Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad

Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de
libertad
F. Javier Cara
ETSII-UPM
Curso 2012-2013
1
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Contenido
Señales y sistemas
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a movimientos de la base
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
2
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Señales y sistemas
Representación de los sistemas
◮
◮
Un sistema es un modelo matemático de un proceso físico que
relaciona la señal de entrada (o excitación) con la señal de salida (o
respuesta).
Sea x(t) la señal de entrada e y(t) la señal de salida de un sistema
dado. El sistema puede verse como una transformación de x(t) en
y(t). Esta transformacion se representa matematicamente como
y (t) = Tx(t)
◮
◮
T es un operador que representa las reglas de la transformación de
x(t) en y(t).
Gráficamente, un sistema con una señal de entrada y una señal de
salida se suele representar como
3
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Señales y sistemas
Clasificación de los sistemas.
Los sistemas se pueden clasificar atendiendo a sus propiedades. Nosotros
vamos a considerar fundamentalmente:
* Sistemas lineales. Si el operador T cumple
T(αx1 (t) + βx2 (t)) = αTx1 (t) + βTx2 (t) = αy1 (t) + βy2 (t)
entonces T es un operador lineal y el sistema representado por T se
denomina sistema lineal.
* Sistemas invariantes en el tiempo. Un sistema es invariante en el
tiempo si las propiedades de T no dependen del tiempo, es decir,
T 6= T(t). Por tanto se cumple que
Tx(t − τ ) = y (t − τ )
* Sistemas causales. Un sistema es causal si la salida en un instante
dependede sólo de la entrada en ese instante y de las entradas en
instantes pasados.
* Sistemas estables. Un sistema es estable si para una señal de entrada
acotada genera una señal de salida acotada
|x(t)| ≤ k1 ⇒ |y (t)| ≤ k2
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Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Señales y sistemas
Sistemas lineales e invariantes en el tiempo.
Dado un sistema T lineal e invariante en el tiempo y una señal de entrada
x(t), la señal de salida y(t) se puede calcular mediante:
1. Ecuación diferencial.
N
X
k=0
ak
M
X
d m x(t)
d k y (t)
bm
=
k
dt
dt m
m=0
donde ak y bm son coeficientes reales y constantes.
2. Integral de convolucion.
Z ∞
x(τ )h(t − τ )dτ
y (t) = x(t) ∗ h(t) =
−∞
donde h(t) es la respuesta del sistema a un impulso unitario o delta
de Dirac:
h(t) = Tδ(t)
5
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Señales y sistemas
3. Transformada de Laplace - Transformada de Fourier.
La transformada de Laplace de la integral de convolución es:
Z ∞
L (y (t)) = L
x(τ )h(t − τ )dτ ⇒ Y (s) = H(s)X (s)
dónde
◮
◮
◮
−∞
Y (s) es la transformada de Laplace de la salida, Y (s) = L (y (t)).
X (s) es la transformada de Laplace de la entrada, X (s) = L (x(t)).
H(s) es la transformada de Laplace de la respuesta impulsional,
H(s) = L (h(t)). Se conoce como función de transferencia.
Para determinados sistemas, como los sistemas mecánicos, es
preferible utilizar la T. Fourier en lugar de la T. Laplace. Ésto se
debe a que la variable independiente de la T. Fourier es la frecuencia.
Z ∞
F (y (t)) = F
x(τ )h(t − τ )dτ ⇒ Y (ω) = H(ω)X (ω)
−∞
◮
◮
◮
Y (ω) es la transformada de Fourier de la salida, Y (ω) = F (y (t)).
X (ω) es la transformada de Fourier de la entrada, X (ω) = F (x(t)).
H(ω) es la transformada de Fourier de la respuesta impulsional,
H(ω) = F (h(t)). Es la función de respuesta en frecuencia.
6
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Figura: (a), (b) Modelos dinámicos para un edificio; (c) Modelo general para
un sistema de un grado de libertad.
7
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Cálculo de las respuesta mediante la ecuación diferencial
Figura: Equilibrio de fuerzas.
Aplicando la 2a Ley de Newton (según el principio de D’Alambert, la
fuerza mÿ (t) tiene sentido opuesto al movimiento)
X
F (t) = mÿ (t) ⇒ F (t) − Fc (t) − Fk (t) = mÿ (t)
Sustituyendo cada fuerza por su valor
mÿ (t) + c ẏ (t) + ky (t) = F (t)
La ecuación diferencial del sistema masa-muelle-amortiguador es
mÿ (t) + c ẏ (t) + ky (t) = F (t)
(1a)
y (0) = y0 ,
(1b)
ẏ (0) = ẏ0
8
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Solución para fuerza constante
Sólo para determinadas situaciones la ecuación anterior se puede resolver
de manera exacta. Uno de estos casos es cuando la fuerza aplicada al
sistema es constante:
mÿ (t) + c ẏ (t) + ky (t) = F0
y (0) = y0 , ẏ (0) = ẏ0
(2a)
(2b)
Como es bien conocido, la solución de esta ecuación es la suma de la
solución de la parte homogénea más una solución particular
y (t) = yh (t) + yp (t)
Solución de la ecuación homogénea
La ecuación homogénea correspondiente a (2) es
mÿh (t) + c ẏh (t) + kyh (t) = 0
La solución de esta ecuación es de la forma
yh (t) = Ae st
9
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Sustituyendo
ms 2 Ae st + csAe st + kAe st = 0
Para e st 6= 0, esto es, para yh (t) 6= 0 se tiene
ms 2 + cs + k = 0
cuya solución es
√
c 2 − 4mk
,
s1 =
2m
y la solución homogénea queda
−c +
yh (t) = A1 e
s1 t
+ A1 e
s2 t
= A1 e
s2 =
√
−c+
−c −
c 2 −4mk
t
2m
√
c 2 − 4mk
2m
+ A2 e
−c−
√
c 2 −4mk
t
2m
En dinámica de estructuras es usual definir los siguientes términos
r
k
def
ωn =
[rad/s]
m
c
def
(0 ≤ ζ ≤ 1)
ζ = √
2 mk
dónde ωn es la frecuencia natural de vibración y ζ es la razón de
amortiguamiento.
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Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Podemos expresar la solución de la ecuación homogénea teniendo en
cuenta estas variables
√
√
−ζωn +iωn 1−ζ 2 t
−ζωn −iωn 1−ζ 2 t
yh (t) = A1 e
+ A2 e
donde se ha considerado que c 2 − 4mk < 0. En caso contrario el sistema
no es estable.
Definimos ahora otra nueva variable, la frecuencia natural amortiguada
p
def
ωd = ωn 1 − ζ 2 [rad/s]
por lo que
yh (t) = A1 e (−ζωn +iωd )t + A2 e (−ζωn −iωd )t
Solución particular
Una solución particular de (2) es
yp (t) =
F0
k
Solución final
Finalmente
y (t) = yh (t) + yp (t) = A1 e (−ζωn +iωd )t + A2 e (−ζωn −iωd )t +
F0
k
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Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
la velocidad se obtiene derivando
ẏ (t) = A1 (−ζωn + iωd ) e (−ζωn +iωd )t + A2 (−ζωn − iωd ) e (−ζωn −iωd )t
Ahora podemos sustituir las condiciones iniciales, y (0) = y0 , ẏ (0) = ẏ0
y (0) = A1 + A2 +
F0
= y0
k
ẏ (0) = A1 (−ζωn + iωd ) + A2 (−ζωn − iωd ) = ẏ0
La solución de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
ωd y0 − Fk0 − i ζωn y0 − Fk0 + ẏ0
A1 =
2ωd
F0
ωd y0 − k + i ζωn y0 − Fk0 + ẏ0
A2 =
2ωd
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Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Sustituyendo
!
F0
y
−
ζω
+
ẏ
F0
F0
0
n
0
k
e −ζωn t cos ωd t+
e −ζωn t sen ωd t+
y (t) = y0 −
k
ωd
k
(3)
ẏ (t) = ẏ0 e
−ζωn t
cos ωd t −
!
ωn y0 − Fk0 + ζ ẏ0
p
e −ζωn t sen ωd t
1 − ζ2
(4)
y la aceleración se obtiene sustituyendo en (2)
ÿ (t) =
1
(F0 − c ẏ (t) − ky (t))
m
(5)
13
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Ejemplo
Calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador de un
grado de libertad sometido a vibración libre.
Un sistema está sometido a vibración libre cuando la fuerza externa es
nula. Por tanto las ecuaciones de equilibrio se obtienen a partir de (1)
mÿ (t) + c ẏ (t) + ky (t) = 0
(6a)
y (0) = y0 ,
(6b)
ẏ (0) = ẏ0
y la solución se obtiene fácilmente de las ecuaciones (3) y (4)
ζωn y0 + ẏ0
−ζωn t
sen ωd t
y (t) = e
y0 cos ωd t +
ωd
"
!
#
ωn y0 + ζ ẏ0
−ζωn t
p
ẏ0 cos ωd t −
sen ωd t
ẏ (t) = e
1 − ζ2
ÿ (t) = −
1
(c ẏ (t) + ky (t))
m
(7)
(8)
(9)
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Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
1
y (m)
0.5
0
−0.5
−1
0
5
10
15
10
15
10
15
t (s)
10
v (m/s)
5
0
−5
−10
0
5
t (s)
a (m/s2)
40
20
0
−20
−40
0
5
t (s)
Figura: Vibración libre de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn = 2π rad /s,
ζ = 0,025, y0 = 1 m, ẏ0 = 0 m/s.
15
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Ejemplo
Calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador de un
grado de libertad sometido a una fuerza escalon.
Figura: Fuerza escalon
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Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
La respuesta se divide en:
◮ t0 ≤ t ≤ t1 Vibración forzada con F (t) = F0 . Por lo tanto:
!
ζωn y0 − Fk0 + ẏ0
F0
F0
−ζωn t
e
cos ωd t+
e −ζωn t sen ωd t+
y (t) = y0 −
k
ωd
k
!
ωn y0 − Fk0 + ζ ẏ0
p
e −ζωn t sen ωd t
ẏ (t) = ẏ0 e −ζωn t cos ωd t −
1 − ζ2
1
ÿ (t) = (F0 − c ẏ (t) − ky (t))
m
en t1 la posicion y la velocidad y seran y (t1 ) y ẏ (t1 ).
◮ t ≥ t1 Vibración libre con condiciones iniciales y (t1 ) y ẏ (t1 ).
ζωn y (t1 ) + ẏ (t1 )
−ζωn (t−t1 )
y (t1 ) cos ωd (t − t1 ) +
y (t) = e
sen ωd (t − t1 )
ωd
!
#
"
ωn y (t1 ) + ζ ẏ (t1 )
−ζωn (t−t1 )
p
sen ωd (t − t1 )
ẏ (t1 ) cos ωd (t − t1 ) −
ẏ (t) = e
1 − ζ2
1
ÿ (t) = − (c ẏ (t) + ky (t))
m
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Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
F(t) (N)
15
10
5
0
0
5
10
15
t (s)
20
25
30
0.5
y (m)
F0/k
0
−0.5
0
5
10
15
t (s)
20
25
30
0
5
10
15
t (s)
20
25
30
0
5
10
15
t (s)
20
25
30
v (m/s)
2
0
−2
a (m/s2)
10
0
−10
Figura: Vibración de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn = 2π rad /s,
ζ = 0,025, y0 = 0 m, ẏ0 = 0 m/s, F0 = 10 N.
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Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Solución para una fuerza cualquiera. Método incremental.
Vamos a calcular ahora la respuesta del sistema para una fuerza
cualquiera F (t). Para ello se tiene que resolver la ecuación diferencial (3)
utilizando tecnicas numericas.
◮ Métodos de integración de escuaciones diferenciales:
Newton-Raphson, diferencias finitas, ...
◮ Métodos específicos para dinámica de estructuras: método de
Newmark, método de Wilson,...
Nosotros vamos a utilizar uno muy sencillo, el método incremental. Para
ello aproximamos F (t) en escalones, como en la figura:
19
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Para ti ≤ t ≤ ti+1
F (t) =
F (ti ) ti ≤ t ≤ ti+1
0 resto
Además tenemos las condiciones iniciales yti , ẏti y ÿti . Por tanto
F (ti )
e −ζωn (t−ti ) cos ωd (t − ti )
y (t) = y (ti ) −
k


i)
ζωn y (ti ) − F (t
+ ẏ (ti )
k
 e −ζωn (t−ti ) sen ωd (t − ti ) + F (ti )
+
ωd
k
ẏ (t) = ẏ (ti )e −ζωn (t−ti ) cos ωd (t − ti )

 ωn y (ti ) − F (tk i ) + ζ ẏ (ti )
 e −ζωn (t−ti ) sen ωd (t − ti )
p
−
1 − ζ2
1
(F (ti ) − c ẏ (t) − ky (t))
m
Con esas expresiones calculamos yti +1 , ẏti +1 y ÿti +1 y repetimos el proceso.
ÿ (t) =
20
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
F(t) (N)
200
0
−200
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
y (m)
10
0
−10
v (m/s)
50
0
−50
a (m/s2)
500
0
−500
Figura: Vibración de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn = 2π rad /s,
ζ = 0,025, y0 = 0 m, ẏ0 = 0 m/s, N = 128 puntos.
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Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Cálculo de la respuesta a un impulso
Sea una fuerza constante aplicada en ti hasta ti+1
Suponiendo que y (ti ) = 0, ẏ (ti ) = 0, entonces se tiene que en ti+1
ζωn
F0
−ζωn ∆t
−ζωn ∆t
1−e
cos ωd ∆t −
y (ti+1 ) =
e
sen ωd ∆t
k
ωd
"
!
#
ωn
F0
−ζωn ∆t
p
e
sen ωd ∆t
ẏ (ti+1 ) =
k
1 − ζ2
22
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Vamos a calcular la respuesta cuando ∆t → 0


n
1 − e −ζωn ∆t cos ωd ∆t − ζω
e −ζωn ∆t sen ωd ∆t
ωd
1

lim 
lim y (ti+1 ) =
∆t→0
k ∆t→0
∆t
′
L H ôpital
=
 ω2 1
lim 
k ∆t→0
n
ωd
e −ζωn ∆t sen ωd ∆t
1

=0
−ζωn ∆t
ωn
e
sen ωd ∆t
lim ẏ (ti+1 ) = p
lim
∆t→0
∆t
k 1 − ζ 2 ∆t→0
−ζω
∆t
n
−ζωn e
sen ωd ∆t + ωd e −ζωn ∆t cos ωd ∆t
ωn
L′ H ôpital
p
lim
=
1
k 1 − ζ 2 ∆t→0
ωn
1
= p
(0 + ωd ) =
m
k 1 − ζ2
23
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Es decir, cuando ti+1 → ti
1
m
Para t > ti+1 tenemos vibracion libre con condiciones iniciales y (ti+1 ),
ẏ (ti+1 ), es decir
1
e −ζωn (t−ti +1 ) sen ωd (t − ti+1 )
y (t) =
mωd
"
!
#
ζ
1
−ζωn (t−ti +1 )
cos ωd (t − ti+1 ) − p
sen ωd (t − ti+1 )
e
ẏ (t) =
m
1 − ζ2
y (ti+1 ) = 0,
ẏ (ti+1 ) =
Como hemos hecho ti+1 → ti
1
y (t) ≈
e −ζωn (t−ti ) sen ωd (t − ti )
mωd
"
!
#
ζ
1
−ζωn (t−ti )
e
cos ωd (t − ti ) − p
sen ωd (t − ti )
ẏ (t) ≈
m
1 − ζ2
24
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Estas ecuaciones representan la respuesta a una función impulso (delta de
Dirac) aplicada en ti (se suele representar como h(t − ti )), y la velocidad
debida a un impulso, ḣ(t − ti ). Para una delta aplicada en t=s
F (t) = δ(t − s) ⇒
1
y (t) = h(t − s) =
e −ζωn (t−s) sen ωd (t − s)
mωd
"
!
#
ζ
1
−ζωn (t−s)
cos ωd (t − s) − p
sen ωd (t − s)
e
ẏ (t) = ḣ(t−s) =
m
1 − ζ2
Obviamente, ambas respuestas están definidas para t ≥ s. Es inmediato
que
F (t) = Aδ(t − s) ⇒
y (t) = A · h(t − s)
t≥s
ẏ (t) = A · ḣ(t − s)
t≥s
25
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Vamos a calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador a
una fuerza F (t) utilizando la respuesta a un impulso.
◮
◮
◮
La respuesta en t debido a F (t1 )δ(t − t1 ) es y (t) = F (t1 )h(t − t1 ).
La respuesta en t debido a F (t2 )δ(t − t2 ) es y (t) = F (t2 )h(t − t2 ).
La respuesta en t debido a F (t1 )δ(t − t1 ) y F (t2 )δ(t − t2 ) es
y (t) = F (t1 )h(t − t1 ) + F (t2 )h(t − t2 )
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Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Siguiendo este razonamiento, la respuesta en t defido a F(t) es
Z s
F (s)h(t − s)ds
y (t) =
0
ẏ (t) =
Z
0
s
F (s)ḣ(t − s)ds
En definitiva, la respuesta del sistema es la covolución en el tiempo de
F (t) y h(t − s). También se conoce como integral de Duhamel.
Si sustituimos h(t − s) y ḣ(t − s) por su valor
Z t
F (s)
y (t) =
e −ζωn (t−s) sen ωd (t − s)ds
mωd
0
"
!
#
Z t
ζ
F (s)
−ζωn (t−s)
cos ωd (t − s) − p
e
sen ωd (t − s) ds
ẏ (t) =
m
1 − ζ2
0
27
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
0.2
0.15
0.1
h(t) (N/m)
0.05
1/(m*wd)e(−wn*z*t)
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
0
5
10
15
t (s)
20
25
30
Figura: Respuesta de un sistema de un gdl (m = 1 kg , ωn = 2π rad /s,
ζ = 0,025), a un impulso o delta de Dirac aplicado en t=0.
28
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
200
F(t) (N)
100
0
−100
−200
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
8
incremental
duhamel
6
y (m)
4
2
0
−2
−4
−6
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
Figura: Vibración de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn = 2π rad /s,
ζ = 0,025, y0 = 0 m, ẏ0 = 0 m/s, N = 128 puntos.
29
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
F(t) (N)
200
0
−200
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
y (m)
10
0
−10
v (m/s)
50
0
−50
a (m/s2)
500
0
−500
Figura: Posición, velocidad y aceleración.
30
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en
frecuencia
Si consideramos una fuerza armónica de frecuencia ω y con amplitud que
puede ser distinta para cada ω:
F (t) = F (ω)e iωt
la respuesta del sistema masa-muelle-amortiguador a una carga de este
tipo también es armónica de frecuencia ω:
y (t) = Y (ω)e iωt
⇒ ẏ (t) = iωY (ω)e iωt
⇒ ÿ (t) = −ω 2 Y (ω)e iωt
Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación de equilibrio
⇒ −mω 2 Y (ω)e iωt + icωY (ω)e iωt + kY (ω)e iωt = F (ω)e iωt
⇒ Y (ω) =
1
F (ω)
(k − mω 2 ) + icω
31
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
Se define entonces:
H(ω) =
1
(k − mω 2 ) + icω
Esta ecuación es la función de respuesta en frecuencia de un sistema
masa-muelle-amortiguador de un grado de libertad. Se cumple que
Y (ω) = H(ω)F (ω)
La velocidad se calcula de:
ẏ (t) = iωY (ω)e iωt ⇒ ẏ (t) = iωy (t)
Z ∞
Z ∞
ẏ (t)e −iωt dt =
iωy (t)e −iωt dt
⇒
−∞
−∞
⇒ Ẏ (ω) = iωY (ω)
De igual manera se tiene que:
Ÿ (ω) = −ω 2 Y (ω)
32
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
0.1
−1
0.04
0.08
−1.5
0.02
0
0.06
0.04
−0.02
0.02
−0.04
0
0
10
ω (rad/s)
20
0
0
10
ω (rad/s)
20
0
10
ω (rad/s)
20
−2
−2.5
−3
−3.5
0
10
ω (rad/s)
20
3.5
3
−0.02
θ(H(ω)) (rad)
Imag(H(ω)) (m/N)
|H(ω)| (dB ref 1 m/N)
0.06
|H(ω)| (m/N)
Real(H(ω)) (m/N)
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
−0.04
−0.06
2.5
2
1.5
1
−0.08
−0.1
0.5
0
10
ω (rad/s)
20
0
Figura: Función de respuesta en frecuencia de un sistema de un gdl con:
m = 1 kg , ωn = 2π rad /s, ζ = 0,025.
33
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
Relación entre h(t) y H(ω)
Consideremos de nuevo una fuerza armónica del tipo
F (t) = F (ω)e iωt ⇒ y (t) = Y (ω)e iωt
Por la integral de convolución sabemos que
Z ∞
Z ∞
y (t) =
F (s)h(t − s)ds =
F (t − τ )h(τ )dτ
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
iω(t−τ )
iωt
F (ω)e
h(τ )dτ = F (ω)e
=
e −iωτ h(τ )dτ
−∞
⇒ Y (ω)e iωt = F (ω)e iωt
−∞
Z
∞
e −iωτ h(τ )dτ
−∞
Y según la función de respuesta en frecuencia
Z ∞
Y (ω) = H(ω)F (ω) ⇒ H(ω) =
h(t)e −iωt dt
−∞
Luego H(ω) es la transformada de Fourier de h(t).
34
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
En realidad, la T. de Fourier la hemos definido como
Z ∞
1
H̃(ω) =
h(t)e −iωt dt ⇒ H(ω) = 2π H̃(ω)
2π −∞
Luego la función de respuesta en frecuencia, H(ω), es 2π veces la
transformada de Fourier de h(t), H̃(ω). En el caso discreto
H(ω) =
Z
∞
−∞
H(ωn ) =
N−1
X
h(t)e −iωt dt ⇒ H(ωn ) =
2πn
N−1
X
h(tk )e −iωn tk ∆t
k=1
h(k∆t)e −i ( N∆t )k∆t ∆t = ∆t
N−1
X
h(k∆t)e −i2πnk/N
k=1
k=1
⇒ H(ωn ) = ∆t H̃n
Es decir, si utilizamos matlat, la función de respuesta en frecuencia
discreta sería H(ωn ) = ∆t H̃nmatlab
35
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
Por tanto, el procedimiento para calcular la respuesta de un sistema
masa-muelle-amortiguador de un grado de libertad usando la función de
respuesta en frecuencia es:
◮ Calcular la TF de la fuerza, F (ω).
◮
◮
◮
Calcular la función de respuesta en frecuencia, H(ω).
Multiplicarlas y calcular Y (ω) = H(ω)F (ω).
Calcular la velocidad y la aceleración en frecuencias,
V (ω) = iωY (ω), A(ω) = −ω 2 Y (ω).
Calcular y(t), v(t), a(t) con la transformada inversa de Fourier.
Hay que tener cuidado con la construcción de la H(ω) discreta, H(ωn ).
Hay dos opociones:
◮
1. Calcular la transformada de Fourier discreta de h(tk ).
2. Construir H(ωn ) a partir de la fórmula de H(ω). Hay que tener
cuidado con esta opción como se observa en la figura siguiente
(recordad que a partir de la frecuencia de Nyquist, la transformada
de Fourier discreta tiene que cumplir H( N +r ) = H ∗N −r )
(2 )
2
36
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
h(tk) (N/m)
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
0
2
4
6
Parte imaginaria
0.1
T.Fourier h(t) (m/N)
0.2
fnq
0
−0.1
−0.2
0
20
ω (rad/s)
40
60
0.2
0.1
−0.1
−0.2
0.2
0.1
0.1
0
−0.1
−0.2
0
20
ω (rad/s)
40
60
fnq
0
0.2
H(ω) (m/N)
H(ω=ωn) (m/N)
T.Fourier h(tk) (m/N)
t (s)
Parte real
0
20
0
20
ω (rad/s)
40
60
40
60
0
−0.1
−0.2
ω (rad/s)
Figura: Función de respuesta en frecuencia de un sistema de un gdl con:
m = 1 kg , ωn = 2π rad /s, ζ = 0,025, obtenidas a partir de la TF de h(t) y a
partir de la fórmula teórica.
37
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
200
F(t) (N)
100
0
−100
−200
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
8
incremental
duhamel
FRF
6
y (m)
4
2
0
−2
−4
−6
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
Figura: Vibración de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn = 2π rad /s,
ζ = 0,025, y0 = 0 m, ẏ0 = 0 m/s, N = 128 puntos.
38
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
F(t) (N)
200
0
−200
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
y (m)
10
0
−10
v (m/s)
50
0
−50
a (m/s2)
500
0
−500
Figura: Posición, velocidad y aceleración.
39
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
Distintas funciones de respuesta en frecuencia
Se tiene que
H(ω) =
1
(k − mω 2 ) + icω
Eliminando los complejos del denominador queda:
H(ω) =
(k − mω 2 ) − icω
(k − mω 2 )2 + (cω)2
Se define la función de ganancia como el módulo de la función de
respuesta en frecuencia:
p
p
|H(ω)| = H(ω)H ∗ (ω) = (Re H)2 + (Im H)2
1
|H(ω)| = p
(k − mω 2 )2 + (cω)2
40
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
Existen otras relaciones, como por ejemplo
◮
Relacion entre la velocidad y la fuerza excitadora:
Ẏ (ω) = H1 (ω)F (ω)
iω
(k − mω 2 ) + icω
ω
|H1 (ω)| = p
= ω|H(ω)|
(k − mω 2 )2 + (cω)2
H1 (ω) =
◮
Relacion entre la aceleración y la fuerza excitadora:
Ÿ (ω) = H2 (ω)F (ω)
H2 (ω) =
−ω 2
(k − mω 2 ) + icω
ω2
|H2 (ω)| = p
= ω 2 |H(ω)|
(k − mω 2 )2 + (cω)2
41
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
◮
Relacion entre la fuerza transmitida a la base y la fuerza excitadora:
FB (ω) = HFB (ω)F (ω)
Como
T .F .
FB (t) = ky (t) + c ẏ (t) =⇒ FB (ω) = kY (ω) + c Ẏ (ω)
k + icω
(k − mω 2 ) + icω
p
k 2 + (cω)2
p
|HFB (ω)| =
(k − mω 2 )2 + (cω)2
HFB (ω) =
42
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a movimientos de la base
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a
movimientos de la base
Vamos a estudiar ahora el sistema masa-muelle-amortiguador cuando
está sometido a un movimiento de la base:
Esto ocurre, por ejemplo, en un terremoto. La fuerza en el muelle y en el
amortiguador son proporcionales al movimiento relativo. Si definimos:
y (t) = ym (t) − yB (t)
43
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a movimientos de la base
Sustituyendo en la ecuación de equilibrio
Figura: Equilibrio de fuerzas.
Aplicando la 2a Ley de Newton (según el principio de D’Alambert, la
fuerza mÿm (t) tiene sentido opuesto al movimiento)
X
F (t) = mÿm (t) ⇒ Fc (t) + Fk (t) = −mÿm (t)
Sustituyendo cada fuerza por su valor
c ẏ (t) + ky (t) = mÿm (t) = −m(ÿ (t) + ÿB (t))
mÿ (t) + c ẏ (t) + ky (t) = −mÿB (t)
44
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a movimientos de la base
En frecuencias se pueden definir, por ejemplo, las siguientes relaciones:
◮ Relacion entre el desplazamiento relativo y la aceleración de la base:
T .F .
F (t) = −mÿB (t) =⇒ F (ω) = −mŸB (ω)
◮
Y (ω) = H(ω)F (ω) = H1 (ω)ŸB (ω)
−m
H1 (ω) =
(k − mω 2 ) + icω
m
|H1 (ω)| = p
= m|H(ω)|
(k − mω 2 )2 + (cω)2
Relacion entre la aceleración relativa y la aceleración de la base:
Ÿ (ω) = −ω 2 Y (ω)
Ÿ (ω) = H2 (ω)ŸB (ω)
H2 (ω) =
mω 2
(k − mω 2 ) + icω
mω 2
|H2 (ω)| = p
(k − mω 2 )2 + (cω)2
45
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas
aleatorias
En este apartado vamos a calcular la respuesta de un sistema
masa-muelle-amortiguador cuando la carga que excita el sistema es un
proceso estocástico (carga aleatoria).
Partimos de la respuesta del sistema ante cualquier carga:
Z t
y (t) =
F (s)h(t − s)ds
−∞
Otra forma de expresar la integral de convolucion se obtiene haciendo
θ =t −s
Z t
y (t) =
F (t − θ)h(θ)dθ
−∞
Esta formula es el punto de partida de para los resultados obtenidos en
este apartado.
46
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
Media de la respuesta
Si la carga que excita el sistema es un proceso estocástico (carga
aleatoria), se calcula la media de la respuesta como
µY (t) = E (y (t))
Z t
Z
=E
F (t − θ)h(θ)dθ =
=
Z
t
−∞
h(θ)µF dθ = µF
−∞
Z
t
t
−∞
E [F (t − θ)] h(θ)dθ
h(θ)dθ
−∞
A medida que t aumenta, µY (t) se aproxima a un valor límite. De hecho
Z t
Z ∞
µF
µY = lim µF
h(θ)dθ = µF
h(θ)dθ = µF H(0) =
t→∞
k
−∞
−∞
ya que
H(ω) =
Z
∞
−∞
h(t)e iωt dt =
1
(k − mω 2 ) + icω
47
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
Función de autocorrelación de la respuesta
Z t
Z s
RY (t, s) = E [Y (t)Y (s)] = E
h(u)F (t − u)du
h(v )F (s − v )dv
−∞
−∞
Z t Z s
=E
h(u)h(v )F (t − u)F (s − v )dudv
=
=
Z
Z
t
−∞ −∞
Z s
−∞
t
−∞
−∞
s
Z
−∞
h(u)h(v )E [F (t − u)F (s − v )] dudv
h(u)h(v )RF (t − u, s − v )dudv
Cuando la fuerza es un proceso estacionario
Z t Z s
RY (t, s) = RY (s − t) =
h(u)h(v )RF (s − t − (v − u))dudv
−∞
−∞
Y a medida que t, s → ∞, siendo τ = s − t:
Z ∞Z ∞
h(u)h(v )RF (τ + u − v ))dudv
RY (τ ) =
48
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
Funcion de densidad espectral de la respuesta
La función de densidad espectral de la respuesta es la transformada de
Fourier de la función de autocorrelación
Z ∞
1
SY (ω) =
RY (τ )e −iωτ dτ
2π −∞
Z ∞ Z ∞ Z ∞
1
=
h(u)h(v )RF (τ + u − v ))dudv e −iωτ dτ
2π −∞ −∞ −∞
= H(−ω)H(ω)SF (ω)
Como h(t) es real, se cumple que:
H(ω) = H(−ω)∗
y por lo tanto
SY (ω) = |H(ω)|2 SF (ω)
Esta ecuacion es muy importante. Nos dice que la funcion de densidad
espectral de la respuesta del sistema es igual a la funcion de densidad
espectral de la fuerza multiplicada por el modulo de la funcion de
respuesta en frecuencia.
49
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
◮
◮
Fijaos que para calcular la función de autocorrelación hay que
calcular una integral doble; sin embargo, para calcular SY (ω) no
hace falta ninguna integral. Por tanto, es mas comodo obtener
RY (τ ) como la transformada de Fourier inversa de SY (ω).
La varianza de la respuesta se calcula como el área bajo la función
de densidad espectral
Z ∞
Z ∞
σY2 =
SY (ω)dω =
|H(ω)|2 SF (ω)dω
−∞
−∞
50
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
|H(ω)|
Ft = Wt + Wt−1
Ft = 0.75Ft−1 − 0.50Ft−2 + Wt
0.02
0.02
0.01
0.01
0
0
2
4
6
8
10
GF(ω)
1.5
0
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
ω (rad/s)
8
10
20
1
10
0.5
0
0
2
4
6
8
10
0
−3
Gy(ω)
6
x 10
0.02
4
0.01
2
0
0
2
4
6
ω (rad/s)
8
10
0
Figura: Funcion de densidad espectral de la respuesta de un sistema de 1 gdl
(m = 1 kg , ωn = 2π rad /s, ζ = 0,10).
Interpretación de la RESONANCIA!
51
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
Respuesta del sistema masa-muelle-amortiguador a ruido
blanco
Si consideramos que la fuerza es ruido blanco, se puede poner
SF (ω) = S0 ,
−∞ < ω < ∞
GF (f ) = G0 = 4πS0 ,
0<f <∞
y la funcion de autocorrelacion es la transformada de Fourier inversa de
SF (ω)
RF (τ ) = 2πS0 δ(τ )
Claramente, un proceso de ruido blanco asi definido es imposible ya que
implica que
Z ∞
Z ∞
SF (ω)dω =
S0 dω → ∞
σF2 =
−∞
−∞
El proceso estocástico de ruido blanco es una idealización, pero es útil en
análisis dinámicos.
52
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
Para ciertos sistemas, la respuesta a un ruido blanco es finita.
Consideremos por ejemplo un sistema masa-muelle-amortiguador. Si la
fuerza es ruido blanco
S0
SY (ω) = |H(ω)|2 SF (ω) = p
(k − mω 2 )2 + (cω)2
Por lo tanto, la funcion de densidad espectral de la respuesta, SY (ω),
tiene la misma forma que |H(ω)|2 , y esta escalada por S0 . La varianza de
la respuesta es
Z ∞
Z ∞
SY (ω)dω = S0
σY2 =
|H(ω)|2 dω
−∞
−∞
En determinados casos, esa integral se puede calcular de manera exacta:
53
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
Para sistemas estables con funcion de transferencia de la forma
Hn (ω) =
B0 + (iω)B1 + (iω)2 B2 + · · · + (iω)n−1 Bn−1
A0 + (iω)A1 + (iω)2 A2 + · · · + (iω)n An
la integral del módulo de Hn (ω)
Z
In =
∞
−∞
|Hn (ω)|2 dω
está dada por
n = 1 ⇒ I1 = π
n = 2 ⇒ I2 = π
n = 3 ⇒ I3 = π
B02
A0 A1
A0 B12 + A2 B02
A0 A1 A2
A0 A3 (2B0 B2 − B12 ) − A0 A1 B22 − A2 A3 B02
A0 A3 (A0 A3 − A1 A2 )
54
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
Por tanto, ya podemos calcular la integral que buscábamos
Z ∞
Z ∞
σY2 =
SY (ω)dω = S0
|H(ω)|2 dω
−∞
−∞
Sabemos que
H(ω) =
B0 + (iω)B1
1
=
(k − mω 2 ) + icω
A0 + (iω)A1 − ω 2 A2
y por tanto
Finalmente
B0 = 1, B1 = 0, A0 = k, A1 = c, A2 = m.
Z ∞
A0 B12 + A2 B02
π
|H(ω)|2 dω = π
=
A0 A1 A2
kc
−∞
σY2 = S0 (rad/s)
π
G0 (Hz)
=
kc
4kc
55
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
Aproximación de una fuerza estocástica por ruido blanco
Sea un sistema masa-muelle-amortiguador sometido a una fuerza F (t)
estocástica, de media cero y función de densidad espectral unilateral
GF (f ). La varianza de la respuesta es (varianza exacta)
Z ∞
σY2 =
|H(ω)|2 GF (f )df
−∞
Si se cumple que
1. GF (f ) es suave en el entorno de fn .
2. El amortiguamiento es pequeño (ζ ≤ 0,20).
Entonces podemos aproximar GF (f ) por ruido blanco de valor igual a
GF (fn ), por lo que
GF (fn )
σY2 ≈
4kc
56
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
Esta aproximación se entiende mejor en la siguiente figura
57
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
Ejemplo
El sistema mostrado en la figura está sometido en su base a una
aceleración aleatoria con función de densidad espectral igual a la indicada.
Se sabe que la frecuencia natural del sistema es 8 Hz, y además, para
determinar el amortiguamiento se realizó un experimento de vibración
libre, observando que la amplitud máxima de oscilación disminuyó de
0.80 cm a 0.40 cm en 5 ciclos. Determinar la varianza del desplazamiento
del sistema (desplazamiento relativo de la masa y del suelo).
58
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
La ecuación que gobierna el movimiento relativo de la masa con respecto
al suelo es
mÿ (t) + c ẏ (t) + ky (t) = −mÿB (t)
y la varianza de y (t) se calcula como el área bajo la densidad espectral
de y (t):
Z ∞
σY2 =
|H(ω)|2 SF (ω)dω
−∞
Por otro lado sabemos que la función de respuesta en frecuencia entre la
aceleración de la base y el movimiento relativo es:
−m
−m
=
H(ω) =
2
2
(k − mω ) + icω
(k − mω ) + i2ζmωn ω
−m
−1
k
=
=
m
m 2
2
(1 − k ω ) + i2ζ k ωn ω
ω 2 1 − ω + i2ζ ω
ωn2
n
⇒ |H(ω)|2 =
ωn4
1−
ω2
ωn2
1
2
+
2ζ ωωn
2 ωn
59
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
Necesitamos conocer el amortiguamiento. Para ello sabemos que se ha
hecho un ensayo de vibración libre y se mide el desplazamiento pico. En
vibración libre tenemos que
ζωn y0 + ẏ0
−ζωn t
sen ωd t
y0 cos ωd t +
y (t) = e
ωd
Supongamos que el primer pico se produce en t = t1 . Entonces
ζωn y0 + ẏ0
−ζωn t1
, A = max y0 cos ωd t +
y (t1 ) = Ae
sen ωd t
ωd
El segundo pico se producirá en t = t1 + T , donde T es el periodo
ωd = 2π
T (consideramos los picos con el mismo signo)
y (t2 ) = Ae −ζωn (t1 +T )
y el pico n-ésimo (n ciclos)
y (tn ) = Ae −ζωn (t1 +nT ) = Ae −ζωn t1 e
ωn
−ζ2πn ω
d
= y (t1 )e
−2πn √
ln y (t1 ) − ln y (tn )
ln 0,8 − ln 0,4
=
= 0,0221
2πn
2π5
p
donde se ha utilizado que 1 − ζ 2 ≈ 1 ya que ζ ≪.
ζ
1−ζ 2
⇒ζ=
60
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
Ahora podemos calcular la función de densidad espectral del movimiento
relativo y por tanto, la función de densidad espectral de la respuesta
Z ∞
2
2
GY (ω) = |H(ω)| GF (ω) ⇒ σY =
|H(ω)|2 GF (ω)dω
0
2
GF
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
f (Hz)
20
25
30
5
10
15
f (Hz)
20
25
30
5
10
15
f (Hz)
20
25
30
−4
x 10
|H(f)|2
1.5
1
0.5
0
0
−4
x 10
Gy
1.5
1
0.5
0
0
El área se puede calcular fácilmente utilizando integración numérica (por
ejemplo, el método del trapecio). El resultado es
Z ∞
N−1
X Gy (fn+1 ) + Gy (fn )
2
∆f ≈ 6,6056 · 10−5 m2
σY =
Gy (f )df =
2
0
n=0
61
Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias
También se puede resolver teniendo en cuenta que la función de densidad
espectral de la entrada es constante en el entorno de ωn , luego podemos
aproximar la entrada por ruido blanco:
Z ∞
Z ∞
|H(ω)|2 SF (ωn )dω = SF (ωn )
|H(ω)|2 dω
σY2 ≈
Sabemos que
−∞
H(ω) =
y por tanto
−∞
B0 + (iω)B1
−m
=
2
(k − mω ) + icω
A0 + (iω)A1 − ω 2 A2
B0 = −m, B1 = 0, A0 = k, A1 = c, A2 = m.
Z ∞
πm2
A0 B12 + A2 B02
=
|H(ω)|2 dω = π
A0 A1 A2
kc
−∞
Finalmente
GF (fn )
GF (fn )πm2
SF (ωn )πm2
=
=
= 6,6817 · 10−5 m2 .
σY2 =
kc
4πk2ζmωn
1984ζfn3
donde fn = 8 Hz, y G (8) = 1,5 m2 /s 2 /Hz.
62