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Pruebas de Hipótesis
1. Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas
es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6.
¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen
fue de 6, con un nivel de confianza del 95%?
1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H0 : μ = 6
La nota media no ha variado.
H1 : μ ≠ 6
La nota media ha variado.
2. Zona de aceptación
Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico: z α /2 = 1.96.
Determinamos el intervalo de confianza para la media:
(6-1,96 · 0,4 ; 6+1,96 · 0,4) = (5,22 ; 6,78)
3. Verificación.
Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 .
4. Decisión
Aceptamos la hipótesis nula H 0 , con un nivel de significación del 5%.
2. Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de las nueces están
vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías.
Soluciones:
1 Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la
marca?
1 Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H 0 : p ≤ 0.06
H 1 : p >0.06
2Zona de aceptación
α = 0.01
z α = 2.33.
Determinamos el intervalo de confianza:
3Verificación.
4Decisión
Aceptamos la hipótesis nula H 0 . Con un nivel de significación del 1%.
2 Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que están vacías y 1 -α = 0.95,
¿qué tamaño muestral se necesitaría para estimar la proporción de nueces con un
error menor del 1% por ciento?
1 - α = 0, 9 5z α /2 = 1, 96
3. La duración de las bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue una
distribución normal con una desviación típica de 120 horas de duración. Su vida
media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se escoge al azar una
muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una
vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01 , ¿habría que
rechazar el lote por no cumplir la garantía?
1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H 0 : µ ≥ 800
H 1 : µ <800
2.Zona de aceptación
α = 0.01; z α = 2.33
Determinamos el intervalo de confianza:
3.Verificación.
x = 750
4.Decisión
Rechazamos la hipótesis nula H 0 . Con un nivel de significación del 1%.
4. Un fabricante de lámparas eléctricas está ensayando un nuevo método de
producción que se considerará aceptable si las lámparas obtenidas por este
método dan lugar a una población normal de duración media 2400 horas, con una
desviación típica igual a 300. Se toma una muestra de 100 lámparas producidas
por este método y esta muestra tendrá una duración media de 2320 horas. ¿Se
puede aceptarr la hipótesis de validez del nuevo proceso de fabricación con un
riesgo igual o menor al 5%?
1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H 0 : μ = 2400
H 1 : μ ≠2400
2.Zona de aceptación
α = 0.05
z α = 1.96.
Determinamos el intervalo de confianza para la media:
3.Verificación.
Valor obtenido de la media de la muestra: 2320 .
4.Decisión
Rechazamos la hipótesis nula H 0 , con un nivel de significación del 5%
5. El control de calidad una fábrica de pilas y baterías sospecha que hubo
defectos en la producción de un modelo de batería para teléfonos móviles,
bajando su tiempo de duración. Hasta ahora el tiempo de duración en
conversación seguía una distribución normal con media 300 minutos y
desviación típica 30 minutos. Sin embargo, en la inspección del último lote
producido, antes de enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60
baterías el tiempo medio de duración en conversación fue de 290 minutos.
Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviación
típica:
¿Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un
nivel de significación del 2%?
1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H 0 : µ ≥ 300
H 1 : µ < 300
2.Zona de aceptación
α = 0.02; 1- α = 0. 98;
P(1.96)= 0. 98;
z α = 1.96 .
Determinamos el intervalo de confianza:
3.Verificación.
µ = 290
4.Decisión
Rechazamos la hipótesis nula H 0 . Con un nivel de significación del 2%.
6. Se cree que el nivel medio de protombina en una población normal es de 20
mg/100 ml de plasma con una desviación típica de 4 miligramos/100 ml. Para
comprobarlo, se toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de
18.5 mg/100 ml. ¿Se puede acept ar la hipótesis, con un nivel de significación del
5%?
1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H 0 : μ =20 mg/100 ml
H 1 : μ ≠ 20 mg/100 ml
2.Zona de aceptación
Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico: z α /2 = 1.96.
Determinamos el intervalo de confianza para la media:
3.Verificación.
Valor obtenido de la media de la muestra: 18.5.
4.Decisión
Rechazamos la hipótesis nula H 0 , con un nivel de significación del 5%.
Nota:
Los ejercicios que en los que se propone en la
respuesta H 0 : μ =#
H 1 : μ ≠ # , se pueden
resolver de la forma H 0 : µ = # H 1 : µ ≥< #, según
sea el caso, podrá ver que las respuestas son
cercanas a las propuestas.
Correlación Lineal
1. Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14,
20, 32, 42 y 44 kilos.
1 Hallar la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el
peso.
2 ¿Cuál sería el peso aproximado de un niño de seis años?
xi
yi
xi · yi
xi2
yi2
2
14
4
196
28
3
20
9
400
60
5
32
25
1 024
160
7
42
49
1 764
294
8
44
64
1 936
352
25
152
151
5 320
894
2. Un centro comercial sabe en función de la distancia, en kilómetros, a la
que se sitúe de un núcleo de población, acuden los clientes, en cientos,
que figuran en la tabla:
Nº de clientes (X) 8
7
6
4
2
1
Distancia (Y)
15 19 25 23 34 40
1 Calcular el coeficiente de correlación lineal.
2 Si el centro comercial se sitúa a 2 km, ¿cuántos clientes puede
esperar?
3 Si desea recibir a 500 clientes, ¿a qué distancia del núcleo de
población debe situarse?
xi
yi
x i ·y i x i 2
yi2
8
15
120
64
225
7
19
133
49
361
6
25
150
36
625
4
23
92
16
529
2
34
68
4
1 156
1
40
40
1
1 600
28
156
603
170
4 496
Correlación negativa muy fuerte.
3. Las notas obtenidas por cinco alumnos en Matemáticas y Química son:
Matemáticas
6
4
8
5
3. 5
Química
6. 5
4. 5
7
5
4
Determinar las rectas de regresión y calcular la nota esperada en Química
para un alumno que tiene 7.5 en Matemáticas.
xi
yi
x i ·y i
xi2
yi2
6
6. 5
36
42. 25
39
4
4. 5
16
20. 25
18
8
7
64
49
56
5
5
25
25
25
3. 5
4
12. 25
16
14
26. 5
27
153. 25
152. 5
152
4. Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:
Estatur
a (X)
18
6
18
9
19
0
19
2
19
3
19
3
19
8
20
1
20
3
20
5
Pesos
(Y)
85
85
86
90
87
91
93
10
3
10
0
10
1
Calcular:
1 La recta de regresión de Y sobre X.
2 El coeficiente de correlación.
3 El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.
xi
yi
xi2
yi2
x i ·y i
186
85
34 596
7 225
15 810
189
85
35 721
7 225
16 065
190
86
36 100
7 396
16 340
192
90
36 864
8 100
17 280
193
87
37 249
7 569
16 791
193
91
37 249
8 281
17563
198
93
39 204
8 649
18 414
201
103
40 401
10 609
20 703
203
100
41 209
10 000
20 300
205
101
42 025
10 201
20 705
1 950
921
380 618
85 255
179 971
Correlación positiva muy fuerte.
5. A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un
taller (X), y a unidades producidas (Y), determinar la recta de
regresión de Y
interpretarlo.
sobre
X,
el coeficiente
de
correlación
lineal e
Horas
(X)
80
79
83
84
78
60
82
85
79
84
80
62
Produc
ción (Y)
30
0
30
2
31
5
33
0
30
0
25
0
30
0
34
0
31
5
33
0
31
0
24
0
xi
yi
x i ·y i
xi2
yi2
80
300
6 400
90 000
24 000
79
302
6 241
91 204
23 858
83
315
6 889
99 225
26 145
84
330
7 056
108 900
27 720
78
300
6 084
90 000
23 400
60
250
3 600
62 500
15 000
82
300
6 724
90 000
24 600
85
340
7 225
115 600
28 900
79
315
6 241
99 225
24 885
84
330
7 056
108 900
27 720
80
310
6 400
96 100
24 800
62
240
3 844
57 600
14 880
936
3 632
73 760
1 109 254
285 908
Correlación positiva muy fuerte
Nota:
Aunque los procedimientos pueden diferir del visto
en clase las respuestas deben de coincidir.