Objetivos - JuPeNoMa

Enunciado
El suelo de una pequeña plaza rectangular está formado por filas de losas cuadradas de idénticas
dimensiones. Hay n filas y en cada fila hay m losas. Un día, una hormiga atraviesa en línea recta
la plaza, siguiendo una diagonal. ¿Cuántas losas atraviesa?
Observa que no nos dicen con exactitud cuáles son las dimensiones de la plaza. Por ello
tendremos que encontrar un procedimiento general para contar las losas que cruza, es decir, una
fórmula que nos permita calcular el número total de losas que atraviesa la hormiga, a partir de
las dimensiones de la plaza (el número n de filas y el número m de losas que hay en cada fila).
Una vez que dispongamos de la fórmula será muy fácil hacer el cálculo en cuanto sepamos cuáles
son las dimensiones concretas de la plaza.
Para encontrar esta fórmula tendremos que realizar una pequeña investigación y, para ello, es
muy importante tener en cuenta dos recomendaciones: actuar con método, es decir, de manera
sistemática, y llevar un registro adecuado de los datos que vas encontrando. Teniendo en cuenta
esto tendremos más garantías de poder sacar conclusiones aceptables del trabajo realizado.
Qué hacer
Los deslizadores te permiten cambiar las dimensiones de la cuadrícula. Con ellos puedes cambiar el número
de filas, n, y también el número de losas de cada fila, m. Fíjate en que el tamaño de las losas, y en
consecuencia el tamaño total de la cuadrícula, se adapta a las dimensiones de la cuadrícula, tratando de
aprovechar al máximo la ventana gráfica. También puedes observar que siempre aparece trazada una de
las diagonales de la cuadrícula.
Cambia las dimensiones para estudiar los casos particulares que tendrás que ir resolviendo. En cada caso lo
que tienes que hacer es contar el número de cuadrados que atraviesa la diagonal dibujada. Los cuadrados
son más fáciles de contar si mantienes activada la casilla "Ver esquema".
Preguntas
1. Vamos a empezar estudiando algunos casos particulares y analizando los datos que vamos
recogiendo, a ver si encontramos algún tipo de regularidad que nos permita realizar alguna
conjetura. Primero, cuenta cuántas losas atraviesa la hormiga si las dimensiones de la plaza son
m=2 y n=1.
2. Haz lo mismo con plazas de las siguientes dimensiones:
m=3 y n=2
m=5 y n=2
m=5 y n=3
m=6 y n=5
Con los datos que vas obteniendo completa la siguiente tabla:
m
n
2
1
3
2
5
2
5
3
6
5
Número de losas
que atraviesa
3. ¿Observas alguna regularidad en la tabla anterior? ¿Sabrías calcular, a partir de lo que ves en la
tabla, cuántas losas atravesaría la hormiga en una plaza de dimensiones m=5 y n=4? Comprueba tu
conjetura en la aplicación.
4. Si no has encontrado ninguna regularidad en la tabla, añade una nueva columna y escribe en ella la
suma m+n:
m
n
2
1
3
2
5
2
5
3
6
5
m+n
Número de losas
que atraviesa
¿Encuentras ahora alguna relación entre la suma m+n y el número de losas que atraviesa la
hormiga? ¿Cuántas losas atraviesa la hormiga en una plaza de dimensiones m=4 y n=3?
Comprueba tu conjetura en la aplicación.
5. ¿Cuántas losas tiene que atravesar la hormiga en una plaza de dimensiones m=6 y n=3? ¿Se
mantiene tu conjetura, es decir, se cumple la misma relación que en los casos que has estudiado
antes?
6. Estudia ahora los siguientes casos:
m=4 y n=2
m=6 y n=3
m=8 y n=4
m=6 y n=4
m=9 y n=6
Con los datos que obtienes, ¿observas alguna regularidad? Fíjate en la cuadrícula que se
forma en cada caso y compárala con otras cuadrículas que hayas estudiado antes:
¿encuentras alguna relación entre la cuadrícula de dimensiones 4x2 y la de 2x1? ¿Y entre la
de 6x3 y la de 2x1? ¿Tiene eso algo que ver con los resultados que has encontrado?
¿Podrías decir cuántas losas tiene que atravesar la hormiga si la plaza tiene de dimensiones
m=10 y n=5? Comprueba tu resultado con la aplicación.
7. Con los datos que has obtenido en el apartado anterior completa la siguiente tabla, en la que
añadimos la suma de las dimensiones y su máximo común divisor:
m
n
4
2
6
3
8
4
6
4
9
6
m + n MCD(m,n)
Número de
losas
que atraviesa
8. Trata ahora de encontrar una fórmula que te permita calcular el número de losas que atraviesa la
hormiga en una plaza de dimensiones formada por n filas de m losas cada una. ¿Sirve esta fórmula
también para los casos que has estudiado en la pregunta 1?
9. Finalmente nos hemos enterado de que la plaza tiene 72 filas de 60 losas cada una. ¿Cuántas losas
atraviesa la hormiga cuando la cruza? ¿Por cuántos vértices pasa durante su travesía, contando el
de salida y el de llegada? Haz tus cálculos y, a continuación, comprueba tus resultados con la
aplicación.
10. Elabora un informe sobre la investigación que has llevado a cabo, en el que debes incluir el
enunciado del problema, el proceso que has seguido y los resultados obtenidos.