TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE BROUW ER

!
"
#
$
%!
+
!
!
& %' ( → (
%
(
) ∈ (
,
-
( .
%
%) *)
%
%!
&
%
!
%!
$
%
!
(
%
&
!
.
$
%!
-
!
2
(
!
%!
(
%0
%!
!
)
%
%
(* /0 1
%
%) *)
&
2
%
4 %
(* / 0 1$ / 31
& %' / 0 1$ / 31→ / 0 1$ / 31
5
%!
(
2
:
!
(* 0
&
)
5
: (
67
77%
!
, "
!
8
93 '
&
;4
<
=
)
(
(
:
!
%
%
;
5
>
?
(
&
)
%!
)
!
5
!
,
×
(
%
0
0
&
=
%!
!
* /0 1 4
)
2
&
,
%!
@
:
-
;
'
=
%
'( → A
( %
−
−
) ∈(
)
−
%
)
%'A → A
%
=
'( → (
(
−
*)
* A
%
) *)
%
%
%! B
'( → A
( %
A
)'
(
'( → (
% * D
)∈A ⊆ (
) *)
A
%'A → A
C
( %
) *)
@
) *)* )
B
A
&
+
&
)
−
4
A
%
%
%
&
%'
→
2
%
)
&
%!
&
2
−
%!
!
! " #$
! " #%
&'
! " # ! "(
(
)
*
!"
#%
&'"
*
"
−
E,
'+
→
&
F
'
F
→ +
)
& 2
'
+
=+ G
−
=
H
K
I

→
F
I

→H
F
H
F
I
0 
→ K
→
OP
F
I
I

→H
+
F
JK
H + J0
L
I*M IN
K
→ 0
0
K
I
F
F
I 0 *0
&
I* IN
KB
E,
&
%) Q)
−
'
)
'
−
=
%' + → +
)
%) Q ) ∀ ) ∈ (
%
Q0
−
A
&
%
4
%
%!
&
%
)∈+
%)
&)
F
&
=
−
!
%
@
' * )F%) λ ) R %)
.
)
λ )
)
−
&
λ )
)
*=
%
%)
N
NN
N
*
)
λ )
N
N)F%) λ ) R %) N
N*
λ
−
+
=(
+
)
−
λ )*
=
[
λ
−
=
&
λ )
!
]±
−
=
−
S
−S
=
−
=
−
=
−
=
%
T
λ
)
F
−
S
=
%!
4
−S
− U0 λ &
−
=
%
)
=
H
%
2
%
%!
−
)
%!
B
M
%
=
%
5
-
%
-
=
%
H
&
F
F
+
2
%
R
{
0
@
&
}
%
@
0
0
0
0
≠
=
(
)
0
T
F
&
&
+
!
*
"
,
={
={
',
}
0
}
V
0
*
*
! )
{
}
0
*
V
0
.
",
={
={
=
0
+
−
V
0
}
0
}
V
0
∈!
@
=
+
&
V
0
0
∈ 0
!
T
−
F
{
-
}
=0
B
T
&
−
%
%
F F
<
%
<
&
%
T
%
=
%
F F
=
)
F F
$
%
&
-
%
&
F F
=
−
&
.
&
&
,
%
−
'
& T
−
%
%
!
&
%
'
%
%
@
@
=
=
-
→
%
)
−
%
&
&
"
&
%
&
*
F F
C
&
=
@
*
= !
F
@
%
*
/
F F
5
=(
-
)
=
&
0
(
4
)
(
0
(
%
=(
0
=
V
0
(
)
)
0 T
%
F F
V
0
0
F
0 T
T
1
3
@
&
%
W
&
@
T
%
=
-
F F
W
*
-
F
0
&
C
&
3
−
@
0
1
F F
/ 1
&
%
T
)
V
0
-
-
)
'
0
%
F F
)
V
0
V
0
H
.
0=(
F F
0
F F
&
F F
/
F F
F F
-
F F
%
-
%
@
* =
* T
T
%
=
F F
=
*
&
-
B
*
A
%
&
&
T
@
&
@
!
""
'
→
−
*
ε >0
∈
* −
)
−
∈
)
.
* <ε
2
3
*
=
+
!
&
"#
V
+
=
%
V
&
T
&
&
-
F F
−
%
!
F F
F F
+
&
%
F F
5
-
%
V
@
=
V
%
-
4
−
+
=
%
3
=
3
&
B
T
'
−
'
4
−
→
→
−
'
"$
0 =
%
<δ
−4 *
)
4 X
∈+
<
−
V
=
=
%
<δ T
&
4
ε >0
<ε
−
+
∈
4 X
%
&
=
+
B
2
%
"
!
"%
'
−
→
−
#
−
&
ε >0
Y!
*∈
δ >0
4
<ε
V
×+
∈+
4 X
∈
&
4
∃δ > 0
33
−4
−
−
4
%
4
×+ →
∈
T
-
−
T
− * <δ
%
%
=
4'
ε=
T
4
−
→
−
=
4
−
=
−
V
&
=
4
−
→
'
V
)
&
=
−
%
%
−
4'
=
&
×+ →
V
−
0
B
"&
−
)
&
%
&
−
)
2
−
→
'
&
&
=
2
%
&
'
3Z
0
−
−
→
&
%
−
3[4
B
&
!
"
H
%
%
%
&
&
&
,
!
5
&
−
C
%
−
&
%! 5
%
-
)
%!
5
%
F
C
%!
&
6 →6
↓
↑
−
→
\
%
&
%!
%
-
%
'
=
−
@
= =
%!
C
&
→
F
778 → 9
6
:
5
,
%
&
-
F
;0
< )
)
3
;0
.
=
)
,
&
%
F
&
)
,
)
)
>
,
*
!
.
#
)
,
3
.
)
.
)
.
3
3
;0
3
!
)
'
,
)
)
2
,
)
4
!
'
#
-
2
&
)
3
)
!
#
- 2
3
=
-
C
4
%
2
2
M
M
+ + 9= @ =
4
-
+
$
-
&
?= > @
!
&
B
C
&
5
*
F
4
&
&
!
*
4
!
&
&
%
&
=
F
%
E
-
-
-
,
&
)
4
%
=
F
'
!
5
&
-
%
F F
D
-
!
-
)
4
%
%
@
-
+
F F
@
&
&
=
> ?
)
&
> ?
C
@
> ?
T
)
4
)
T
> ?
> ?
T T
)
> R? )
-
T
)
> ?
@
=
T =
T 2
)
T
> R? )
> R* R?
> ?
"
&
5
-
)
S
@
@
-
%
H
=
&
F-
-
4
&
&
%
&
-
)
&
@
F
F F
&
&
T
4
%
S
)
@
&
#
/
()()*
∈ ;0
A
B>
C;
E⊆
D
=
/ ≠Φ
=
/
F
B
<.T D=EF<$ETD]^ <MFWTEK$<M=^ M5K
-
F
C
&
F
?F → 0 =
F
%
T
&
4
-
&
&
>
-
?
5
F
C
,
%!
F
&
&
-
!
*F
;0
& 2
-
* F → *I T
&
!
;0
&
"
&
&
&
B
= @
%!
"
=
#
%
C
'
0
→
%
∈
&
-
:
:
F
=0
*
=0
C
/ ={ ∈
∈ ;0
!
G
> 0}
≤
2
%
/
&
=
>
<F<FW
? D
&
F
∈
)
&
>
>
,
&
∀ ∈ ;0
?
>?
P ⊆
O
,
=
& U
C
/
O
P
)
F
-
-
5
&
>0
$
,
&
%
)∈
D
/
)
∈; 0
<
&
,
%
=
∀ ∈ ;0
,
B
+ !+ ,-./0.
•
T HTD5H=E T
•
` ^ CM5< H
•
^
•
` W$.<E=
•
W H=.4= T
WT
T
=A T "
D
_
&
>?
F
2
)
%) *) H
!
%!
%!
"
#