Mediciones Eléctricas I

Mediciones Eléctricas I
Ciclo Lectivo 2013
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UNIDAD TEMÁTICA I
TEORIA
DE ERRORES
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TEORIA DE ERRORES
Clasificación de los errores
Groseros
Sistemáticos
Accidentales
•Transposición de
cifras: 21.5  25.1
•Leer en escalas
incorrectas
•Utilizar fórmula
inapropiada
•No efectuar el ajuste
del cero mecánico o
infinito previo a la
medición
Método empleado
Instrumento
Tendencia del Operador
Paralaje
Poder separador del ojo
Apreciación
Condiciones ambientales
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CONTRASTE Y
VERIFICACIÓN DE
INSTRUMENTOS
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ELEMENTOS PATRONES
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Elementos Patrones de Tensión
-
+
E=1.0183V
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Patrones de Resistencia
P
C
P
C
P
C
P
C
Manganina: 84% Cu –12% Mn – 4% Ni
Constantan: Ni - Mn
 Cu  4.10 3

 Mn  6.10 6


C

C
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Patrones de Resistencia
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Sistemas de
unidades y patrones
de medidas
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Unidades de Base SI
CANTIDAD
SIMBOLO
Longitud
Corriente
Temperatura
Masa
Tiempo
l
I, i
T
m
t
UNIDAD
metro
ampere
kelvin
kilogramo
segundo
ABREV.
m
A
K
kg
s
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Unidades derivadas SI
Tensión
V, v, E, e
Carga
Q, q
Resistencia
R
Potencia
P, p
Capacitancia
C
Inductancia
L
Frecuencia
f
Flujo Magnético

Densidad Flujo Mag.
B
volt
coulomb
ohm
watt
farad
henry
hertz
weber
tesla
V
C

W
F
H
Hz
Wb
T
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Mediciones Eléctricas I
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Cómo se determina la
clase de un instrumento?
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Contraste
Contraste: Ensayo para establecer
la clase de un instrumento
R
U
Ac
c
Ap
(Vm  V p ) máximo
Alcance
.100
 Temperatura ambiente
constante, llamada de
calibración (20 a 25ºC)
 Reducción de campos
magnéticos externos
 Posición normal de
trabajo
 c.a.: Sinusoidal, 50 Hz
 Permanencia de las
lecturas
 Constancia del cero
(Vm  V p ) máximo
c
.100
Valor Fiduciario
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Contraste
1A
-15
0
mV
• Escala lineal, alcance coincide
100 V
con el valor máximo
• Escala Ampliada, es el valor
máximo
240 V
• Cero al Centro: se suman los
+35
valores positivos y negativos
• Frecuencímetro, valor
máximo
50 mV
53 Hz
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Contraste de Instrumentos
Vc [V]
R1
u
Vp
R2
Datos:
Vc IPBM
Alcance 150V
C=?
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VC
Vp [V]
Eabs [V]
Cr [V]
10
9,98
0,02
-0,02
20
20,05
-0,05
0,05
30
31,02
-1,02
1,02
40
39,50
0,50
-0,50
50
51,80
-1,80
1,80
60
59,00
1,00
-1,00
70
69,70
0,30
-0,30
80
81,10
-1,10
1,10
90
89,50
0,50
-0,50
100
99,60
0,40
-0,40
110
110,95
-0,95
0,95
120
119,95
0,05
-0,05
130
129,20
0,80
-0,80
140
140,80
-0,80
0,80
150
148,75
1,25
-1,25
EMax  1.8V
1.8V
.100  1.2%
150V
c  1.5%
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Quebrada de Calibración
2,00
Cr [V]
10
-0,02
20
0,05
30
1,02
40
-0,50
50
1,80
60
-1,00
70
-0,30
80
1,10
90
-0,50
100
-0,40
110
0,95
120
-0,05
130
-0,80
140
0,80
150
-1,25
Mediciones Eléctricas I
1,50
1,00
Corrección
Vc [V]
0,50
145
0,00
-0.25
10
20
30
40
50
60
70
80
V
90 100 110 120 130 140 150
-0,50
-1,00
-1,50
Valor Medido
Lectura corregida:
145V  0.25V  144.75V
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Contraste de Instrumentos: confiabilidad de la medición
e%
10
ei % 
9
Emax
Vmed
.100
8
7
6
5
4
3
2
1
Muy poco confiable
confiable
Medianamente confiable
0
10
20
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30
40
50
60
70
80
90
100
% Alcance
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Contraste y clase de instrumentos
•Campo Nominal de Referencia
•Campo de Utilización
15...45...65...70
Hz
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Campo Nominal de Referencia-Utilización
2c
c
f
15
45
65
70
Hz
-c
-2c
Referencia
Utilización
15
45
65
15...45...65...70
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70
Hz
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Teoría de Errores
PROPAGACIÓN DE ERRORES LÍMITES
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Propagación de errores límites
E
I v  I m  ElimA
I
A
Medida Directa
c
Cota de Error
Amperímetro – Alcance 10 A - c=0.5 – Imedida=7.5A
Emax 
c. Alcance
 0.05 A
100
I  (7.5  0.05) A
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Propagación de errores límites
Medida Indirecta
Medida Directa
E
E
I
A
I
R
V
A
Determinación de P=U.I
I v  I m  ElimA
Mediciones Eléctricas I
I v  I m  ElimA
U v  U m  Elimv
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w  f ( u ,v )
Propagación de errores límites
dw  wu du  wv dv
w  wu u  wv v
E w     wu  Eu  ( wv ) E v 
Ew
1 w
w

e w  
    u  E u  ( v ) E v 
w
w
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Problema 1
Sobre una resistencia R = 200   1% , se miden
separadamente corriente y tensión. La tensión medida
con un voltímetro de clase 0.5 coincidió con el alcance
de 100 V. El amperímetro de clase 1% midió 0,5 A en el
alcance de 1 A.
Analice y determine la mejor ecuación para calcular el
error relativo porcentual cometido en el cálculo de la
potencia disipada sobre R causada por los errores de
clase de los instrumentos.
A los fines prácticos considerar “ideales” los
instrumentos ( Ra  0, Rv  ).
e  
Mediciones Eléctricas I
Ew
w
  w1 [( wu )Eu  ( wv )Ev ]
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Problema 1
P  U .I
e1  2.5%
P  R.I 2
e2  5%
2
U
P
R
e3  2%
Mejor Solución
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TEORÍA DE
ERRORES
ESTADÍSTICOS
Teoría de Errores Estadísticos
Errores
Estadísticos
Teoría de
Gauss
Teoría de
Student
Cuando
disponemos de
un número
considerable de
muestras
Cuando por
razones
económicas la
muestra está
acotada en
número
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TEORIA DE ERRORES
CASO I
Medición de Capacitores
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CASO II
Medición de Corriente de Corte
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Estudio Estadístico del Error
Estudio de los errores accidentales, que
por sus características solo pueden ser
estudiados desde el punto de vista
estadístico.
Las conclusiones a que se arriben han
de tener en cuenta resultados con cierto
grado de confiabilidad, donde nunca es
posible alcanzar la certeza absoluta.
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Estudio Estadístico del Error
Población=10.000 resistencias
R  100
=
>
<
100
Muestra
50 resistencias
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Estudio Estadístico del Error
Valor Resistencia
en 
Número de
Lecturas
Frecuencia
Relativa
99,7
1
0,02
99,8
3
0,06
99,9
12
0,24
100,0
18
0,36
100,1
11
0,22
100,2
4
0,08
100,3
1
0,02
50
1
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Uso de Funciones en Excel: FRECUENCIA
CTRL+SHIFT+INTRO
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Estudio Estadístico del Error
0,40
0,40
Número
de
Lecturas
Frecuencia
Relativa
0,35
0,35
0,30
0,30
1
0,02
3
0,06
12
0,24
18
0,36
11
0,22
0,10
0,10
4
0,08
0,05
0,05
1
0,02
Mediciones Eléctricas I
0,25
0,25
0,20
0,20
0,15
0,15
0,00
0,00
99,7 99,7 99,8 99,8
99,9
99,9
100
100
100,1
100,1
100,2
100,2
100,3
100,3
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Estudio Estadístico del Error
0,40
 Mayor ocurrencia de
sucesos en cercanías
del valor nominal
 Distribución
semejante a ambos
lados de este valor
central
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
99,7
99,8
99,9
100
100,1
100,2
100,3
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Postulados de Gauss
 El valor verdadero de un número muy grande
de mediciones efectuadas en iguales
condiciones, está dado por la media
aritmética de las mismas.
 Es igualmente probable cometer errores de
igual valor absoluto, pero de distinto signo.
 Es tanto más probable cometer errores
pequeños que grandes.
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Distribución normal o gaussiana
• Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la desviación
típica, σ.
•
Su función de distribución es:
y( x ) 
h

e
 h 2 .x 2
h
1
 2
La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas por
sus parámetros μ y σ.
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Características de la distribución Normal
• Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas (para x =  )
• Simétrica con respecto a la media () donde coinciden la mediana (Mn) y la moda (Mo )
• Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores   
y( x) 

Mediciones Eléctricas I


 -  , Mo, Mn
h

e
 h 2 .( v  v  ) 2
+
+
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Características de la distribución Normal
La curva normal adopta un número infinito de formas,
determinadas por sus parámetros y expresada por la función de
densidad: f(x) =
1
e
 2
1  v  
- 

2  
2
donde:  (media) y  (desviación típica) son parámetros de
la distribución
v = valores observados de la variable en estudio
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TEORIA DE GAUSS
5
  10
20
30
40
50
60
70
80
Curvas normales con distintas desviaciones estándar
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TEORIA DE GAUSS
Mediciones Eléctricas I
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Distribución Normal
Dado que tanto  como  pueden asumir infinitos valores lo que hace
¿Cómo calcular probabilidades asociadas a una
impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles
curva
normal
específica?
distribuciones normales,
se utiliza
la distribución
normal reducida o
tipificada
Se define una variable
t
=
v -

Es una traslación , y un cambio de escala de la variable
original
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TEORIA DE GAUSS
y( x ) 
n
 
h
1
x
2
h

e
h
2 ( v  v )2
h1
i 1
h2
n
v
v
v
 2
0
t
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TEORIA DE GAUSS: curva universal
y( x ) 
h
t
h

e
1
 2
x

 h 2 .x 2
p( x1 ,x2 ) 
x2
y
dx
(x)
x1
p( t1 ,t 2 ) 
t2
1
2.

e
 12 t 2
dt
t1
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La nueva variable z se distribuye como una
NORMAL con media  = 0 y desviación típica  = 1
Una regla empírica indica que en cualquier distribución normal
las probabilidades delimitadas entre :
 1  68 %
 2  95 %
 3  99 %
95%
68%
99%
68%
95%
-3
-2
Mediciones Eléctricas I
-1
99%
0
z
1
2
3
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Índices de dispersión
ERROR PROBABLE
50%
v  ep
v  ep
v
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Índices de dispersión
DESVIACIÓN NORMAL
68%
v 
Mediciones Eléctricas I
v
68%
v 
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Hay varios tipos de tablas de la distribución normal
La que se explica aquí representa las áreas para los
diferentes valores de z desde 0 hasta +
Los valores
negativos de z NO
están tabulados, ya
que la distribución
es simétrica
0
+
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*Margen izquierdo : Los enteros de z y su primer decimal
La tabla consta de:
* Margen superior: segundo decimal
* Cuerpo de la tabla: áreas correspondientes, acumuladas,
desde 0 hasta 3.99
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
.0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
0.5
.1915 ....
.0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0363 .0675 .0675 .0754
.0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 ....
.1179 .....
......
......
.1554 ....
.....
....
Mediciones Eléctricas I
......
......
......
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Tabla Distribución Normal: Area desde infinito a 0
z*
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
.00
.50000
.46017
.42074
.38209
.34458
.30854
.27425
.24196
.21186
.18406
.15866
.13567
.11507
.09680
.08076
.06681
.05480
.04457
.03593
.02872
.02275
.01
.49601
.45620
.41683
.37828
.34090
.30503
.27093
.23885
.20897
.18141
.15625
.13350
.11314
.09510
.07927
.06552
.05370
.04363
.03515
.02807
.02222
Mediciones Eléctricas I
.02
.49202
.45224
.41294
.37448
.33724
.30153
.26763
.23576
.20611
.17879
.15386
.13136
.11123
.09342
.07780
.06426
.05262
.04272
.03438
.02743
.02169
.03
.48803
.44828
.40905
.37070
.33360
.29806
.26435
.23270
.20327
.17619
.15151
.12924
.10935
.09176
.07636
.06301
.05155
.04182
.03362
.02680
.02118
.04
.48405
.44433
.40517
.36693
.32997
.29460
.26109
.22965
.20045
.17361
.14917
.12714
.10749
.09012
.07493
.06178
.05050
.04093
.03288
.02619
.02068
.05
.48006
.44038
.40129
.36317
.32636
.29116
.25785
.22663
.19766
.17106
.14686
.12507
.10565
.08851
.07353
.06057
.04947
.04006
.03216
.02559
.02018
.06
.47608
.43644
.39743
.35942
.32276
.28774
.25463
.22363
.19489
.16853
.14457
.12302
.10383
.08691
.07215
.05938
.04846
.03920
.03144
.02500
.01970
.07
.47210
.43251
.39358
.35569
.31918
.28434
.25143
.22065
.19215
.16602
.14231
.12100
.10204
.08534
.07078
.05821
.04746
.03836
.03074
.02442
.01923
.08
.46812
.42858
.38974
.35197
.31561
.28096
.24825
.21770
.18943
.16354
.14007
.11900
.10027
.08379
.06944
.05705
.04648
.03754
.03005
.02385
.01876
.09
.46414
.42465
.38591
.34827
.31207
.27760
.24510
.21476
.18673
.16109
.13786
.11702
.09853
.08226
.06811
.05592
.04551
.03673
.02938
.02330
.01831
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Tabla Distribución Normal: Area para z>+z* (o para z<-z*)
z*
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
4.0
.00
.01786
.01390
.01072
.00820
.00621
.00466
.00347
.00256
.00187
.00135
.00003
.01
.01743
.01355
.01044
.00798
.00604
.00453
.00336
.00248
.00181
.00097
.00002
Mediciones Eléctricas I
.02
.01700
.01321
.01017
.00776
.00587
.00440
.00326
.00240
.00175
.00069
.00001
.03
.01659
.01287
.00990
.00755
.00570
.00427
.00317
.00233
.00169
.00048
.00001
.04
.01618
.01255
.00964
.00734
.00554
.00415
.00307
.00226
.00164
.00034
.00001
.05
.01578
.01222
.00939
.00714
.00539
.00402
.00298
.00219
.00159
.00023
.00000
.06
.01539
.01191
.00914
.00695
.00523
.00391
.00289
.00212
.00154
.00016
.00000
.07
.01500
.01160
.00889
.00676
.00508
.00379
.00280
.00205
.00149
.00011
.00000
.08
.01463
.01130
.00866
.00657
.00494
.00368
.00272
.00199
.00144
.00007
.00000
.09
.01426
.01101
.00842
.00639
.00480
.00357
.00264
.00193
.00139
.00005
.00000
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EJEMPLO 1
Una fuente de tensión de valor nominal 4V fue
medida 100 veces en las mismas condiciones,
obteniendo una desviación normal  = 1.5
¿Cuál es la probabilidad de encontrar un valor
v  6V (P(v  6 ))?
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z*
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
.00
.50000
.46017
.42074
.38209
.34458
.30854
.27425
.24196
.21186
.18406
.15866
.13567
.11507
.09680
.08076
.06681
.05480
.04457
.03593
.02872
.02275
.01
.49601
.45620
.41683
.37828
.34090
.30503
.27093
.23885
.20897
.18141
.15625
.13350
.11314
.09510
.07927
.06552
.05370
.04363
.03515
.02807
.02222
=4
.02
.03
.04
.49202 .48803 .48405
.45224 .44828 .44433
.41294 .40905 .40517
.37448 .37070 .36693
.33724 .33360 .32997
.30153 .29806 .29460
.26763 .26435 .26109
.23576 .23270 .22965
.20611 .20327 .20045
.17879 .17619 .17361
.15386 .15151 .14917
.13136 .12924 .12714
.11123 .10935 .10749
.09342 .09176 .09012
.07780 .07636 .07493
.06426 .06301 .06178
.05262 .05155 .05050
.04272 .04182 .04093
.03438 .03362 .03288
.02743 .02680 .02619
.02169 .02118 .02068
 = 1.5
.05
.48006
.44038
.40129
.36317
.32636
.29116
.25785
.22663
.19766
.17106
.14686
.12507
.10565
.08851
.07353
.06057
.04947
.04006
.03216
.02559
.02018
.06
.47608
.43644
.39743
.35942
.32276
.28774
.25463
.22363
.19489
.16853
.14457
.12302
.10383
.08691
.07215
.05938
.04846
.03920
.03144
.02500
.01970
.07
.47210
.43251
.39358
.35569
.31918
.28434
.25143
.22065
.19215
.16602
.14231
.12100
.10204
.08534
.07078
.05821
.04746
.03836
.03074
.02442
.01923
.09
.46414
.42465
.38591
.34827
.31207
.27760
.24510
.21476
.18673
.16109
.13786
.11702
.09853
.08226
.06811
.05592
.04551
.03673
.02938
.02330
.01831
vμ
z
σ
Hallar P ( v > 6 )
1.- transformar x en un valor de z
z = (6 - 4)/1.5 = 1.33
2.- Hallar P ( 0 < z < 1.33) =
3.- 0.5000 - 0.40824 =
.08
.46812
.42858
.38974
.35197
.31561
.28096
.24825
.21770
.18943
.16354
.14007
.11900
.10027
.08379
.06944
.05705
.04648
.03754
.03005
.02385
.01876
0.5
0.40824
0.09176
?
-0.5
-3
1
-2
2.5
4
-1
0
5.5 6
1 1.33
x
7
8.5
2
3
z
=4
Mediciones Eléctricas I
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Problema:
1) De un lote de 1000 resistencias se observa que el 8% exceden el
límite de 10.025 Ω.
Si la fábrica debe entregar un total de 50.000 que cumplan con la
especificación de :
+25
10.000
-50
Cuántas debe fabricar ?
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Propagación de errores estadísticos
w  f ( u ,v )
 W  f (  u , v )
PRIMERA MEDICION:
x u1 y x v1
dw  ( wu )u , v .du  ( wv )u , v .dv
Teorema general de la varianza:
  ( ) .  ( ) .
2
w
w 2
u
2
u
w 2
v
2
v
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Propagación de errores estadísticos
Problema: Averiguar la desviación normal porcentual de una resistencia calculada
a partir de los siguientes datos:
2w  ( wu )2 .2u  ( wv )2 .2v
U = 100 V ± 12 V
I = 10 A ± 2 A
w 
 
     
2
w

1 2
I
2
u
 

U 2
I2
1 2
I
2
u
U 2
I2
2
2
v
2
 1  2 100  2
    12   2  2
10 
10 
2
v
w  1.44  4  2.33 
w %  23.3%
Una desviación del 12% en la tensión y del 20% en la corriente contribuyen
para que la desviación normal en la resistencia calculada sea del 23%.
Mediciones Eléctricas I
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Muestras
Pequeñas
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Muestras Pequeñas
Características de la distribución t de Student
•Al igual que la distribución z, es una distribución continua, acampanada y simétrica
•La distribución t tiene una media de cero, es simétrica respecto de la media y se extiende
de - a + 
• No hay una distribución t, sino una "familia" de distribuciones t, todas con la misma
media cero, pero con su respectiva desviación estándar diferente de acuerdo con el
tamaño de la muestra n. Existe una “distribución t” p.ej. para una muestra de 10, otra
para una muestra de 11, y así sucesivamente.
•La distribución t es más ancha y más plana en el centro que la distribución normal
estándar. Sin embargo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se
aproxima a la distribución normal estándar.
v  v 
t

S
Sv
n
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Muestras Pequeñas
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Muestras Pequeñas
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Muestras Pequeñas
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Muestras Pequeñas
f(y)

Muestra de 10 resistencias
Sv 
S
n
n
S 
 xi 2
i 1
n 1
n
S 

i 1
( vi  v ) 2
n 1
vt
S
n
DISTRIBUCION DE GOSSET-STUDENT
Mediciones Eléctricas I
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Muestras Pequeñas
Ensayo
1000
A
Im [A]
1
2
980
1030
3
4
1025
975
n
v   x i  1002.5 A
1
n
2
x
 i
1
s
Sn 

n
Mediciones Eléctricas I
n  1  14.5
n
Determinar la cota de
error con una probabilidad
del 95%
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Mediciones Eléctricas I
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Sn 
29.01
 14.5 A
4
1002,5  ( 3,18 x 14,5 )
(1002,5  46,1) A
Mediciones Eléctricas I
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Solución en Excel
Mediciones Eléctricas I
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Solución en Excel
=PROMEDIO(C61:C64)
=DESVEST(C61:C64)
=DISTR.T.INV(0.05,3)
1002.5 A
29.01
Sn 
29.01
 14.5 A
4
t=3.18
1002,5  ( 3,18 x 14,5 )
(1002,5  46,1) A
Mediciones Eléctricas I
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Funciones Estadísticas en Excel
DEVEST
=DESVEST(B9:B58)
MODA
=MODA(B9:B58)
MEDIANA
=MEDIANA(B9:B58)
MEDIA
=PROMEDIO(B9:B58)
DISTR.NORM
=DISTR.NORM(100,1;99,97;0,2183;VERDADERO)
DISTR.T.INV
=DISTR.T.INV(0,05;3)
DISTR.NORM.ESTAND
=DISTR.NORM.ESTAND(2,82)
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Funciones Estadísticas en Excel:
=DISTR.NORM.ESTAND(t)
Probabilidad de encontrar un valor ≤ z
Argumento de la función t
Valor de z que deja por debajo una probabilidad dada
Argumento de la función p
=DISTR.NORM.ESTAND.INV(p)
=DISTR.NORM(t,,,VERDADERO)
=DISTR.NORM.INV(p,,)
Mediciones Eléctricas I
Devuelve la probabilidad en una distribución normal con los
parámetros: x ,  y 
Devuelve t en una distribución normal con los parámetros: p ,  y 
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Problema:
1) De un lote de 1000 resistencias se observa que el 8% exceden el
límite de 10.025 ohm.
Si la fábrica debe entregar un total de 50.000 que cumplan con la
especificación de :
+25
10.000
-50
Cuántas debe fabricar ?
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Solución del Problema con Excel
8% exceden, 42% se encuentran entre
10.000 y 10.025
La Ptotal=P(a)+P(b)
42%
P(b)
>8%
=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.92)
P(a)
10.025
9950
1.405
t2=x2/

x1
25

 17.73
t1 1.405
=DISTR.NORM(9950,10000,17.73,VERDADERO)
0.4976
P(TOTAL)=P(a)+P(b)=0.42+0.4976=0.9176
Número Total de Resistencias a construir=54.500
Mediciones Eléctricas I
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Mediciones Eléctricas I
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