CAPITULO 6 ANUALIDADES ANTICIPADAS OBJETIVO Al finalizar

CAPITULO 6 ANUALIDADES ANTICIPADAS
OBJETIVO
Al finalizar el estudio de este capitulo el estudiante podrá definir que es una anualidad anticipada.
La diferencia con la vencida, como resolver problemas que impliquen, Valor Presente, Valor Futuro,
Anualidades, Tasa de Interés y Número de Periodo
TEMAS
6.1
6.2
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.3
6.3.1
6.3.2
6.3.3
6.4
6.4.1
6.4.2
6.4.3
6.5
6.5.1
6.5.2
6.6
6.6.1
6.6.2
6.6.3
6.7
6.7.1
6.7.2
6.7.3
6.8
6.8.1
6.8.2
6.8.3
6.9
6.9.1
6.9.2
6.9.3
6.10
6.11
Introducción.
Cálculo del valor presente.
Utilizando la Fórmula.
Utilizando las tablas.
Utilizando La Calculadora H.P.
Cálculo de la Anualidad teniendo un presente.
Utilizando la fórmula.
Utilizando la Calculadora H.P.
Utilizando las tablas.
Cálculo del Número de Períodos.
Utilizando la fórmula.
Utilizando la Tabla.
Utilizando la Calculadora H.P.
Cálculo de la Tasa de Interés.
Utilizando la Tabla.
Utilizando la Calculadora H.P..
Valor Futuro.
Utilizando la Fórmula.
Utilizando las Tablas.
Utilizando la HP.
Cálculo de la anualidad teniendo un, Valor futuro
Utilizando la fórmula
Utilizando las tablas
Utilizando la Calculadora H.P.
Cálculo del número de Períodos.
Utilizando la Fórmula.
Utilizando las tablas.
Utilizando la calculadora H.P.
la tasa de interés
Utilizando las tablas.
Utilizando la Calculadora HP.
Interpelando.
Resumen de Fórmulas.
Problemas Resueltos.
6.1
INTRODUCCIÓN
Es los negocios es frecuente que los pagos se efectúen al comienzo de cada período, como es el
caso de los créditos Bancarios, Ventas a plazo, seguros etc.
La anualidad anticipada la podemos definir como una serie de pagos periódicos e iguales de
dinero que ocurren al comienzo de cada período, durante todo el plazo que dura la anualidad.
6.2
CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA.
6.2.1
Utilizando la Fórmula
P = Presente
A = Anualidad
[ (
n = Número de Periodos
P=A 1+
−( n−1)
1−( 1 +i )
i
)]
i = Tasa de Interés
Representación Gráfica
0
1
A
A
2
A
3
A
A
4
A
n
n1
A
Ejemplo: Si un inquilino paga $ 300.000 mensuales de arriendo anticipadamente y quiera pagar
los arriendos de todo el año y le reconoce un interés del 2% mensual ¿Cuánto debe pagar
por el año?.
Representación Gráfica
P
A
[ (
P=A 1+
i = 2%
A
A
−( n−1)
1−( 1 +i )
i
P = 300.000
A
A
A = 300.000
12 meses
A
)]
1 + 1 - ( 1+0.02 ) – (12-1)
0,02
n
P = 300.000
1 + 1- ( 1,02 )
-11
0,02
P = 300.000
1 + 1-0,804263
0,02
P = 300.000
1 + 9,786850
P = 300.000 ( 10,786850 )
P = 3.236055
Esto significa que si se realiza un solo pago debe cancelar $ 3.236055.
6.2.
UTILIZANDO LAS TABLAS
6.2.2
Utilizando las Tablas
Para calcular el valor presente de una anualidad anticipada, se hace con base en la notación
estándar que es P = A ( 1 + (P/A, i, n –1), la parte del paréntesis (P/A, i, n –1), es la notación
estándar para el cálculo del valor presente de una anualidad vencida la que se incluye es para un
n-1.
Para este caso el ejercicio anterior, se tiene una anualidad de $ 300.000, un n= 12 meses y
un interés del 2%, se busca en la tabla VI (Valores del factor VP de una anualidad ordinaria) para
un interés del 2% para n = 11 y el factor es $ 9.78684805 y lo reemplazamos en la notación
estándar.
P = A ( 1 + (P/A, i, n –1) )
P = 300.000 ( 1+( 9,78684805) )
P = 300.000 ( 10.78684805 )
P = 3.236.085
6.2.3
UTILIZANDO LA CALCULADORA H P
Se toma como base el ejemplo anterior, se tiene lo siguiente:
Primer Paso:
Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y da como resultado la siguiente
pantalla:
VDT
CONVI
F.CAJA
BONO
DEPREC.
Segundo Paso:
Se oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla:
12 PAGOS/AÑ: MODO FINAL
N
%IA
V.A
PAGO
VF
OTRO
Se oprime OTRO con el fin de pasar MODO FINAL a MODO INICIAL que significa anticipado; y
se oprime INICIAL y luego EXIT y da como resultado la siguiente pantalla:
12 PAGOS/AÑ: MODO INICIAL
N
%IA
V.A
PAGO
V.F
OTRO
Tercer Paso:
Se procede a incluir la información así:
Se escribe 12 en la pantalla y se oprime N, se escribe 24 en la pantalla y se oprime % IA, se
escribe $ 300.000 en la pantalla y oprimo +/- y luego PAGO y para pedir la respuesta oprimo
V.A. y da como respuesta en la pantalla V.A = 3.236.055.
6.3
CÁLCULO DE LA ANUALIDAD TENIENDO EL VALOR PRESENTE
6.3.1
UTILIZANDO LA FÓRMULA
P
A=
1+
(
1−(1 +i )−( n−1)
i
)
Representación Gráfica:
I = 2% Mensual
P = 3.236.055
1
2
3
4
A
A
A
A
5
A
6
A
7
A
A
8
n Meses
A
A = ¿?
Ejemplo: Un cliente del Banco se le otorga un crédito por $ 10.000.00 al 24% anual a 36
meses de plazo pagando cuotas mensuales anticipada, ¿Cuál es el valor de la cuota?
I = 2% Mensual
P = 10.000.000
1
2
3
A
A
A
A
4
A
5
A
6
A
7
A
8
A
9
A
10
A
35
A=?
P
A=
1+
P=
(
−( n−1)
1−(1 +i )
i
)
10.000.000
1 + 1-( 1,02)
– 35
0,02
P=
10.000.000
1 + 1-( 0,500028 )
PP =
= 384.636
384.636
0,02
P=
10.000.000
1
P=
+ 24,9986
10.000.000
25,9986
El cliente por el préstamo tiene que pagar 36 cuotas anticipadas de $ 384.636.
6.3.2
UTILIZANDO LA CALCULADORA H P
Se toma el ejemplo anterior:
Primer Paso:
Estando encendida la calculadora se oprime la tecla
pantalla:
VDT
CONVI
F.CAJA
FIN
BONO
y da como resultado la siguiente
DEPREC.
Segundo Paso:
Se oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla:
12 PAGO/AÑ: MODO INICIAL
N
%IA
V.A.
PAGO
V.F.
OTRO
Tercer Paso:
Se procede a incluir la información así:
Se escribe 10.000.000 en la pantalla y se oprime VA, se escribe 24 en la pantalla %IA, se escribe
24 y N y pulso PAGO y da como resultado en la pantalla así:
PAGO= 384.634,80
6.3.3 UTILIZANDO
LAS TABLAS
La notación estándar
para calcular el valor presente es P = A ( 1
+ (P/A, i, n –1), se despeja A, quedando de la siguiente manera:
A=
Esta es la notación estándar para calcular
una anualidad teniendo un valor presente
P
1 + (P/A, i, n –1)
Para el Ejemplo anterior que son 36 cuotas mensuales, se busca en la tabla VI para un interés del
2% y un n=35 y da un factor de 8 (24,99861933) y lo reemplazo en la notación estándar así:
A=
P
1 + (P/A, i, n –1)
A=
10.000.000
1 + 24,99861933
A=
10.000.000
AA==386.635,84
386.635,84
25,99861933
6.4
6.4.1
CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS
Utilizando la Fórmula
Fórmula n = 1 -
n = 1-
Log ( 1 + i - ( Pi )
A
Log ( 1 + i )
Log ( 1 + 0,015 - ( 5.000.000 x 0,015)
144.704,42
Log ( 1 + 0,015)
n=
1 - Log ( 1,015 - 0,518298)
Log ( 1,015)
n=
1 - Log ( 0,497609)
Log ( 1,015)
n=
1 -
n=
1 - ( - 47)
6.4.2
nn =
= 48
48
-0,30389797
0,006466042
UTILIZANDO LAS TABLAS
Para el cálculo del número de períodos, se hace con base en la notación estándar, para calcular el
valor presente que es P=A (1 + (P/A, i%, n-1) que es igual a P = A ( 1 + i )( P/A, i%, n ).
Ejemplo: Por un préstamo de $ 5.000.000, se pagan cuotas anticipadas de $ 144.704,43
mensuales, si el Banco cobro el 18% anual, ¿Cuántas meses debo pagar la cuota?
I = 1.5%
5.000.000
0 1
2
A
A
A
3
4
A
A
5
A
6
A
7
A
8
A
n=?
A
A = 144.704,43
Tenemos:
A = 144.704,43
P = 5.000.000
I = 1.5% Mensual
n=?
Si P = A ( 1 + i ) (P/A,i%, n ) reemplazamos:
5.000.000 = 144.704,43 ( 1 + 0,015 ) ( P/A, i%, n )
5.000.000 = ( P/A, i%, n )
144.704,43
5.000.000 = ( P/A, i%, n )
146.874,49
34,042556 = ( P/A, i%, n ) esto significa que se tiene que buscar para un interés del 1.5% un n
que sea 34.042556 o que este muy cerca de ese factor y al buscarlo en la tabla VI (Valores del
factor VP de una anualidad ordinaria) y da 48 períodos o meses, si el número no es exacto, se
busca un número mayor y un número menor e interpolamos.
6.4.3 UTILIZANDO LA CALCULADORA HP.
Tomando como base el ejemplo anterior
Primer Paso:
Estando encendida la Calculadora oprimimos la tecla
FIN
y da como resultado la siguiente
pantalla:
VDT
CONVI
F.CAJA
BONO
DEPREC.
Segundo Paso:
Se oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla:
12 PAGO/AÑ: MODO FINAL
N
%IA
V.A
PAGO
VF
OTRO
Tercer Paso:
Se procede a incluir la siguiente información así :
Se escribe 5.000.000 en la pantalla y oprimo V.A , luego se escribe 18 en la pantalla y se oprime
la tecla %IA, se escribe 144.704,43 y oprimo +/- y luego PAGO, y para pedir la respuesta se
oprime N y aparece la respuesta N = 48.
6.5
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS
Para el cálculo de la tasa de interés se puede hacer de tres formas de la siguiente manera:
1. En base de la notación estándar P =A 1 + (P/A,i%,n-1)
2. Con base en el ensayo
3. Interpolando
NOTA: La 2 y 3 se describieron en el capítulo de anualidades ciertas vencidas.
6.5.1
UTILIZANDO LAS TABLAS
Ejemplo: Un televisor cuyo valor de contado es de 800.000, se adquiere pagando 12 cuotas
mensuales anticipadas de $ 72.639,41 cada una, ¿Qué tasa de interés están cobrando?
Notación Estándar P =A
1 + (P/A,i%,n-1)
Despejo
P
= - 1 (P/A,i%,n-1) Reemplazando
A
800.000
- 1 = (P/A,i%,n-1)
72.639,41
800.000
72.639,41
- 1 = (P/A,I, 11 )
10,013305 = (P/A,I, 11 )
Se busca para un n igual a 11 un factor que sea igual o superior o inferior a 10,013305,
encontramos lo siguiente:
Para 1.5% un factor de
Para 1,75 un factor de
10,07111779
9,92749181
Esto nos indica que la tasa de interés está entre 1.5% y 1.75% debido a que el factor 10.013305
está dentro de los dos factores. Para calcularlos hacemos la interpolación así:
0,0175
0,015
9,92749181
10,07111779
0,0025
- 0,143626
0,0025
- 0,143626
0,0025
=
i
0,05
10,013305
10,07111779
i – 0,015
-0,057813
i - 0,015
- 0,057813
- 0,057813
= i – 0,015
-0,143626
0,001006 = i – 0,015
i – 0,015 = 001006
i = 0,01006 + 0,015
i = 0,016006
I = 1.6% APROXIMADAMENTE
6.5.2 UTILIZANDO LA CALCULADOFINANCIERA
Tomando como base el Ejemplo anterior.
Primer Paso
Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN
pantalla:
VDT
CONVI
F.CAJA
BONO
y da como resultado la siguiente
DEPREC.
Segundo Paso:
Se oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla:
N
%IA V.A.
PAGO V.F.
OTRO
Tercer Paso:
Se procede a incluir la información así:
Se escribe 800.000 en la pantalla y se oprime la tecla V.A., luego se escribe 12 en la pantalla y se
oprime N , Se escribe 72.639,41 y se oprime +/- y PAGO, si deseas obtener la respuesta se
oprime %IA y da como resultado 19,1999 interés anual y lo divido en 12 dará 1.5999%
aproximado 1.6% mensual.
6.6
VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA.
Así como hemos calculado el valor presente de una anualidad anticipada, podemos calcular su
valor futuro.
6.7
UTILIZANDO LA FORMULA
F=A
[
n+ 1
( 1 +i )
i
−1
−1
]
Ejemplo se depositan $ 400.000 trimestrales en una cuenta de ahorros que pago el 24% anual
capitalizable trimestre, ¿Cuánto tendrá al final del año?
i : 6% Trimestral
0
1
2
F=?
3
4 Trimestre
A = 400.000
F = 400.000
( 1 + 0,06 ) 4 + 1
0,06
F = 400.000
( 1,06 ) 5
0,06
F = 400.000
-1
-1
0,332826
-1
0,06
F = 400.000 ( 4,637093 )
F = 1.854.837,18
Si el ahorro $ 400.000 en una cuenta que paga sus intereses por anticipado al 24% anual, al final
del año tendré $ 1.854.837.
6.6.2 UTILIZANDO LAS TABLAS
La notación estándar es F= A
(F/A,i%,n+1 ) - 1
Con base en el ejemplo anterior:
F = 400.000
(F/A,i%,n+1 ) - 1 se busca en la tabla del 6% para el cálculo futuro, se tiene A
para un n = 5 y da la tabla 5,63709296 y reemplazamos:
F = 400.000
( 5,63709296 ) - 1
F = 1.854.837,18
F = 400.000 ( 4.63709296 )
6.6.3 UTILIZANDO LA CALCULADORA HP
Primer Paso:
Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y da como aparece en la siguiente
pantalla:
VDT
CONVI
F.CAJA
BONO
DEPREC.
Segundo Paso :
Se oprime la tecla VDT y da como aparece la siguiente pantalla:
12 PAGOS/AÑ: MODO FINAL
N
%IA
V.A.
PAGO
V.F.
OTROS
Como el ejemplo habla de capitalizaciones trimestrales y el año tiene 4 trimestres, tenemos que
cambiar la parte superior de la pantalla así:
Se oprime OTRO, se escribe 4 en la pantalla y se oprime P/AÑO y EXIST y aparece:
N
%IA
V.A.
PAGO
V.F.
OTR
Tercer Paso:
Se procede a incluir la información así:
Se escribe 400.000 en la pantalla y se oprime +/- y PAGO, se escribe 24 en la pantalla y se
oprime %IA , se escribe 4 en la pantalla y se oprime N y aparece pedir la respuesta se oprime VF
y aparece la respuesta en la pantalla así: VF = 1.854.837,18.
6.7CÁLCULO DE UNA ANUALIDAD TENIENDO UN VALOR FUTURO.
6.7.1 Utilizando la Fórmula.
A=
[
F
n+ 1
( 1+i )
i
−1
−1
]
Ejemplo: ¿Qué suma debo depositar al comienzo de cada mes en un Banco que reconoce el 16%
anual capitalizable mensualmente, si dentro de 5 años quiero tener $ 20.000.000?
i = 1,3333 % Mensual
F = 20.000.000
0
1
A
2
A
A=
3
A
4
5
A
A
6
A
59
A
60 Meses
A
A = ?
20.000.000
1.242874
0,01333
- 1
A = 216.828,31
A = 20.000.000
92,238860
Si quiero tener $ 20.000.000 dentro de 5 años debo depositar $ 216.828,31 en un Banco que
reconozca el 1,33% mensual anticipado.
6.7.2 UTILIZANDO LAS TABLAS
Para el cálculo de la anualidad teniendo un futuro, la notación estándar es
n=
F
(F/A,i%,n+1 ) - 1
Ejemplo: si quiere tener dentro de 4 años $ 16.188.117,93 ¿Cuánto tengo que ahorrar
mensualmente, si el Banco reconoce el 24% anual capitalizable mensualmente?.
Con el ejemplo anterior tenemos:
F = 16.188.117,93
i = 2% mensual
n = 48 meses
A=
F
(F/A,i%,n+1 ) - 1
A = 16.188.117,93
(F/A,i%,n+1 ) - 1
Se busca en la tabla del 2% para el cálculo del valor futuro, teniendo una anualidad el factor para
un n = 49 y reemplazamos factor 2% para n= 49 = 81,94058966
A=
16.188.117,93
( 81,94058966 ) –1
A=
16.188.117,93
80,94058966
A = 200.000
Se tiene que ahorrar $ 200.000 mensuales, si dentro de 48 meses quiero tener $ 16.188.117,93.
6.7.3 UTILIZANDO LA CALCULADORA HP
Primer Paso:
Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y da aparece la siguiente pantalla:
VDT
CONVI
F.CAJA
BONO
DEPREC.
Segundo Paso:
Se oprime la tecla VDT y aparece la siguiente pantalla:
12 PAGOS/AÑ : MODO FINAL
N
%IA
V.A.
PAGO
V.F.
OTRO
Tercer Paso:
Se procede a incluir la información así: Se escribe 16.188.117,93 en la pantalla y se oprime la
tecla V.F., se escribe 48 en la pantalla y se oprime N , Luego se escribe 24 en la pantalla y se
oprime %IA y para pedir el resultado se oprime PAGO y aparece la respuesta en la pantalla
PAGO= 199,999,999 aproximado $ 200.000.
6.8 CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS
6.8.1 Utilizando las Tablas.
Para el calculo del número de períodos utilizamos la notación estándar
F=A
(F/A,i%,n+1 ) - 1
F = 16.188.118
A = 200.000
i = 2% Mensual
n= ?
Reemplazamos:
16.188.118 = 200.000
16.188.118 =
200.000.
(F/A,2%,n+1 ) - 1
(F/A,2%,n+1 ) - 1
80,940940 =
(F/A,2%,n+1 ) - 1
80,940940 + 1 = (F/A,2 %,n+1 ) - 1
81,940940 = (F/A,2 %,n+1 ) - 1
Se busca en la tabla del 2% para el cálculo del valor futuro, teniendo una anualidad un n igual a
81,940940 y el resultado es 49, entonces: n + 1 = 49 de donde n=48 si quiero ahorrar $
200.000 durante 48 meses para obtener $ 16.188.188.
6.8.2 UTILIZANDO LA CALCULADORA HP
Primer Paso:
Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y da la siguiente pantalla:
V.D.T
CONVI
F.CAJA
BONO
DEPREC.
Segundo Paso:
Se oprime la tecla VDT y aparece la siguiente pantalla:
12 PAGOS/AÑ: MODO INICIAL
N
%IA
V.A.
PAGO
VF
OTRO
Tercer Paso:
Se procede a incluir la información así: Se escribe 16.188.118 en la pantalla y se oprime V.F., se
escribe 200.000 en la pantalla y se oprime +/- y PAGO, luego se escribe 24 en la pantalla y se
oprime %IA, para pedir el resultado en la pantalla, se oprime N y da como respuesta
6.9
6.9.1
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS
N = 48
Utilizando la tabla
Con base en el ejemplo anterior que sabemos con anticipación que la tasa es del 2% mensual.
Ejemplo: Si ahorro $ 200.000 mensuales y dentro de 48 meses me entregan $ 16.188.118, ¿Qué
tasa de interés me reconoció el Banco?
Se utiliza la notación estándar F = A (F/A,i %,n+1 ) - 1
Reemplazamos:
16.188.118 = 200.000
(F/A,i %,n+1 ) - 1
16.188.118 = (F/A,i %,49 ) - 1
80,940590 + 1 = (F/A,i %,49 )
81,940590 = (F/A,i %,49 ) se busca en las tablas del cálculo del valor futuro teniendo una
anualidad para un n = 49, un porcentaje que de un factor de 81,940590 y para este caso el factor
esta en la tecla de 2%.
6.9.2
UTILIZANDO LA CALCULADORA HP
Primer Paso
Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y aparece la siguiente pantalla:
VDT
CONVI
F.CAJA
BONO
DEPREC.
Segundo Paso:
Se oprime la tecla VDT y aparece la siguiente pantalla:
12 PAGOS/AÑ : MODO FINAL
N
%IA
V.A.
PAGO
VF
OTRO
Tercer Paso:
Se procede a incluir la información así: Se escribe 16.188.118 en la pantalla y se
oprime la tecla VF, se escribe 48 en la pantalla y se oprime la tecla N, se escribe
200.000 en la pantalla y se oprime +/- y PAGO, para pedir el resultado se oprime %IA y
aparece la respuesta en la pantalla así: %IA = 24 este interés está dado en años y los
pasamos a meses dividiéndolo en 12 24/12 = 2%.
6.9.3
UTILIZANDO INTERPOLACIÓN
Como se ha dicho en las anteriores capítulos, el cálculo del interés es de gran
importancia, debido a que a través del interés el verdadero valor del crédito.
Ejemplo: Si depositamos $ 250.000 en una cuenta de ahorros durante 24 meses y al
final obtengo $ 8.125.476, ¿Qué interés me reconoció el Banco?.
Lo primero que debo hacer es volver a calcular la anualidad inventando una tasa de
interés, en este caso decimos 3%.
A
A=
=
F
(1+i)
i
n+1
-1
8.125.476
( 1,03 ) 25 – 1
0,03
A=
8.125.476
1,093778 -1
0,03
A=
8.125.476
( 35,459.264 - 1 )
A = 8.125.476
35,459264
AA== 229.145
229.145
De aquí deducimos que con un interés del 3%, la anualidad sería de $ 229.145 lo que nos indica,
que la anualidad de $ 250.000, debe corresponder a un interés menor.
Se hace el mismo
procedimiento para una tasa del 2%.
8.125.476
( 1,02 ) 25 - 1
0,02
A=
A
=
A
= 8.125.476
31,0303
-1
8.125.476
( 32,0303 - 1 )
AA =
= 261.856
261.856
Se puede observar que con una tasa del 2%, se tiene que ahorrar $ 261.856 y con una tasa de
3%, se tiene que ahorrar $ 229.145. Pero como lo que verdaderamente ahorramos es $ 250.000,
esto significa que la tas de interés está entre 2 y 3%, para calcular INTERPOLAMOS así:
0,3
0,02
229.145
261.856
0,01
- 32.711
0,01
=
-32711
i – 0,02
11856
- 11.856
0,003624 = i - 0,02
i = 0,02 = 0,003624
i = 0,003624 + 0,02
i = 0,0236
i
0,02
250.000
261.856
i -0,02
-11.856
= i - 0,02
i = 2,36 %
Lo que se deduce, es que el Banco reconoce el 2,36 % mensual, para poder obtener $ 8.125.476
ahorrando $ 250.000 cada mes.
6.10
RESUMEN FÓRMULAS ANUALIDADES ANTICIPADAS.
[
P=A 1+
A=
1−( 1+i )−( n−1 )
i
]
Hallar valor Presente teniendo una
anualidad
P
[
−( n−1)
1+
1−( 1 +i )
i
]
Hallar una anualidad teniendo un
valor presente
Hallar el número de períodos
teniendo una anualidad y valor
presente.
Pi
)
A
Log ( 1 +i )
Log ( 1+i −
n= 1−
F=A
A=
[
n+ 1
( 1 +i )
i
−1
Hallar el valor futuro teniendo una
anualidad
]
F
[
n+ 1
( 1 +i )
i
−1
−1
]
Hallar una anualidad teniendo un
futuro
6.11
PROBLEMAS RESUELTOS
6.11.1
Un cliente de un Banco pagó cuotas trimestrales de $ 650.000, durante cinco años, si el
Banco cobra sus intereses por anticipado del 28% anual, ¿Cuál fue el valor del
préstamo?
P=?
1
0
A
A
2
A
3
7% Trimestral
4
5
A
A
A
6
7
A
30 Trimestral
A
A
A = 650.000
P=A
1 + 1 - ( 1+i )
–(n–1)
i
P = 650.000 1 + 1- ( 1,07 )
- 19
0,07
P = 650.000
1 + 1 – 0,276508
0,07
PP == 7.368.137
7.368.137
P = 650.000 ( 11,335600 )
6.11.2Un almacén vende equipo de sonido a $ 950.000 al contado, y ofrece venderlos a 18 meses
de plazo, con un recargo del 24% , ¿Hallar la cuota periódica?
0
P = 950.000
1
2
A
A
A
3
A
2% MENSUAL
4
5
6
A
A
A
7
A
18 Meses
A
A=?
P
1+ 1–(1+i)
A=
–(n–1)
I
950.000
A=
1 + 1 – ( 1,02 )
17
0,02
950.000
1 + 1 – 0,714163
0,02
A=
950.000
A=
15,291872
A
= 62.124,50
6.11.3 Por un préstamo de $ 1.500.000 se pagan cuotas mensuales anticipadas de $ 73.299,41
con un interés del 30% anual. ¿Cuántas cuotas hay que pagar?
Log ( 1 + 0,025 – 1500000 x 0,025)
n= 1 -
73.299,41
Log ( 1,025 )
Log ( 0,513400 )
n= 1-
Log ( 1,025 )
-0,28954413
n= 1-
0,010723865
n = 1 - ( - 27 )
nn == 28
28
6.11.4 Una moto cuyo valor de contado es de $ 4.000.000 se cancela en 20 pagos trimestrales del
250.000, ¿Qué tasa de interés cobraría?
P= A
1 + ( P/A, i%, n-1 )
Reemplazamos:
4.000.000 = 250.000
4.000.000 =
250.000
1 + ( P/A, I%, 20 – 1 )
1 + ( P/A, I%, 19 )
16
- 1 = ( P/A, I%, 19 )
15
= ( P/A, I%, 19 )
Se busca en la tabla del cálculo del valor presente, teniendo una anualidad que factor da 15 para
un n= 19.
En este caso para 2.25% el factor 19 = 15,32289590 y para una tasa del 2.5%, el factor es 18 =
14.97889134, lo que da ha entender, que la tasa está entre 2,25 y 2.5% más cerca al 2.5% y para
calcularlo interpolamos:
0,025
0,025
- 0,0025
15,32289590
14,97889131
0,344005
-0,0025
=
15
14,97889134
0,021109
i - 0,025
0,344005
-0,0025
i=
0,025 =
i – 0,025
0,021109
( 0,021109 ) = i – 0,025
0,344005
- 0,000153 = i – 0,025
i – 0,0025 = - 0,000153
i = - 0,000153 + 0,0025
i = 0,024847
2.48%
0,024847 x 100 =
6.11.5 Un cliente ahorra $ 200.000 mensuales en una cuenta de ahorros, que pago el 18% anual
capitalizable mensualmente, ¿Cuánto tendrá al final del trimestre?
I = 1.5% Mensual
F =?
0
1
2
3
4
35
A
A
A
A
A
A
36
A = 200.000
F= A
n +1
(i+i)
–1
-1
i
F = 200.000
( 1,015 )
37
-1
-1
0,015
F = 200.000 ( 48,985109 - 1 )
F = 9.597.021,74
6.11.6 Si dentro de cinco años, quiero tener $ 18.000.000 para enviar un hijo a intercambio
¿cuánto tengo que ahorrar trimestralmente, si el Banco reconoce el 24% anual?.
6% Trimestral
F = 18.000.000
0
1
2
3
4
5
A
A
A
A
A
A
6
A
11
20 Trimestres
A
A= ?
A=
F
(1 + i )
i
A=
-1
AA =
= 461.624,54
461.624,54
18.000.000
( 1,06 )
21
0,06
A=
n+1
18.000.000
38,992727
-1
-1
6.11.7Una persona quiere vender su finca y tiene 3 ofertas :
A) 20.000.000 de contado
B) 9.500.000 de contado y 5 cuotas semestrales vencidos $ 2.500.000.
C) 12 cuotas trimestrales anticipada de $ 1.000.000 y un
pago único de $ 12.500.000 al final de 4 años.
¿Qué oferta debe escoger, si la tasa es del 8% anual?
Para solucionar este problema llevamos las 3 alternativas a valor presente y la que mayor valor
presente de es la que conviene vender.
A)
¿Cuál es el valor presente de vender hoy por $ 20.000.000; entonces: El valor presente
es $ 20.000.000.
B)
$ 9.500.000 contado y cinco cuotas semestrales vencidas de 2.500.000, el valor presente
de $ 9.500.000 es $ 9.500.000, le sumamos el valor presente de la anualidad de $
2.500.000.
P=A
(1+i)
n
-1
n
i(1+i)
( 1,04 )
P = 2.500.000
5
–1
0,04 ( 1,04)
P = 2.500.000
5
0,216653
0,048666
P = 11.129.582,37
9.500.000 + 11.129.582,37 =
20.629.582,37
Valor presente 2 alternativa = 20.629.582,37
c. Calculemos el valor presente, para la anualidad anticipada y le sumamos el valor presente de
un futuro así:
P=A
1 + 1- ( 1+ I )
– ( n –1 )
+
F
i
P = 1.000.000
(1+i)
1 + 1 - ( 1,02 )
– 11
+
12.500.000
0,02
( 1,08 )
12.500.000
P = 1.000.000
10,786848
n
+
1, 360489
4
P = 10.786.848 + 9.187.873
P1 = 20.000.000
P2 = 20.629.582,37
P3 = 19.974.721
La alternativa que más conviene s la P2 porque a pesos de hoy o sea valor presente es la que más
da.
6.11.8¿Cuál es el valor de contado de un vehículo que se compra con una cuota inicial de $
8.000.000 y 24 cuotas mensuales de $ 1.244.025,81 si la financiación se cobra el 24% anual?.
P=A
1+
1- ( 1 + i )
-(n–1)
i
P = 1.244.025,81
1 + 18,292204
P = 1.244.025,81 ( 19,292204 )
P = 24.000.000 + 8.000.000 =
$ 32.000000
VALOR DE
CONTADO
6.12
PROBLEMAS PROPUESTOS
6.12.1. Un inquilino pago $ 280.000 de Arriendo por anticipado y decide pagarle todo el año al
dueño de la casa, que le reconoce un interés del 24% anual. ¿Cuánto recibe el Señor de la casa?.
Respuesta $ 3.020.317,45.
6.12.2 El Banco Bogotá le presta a un cliente $ 10.000.000, para ser pagados en 36 cuotas
anticipadas. Si cobro el 28% anual, ¿Cuál es el valor de la cuota? Respuesta $ 404.204,43
6.12.3. ¿Cuál es el valor de contado de una casa vendida a 20 años de plazo con pagos mensuales
de $ 300.000, mes anticipado y una tasa del 12% anual? Respuesta 27.518.283.
6.12.4. ¿Cuánto debo depositar al comienzo de cada año, en un fondo que paga el 28% anual, si
quiero en cinco años
tener $ 50.000.000 para la compra de un equipo.
Respuesta $
4.489.990,75.
6.12.5. ¿Cuántos trimestres tengo que consignar $ 103.294 si quiero tener $ 5.000.000 en un
banco que reconoce el 21% anual?. Respuesta 24 trimestrales.
6.12.6. Una moto vale de contado $ 6.700.000, puede adquirirse en 12 pagos mensuales
anticipado de $ 645.343 cada uno. ¿
2.75%.
Qué tasa de interés mensual cobraron?. Respuesta
6.12.7. Un trabajador ahorra en un fondo de empleados $ 50.000, al principio de cada mes y el
fondo reconoce el 18% anual, ¿Cuánto ahorra durante 20 años?. Respuesta 117.174.359.
6.12.8.¿Qué conviene más para quien cobra? :
a)
b)
Recibí 14 pagos vencidos de $ 102.644
Recibí 14 pagos anticipados de $ 100.000
Si el interés es del 1.5% mensual? Respuesta a)
6.12.9. Si usted deposita la misma cantidad de dinero en 2 corporaciones que ofrecen el mismo
interés, pero una paga vencida y la otra anticipada. ¿Cuál produce más?. Respuesta Anticipada.
6.12.10. a) Por 16.000.000 se pagan 48 cuotas de $ 511.401
b) Por 20.000.000 se pagan 60 cuotas de $ 542.433
¿Por cuál se paga más interés? Respuesta a).