1 p 00 .

73
Revista de Ia
Union Matematica Argentina
Volumen 36, 1990.
SOBRE ESPACIOS D E SOBOLEV ANISOTROPOS CON VALORES VECTORIALES
MARIA JESUS PLANELLS
(*)
L e t n b e an o p en sub s e t o f Rn , E an ( L F ) - s pa c e and
n
W a f in i t e no n emp t y sub s et o f N such t hat i f ( a j ) E W t hen
( S j ) E W whenev e r 0 � S j � a j for j = 1 , . . . , n . In t h i s paper
we s tudy some l o c a l l y c o nvex pro p er t i e s o f t h e v e c t o r - va l u e d
an i so t r o p ic Sobo l ev s p a c e s L � ( n , E ) : = { f E L P ( n , E ) : D a f E
E L P ( n , E ) for a E W } , 1 � p � 00 .
A B S T RA C T .
Lo s e s pac io s v e c t o r ia l e s que ut i l i z ar emo s e s t an d e f in ido s s o ­
br e el cuerpo C d e l o s numero s compl ej o s . La p a l abra e s pac io
s i gn i f icara e s pac io v e c t o r ial t o po 1 6 g ico l o c al ment e c o nv exo y
Hau s do r f f . S i E e s un e s p a c io d eno t amo s por s c ( E ) e l c o nj unt o
d e todas l a s s em ino rma s cont inuas s o br e E . S i E Y F son do s e �
pac io s E I8In F Y E 18I e: F d eno t an E 181 F do t ado d e l a t o p o l o g l a pro ­
y e c t iva e iny e c t iva r e sp e c t ivament e . S i l o s e s pa c io s E y F son
t o po 1 6 g icament e i s omo r fo s e s cr ib imo s E � F . Si A es un conj un ­
t o no v a c l 0 , E A d eno t a e l producto t o po 1 6 g i c o d e A c o p i a s d e l
e s pac io E . N d en o t a r a e l c onj unt o d e l o s ent ero s n o n e g a t ivo s
Y
t
2
e l e s pac io d e H i l b er t d e l a s suc e s ion e s d e nume r o s c o m pl ej o s d e cuadr ado sumab l e . cardA e s e l c ar d inal d e l conj unt o A .
.
n
S i E e s un e spac io c a s i - comp l eto y n e s un ab i e r t o d e R ,
V ( n , E ) s er a e l e s p a c i o d e l a s fun c ion e s ind ei in idament e d i f e -
*
S u b v e n c i o n a d o p a r c i a l m e n t e p o r l a C A l C Y T , P r o y e c t o PB 85 - 034 1 .
)
)
74
r enc iab l e s sobr e � con val o r e s en E que t i enen s o p o r t e c o mpa c ­
t o ( V ( � , E ) s e cons idera pro v i s t o d e su t o po l o g i a l im i t e induc ­
t ivo hab itual ) . Como e s usual , cuando E
C , e s c r i b imo s V ( � ) .
S i E e s un e spac io d en o t amo s p o r V I ( � , E ) el e s p a c io d e l a s d i s
=
t r ibuc i o n e s s o br e � c o n v a l o r e s en E e qu ipado d e l a t o po l o g i a
d e l a conv e r g enc i a un iforme s o b r e l o s aco t ado s d e V ( � ) ( v e r
[ 1 5] ) .
S i E e s un { L F ) - e s t r i c t o
( t rabaj amo s en e s t a c l a s e d e e sp a c io s
p o r cu e s t ion e s d e m ed i b i l idad) , � un ab i er t o d e R n y p E [ 1 , 00] ,
L P ( � , E ) d eno t a e l conj unto d e t o d a s l a s func ion e s ( c l a s e s d e
func ion e s e qu iv a l ent e s ) med ib l e s B o c hner d e � en E , f , t a l e s
l
qu e II f ll = ( � Il f (x ) II P d x ) / p < 00 ( cuando p = co s e d eb e t en e r
p
II f l l oo
sup e s II f ( x ) I I < (0 ) para c a da 1 1 . 11 E s c ( E ) . Pr ov i s to d e
xs�
l a t o po l o g i a g enerada p o r l a fam i l i a d e s em inorma s
P
{ II . 11
11 . 11 E s c ( E ) } , L ( � , E ) l l e ga a s er un e s p a c io suc e s i o P
na lment e comp l e t o (ver [ 7 ] , p . 1 2 2 ) . Ad ema s l a ap l i c a c io n
J
=
L P (n , E )
f
- - -
----+
� {�
)
)
)
)
')
)
)
)
)
)
)
)
)
V I (� , E)
- - -
� J�� (X) f (X)dX}
e s t a b i en d e f in ida y e s l in e a l , iny e c t iva y c o n t inua . P o r c o n ­
s i gti i ent e , l a s func ion e s d e L P ( � , E ) adm i t en d er iva d a s d i s t r i ­
buc iona l e s d e cua l qu i er o r d en . (Ver [ 6 J y [ 7 ] p a r a l a t eo r ia
:
d e int egr a c ion d e func i o n e s con va l o r e s v e c t o r i a l e s y [ 1 5 ] ,
[ 1 6 ] par a l a t e o r ia d e d i s tr ibuc i o n e s con va l o r e 5 v e c t o r i a l e s ) .
)
)
)
S i W e s un subconj unt o f in i t o no vac io d e N n t a l qu e 5 i
( a j ) E W entonc e 5 ( S j ) E W cuando 0 .;;;; S j .;;;; Ct j para j
1 , . . . ,n,
e l e s pac io d e S o bo l ev ( an i s o t ro p o ) s o br e Ii c o n v a l o r e s en E
( d e t ipo p , W) e s e l sub e 5 p a c io l in e a l d e L P ( � , E )
�
=
L (� , E) :
Cons ideramo s sob r e L � ( � , E ) l a t o po l o gia generada p o r l a f am i ­
l ia d e s em inorma s { 1I . li w : 11 . 11 E s c ( E ) } donde
p,
)
)
)
)
)
75
II f l l
II f l l
(Ver
bo l ev
t i ene
pac io
p ,W
( L
l
II n a f l l p ) / p
a e:: W
xdl
a e:: W
p
maX sup e s II n a f ( X ) II
p,W
cuando p
cuando p
<
00
00 .
[ 1 2 ] , [ 1 3 ] y [ 1 7 ] para un ana l i s i s d e l o s e s pac io s d e So ­
an i s 6 t r o po s e s c a l ar e s . En [ 1 1 ] s e d emu e s t r a qu e L � ( Rn , E )
l a pro p i edad d e apro x imac i6n c uando p < 00 Y E e s un e s ­
d e Fr�chet qu e po s e e d ic ha pr o p i edad ) .
E l prop6 s i t o d e l pr e s en t e a r t icu l o e s e s t a b l ec er a l guna s pro ­
p i edad e s l o c a lment e c onvexa s d e l o s e s pac io s d e S o b o l ev an i s6 t r o po s v e c t o r ial e s L � ( n , E ) part i endo d e l a s c o r r e spond i ent e s
pro p i edad e s d e l e spac io E .
Om i t imo s l a prueba d e l s i gu i ent e s enc i l l o , p ero ut i l , resultado .
t-EOREMA 1 . S e a n un a b i e r t o d e Rn , E un ( L F ) - e s t r i c t o , W un
s u b c o n j un t o fin i t o n o v a c i o d e ND t a Z que si ( a j ) E W e n t o n c e s
( S J· ) E W c u a n d o 0 � S J· � a J· p a r a j = 1 , . . . , n, y p E [ 1 , 00 ] .
En t o n c e s
�
1 . L ( n , E ) e s t o p o Z 6 g i c a m e n t e i s o m o r fo a u n s u b e sp a c i o c e r r a do
de
( L P ( n , E ) ) c a r dW .
2.
E e s t o p o Z 6 g i c am e n t e i s om o r fo a un s u b e sp a c i o c o mp Z e t o d e
�
�
L ( n , E ) y L ( n ) e s t o p o Z 6 g i cam e n t e i s omo rfo a un s ub e sp a c i o
�
c omp Z e m e n t a do d e L ( n , E ) .
3 . S i E e s t o p o Z 6 g i c am e n t e i s o m o rfo a u n s u b e sp a c i o ( c o mp Z e ­
m e n t a do ) d e u n ( L F ) - e s t r i o t o F e n t o n c e s
�
L (n , E ) e s topo Z 6 gica­
�
m e n t e i s o m o rfo a u n s u b e sp a c i o ( c o m p Z em e n t a do ) d e L ( n , F ) .
�
NOTA . L ( n , E ) e s un e s pac io d e d i s t r ibuc io n e s s o b r e n con v a ­
l o r e s en E . En [ 1 1 ] s e d emu e s t r a , supon i endo n = R n , 1 � p < 00
�
y E un e spac io d e Fr e c h e t , qu e L ( n , E ) t i ene l a s pro p i e d ad e s
d e apr o x imac i6n p o r t runc am i ento y p o r r egu l ar i z ac i6n ( v e a s e
�
S c hwar t z [ 1 5 ] , pp . 7 y 8 ) Y qu e V ( n , E ) e s denso en L ( n , E ) .
')
)
)
76
:
Por co ns i gu i ent e , en e s t e c a s o , L C O , E ) es un e sp a c io norma l
d e d i s t r ibuc ion e s v e c to r ia l e s .
:
pac io L C O , E ) e s suc e s iona lment e comp l e t o s i 1 < p � � , e s com ­
p l e t o s i p = 1 Y e s d e Bana c h C r e sp o Fr e c het ) s i E e s un Ba ­
nac h Cr e s p o Fr e c het ) .
PRUEBA . E s c ons ecu enc ia d e l a s c o r r e spond i ent e s pro p i edad e s
d e l e spac io L P C O , E ) (vea s e [ 7 ] , pp . 1 1 9 - 1 2 2 ) Y d e l t eo r ema ant e ­
r ior . c . q . d .
0 .,
E., W y P como en e Z te or-ema.
poZog1,a que induce
tr-e Za topoZog1, a
£
poZog1,a pr-oyectiva
:
:
L C O , E ) sobr-e L C O )
e
1 .
En ton ce s Z a to­
E e s ta inte r-ca Zada e n �
d e Za conv e r- gencia bie quicontinua y Z a to­
e l e l emento d e L P C O , E ) d e f in ido por l a func i6n x
e
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
�.
PRUEBA . Para c ada f e L P C O ) y c ad a e e E d en o t amo s por Q C f , e )
b emo s qu e Q C f , e )
)
)
COROLARI O . S ean O , E , W y P como en el t eo r ema . Entonc e s e l e s ­
TEOREMA. 2 . Sean
)
:
�
L CO , E) s i f e L CO) : S i
a
�
f Cx ) e . Pro ­
)
)
e W \{ O } s e t i ene
)
< 4> , Q CD f , e) >
a
)
para 4> e VCO)
';
por 10 que Da Q ( f , e ) = Q C Da f , e ) e L P CO , E ) . Con s i gu i ent emen t e
:
:
Q C f , e ) e L CO , E ) y Q e s una apl icac i6n b i l in eal d e L C O ) x E en
:
:
L CO , E ) . S ea q : L C O ) e E
+
:
L C O ) l a ap l i c a c i6n l in e a l a s o c iada
a Q . Ev id ent ement e q e s inyec t iva . Veamo s que es c o n t inua cuan
:
do d o t amo s a L CO )
e
E de l a � - to po l o g la : Supon g amo s p <
co
Y
)
)
)
)
)
. )
77
s ea p I e 1 expon ent e c o nj ugado d e p . S i
�
men t o d e L U l )
.;;;
Z
f
m
E y
11 . 11
E s c ( E ) t en emo s
m
I f �.
1
( c a r dW- l ) p '
/
II
Z
f i I l L ( n ) l I e i li
�
e �. e s un e 1 e -
( c a r dW - l ) / p '
.
.
Como e s t o e s c i er t o par a cada r epr e s entac i6n d e
II
®
1 /p
e �. 11 ) p dx )
. 11
®
�
q ( � ) II p , w .;;; Z ( c a r d W -
1 ) /p
I
( I I . II
L
p n
( )
W
®7T
II
.
�,
o b t en emo s
II ) ( � ) .
E s t a d e s i gua1dad t amb i en e s v a l ida en e1 c a s o p = 00 . Por 1 0
�
�
t anto , q e s una a p 1 i c a c i6n d e L ( n ) 0 7T E e n L ( n , E ) c o n t inua .
l
A c o nt inua c i6n d emo s tr a r emo s qu e q - e s una a p 1 i c a c i6n c o nt i ­
�
nua d e q ( L ( E ) ® E ) , e qu ipado d e 1 a t o po 1 0 g i a induc ida por
�
�
L ( n , E ) , s o br e L ( E ) ® E E . Sera suf ic i ent e comp r o b a r qu e , para
cada
11 . 11
E s c ( E ) , se v e r i f ic a 1 a d e s i gua1dad
F ij ada una s em inorma
11 . 11
en s c ( E ) pongamo s U = bo l a un idad d e
y V = { e E E : l I e ll .;;; 1 } . Supo ngamo s pr ime r o 1
f �.
1I . II
°
e �. E L wP ( n )
®
P t"\ ® I I . II C � )
L ( ) E
W
"
< p <
E s e t i ene , por d e f in i c i6n , que
m
I I < f �. , e > < e �. , e ' > I ·
= sup sup
e E U 0 e I EVo 1
00 .
Si
)
)
78
)
Ra z o nando c omo en [ 1 ] , pp . 4 7 - 4 9 , ha P ' n c a r dW t a l que , p a r a t o do
l l amo s un e l emen t o ( g a ) E ( L ( ) )
f E L ( E ) , s e ver i f i c a
Sea e un el ement o d e
�
UO .
<f , e >
II
1
)
)
)
)
E s t a r epr e s en t a c i6n d e e y l a d e s i gua l dad d e Ho l d er dan lugar a
sup
e ' EVo
)
)
y t a l qu e
m
.)
<f . , e><e . , e ' > 1
1.
1.
sup
e ' EV o
I I1
L <e . ,e ' >
a E W 1.
J n ga (x) Daf . (x) dx l ..;;
1.
)
)
)
)
)
)
..;;
L.\'
aEW
II gaII LP n ') (
(
n
I
J
1/
a
il L.\' D f . (x) e . II Pdx) P
1.
m
1
1.
..;;
( L.\'
aEW
,
. 1 /P
p'
I g II LP ' ( n ) J
a
.
)
)
')
)
De a qu i s e obt i en e C a l var iar e en U O )
En e l c a so p = 1 s a r a z o na d e l a m i sma forma ( t en i endo en cue!:!.
max I I g a Il L oo ( n ) = lI e ll ( L 1 ( n ' ) y t amb i en s e obt iene
(l EW
W »
t a qu e aho r a
)
)
)
)
E I c a so p
=
00
e s un p o c o ma s c ? mp l ic ado . Tomemo s nu evament e un
""
a
e l emento 6 E U O . S i s e c o n s idera en ( L ( n ) ) c r dW l a no rma
oo
dW
li f " L oo ( n ) la apl i c a c i6n Z : L Un � ( L ( n ) ) c a r
I I ( f a ) 1I =
a
d e f in ida por Z ( f ) = ( D a f ) a c o n s erva l a s norma s . Pod emo s enc o n ­
�!�
;
t r a r entonc e s , a p l i c ando e l t eor ema d e Hahn - Bana c h , una fo rma
)
)
)
)
)
)
';
)
79
d
oo
l in e a l y cont inua � s o br e ( L ( � ) ) c a r W d e man era que su no rma
a
co inc ida con 11 6 11
Y qu e < f , 6 >
« D f ) , � > pa ra t o do
(L (�) ) '
f
;
�
L ( � ) . Ent o nc e s l a s a p l i c a c i o n e s �
°
(para cada a E W
a
d
( oo
j a e s l a c o r r e spond i ent e inyec c i6 n d e L ( � ) en L ( � ) ) c a r W )
oo
e s t an en ( L ( � ) ) , y verifican que II � ° j a i l ( L oo ( � ) ) , ..; 1 . En v ir tud
E
j
oo
d e l t eo r ema d e G e l ' fand - S t o n e (ver , po r ej emp l o , [ 5 ] , p . 4 4 5 )
ex i s t e un e s pac io t o po l o g i co comp a c t o T y una i s ometr i a u d e
oo
L ( � ) s o b r e e l e s pa c io d e Bana c h C ( T ) ( e s p a c i o d e l a s fun c io ­
n e s compl e j as c o nt inua s s o br e T c o n l a norma sup ) . S i ut i l i z a ­
mo s a ho r a e l t eo r ema d e r ep r e s en t a c ion d e R i e s z ha l l amo s med i ­
d a s d e Bor el compl ej a s r e gu l a r e s s o b r e T � a ' a E W , t a l e s
oo
qu e p a r a t o do f E L ( � ) s e v e r i f i c a
f
<f, � o j a> =
y
t a l e s qu e su var iac ion t o t a l e s
s en t a c i6n d e 6
S e a entonc e s
1
m
m
I I <ei, e ' >
1
.;;;:
.;;;:
I
a EW
f
T
l
I
I
I
1
u ( D a f . ) e 1. 11 d I � I
a
l
m
I
a EW
1
f < I u ( Da f . ) e . , e ' > d � a I
II
1 . Obt en emo s a s i una r e pr�
oo
I f 1. ® e 1. un e l em ento d e Lw ( � ) ® E . S i e '
I I <f . , 6 ><e . , e ' > 1
1
1
T
..;
a
m
s
t en emo s
I I
aEW
u ( f ) d�
T
..;
..;
I
a EW
f
T
I<
I
1
E Vo
u ( D a f 1. ) e 1. , e '> l d l �a I
m
.;;;:
*
max II I u ( D a f 1. ) ( t ) e 1. 1I ..;
1
aEW
I
I sup e s II I D a f 1. ( x ) e . 11 ..;; c a r dW
1
1
aEW XE�
II q ( s ) II 00 W
,
( en el p a so * hemo s ut i l i z ado el t eo r ema d e l o s b ipo l ar e s y e l
c a r a c t er i somet r i co d e u ) . Var i ando e ' en V o y 6 e n U o l l e ga -
)
)
80
)
)
mo s a la d e s { gua ldad
)
)
Esto c ompl e t a l a d emo s t r a c i6n del t eo r ema .
n ,E,W
COROLARI O . S ean
e s nuc l ear , s e t i ene
�
1 . L cn)
y
')
y p como en e l t eo r ema 1 . S i ad ema s E
�E E. es un sub e s pac io
E e s un e sp a c io
)
c . q. d.
L�cn,E)
de
d e Fr e c h e t .
n
6 51
si p
1 <
P 0;;;00
')
)
)
)
2 . Supongamo s qu e
= Rn . S i 1 < P < 00 Y E e s un e s p a c io d e
Fr e c h e t 6 s i p = 1 y W e s un 1nt erva l o ( e s d e c 1 r , ex 1 s t e un
C E j ) de N n t a l qu e W = { C a j ) E if : o .;;; aj .;;; E j para j � 1 ,
, n}
6 s i p = 00 ,
e s un 1nt erva l o y E e s un e sp a c 1 0 d e Fr e c h e t , en
W
�
•
•
.
LP CO, 1 ) �E E .
tonc e s L C Rn , E ) cont i en e una c o p 1 a de
PRUEBA . H I punto 1 s e s i gue d 1r e c t amen t e d e l a nu c l ear idad d e
�
E , d e l a compl et itud d e L c n , E ) y d e l t eo r em a 2 . E l punto 2 s e
s i gu e d e 1 y d e l o s t eo r ema s B y e d e [ 1 3 ] .
TEO REMA 3 . 1 . S e a
n
taZ que s i
j
=
Ca . ) E
J
1 , 2 , . . . ,n,
2 . Sea
n
y
W
W
,
p E [ 1 00 ]
wn
c.q.d.
un s u b c o n j un t o fi n i t o n o v a c £ o d e N n
entonces C S
LP C ,
)
C E i ) 00i l un a s u c e s i o n d e
=
un a b i e r t o de Rn ,
e s p a c i o s d e Fr e c h e t ,
)
00
n
i= l
� cn , E)
)
E
W
c u a ndo 0
.;;;
E
�
00
n
i= l
J
.;;; a .
J
W
como en e Z
S.
En t o n c e s s e t i e n e
•
E 1. )
u n a b i e r to d e R n ,
.
J
LwP c n , E . ) .
1
u n Fr e c h e t n u c Z e a r y
para
e s t o p o l o g i c am e n t e i s o mo r fo a u n s�b
)
2 N
e sp a c i o c e rr a do de C! ) p e ro , e n g e n e ra l ,
no e s topoN
2
l o g i c am e n t e i s o m o r fo a C ! )
y t a mp o c o e s t o p o l o g i c am e n t e i s o ( o 2) N .
�
)
p u n t o 1 . En t o n c e s L
m o r fo a u n s u b e s p a d i o c o mp � em e n ta d 0 d e
L�c n ,E)
,
)
)
)
\
81
3 . Si
E
e s un e s p a a i o t o p o Z 6 g i a am e n t e i s o m o r fo a
mo en e Z punto
( i)
(ii)
(iii)
1,
L�(Rn , E)
L � (R n , E )
L= (Rn , E)
C
N
y
W es ao-
se tiene
"'"
"'"
"'"
(L P ( O , l ) ) N
(L 1 ( O , 1 ) ) N
( L oo ( O , l ) ) N
si
1 < p <
00 ,
s i y s o Z o s i W e s un i n t e r v a Z o ,
si
y
s O Z o s i W e s un in t e r v a Z o .
00
PRUE BA . 1 . Pongamo s E =
E Y para cada i s ea pr i l a proyec ­
i� l i
c i6n d e E sobr e E i . E s fac i l comprobar qu e 1 a apl i c a c i6n
f
- - - - -
+
(pr l.. o f ) ':'l. = 1
e s t a b i en d e f in ida y e s l in e a l , inyect iva y cont inua . Demo s t r e
�
mo s qu e e s s o b r e y ec t iva . S i para c ada i ( 1I . lI i ) l e s una suc e
j =
s i6n c r e c i ent e d e s em inorma s que d e f inen la t o po l o g la d e E i en
t o n c e s l a s s em inorma s
N
:
1 ,2, . . . ,
g en eran l a topo l o g la d e E . S ea ( f i ) l un e l emento d e
=
00
)
'
Pongamo
s
f
(x
)
=
(
f
(
x
)
) l para x E n . Veamo s
n
E
L ( , i
i
=
i� l
que f d e f in e un el emento d e L ( n , E ) . S i z E E ' ex i s t en ( [ 8 ] ,
�
�
:
p . 2 8 4 ) un ent ero po s it iv� k y el emento s z l.. E
k
oo
oo
d e man era que « e l.. ) l ' z > = I < e l.. , z l.. > , ( e l.. ) l
i= 1
k
Z 0 f =
I z . 0 f l.. y z 0 f e s med ibl e ; adema s ,
i = l l.
A l.' e s un subc onj unt o d e n d e med ida c ero t a l
E l.! , i = 1 , 2 , . . . , k ,
E E , por ella
s i para i = 1 , 2 , . . . ,
que f l.. ( n \ A l... ) e s
s eparab l e ent onc e s f ( n \ U Al.. ) e s s eparabl e . Ap l icando entonc e s
1
e l t eo r ema de med ib i l idad d e P e t t i s f r e su l t a s er med ibl e .
Como
l
II f ( x ) II P dx) l / p .s;;;
II f . ( x ) II � . dx ) / p < 00 , N 1 , 2 , . . . ,
N
l.
l.
J
i,j=1 n
n
00
(I
I (I
=
)
)
82
f e s t a en L P c n , E ) ( s i p = 00 s e ha c en l a s mod i f i c a c ion e s u sua ­
l e s ) . Pongamo s aho ra , para a E W ,
x
s e gun 1 0 que a c abamo s d e v er cada g a
E
E
)
)
n
L P c n , E ) y como
)
)
)
<p
r e su l t a que f
V ( n) ,
E
�
:
L c n , E ) . Ev i d ent ement e J f = ( f i ) = l y l a a p l i ­
c a c ion J e s sobreyect iva . F inalment e J e s un i s omo r f i smo t o po ­
l o g ico en v irtud d e l t e or ema d e l a apl icac ion ab i e r t a .
E
2 N
2 . E e s t o po l o g i c ament e i s omo rfo a un sub e s pac io d e C l )
(ver , por ej empl o , [ 1 4 ] , p . 1 0 3 ) . Por t anto , en v i r tud d e l t eo r�
�
ma 1 , L c n , E ) e s t o po l o g i cament e i s omo r fo a un sub e s pac io d e
N
L c n ,( l 2 ) ) . Ten i endo e n cu en t a e l punto
y qu e e l e s pac io
N
2
L w2 C � , l ) e s un H i l b e r t s eparabl e , vemo s qu e Cl 2 ) cont l. en e
�
)
)
)
)
)
�
una co p i a de L c n , E ) . Supo ngamo s ahora que E e s d e d imen s ion
in f in it a y no cont iene n inguna cop i a d e e N . En v ir tud d e un
t eo r ema de B e s sa ga - P e l c z yn s k i ( [ 3 ] ) E admit e ent o n c e s una no r -
�
ma cont inua , por tanto t amb i en L C � , E ) adm i t e una no rma cont i ­
N
nua y no pu ede s er t o po 1 6 g i c ament e i s omo r fo a Cl 2 ) . Ad ema s ,
2
L w Cn , E ) no pu ede s er t o po 1 6 g i camen t e i somo r fo a un sub e s p a c io
N
c ompl ement ado d e Cl 2 ) pu e s , en c a s o contrar io , ex i s t ir ia un
N
N
sub e s pac io c er r ado G d e C l 2 ) de man era que L ( n , E ) � C l 2 ) / G
)
�
1 0 cual impl icar ia , en v ir t ud d e un r e su l t ado d e B el l en o t - Du 2
b in s ky C [ 2 ] , pr op . 3 , p . 5 9 0 ) , que L w Cn , E ) fu era un e s pac io d e
Banac h . Entonc e s t amb i en E s er fa d e Bana c h 1 0 qu e cont r a d i r i a
l a el e c c i6n d e E .
)
83
�
S i e l e s pac io E cont i en e c o p i a s d e e N y L ( n , E ) e s topo l o g ic a 2 N
ment e i s omo r fo a un sub e s pa c io compl ement ado de ( I ) po d emo s
conclu ir , apl ic ando un r e sul t ado d e Me t a fun e - Mo s c a t el l i ( [ 1 0 ] ),
2 N
qu e n e c e s ar iament e L w2 ( n , E ) � ( I ) .
3 . ( i ) s e d educ e d e 1 y d e l t eo r ema e d e [ 1 3 ] . Pro b emo s ( i i ) :
N
S i W e s un int erva l o ent o nc e s L ( Rn , E ) � ( L 1 ( 0 , 1 ) ) en v irtud
�
d e 1 y d e l t eo r ema B de [ 1 3 ] . Supongamo s aho r a qu e se t enga e l
i s omo r f i smo topo l o g ic o
�
Ent onc e s e l e s pac io d e Banach L ( Rn ) e s t o po l o g i cament e i s omo r
N
1
fo a un sub e sp a c i o comp l ement ado d e ( L ( 0 , 1 ) ) . Apl ic ando e l
�
l ema d e [4 ] v emo s qu e L ( Rn ) r e su l t a s er topo l o g i c ament e i s o ­
mo r fo a un sub e s pa c io compl ementado de un producto f i n i t o d e
1
1
1
1
co p ia s d e L ( 0 , 1 ) . Pue s t o qu e L ( 0 , 1 ) x L ( O , 1 ) � L ( 0 , 1 ) o b t e ­
·
n emo s que L ( Rn ) e s t opo l o g i cament e i s omo r fo a un sub e spac io
comp l ementado d e L l ( 0 , 1 ) p ero ent o n c e s , apl i cando nuevament e
�
e l t eo r ema B d e [ 1 3 ] , W d e b e s er un int erval o . La pru eba d e
( i i i ) e s ana l o ga a l a d e ( i i ) y l a omit imo s .
c. q. d.
B I BL I O G RA F I A
[1 ]
. [2 ]
R . A . ADAMS , S o b o l e v S p a e e� , A c a d em i c P r e s s , N e w Y o r k- S a n
F r an c i s c o - L o n d o n , 1 9 7 5 .
S . F . B E L L E NO T , E . D UB I N S KY , F4 � e h et S pa e e� w�t h N u el ea4
Ko t h e Qu o t� e nt� , T r an s . Am e r . Ma t h . S o c . 2 7 3 , 2 , 5 7 4 - 5 9 4 ( 1 98 2 ) .
[3 ]
C . B E S S AGA , A . P EL C Z y i S K I , O n a ela � � 0 6 B o - a pa e e� ,
A c a d . Po l o n . S c i . I I I 4 , 3 7 5 - 3 7 7 ( 1 9 5 7 ) .
[4 ]
J . C . D I A Z , A n o t e o n �� o m 0 4p h�� ma b etwe en p o w e4� 0 6 B a n a c h
� pa e e� , C o l l e c t . Ma t h . 3 8 , 1 3 7 - 1 4 0 ( 1 9 8 7 ) .
[5]
N . D U N F O R D , J . S C HWART Z ,
1 958 .
Bull .
L�n ea4 O p e4at 0 4� , P a r I . N e w Y o r k
)
)
84
)
[6]
H . G . GA RN I R , M . D e W I L D E , J . S C HM E T S , A n al y� e 6 0 n etio n ell e I I ,
M a t ema t i s c h e R e i h e 3 7 , B a s e l - S t u t t g a r t 1 9 7 2 .
[�
H . G . GARN I R , M . D e W I L D E , J . S C H M E T S , A n al y� e 6 0 n etio n ell e ,
t . l l l . M a t em a t i s c h e R e i h e 4 5 , B a s e l - S t u t t g a r t 1 9 7 3 .
[8)
G . K O T H E , To p o l o g ieal V e et o Jt S pa e e� I ,
N ew Y o r k - H e i d e l b e r g - B e r l in 1 9 6 9 .
[ 9)
G . K O T H E , To p o l o g i eal V e et o Jt S p a e e� I I ,
N e w Y o r k - H e i d e l b e r g - B e r l in 1 9 7 9 .
[ 1 0)
[1 1)
[12)
[1 3]
[14)
S p r in g e r - V e r l a g ,
S p r in g e r - V e r l a g ,
G . M E TA F U N E , V . B . M O S CA T E L L I , C o m pl em ent e d S u b � p a e e� 0 6
S um� a n d PJt o d u et� 0 6 Bana e h S p a e e� , Pendiente de publ icac ion .
J . MO T O S , M a . J . P LA N E L L S , Una n o t a � o bJt e l o � e� p a eio � d e S o
b o l e v ani� 6tJto po � v e et o Jtial e� L P ( E ) , C o l l e c t . Ma t h . 3 8 ,
r
249-2 5 6 ( 1 98 7 ) .
S . M . N I KO L ' S K I I , A p pJto ximatio n 0 6 F u n etio n� 0 6 S e v eJtal V a ­
Jtia bl e� a n d I m b edd�ng T h e o Jt em� , S p r in g e r - V e r l a g , B e r l i n ­
H e i d e l b e r g - N ew Y o r k 1 9 7 5 .
A . P EL C Z y N S K I , K . S E NAT O R , O n i� o m o Jtp hi� m� 0 6 ' ani� o tJto p i e
S o b o l e v � pa e e� wit h " ela� � i eal Ban a e h � p a e e� " a n d a S o b o ­
l e v t yp e em b edding t h e o Jt em , S t u d i a M a t h . 8 4 , 1 6 9 - 2 1 5
( 1 986) .
H . S C HA E F E R , To p o l o g i eal V e et o Jt S p a e e� ,
New Yo r k 1 9 7 1 .
Sp r in g e r - V e r l a g ,
)
)
)
')
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
[15)
L . S C HWART Z , T h�o Jtie d e� di� tJti b utio n� a v al e uJt� v e eto Jti e ­
ll e� , C h . l , Ann . ln s t . F o u r i e r 7 , 1 - 1 4 1 ( 1 9 5 7 ) .
[1 6]
L . S C HWART Z , T h�o Jti e d e � di�tJti b utio n� � v al e uJt� v e et o Jti e ­
ll e� , C h . l l , Ann . l n s t . F o u r i e r 8 , 1 - 2 0 9 ( 1 9 5 8 ) .
)
)
[1 7]
H . J . S C HME I S S E R , H . T R I E B EL , To pie� in F o uJti eJt A n al y� i� a n d
F u n etio n S p a e e� , J o hn W i l e y & S o n s , 1 9 8 7 .
')
)
)
)
)
D e p a r t am e n t o d e Ma t em a t i c a A p l i c a d a
E . T . S . I . ln d u s t r i a l e s
Un i v e r s i d a d P o l i t e c n i c a d e V a l en c i a
Camino d e V e r a s In
4 6 0 2 2 V a l en c i a
E S PA�A
)
)
)
Rec ib ido en mayo d e 1 9 8 9 .
)
)
)
')