Los circuitos de corriente directa La fuerza electromotriz El cálculo

Los circuitos de corriente directa
ferencia de potencial entre sus extremos; ésta puede
hacer trabajo sobre los portadores de carga.
Cuando se ha establecido una corriente estable en
el circuito, una carga dq pasa a través de cualquier
parte en un tiempo dt. El trabajo W desarrollado por
la batería sobre las cargas permite definir a la fem
como
Estudiaremos el comportamiento de los circuitos
eléctricos, que incluyen elementos como resistores
individuales, baterías o alambres. Estudiaremos circuitos de corriente directa (CD), donde la dirección
de la corriente no cambia con el tiempo.
La fuerza electromotriz
Para que las cargas se muevan a través de un circuito, se requiere de una fuente externa de energía, que
mantenga la diferencia de potencial entre dos puntos
del circuito.
E =
dW
.
dq
(1)
cuya unidad de medida es el volt.
El cálculo de la corriente a través de
una sola malla
Considere un circuito como el de la figura 1 suponiendo que el dispositivo es un resistor de resisitencia
R. En un tiempo dt en el resistor aparece una energía interna i2 R dt, en ese mismo tiempo, dentro de la
batería se mueve una carga dq (= i dt), y el trabajo
desarrollado por la batería es
Figura 1:
dW = E dq = E i dt.
A cualquier dispositivo que haga esta tarea se le
llama fuente de fuerza electromotriz, o fem, E . La figura 1, muestra una fuente de fuerza electromotriz,
E , que puede ser una batería, y qu emantiene una di-
Del principio de conservación de la energía, el trabajo hecho por la fuente de fem debe ser igual a la
1
energía interna en el resistor, o
E i dt = i2 E dt.
Resolviendo para i, se obtiene
i = E /R.
(2)
Figura 2:
El potencial eléctrico en un punto debe ser constante en todo momento, por lo que,
La suma algebraica de los cambios en el potencial que se encuentren en un recorrido completo del
circuito es cero.
que se conoce como la segunda regla de Kischhoff, o
la relgal de las mallas. Así, si Va es el potencial en el
punto a, entonces
Usando al regla de las mallas
Vb + E − ir − iR = Vb
o
E − ir − iR = 0
En la figura 3 se muestran gráficamente los cambios
en el potencial.
Y, del resultado anterior
Va − iR + E = Va .
De donde
−iR + E = 0,
i=
que es independiente del valor de Va .
E
.
R+r
(3)
Nótese que la resistencia interna reduce la corriente
a través del circuito.
La resistencia interna de una fuente de fem
La figura 2 muestra un circuito de una sola malla, que
enfatiza el hecho de que una fuente de fem tiene una
resistencia interna r intrínseca.
Las diferencias de potencial
Frecuentemente se necesita conocer la diferencia de
2
La diferencia de potencial es independiente de la trayectoria que se siga en el circuito para recorrerlo de
a a b.
Y si se sigue la trayectoria alterna para ir de a a b
se obtiene
Va + ir − E = Vb
o
Vab = Va −Vb = E − ir.
La combinación de este resultado con la ecuación (3)
se obtiene la (4). Ejercicio 1. ¿Cuál es la corriente
en el circuito de la figura 4? Las fem y los ressitores
tienen los valores siguientes
Figura 3:
potencial entre dos puntos de un circuito. En la figura 2, ¿de qué modo depende Vab (= Va −Vb ) entre los
puntos a y b de E , r y R? Usando la regla de las mallas se tiene que si Va y Vb son los potenciales en los
puntos a y b, respectivamente, entonces
E1 = 2.1V, E2 = 4.4V,
r1 = 1.8 Ω, r2 = 2.3 Ω, R = 5.5 Ω.
Usando la regla de las mallas se tiene que
Vb + iR = Va
i=
así que
Vab = Va −Vb = iR,
E2 − E1
= 0.24 A.
R + r1 + r2
Ejercicio 2. (a) ¿Cuál es la diferencia de potencial
entre los puntos a y b en la figura 4? ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y c en la figura
4?
y combinando este resultado con la ecuación (3) se
obtiene
R
Vab = E
.
(4)
R+r
3
figura 5, se debe pasar a través de un sólo elemento
(resistor) a la vez. La diferencia de potencial, V, a través de cada resistor es la misma que la de una batería
conectada a sus extremos y el flujo de las cargas se
reparte entre los dos resistores.
Figura 4:
(a) Nuevamente, usando la regla de las mallas se
tiene que
Figura 5:
Va −Vb = −ir2 + E2 = +3.8 V.
La figura 5 muestra a dos resistores conectados en
paralelo. Se determinará la resistencia equivalente. Si
se conecta una batería con diferencia de potencial V ,
la misma diferencia de potencial se establecerá a través de ambos resistores, entonces de la ecuación (29
se tiene que
(b) De modo semejante,
Va −Vc = −ir1 + E1 = +2.5 V.
Los resistores en serie y en paralelo
También se pueden hacer combinaciones en serie
y en paralelo con los resistores, lo que da lugar a
una resistencia equivalente, Req , que no altera el
funcionamiento del circuito.
i1 = V /R1 and i2 = V /R2 .
(5)
ya que la carga total que pasa a través de a también
pasa a través de b, entonces
Los resistores conectados en paralelo
i = i1 + i2 .
Para ir de un extremo a a b en la combinación de la
4
(6)
Si la combinación en paralelo se reemplaza por un
resistor con resistencia equivalente Req , debe pasar la
misma corriente a través del circuito, por lo que
i = V /Req .
Figura 6:
(7)
Esta combinación se caracteriza por la sucesión se
los resistores, uno a continuación de otro. Para pasar
del extremo a al b necesariamente se pasa a través de
todos y cada uno de los resistores en los cuales hay
una caída en el potencial correspondiente.
Si se aplica un adiferencia de potencial a los extremos a y b en la figura 6, se establece una corriente i
a través de la combinación. Las diferencias de potencial correspondientes son
Sustituyendo las ecuaciones (5) y (7) en la (6) se obtiene
V
V
V
=
+
(8)
Req R1 R2
o
1
1
1
=
+
(9)
Req R1 R2
Si se tuvieran n resistores conectados en paralelo,
entonces
n
1
1
=∑
(10)
Req i=1 Ri
V1 = iR1 y V2 = iR2 .
La suma de estas diferencias de potencial debe ser
igual a la diferencia de potencial mantenida por la
batería:
V = V1 +V2 .
(13)
En el caso especial de tener dos resistores conectados en paralelo se tiene que
Req =
R1 R2
R1 + R2
(12)
(11)
Luego, reemplazando la combinacion por la resistencia equivalente, Req y considerando la conservacion de la carga (corriente constante):
Los resistores conectados en serie
La figura 6 muestra a dos resistores conectados en
serie.
iReq = iR1 + iR2 ,
5
o
ecuación (10) se obtiene
Req = R1 + R2 .
(14)
R12 =
Extendiendo esta ecuación a cualquier número de resistores conectados en serie
Req = ∑ Rn .
R1 R2
(4.6)Ω (3.5)Ω
=
= 2.0 Ω.
R1 + R2
4,6Ω + 3,5Ω
ahora, R12 y R3 están combinadas en serie (figura 7b
y, usando la ecuacion (14) se encuentra la resistencia
equivalente R123 :
(15)
n
Ejercicio 3. (a) Encuentre ka resistencia equivalente de la combinacion que se muestra en la figura 7a, usando los valores R1 =4.6 Ω, R2 =3.5Ω y
R3 =2.8Ω. (b) ¿Cuál es el valor de la corriente a través de R1 cuando se conecta una batería de 12.0 V a
los extremos a y b?
R123 = R12 + R3 = 2.0 Ω + 2.8 Ω = 4.8 Ω.
(b) Al conectar la batería a los extremos a y b en
la figura 7c
i=
12.0 V
V
=
= 2.5 A.
R123
4.8 Ω
Así, la diferencia de potencial a través R12 en la figura
7b es
V12 = iR12 = (2.5 A)(2.0 Ω) = 5.0 V.
Los circuitos multimallas
La figura 8 muestra un circuito multimallas. Se caracteriza porque tiene nodos como los indicados por
b y d, y ramas. En la figura se 8 tienen tres ramas
o trayectorias que conectan a los nodos b y d, la rama de la izquierda bad, la de la derecha bcd y la del
centro, bd.
Figura 7:
(a) Se determina la resistencia equivalente R12 de
la combinación en paralelo de R1 y R2 . Usando la
6
Partiendo y terminando un recorrido en el punto b
se tiene
E1 − i1 R1 + i3 R3 = 0.
(17)
y por otro lado
−i3 R3 − i2 R2 − E2 = 0.
(18)
Así, resolviendo el sistema se tiene
Figura 8:
i1 =
El objetivo principal es determinar las corrientes a
través de las ramas que, a priori, se eligen con direcciones arbitrarias pero coherentes.
En el nodo d se tiene
i1 + i3 = i2 .
E1 (R2 + R3 ) − E2 R3
,
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
(19)
E1 R3 − E2 (R1 + R3 )
,
(20)
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
−E1 R2 − E2 R1
i3 =
,
(21)
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
Ejercicio 4. La figura 9 muestra un circuito cuyos
elementos tienen los siguientes valores
i2 =
(16)
Que sugiere un principio general para la solución
de circuitos multimalla:
En cualquier nodo la suma de las corrientes que
abandonan al nodo es igual a la suma de las corrientes que entran al mismo.
A ésta se le conoce como la primera regla de
Kirchhoff, que establece simplemente la conservación de la carga.
E1 = 2.1 V,
E2 = 6.3 V,
R1 = 1.7 Ω,
R2 = 3.5 Ω.
Encuentre las corrientes en als tres ramas del circuito.
En el nodo a
i1 + i2 = i3 .
7
(22)
Ejercicio 5. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y b del circuito de la figura 9? Si se
hace el recorrido desde a hasta b en la figura 9
Va − i2 R2 − E2 = Vb ,
o
Va −Vb = 6.3 V + (−0.40 A)(3.5 Ω) = +4.9 V.
Figura 9:
Los instrumentos de medición
Con los métodos ya estudiados es posible analizar
varios instrumentos para mediciones eléctricas.
Si partimos desde el punto a, se obtiene
−i1 R1 − E1 − i1 R1 + E2 + i2 R2 = 0
El amperímetro
El amperímetro es el instrumento que se usa para medir la corriente eléctrica. Para hacer este tipo de mediciones se requiere de cortar el alambre a través del
cual se hará la medición, de modo que allí se inserta el amperímetro para que la corriente pase a través
de él, formando parte del circuito. La resistencia, RA ,
del amperímetro debe ser muy pequeña (idealmente
cero) comparada con las resistencias del circuito, ver
la figura 10, es decir
o
2i1 R1 − i2 R2 = E2 − E1 .
(23)
Y, haciendo el recorrido en direccion opuesta
+i3 R1 − E2 + i3 R1 + E2 + i2 R2 = 0
o
i2 R2 + 2i3 R1 = 0.
(24)
RA r + R1 + R2 .
Así que: i1 = 0.82 A, i2 = −0.40 A y i3 = 0.42 A.
8
necta. En la figura 11
RV R1 .
El potenciómetro
El potenciómetro es el instrumento que se usa para
medir Ex desconocida, al comparala con una Es patrón conocida. La figura 11 muestra sus elementos
básicos. El resistor que va de a a e es de precisión
y tiene un contacto móvil deslizable. En la figura, la
resistencia R es la resistencia entre los puntos a y d.
Figura 10:
Un amperímetro también puede usarse para medir
una resistencia desconocida.
El voltímetro
El voltímetro es el instrumento que se usa para medir
la diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito. Para encontrar la diferencia de potencial entre
cualesquiera dos puntos en el circuito, las terminales del voltímetro se conectan directamente a dichos
puntos, sin romper el circuito, ver la figura 10.
Figura 11:
Cuando se usa el instrumento, primero se coloca Es
en la posicion de E y el contacto deslizante se ajusta
hasta que la corriente en el amperímetro sea cero. Entonces se dice que el potenciómetro está balanceado,
La resistencia, RV , de un voltímetro debe ser muy
grande (idealmente infinita) comparada con cualquier elemento del cricuito a través del cual se co9
el valor de R en el balance es Rs . En esta condición de
balance se tiene, considerando la trayectoria abcda,
Es = i0 Rs .
(25)
Debido a que i = 0 en la rama abcd, la resistencia
interna, r, de la fuente de fem no entra en juego.
A continuación se repite el proceso con Ex sustituida por Es , y el potenciómetro se balancea de nuevo. La corriente i0 permanece sin alteraciones (porque i = 0) y la nueva condicion de balanceo es
Ex = i0 Rx .
Figura 12:
principio de conservación de la energía se determinará la corriente que circula a través del circuito.
En el tiempo dt se mueve una carga dq(= i dt) a
través del circuito. El trabajo (= E dq) desarrollado por la fuente de fem debe ser igual a la energía
(= i2 R dt)interna producida en el resistor durante el
tiempo dt, más el incremento, dU, en la cantidad de
energía U (= q2 /2C) almacenada en el capacitor, por
lo que
2
q
E dq = i2 R dt + d
2C
(26)
De las ecuaciones (25) y (26) se tiene que
Ex = E Rx .
Rs
(27)
Entonces la fem desconocida se detemina en
términos de la fem conocida.
Los circuitos RC
La inserción de un capacitor en un circuito con resistores hace que la corriente a través del circuito cambie con el tiempo.
Suponga que se carga al capacitor de la figura 12
al pasar el interruptor S a la posición a. Aplicando el
o
E dq = i2 R dt +
10
q
dq.
C
Dividiendo por dt se tiene
E
Sustituyendo q (Ec. (31)) y dq/dt (Ec. (32)) en (29)
se obtiene una identidad.
La cantidad RC en las ecuaciones (31) y(32) tiene
dimensiones de tiempo y se llama constante de tiempo capacitiva, τC del circuito:
dq
q dq
= i2 R +
.
dt
C dt
Ya que i = dq/dt, entonces
q
(28)
E = iR + .
C
La ecuacion (28) también se puede obtener usando
el teorema de las mallas.
Para resolver (28) se reemplaza a i por dq/dt, que
resulta en
dq q
E =R + .
(29)
dt C
Que se puede reescribir como
dt
dq
=− .
q−EC
RC
τC = RC.
y es el tiempo en el que la carga del capacitor se ha
incrementado en un factor de 1 − e−1 (≈63 %) de su
carga final CE .
Ejercicio 6. Un resistor R (=6.2 MΩ) y un capacitor C (=2.4 µF) están conectados en serie con una batería de 12 V con resistencia desperciable. (a) ¿Cuál
es la constante de tiempo capacitiva de este circuito?
(b) ¿Cuánto tiempo transcurre, después de que se conecta la batería, para que la diferencia de potencial a
través del capacitor sea de 5.6 V?
(a) De (33)
(30)
Integrando en el caso de que inicialmente q = 0 cuando t = 0, se obtiene
q(t) = CE (1 − e−t/RC ).
(33)
(31)
τC = RC = (6.2 × 106 Ω)(2.4 × 10−6 F) = 15s.
Se puede verificar que q(t) es, en efecto, una solución de (29). Derivando (31) con respecto al tiempo
se tiene
dq E −t/RC
i=
.
(32)
= e
dt
R
(b) De acurdo con (31)
VC =
11
q
= E (1 − e−t/RC ).
C
con q0 = E C, a partir del capacitor completamente
cargado. Después de transcurrir un tiempo t = τC la
carga en el capacitor se reduce a q0 e−1 , que es aproximadamente el 37 % de la carga inicial q0 .
Derivando respecto al tiempo se tiene
Resolviendo para t se obtiene
VC
t = −τC ln 1 −
E
5.6 V
t = −15 s ln 1 −
= 9.4 s.
12 V
i=
Suponga que en la figura 12, el interruptor S se mantuvo por un tiempo mucho mayor que RC en la posición a, para que el capacitor quedara completamente
cargado. Ahora el interruptor S se lleva a la posición
b, por lo que E = 0 en esta nueva malla, así que
q
= 0.
C
E
i = − e−t/τC .
R
(34)
dq q
+ = 0.
dt C
(35)
La solución es
q(t) = q0 e−t/RC ,
(38)
Ejercicio 7. Un capacitor C se descarga a través
d eun resistor R. (a) ¿Después de cuántas constantes
de tiempo su carga es la mitad de la carga inicial? (b
¿Después de cuántas constantes de tiempo la energía
almacenada es la mitad de su valor inicial?
(a) La carga en el capacitor cambia de acuerdo con
la ecuacion (36),
Reemplazando i por dq/dt se obtiene
R
(37)
El signo negativo indica que la corriente tiene la dirección opuesta a la indicada en la figura 12, ya que el
capacitor se está descargando. Ya que q0 = E C, (37)
se puede escribir como
La descarga del capacitor
iR +
dq
q0
= − e−t/τC .
dt
RC
q(t) = q0 e−t/τC
(36)
12
donde q0 es la carga incial. Ahora buscamos el tiempo que debe transcurir para que se cumpla que q =
1
2 q0 , o
1
q0 = q0 e−t/τC
2
Cancelando q0 y aplicando el logaritmo natural en
ambos lados de la ecuación anterior, se ecuentra que
t
−ln(2) = −
τC
o
t = (ln(2))τC = 0.69τC .
o
ln(2)
= 0.35τC .
2
La energía almacenada es la mitad de su valor inicial
después de que ha transcurrido 0.35 veces la constante de tiempo. Esto es cierto sin importar cual es la
energía inicial almacenada. El tiempo (0.69τC ) necesario para que la carga sea la mitad de su valor inicial
es más grande que el tiempo (0.35τC ) necesario para
que la energía sea la mitad de su valor inicial, ¿por
qué?
t = τC
La carga es la mitad de su valor inicial después de
0.69 veces la constante de tiempo.
(b) La energía asociada al capacitor es
q2
q2
= 0 e−2t/τC = U0 e−2t/τC ,
2C 2C
donde U0 es la energía inicialmente almacenada. En
tiempo en el cual U = 12 U0 se encuentra a partir de
U=
1
U0 = U0 e−2t/τC ,
2
Cancelando U0 y aplicando el logaritmo natural a cada lado, se obtiene
−ln(2) = −2t/τC
13