1 Superposición de ondas

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Superposición de ondas
Este fenómeno ocurre en el caso de la reexión y para modelarlo se utiliza una identidad trigonómetrica
útil para este caso. Recuerde la siguiente identida dtrigonometrica:
y0 sin (A + B) + y0 sin (A − B)
=
2y0 sin (A) cos B
y0 sin (kx + ωt) + y0 sin (kx − ωt)
=
2y0 sin (kx) cos(ωt)
La ecuacion anterior es utiol para el estudio de fenomenos ondulatorios como la reexión o la interferenci
π
2πλ
π
a de las ondas observe que si kx = n con n 0 impar se tienen máximos
=
esto signica
2
λ4
2
que cada x igual a un multiplo impar deλ/4 se tiene un maximo y cada multiplo par un mínimo.
Otra forma de modelar este fenómeno es tener presente que las ondas diferentes llegan con tiempos
diferentes, pero cada una de ellas con u retado de tiempo dado por
r1 r2
y
v
v
y la superposición de las dos ondas queda como:
ω
r1 r2 y0 cos ω t −
(r2 − r2 )
+ y0 cos ω t −
= 2y0 cos (ωt) cos
v
v
2v
1.1
Interferencia de ondas
La interferencia entre dos o más ondas se produce en casos como la interaccción entre una incidente
y la onda reejada, o cuando dos ondas diferenters alcanzan un mismo punto al mismo tiempo. la
interferenci puede ser destructiva y se produce cuando dos ondas de la misma frecuencia están completamente desfasadas una respecto a la otra; es decir, cuando la cresta de una onda coincide con el
valle de otra, en consecuenca las dos ondas se cancelan mutuamente. Cuando las ondas que se cruzan
o solapan tienen frecuencias diferentes o no están exactamente en fase ni desfasadas, el esquema de
interferencia puede ser más complejo. La interferencia constructiva se produce en los puntos en que dos
ondas de la misma frecuencia que se solapan o entrecruzan están en fase; es decir, cuando las crestas
y los valles de ambas ondas coinciden. En ese caso, las dos ondas se refuerzan mutuamente y forman
una onda cuya amplitud es igual a la suma de las amplitudes individuales de las ondas originales. De
la gura se observa que al puntoQllegan los frentes de onda procedentes de la rendija 1 y de la rendija
2; como las distancias recorridas son diferentes esta diferencia puede expresarse como:

r2 − r1 = nλ
4r =
1
r2 − r1 =
n+
λ
2

d sin θ = nλ
erencia constructiva
interf
de la gura 1 se observa que la diferenci de caminos es
1
d sin θ =
n+
λ lineas nodales interf erencia destructiva
2
Figure 1: Iinterferencia doble rendija
1
1. en el laboratorio de sica so obtuvo el siguiente patron sobre el papel de la mesa L = 0.40m la
distancia entre los puntos que generan las perturbaciones d = 0.025m λ = 0.01m y se tomo la
franja brillante de segundo orden en el eje y = 0.15m sobre el punto que corresponde a n = 3. si
la frecuncia de las perturbaciones es de 60 hz.Hallar
(a) La longitud de onda dekl agua
(b) La velocidad de propagación de la onda en el agua
1. Mostrar que A exp
−b
2m
cos (ωt + φ) es una solucón de la ecuación−kx − b
dx
d2 x
=m 2
dt
dt
π
2. Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación (en unidades S.I.) y(x t) = 0.2sin(6πt+πx+ ).
4
Calcular:
(a) La frecuencia, el periodo, la longitud de la onda y la velocidad de propagación.
(b) b) El estado de vibración, velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0,2 m en
el instante t = 0,3 s. c)
(c) Diferencia de fase entre dos puntos separados 0,3 m.
3. La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda tensa está dada pory(x t) =
6sin(0.02πx+4πt) donde x, y están en cm; t en segundos
(a) Poner esta ecuación en forma coseno. Determinar su longitud de onda y su frecuencia.
(b) ¾Cuál es su amplitud? ¾En qué sentido se propaga, y cuál es la velocidad de propagación?
(c) ¾Cuál es la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda? ¾Y la aceleración
máxima
El nivel de presion LP de una onda sonora se dene como Lp = 10 log10
Prms
Pref
2
siendo Prms el valor
rms de la onda de presion en el punto considerado.Donde la potencia de referencia es Pref = 2 10−5 P a
Un diapason vibra con una frecuencia de 275.2 Hz. Una persona que oye la nota emitida por el mismo
percibe un nivel de presion de LP = 64dB . Calcular la longitud de onda, escribir la ecuacion de onda
y determinar la intensidad de la onda enW/m2. Densidad del aire ρ = 1, 29g/litro . Velocidad de
propagacion del sonido v = 344 m/s.
2π
ω
= = 5m−1 ω = 2πf = 1729 rad s−1
λ
v
v = λf
Lp
20
Prms = Pref
Prms
64dB = 20 log
2 10−5 P a
64
Prms
= log
20
2 10−5 P a
Prms
103.2 =
2 10−5 P a
2 10−5 P a 103.2 = Prms
La longitude de onda: calculo a partir de:k =
3.17 10−2 P a =
Prms
Para ondas armónicas la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda, sin dependencia a la distancia al foco emisor y se describe medainte la siguiente expresión
I=
1
2
ρvPmax
2
2
La ecuación de onda de la propagación de la presión es P (x, t) = Pmax cos (kx − ωt)
1.1.1
Ondas en un tubo semiabierto
La gura 1 muestra la relacion existente entre las ondas estacionarias y la longitud de un tubo abierto;
observe como el primer maximo coincide con la longitud del tubo; además la distancia entre el maximo
λ
y el nodo es de , puede observarse que el primer,segundo, tercero y asi sucesivamente coinciden con
4
λ 3λ 5λ 7λ 9λ
2n − 1
,
...,
λ,las posibles
4 4 4 4 4
4
4L
recordandoque la velocidad de
=
2n − 1,
el extremo abierto, esto permite hacer una generalizacion:L = ,
longitudes de onda que se obtienen se expresan comoλn
propagación de una onda es v = λf se puede escribir:
fn =
2n − 1
v donde n corresponde al número de nodos
L
Figure 2: ondas tubo semicerrado
1. Una onda sonora estacionaria en untubo con una longitud de 0.410m que contien aire con presion
y temperaturas normales ¾cula es lafrecuencia del soniodo?
2. Dos ondas que viajan en direcciones opuestas producen una onda estacionaria. Las funciones de
onda individuales (x y y ) estan medidas en centimetros y1 = 4 sin (3x − 2t)y y1 = 4 sin (3x + 2t).
Encuentre:
(a) La amplitud del movimiento armónico simple del medio en un punto localizado a 2.3cm
(b) encuentre las posiciones de los nodos y los maximos
(c) La amplitud del movimiento armónico simle en
π
2π
y en
6
6
3. Un silbato que emite una frecuencia de 4300 Hz produce una onda cuyo valor máximo de presión
por encima de la presión ambiental es 4 10−2 Pa. Esta onda se propaga a 344 m/s en el aire.
(a) a) Escribir la ecuación de onda. Determinar la longitud de onda.
(b) ¾Cuál es el nivel de presión sonora?. Si la Presión de referencia Pref = 2 10−5 P a.
4. El nivel de intensidad de la sirena de un barco, percibido por un marinero en la cubierta a 10
metros de distancia de la misma, es de 70 dB. Determinar
(a) el nivel de intensidad a 1 km de distancia;
(b) la distancia a la cual la sirena dejará de ser audible;
3
(c) la presión rms de la onda sonora a la distancia a la que la sirena deja de ser audible. Umbral
de percepción de intensidad 10 = 10−12 W · m−2 ;densidad del aire 1.20kg.m−3 ; velocidad
del sonido 338 m/s.
N1 (dB)
=
107
=
I1
=
N2 (dB)
I1
10 log
= 70dB
I0
I1
10−12
10−5 W m−2
I2
= 10 log
=x
I0
A un kilometro de distancia punto.Restando estas dos ecuaciones se tiene:
N1 (dB) − N2 (dB)
70dB − x
I1
I2
N1 (dB) − N2 (dB) = 10 log
− 10 log
I0
I0
I1
N1 (dB) − N2 (dB) = 10 log
= 70 − .x
I2
I1
10 log
= 10 log 10−4
I2
40 − 70 = −30
=
-La intensidad de las ondas sonoras es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
a la fuente. La relación entre las intensidades y las distancias se describe como:
I2
I1
=
I2
=
r12
= 10−4
r22
102 −5
10
106
La distanciar0 a la que la sirena deja de ser audible es aquella a la intensidad de la onda se
hace igual al límite de percepción I0 = 10 −12 W · m−2
I1
I0
=
r0
= r1
r02
r2
r1
I1
10−12
r
1.2
r0
= 10
r0
=
10−5
10−12
31600m
La intensidad del sonido
Ya se identico la intensidad de una onda como la potencia sobre la unidad de área, se mostro que
para ondas esféricas la intensidad decae co o como la segunda potencia de la distancia a la fuernte y
se obtuvo la proporción
I1
r2
= 22
I2
r1
4
La anterior relació tambien es valida para ondas sonoras y sus unidads son
W
, en razon a la
m2
sensibilidad del oido humano para la intensidad del sonido se utiliza una escala alogaritmica:
N dB = 10 log
I
I0
5. Una pareja asiste a un concierto de vsllenato y llevan un sonometro , mediante este instrumento
uno de ello mide un nivel de sonido N1 dB = 105dB mientras que el otro que se encuentra a 2.8m
más cerca del escenario mide N2 dB = 108dB ¾ a que distancia se encuentran las personas de los
parlantes en el escenario?
r2
I1
= 22
I2
r1
las intensidad relativa se escribe como
N2 dB − N1 dB
=
3dB
=
3dB
=
3dB
=
10 /20
=
10 /20 (r1 − 2.8m)
=
3
3
3/20
10 /20 r1 − 2, 8 10
3
r1 10 /20 − 1
3
108dB − N1 dB = 105dB = 10 log
2
r
10 log 12
r
2
r1
20 log
r2
r1
20 log
r1 − 2.8m
r1
r1 − 2.8m
r1
= r1
=
2.8 10
5
3/20
I2
I1