tratando acálculos dx yyexpresión dy como números es razón es que en como muchos ydy transformaciones formales podemos dx y dy exactamente fueran ordinarios. Tratando apor dxsítratar dy como números es posibl Tratando a dxenynúmeros como números es posible una más clara adxposible (Courant ysímbolos John 1988, 1 razónsiescálculos que muchos cálculos transformaciones formales podemos tratar capacidad inventiva de la ciencia para beneficio te Courant‑, sino que es en realidad sumamente Tratando a dx y dy como Tratando asu dx yuna dy como Tratando anúmeros dxcapacidad yvalidez dy como es posible Tratando a adx como yanúmeros dy como números es posible dar expres (Courant ytoda John 1988, p.números 193). Para faci muchos cálculos que pueden llevarse aa cabo conydar los dx dy exactamente si fueran ordinarios. con los símbolos dx dysímbolos exactamente como sillevarse fueran ordinarios. muchos cálculos que pueden llevarse cab dy como números es posible una expresión más clara muchos cálculos quey pueden cabo con sin uso» inventiva de los carn de la humanidad. Insignea investigador e muchos invenflexible yfacilitar útil. La razón esllevarse quemuchos muchos cálcucálculos que pued muchos cálculos que llevarse cabo muchos cálculos queaeste pued Tratando dx yvalidez dy1988, como números es posible dar una más clara acon cálculos que pueden aypueden cabo toda valid capacidad inventiva de los caracteres, si (Courant John 1988, p. 193). facilit Tratando a dx ay dy como es posible dar una expresión más clara aen que pueden llevarse cabo con números sin uso» (Courant John 1988, p. 193). Para facilit (Courant ytoda John p. su 193). Para layyexpresión operatoria potenciar la lo continuo como siPara fuera disc tor de notaciones matemáticas, es plenamente los y transformaciones formales podemos tratar (Courant y John 1988, p. 193). Para facilita (Courant y John 1988, p. muchos quede llevarse aeste cabo con toda validez sin su uso» (Courant y John 1988, (Courant John 1988, p.inventiva 193). Para facilitar la operatoria lo continuo como si fuera discreto, los infinit capacidad de los caracteres, este sim que pueden llevarse alos cabo con yla toda validez sin su uso» n 1988, muchos p. 193). cálculos Para facilitar la cálculos operatoria ypueden potenciar capacidad inventiva de los caracteres, este sim capacidad inventiva caracteres, simbolismo trata, de alguna manera, finitas.(9) Las analogías quepe consciente de que la potencia y el éxitocapacidad de193). la Para capacidad inventiva de los caracteres, este simb con los símbolos dxcaracteres, ycomo dy analogías exactamente como si los trata, (Courant y John 1988, p. facilitar la operatoria ycapacidad potenciar lael simbolismo inventiva de capacidad inventiva delos los inventiva de los este simbolismo decdc finitas.(9) Las que lo continuo fuera discreto, infinites (Courant y John 1988, p. 193). Para facilitar la operatoria y potenciar la va de los caracteres, este simbolismo trata, de alguna manera, lo continuo como si fuera discreto, infinites lo continuo como si fuera discreto, los infinitesimales como si fueran cantidades y si automatizar ellos pensamie lo continuo como si fuera discreto, los infinitesi matemática provienen eninventiva gran medida la capacidad de loslode caracteres, este simbolismo trata, de alguna manera, fueran números ordinarios. Tratando a dx y dy lo continuo como si fuera di lo continuo como si fuera d continuo como si fuera discreto, los infinitesimales como si fu y automatizar el pensamiento. La doctr finitas.(9) Las analogías que el simbolismo de capacidad inventiva de los caracteres, este simbolismo trata, de alguna manera, si fuera discreto, los infinitesimales como si fueranque cantidades finitas.(9) LasLas analogías que el simbolismo de finitas.(9) Las analogías el simbolismo de Leibniz sugiere ayudan aelagilizar simbólico permite comprend finitas.(9) analogías que simbolismo de L como si fueraLeibniz discreto, los infinitesimales como si dar fueran cantidades índole peculiar lo decontinuo su lenguaje simbólico. como números esque posible una expresión más finitas.(9) Las analogías que finitas.(9) Las analogías qu finitas.(9) Las analogías el simbolismo de Leibniz sugiere a simbólico permite comprender mejor este yysiLeibniz automatizar el La doctrin lo continuo como si fuera discreto, losayudan infinitesimales como fueran cantidades alogías que el simbolismo Leibniz sugiere a agilizar automatizar el elpensamiento. pensamiento. La doctrina doctrin yde automatizar el pensamiento. La doctrina leibniziana del pensamiento continuación. y automatizar pensamiento. La finitas.(9) analogías de sugiereque ayudan a agilizar consideraba, como afirmaLas Dascal (1978,que p. el5),simbolismo clara a muchos cálculos pueden llevarse a yycomprender automatizar elelapensam automatizar pensam y de automatizar el pensamiento. La doctrina leibniziana dpp continuación. simbólico permite mejor este finitas.(9) La Las doctrina analogías que permite el simbolismo Leibniz sugiere ayudan a agilizar simbólico permite comprender mejor este pl el pensamiento. leibniziana pensamiento simbólico comprender mejor este planteamiento, como veremos simbólico comprender este automatizar el del pensamiento. La doctrina leibniziana pensamiento sus éxitos en ely álgebra, el cálculo infinitesimal cabo con toda validez permite sindel susimbólico uso» (Courant ymejorcompren permite simbólico permite compre 4. Pensamiento ciego simbólico permite comprender mejor este planteamiento, co continuación. y automatizar elcontinuación. pensamiento. doctrina leibniziana del pensamiento e comprender mejor este planteamiento, como veremos a continuación. continuación. permiteLa mejor como veremos a y Johneste 1988,planteamiento, p. 4. 193). Para facilitar la ciego operatoria y la lógica comosimbólico simples muestras decomprender su proyecto Pensamiento continuación. continuación. continuación. simbólico permite continuación. comprender mejor este planteamiento, como veremos a El proyecto 4. Pensamiento ciego de la caracterí 4. ciego 4. Pensamiento Pensamiento ciego 4. Pensamiento ciego continuación. El proyecto de la característica universa 4. ciego simbólico van de la mano par 4. Pensamiento Pensamiento ciego 4. Pensamiento ciego 4. Pensamiento ciego ento ciego El proyecto de la característica universal yc simbólico van de la mano para Leibniz, lo Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, LI (129-131), 231-241, Enero-Diciembre 2012 / ISSN: 0034-8252 El proyecto de la característica universal El proyecto de la característica universal El proyecto de la característica universal y la doctrina del pensamiento notación del cálculo infinitesim 4. Pensamiento ciego simbólico van de la mano para Leibniz, lo cual El proyecto de lala caracte El yproyecto característica universal ycual la doctrina del pensamiento El proyecto de la las caracte El para proyecto de simbólico la característica universal yideas la d notación del infinitesimal. En de la mano para Leibniz, lo cua la característica universal la doctrina pensamiento simbólico vancálculo de la mano para Leibniz, loMed cua simbólico vandedelaladel mano Leibniz, lo se van refleja en la invención dedoctrina verdad y las (1684) Leib notación del cálculo infinitesimal. Enla lasmano Medita simbólico van de la mano paray Leibniz, lodecual se refleja en la invención de lasede simbólico van pp simbólico van de la mano simbólico van la mano para Leibniz, lo cual refleja en la verdad y las ideas (1684) Leibniz sostiene qu notación del cálculo infinitesimal. En las Medit proyecto delola característica universal la doctrina del pensamiento la manoElpara Leibniz, cual se refleja en la invención de la notación del cálculo infinitesimal. En las Medit notación del cálculo infinitesimal. En las Meditaciones sobre el(1684) conocimiento, la el álgeb se utiliza «no sólosostiene en verdadsobre y las Leibniz que e notación del cálculo infinitesimal. Endel lascálculo Meditaciones elideas conocimiento, lacálculo notación del infinites notación del cálculo infinite notación infinitesimal. En las Meditaciones sobre el se utiliza «no sólo en el álgebra, sino en la verdad y las ideas (1684) Leibniz sostiene que simbólico van de la mano para Leibniz, lo cual se refleja en la invención de la ulo infinitesimal. En las Meditaciones conocimiento, la verdad y las«no ideas (1684) sostiene verdad y lassobre ideasel(1684) Leibniz sostiene quepensamiento el pensamiento ciego o simbólico utiliza sólo en el Leibniz álgebra, sino en laque aric verdad y las ideas (1684) Leibniz sostiene que else ciego o simbólico Consideraciones sobre el cálculo infinitesimal leibniziano... potenciar la capacidad inventiva de los caracteres, este simbolismo trata, de alguna manera, lo continuo como si fuera discreto, los infinitesimales como si fueran cantidades finitas.9 Las analogías que el simbolismo de Leibniz sugiere ayudan a agilizar y automatizar el pensamiento. La doctrina leibniziana del pensamiento simbólico permite comprender mejor este planteamiento, como veremos a continuación. 4. Pensamiento ciego El proyecto de la característica universal y la doctrina del pensamiento simbólico van de la mano para Leibniz, lo cual se refleja en la invención de la notación del cálculo infinitesimal. En las Meditaciones sobre el conocimiento, la verdad y las ideas (1684) Leibniz sostiene que el pensamiento ciego o simbólico se utiliza «no sólo en el álgebra, sino en la aritmética, y casi en todo» (GP IV 423). Los caracteres y pensamientos ciegos son útiles para el razonamiento, por motivos de eficiencia mental y economía temporal. Creo que, efectivamente, sin el deseo de hacerse entender nunca hubiéramos llegado a formar un lenguaje; y una vez formado, también le sirve al hombre para razonar por sí mismo, tanto por la oportunidad que le dan las palabras para acordarse de los pensamientos abstractos como por la utilidad que tiene para razonar el servirse de caracteres y pensamientos sordos [caracteres et pensées sourdes], pues si hiciese falta explicarlo todo y substituir siempre cada término por su definición, necesitaríamos demasiado tiempo. (NE III 1 §2). Ahora bien, la utilización de sistemas simbólicos no garantiza de suyo el conocimiento. Como todo instrumento, el órgano simbólico debe ser adecuado a su finalidad. Si no lo es, su uso puede ser contraproducente. Según Leibniz, puede acontecer que lo que es expresado en el lenguaje no necesariamente tenga su correlato en el plano de las ideas. Constituye un requisito de todo conocimiento la posesión efectiva de una idea de la cosa de la que se piensa o se habla, 237 de acuerdo a criterios estrictamente lógicos, no psicológicos. Sin embargo, Leibniz argumenta en los Nuevos ensayos que el pensamiento simbólico se caracteriza por la existencia de algo vacío y sordo en el pensamiento (quelque chose de vuide et de sourd dans la pensée), que no queda cubierto sino por el nombre, ya sea porque, al usar las palabras, no se lo vincula a ninguna idea, ya sea porque se lo une a una idea imperfecta (idée imparfaite), una de cuyas partes está vacía y, por así decir, queda en blanco.(10) Esta clase de pensamiento, desprovisto de contenido, es frecuente e incluso fundamental en la ciencia matemática, puesto que no siempre es posible disponer de la ayuda de las figuras, como en geometría. El álgebra pone de relieve que es posible realizar grandes descubrimientos sin tener que recurrir siempre a las ideas mismas de las cosas (cf. NE IV 3 §30). Como acontece en el cálculo algebraico, el pensamiento consiste en gran medida en el empleo y manipulación ciega o sorda de caracteres, donde se considera solamente de vez en cuando lo que los signos representan. El espíritu, debido a la naturaleza finita de las facultades humanas de conocer, busca afanosamente maneras de compendiar, abreviar, tomar atajos. Sin estos recursos artificiales el espíritu no avanzaría mucho en la comprensión y conocimiento de la complejidad de lo real. Sin alguna clase de signos no se podría pensar ni razonar. Para Leibniz el pensamiento ciego cumple una función vital en la abstracción y en los procedimientos algorítmicos, en los cuales se ha de prestar atención principalmente a las reglas sintácticas que regulan la operatoria con los caracteres. Aunque Leibniz piensa que se trata de una tendencia extensamente documentada en el lenguaje natural, con resultados dispares, es en los lenguajes formales, como en las matemáticas, donde se ha sabido encausar adecuadamente y sacar rendimiento a esa disposición cognitiva natural. 5. Infinitesimales como ficciones útiles Cuando Leibniz hizo público su cálculo infinitesimal, las objeciones relativas al carácter Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, LI (129-131), 231-241, Enero-Diciembre 2012 / ISSN: 0034-8252 238 Pedro A. Viñuela Villa supuestamente contradictorio de los infinitesiy en tanto que noción posible, el infinitesimal es admitido por la utilidad que su uso reporta. males no tardaron en llegar. Podían ser tratados En una carta a Des Bosses del 11 de marzo como cantidades finitas y la notación de Leibniz de 1706 Leibniz se expresa de manera significatipermitía establecer fructíferas asociaciones con va sobre el asunto: el cálculo numérico en términos algorítmicos. Pero al mismo tiempo los infinitesimales de Filosóficamente hablando no sostengo las grado superior se igualaban a cero, lo cual supone magnitudes infinitamente pequeñas más que al menos las siguientes dificultades. El infinitesilas infinitamente grandes, o las infinitesimal parece constituir una entidad matemática males más que las infinituplas. Pues las conintermedia entre el cero y una cantidad finita, sidero, a unas y otras, ficciones de la mente sin ser en realidad ninguna de las dos. Además, [mentis fictionibus], debido a formas abrecomo los infinitesimales de grado superior son viadas de hablar [modum loquendi compendespreciados, los resultados alcanzados parecen diosum], aptas para el cálculo, tal como son ser tan sólo aproximaciones, en lugar de resultalas raíces imaginarias en el álgebra. Además, he demostrado que estas expresiones tienen dos exactos. También se objetó que se considerara gran utilidad para abreviar el pensamiento a los infinitesimales como cantidades realmente [ad compendium cogitandi] y de este modo existentes, aunque muy pequeñas, a la manera de para la invención; y no pueden conducir al los indivisibles de Cavalieri. error, ya que bastaría con sustituir lo infiLeibniz adopta básicamente dos estrategias nitamente pequeño por una magnitud tan para defender su cálculo y la índole de los infipequeña como uno quiera, de modo que el nitesimales. Aunque argumentó ‑en línea con el error sería menor que cualquiera dado; de concepto moderno de límite‑ que el infinitesimal donde se sigue que no puede darse ningún error. (GP II 305; Leibniz 2007, pp. 32-33). (el diferencial) es una cantidad que se puede hacer siempre más pequeña que una cantidad El carácter ficcional de los infinitesimales dada, su respuesta madura consistió en sostener viene dado entonces por el hecho de ser formas que el infinitesimal es una ficción útil, una ficcompendiadoras de hablar, atajos simbólicos, ción bien fundada. Poco antes de morir, en su formas de escribir que ahorran tiempo y energía escrito de 1716 La última respuesta, declara que mental y permiten automatizar el pensamiento. El «el cálculo infinitesimal es útil cuando se trata de infinitesimal constituye, en fin, una abreviatura aplicar la matemática a la física, aunque no precuya existencia sería, por de pronto, meramente tendo emplearlo para dar cuenta de la naturaleza nominal e imaginaria. En cierta forma, Leibniz de las cosas. Pues considero a las cantidades infies nominalista (al menos provisional) en lo que nitesimales como ficciones útiles» (GP IV 629). a las nociones matemáticas concierne.11 Según En lo que sigue nos concentraremos en esta línea él, los entes matemáticos son seres abstractos de defensa de Leibniz y mostraremos su vinculaque no existen realmente. La ficción matemática ción con la doctrina del pensamiento simbólico. entoncesprovisional) se juega, por así su carta de ciu(al menos en decir, lo que a las nociones mate Es importante destacar quenominalista Leibniz califica dadanía como dispositivo cognitivo en la utilidad concierne.(11) Según él, los entes matemáticos son seres abstractos de ficción útil al infinitesimal, porque las ficcioy fecundidad que su empleo conlleva en términos existen realmente. La ficción matemática entonces se juega, por así d nes pueden ser, como de hecho sucede frecuenheurísticos, algorítmicos y computacionales. carta de ciudadanía como dispositivo cognitivo en la utilidad y fecundi temente, ficciones inútiles, improductivas. Como En la medida en que constituyen formar de su empleo conlleva en términos heurísticos, algorítmicos y computacion la duda cartesiana, las ficciones pueden ser extrahablar que compendian procedimientos de paso vagantes (cf. Advertencia a la parte general de En la medida en que yconstituyen de hablar que com al límite que, con todo,formar pueden considerarse los Principios de Descartes, GP IV 358, EF 482). procedimientos decomo paso si al límite y que, con todo, pueden considerarse fuesen magnitudes indivisibles, aunAhora bien, según Leibniz, los entes matemáticos fuesen magnitudes aunque realidad no lo se que indivisibles, en realidad no lo sean, losen infinitesimales se caracterizan precisamente por ser entia imaginaria, los cuales pueden ser posibles o imposon ficciones útiles. Aun cuando designe designe una opera infinitesimales son ficciones útiles. Aun cuando sibles, puesto que hay ficciones imposibles como una operación de diferenciación respecto a una diferenciación respecto a una variable, puede tratarse, sin embargo, variable, puede tratarse, sin embargo, como si la cuadratura del círculo. En términos prácticos, fuese un cociente de magnitudes finitas, como una fracción racional. D punto de vista de la eficiencia operacional este tratamiento es muy ú resolver ecuaciones diferenciales simples. El ficcionalismo leibniziano Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, LI (129-131), 231-241, Enero-Diciembre 2012 / ISSN: 0034-8252 a los infinitesimales descansa en el tratamiento algorítmico “como si” q puede dispensar. Estos procesos de abreviación han sido especialmente relevante Consideraciones sobre el cálculo infinitesimal leibniziano... 239 dan forma. Newton se interesó más por el rigor fuese un cociente de magnitudes finitas, como que Leibniz, debido tal vez a que no vio con la una fracción racional. Desde el punto de vista misma claridad que éste el significado y el carácde la eficiencia operacional este tratamiento es ter revolucionarios del nuevo análisis matemático. muy útil para resolver ecuaciones diferenciales Su cercanía al punto de vista tradicional, basado simples. El ficcionalismo leibniziano respecto en la geometría clásica como modelo de certeza a los infinitesimales descansa en el tratamiento y rigor, contribuyó a ello en gran medida. Leibalgorítmico “como si” que se les puede dispensar. niz, más cercano al modo algebraico de pensar e Estos procesos de abreviación han sido espeinteresado en los métodos generales que explotan cialmente relevantes en el desarrollo histórico del los aspectos algorítmicos y la automatización de álgebra, que –como afirman numerosos eruditos los procedimientos de cálculo, vio la importancia (cf. Bell 1985, pp. 132-133; Dantzig 2007, p. capital del simbolismo. Su ojo avizor, desarrolla80)‑ ha pasado por las fases retórica, sincopada do en sus estudios de lógica formal y combinatoy simbólica, en las cuales un proceso paulatino ria numérica, le permitió asociar inmediatamente de sincopación ha permitido finalmente que las su proyecto general de crear una característica abreviaturas se conviertan en auténticos símbolos universal con la invención del cálculo. Pero la algebraicos. El caso de los infinitesimales y de los utilidad real de la característica sólo puede entennúmeros imaginarios sería una «vuelta de tuerca» derse a la luz de una epistemología que ponga adicional en este proceso de abstracción, formadebidamente de relieve la importancia del órgano lización y simbolización creciente del lenguaje simbólico en el saber sobre la base de la dispomatemático. Desde el punto de vista leibniziano, sición natural del hombre para ello. Su doctrina los sistemas simbólicos matemáticos tienden a del pensamiento ciego o simbólico constituye un avanzar por el camino de una independización y elemento clave que permite vincular ese proyecto autonomía progresivas respecto a los supuestos con la obtención de resultados efectivos en las objetos que representarían y a los que se refericiencias. Aunque Leibniz da a entender en numerían. El simbolismo propendeestudios para Leibniz a la de lógica formal y combinatoria numérica, le permitió asociar rosos pasajes es partidario de un formalispresentación meramente formal de estructuras inmediatamente su proyecto generalque de no crear una característica universal con la mo puro, puesto que los signos en algún momentosólo puede que los signos y sus relacionesinvención revelarían.del cálculo. Pero la utilidad real de la característica que referirse aque algún contenido ideal, a fin entenderse a la luz de tienen una epistemología ponga debidamente de relieve la dar un fundamento al pensamiento a parte rei,disposición importancia del órganodesimbólico en el saber sobre la base de la natural del hombre para ello. Su doctrina ciego o simbólico no se puede negar, de del todaspensamiento formas, la existencia 6. A modo de conclusión constituye un elementode clave permite vincular proyecto con la obtención unaque cierta tensión entre laese doctrina leibniziade resultados efectivosna en las ciencias. Aunque Leibniz da a las entender en pensamiento simbólico y su teoría de Como hemos visto, existen similitudes y que nodel numerosos pasajes es partidario de un formalismo puro, puesto ideas, en la medida en que el simbolismo tiende que los diferencias importantes entresignos el cálculo infinien algún momento tienen que referirse a algún contenido ideal, a fin de una formalización extrema y a un desarrollo tesimal de Leibniz y el cálculo de al apensamiento dar de unfluxiones fundamento a parte rei, no se puede negar, de todas autónomo, puestensión se hace cada difícil leibniziana refeformas, de una cierta entrevez la más doctrina del Newton. Ambas versiones del cálculolaseexistencia basan rir las “ficciones” y las abstracciones resultantes pensamiento y su teoría de las ideas, en la medida en que el en el uso de variables, en lugar de trabajarsimbólico con a lasformalización ideas que en principio tiende a una extremales y acorresponderían. un desarrollo autónomo, funciones, como se hace en elsimbolismo análisis moderno. pues se hace cada vez más difícil referir las “ficciones” y las abstracciones Pese a ciertas formulaciones de Newton, y a alguresultantes a las ideas que en principio les corresponderían. nas sugerencias más bien aisladas de Leibniz, el Notas concepto básico del cálculo infinitesimal no es para ellos el concepto moderno de límite, sino Notas 1. El teorema fundamental del cálculo se puede forel de fluxión y el de diferencial respectivamente. 1. El teorema fundamental delbrevemente cálculo se formular así: La mular así:puede La derivada de labrevemente integral De todos modos, estos puntos en común en los como función de indefinida desarrollos de ambos autores no deberían hacerderivada de la integral indefinida como función de x es igual al nos perder de vista las profundasvalor diferencias x es igual al valor de f(u) en el x: F’(x)el=proceso de de f(u) en el punto x: F’(x) = f(x). En otraspunto palabras, existentes entre ambas concepcionesintegración, del cálculo,que lleva f(x). de laEn función f(x) a F(x) (la primitiva de f(x)), se invierte otras palabras, el proceso de integración, porpuntos el proceso aplicado a F(x) Courant y Robbins en lo que respecta especialmente a sus de de diferenciación que lleva de la función f(x) (cf. a F(x) (la primitiva de 1996, pp. 436-437). partida y a los enfoques que los caracterizan y les f(x)), se invierte por el proceso de diferenciación 2. De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (escrito en 1669 y publicado en 1711); Methodus fluxionum et serierum infinitorum (escrito en 1671 y publicado en 1742 (en versión inglesa en 1736); De quadratura curvarum (escrito en 1676 y publicado en 1704). Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, LI (129-131), 231-241, Enero-Diciembre 2012 / ISSN: 0034-8252 3. Esta es la traducción al inglés de 1736 del original latino no publicado hasta ese entonces. La traducción fue realizada por John Colson, maestro de la escuela libre de matemáticas Sir Joseph Williamson, asentada en Rochester. 240 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Pedro A. Viñuela Villa aplicado a F(x) (cf. Courant y Robbins 1996, pp. 436-437). De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (escrito en 1669 y publicado en 1711); Methodus fluxionum et serierum infinitorum (escrito en 1671 y publicado en 1742 (en versión inglesa en 1736); De quadratura curvarum (escrito en 1676 y publicado en 1704). Esta es la traducción al inglés de 1736 del original latino no publicado hasta ese entonces. La traducción fue realizada por John Colson, maestro de la escuela libre de matemáticas Sir Joseph Williamson, asentada en Rochester. El problema de encontrar tales relaciones se basa en suponer que la cantidad es «infinitamente divisible, o que puede ser (al menos mentalmente) disminuida continuamente, de modo que al final, antes de que se extinga totalmente, se llegue a cantidades que pueden llamarse cantidades evanescentes [vanishing Quantities], o que son infinitamente pequeñas y menores que cualquier cantidad asignable» (Newton 1736, p. xi). Leibniz escribe en Historia et origo: «Pero la aplicación de verdades numéricas a la geometría y también la consideración de series infinitas eran a la sazón totalmente ignotas para nuestro mozo, quien dábase por satisfecho con observar complacido cosas tales en series de números. Nada tenía de la geometría, fuera de vulgarísimos preceptos prácticos, y apenas miraba a Euclides con atención suficiente, metido de plano en otros estudios» (Durán 2006, p. 240). Este cuadro está basado en Bos (1993, p. 96), Bos (1980, pp. 92-93) y Grattan-Guinness (1998, p. 245). En la sección primera del libro primero (lema I) de los Principia Newton proporciona una especie de definición del límite de una variable: «Las cantidades, y las razones de cantidades, que en cualquier tiempo finito tienden continuamente a la igualdad, y que antes de terminar ese tiempo se aproximan una a otra más que cualquier diferencia dada, se hacen finalmente iguales» (Newton 2011, p. 61). Leibniz lo había introducido en las Acta Eruditorum en octubre de 1684 en el Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur et singulare pro illis calculis genus. Leibniz pasa de lo discreto a lo continuo, dándose cuenta de las analogías y similitudes entre el estudio de sumas y diferencias de números en los triángulos aritmético y armónico y las consideraciones infinitesimales sobre tangentes y cuadraturas (cf. Boyer 1959, pp. 203-204). 10. Leibniz llama también a los pensamientos ciegos (cogitationes caecas) pensamientos sordos (pensées sourdes), esto es, vacíos de percepción y sentimiento (vuides de perception et de sentiment) (cf. NE II 21 § 35). En el siglo XVII, se llamaba números sordos o razones sordas (rationes surdae) a los números irracionales o inconmensurables (numera incommensurabilia), es decir, aquellos números que no pueden ser expresados como cociente entre dos números enteros, siendo √2 un buen ejemplo de ellos (cf. C 17-18; NE II 16 § 4). Newton, de hecho, en su Arithmetica Universalis, define numerus surdus, como aquél que es inconmensurable con la unidad (cui unitas est incommensurabilis) (cf. Newton 1722, p. 2). 11. Como afirma en la Disertación del estilo filosófico de Nizolio (1670), «nominalistas son los que piensan que todas las cosas, excepto las sustancias singulares, son meros nombres. Niegan, por tanto, de raíz, la realidad de los abstractos y universales» (Leibniz 1993, p. 85). Bibliografía Bell, E. T. (1985). Historia de las matemáticas. Traducción de R. Ortiz. México D.F.: Fondo de Cultura Económica. Bos, H. J. M. (1993). Lectures in the History of Mathematics. United States of America: American Mathematical Society. ——— (1980). Newton, Leibniz and the Leibnizian Tradition. En I. Grattan-Guinness (ed.), From the Calculus to Set Theory 1630-1910. An Introductory History, Princeton and Oxford: Princeton University Press, pp. 49-93. Boyer, Carl B. (1959). The history of the calculus and its conceptual development. Nueva York: Dover Publications. Courant, Richard y Robbins, Herbert (1996). What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. 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