Ondas planas

1
Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
TEMA 4
ESTUDIO DE ONDAS PLANAS
HOMOGÉNEAS
Miguel Ángel Solano Vérez
Electrodinámica
Tema 4: ondas planas
2
TEMA 4: ESTUDIO DE ONDAS PLANAS
HOMOGÉNEAS
4.1
Introducción
En el capítulo 3 se han desarrollado la ecuaciones de onda para el campo
electromagnético correspondiente a medios con y sin pérdidas. Asimismo, se han
obtenido sus soluciones en los sistemas de coordenadas rectangulares y cilíndrico
utilizando el método de separación de variables. En este capítulo, vamos a
considerar las soluciones del campo electromagnético para campos con variación
armónica temporal que viajan por un medio infinito tanto en el caso sin pérdidas
como con pérdidas. En particular, veremos que las soluciones de este caso son
ondas (o modos) electromagnéticas de tipo TEM, o transversales
electromagnéticas que significa que el campo electromagnético no tiene ninguna
componente en la dirección en la que se propaga la energía. Se introducirán
conceptos como impedancia de onda, velocidades de fase y grupo y razón de onda
estacionaria. También se verá el concepto de polarización.
4.2 Modos transversales electromagnéticos (TEM)
Un modo es una configuración particular de un campo. Para un problema
electromagnético dado, sometido a unas ciertas condiciones de contorno, existen
muchas distribuciones del campo que satisfacen las ecuaciones de ondas, o lo que
es lo mismo, las ecuaciones de Maxwell junto con esas condiciones de contorno.
Todas esas diferentes configuraciones (soluciones) del campo se llaman
habitualmente modos.
Un modo TEM es una de esas configuraciones de campo en la que tanto el
campo eléctrico como el campo magnético en cada punto del espacio está contenido
en un plano local, llamado plano de igual fase, y que es independiente del tiempo. En
general, la orientación de esos planos locales asociados con una onda o modo TEM
son diferentes en las diferentes posiciones del espacio. En otras palabras, en un
punto dado (x1,y1,z1) todos las componentes del campo están contenidos en un plano.
En otro punto (x2,y2,z2) de nuevo todos las componentes del campo están
contenidas en otro plano. Sin embargo, en una onda TEM esos dos planos no tiene
porque ser paralelos, como puede verse en la figura 4.1.
Si la orientación de los planos para un modo TEM es la misma, es decir, los
planos de igual fase son paralelos, como muestra la figura 4.1b, entonces los
3
Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
campos forman una onda plana. En otras palabras, las superficies de igual fase son
superficies planas paralelas entre sí. Si además, en los planos de igual fase la
amplitud del campo es constante, entonces se denominan ondas planas uniformes.
Esto significa que el campo no es función de las coordenadas que forman los planos
de igual fase y de igual amplitud.
Figura 4.1- Onda TEM (a) y onda plana (b).
4.3 Ondas planas en el vacío
El campo eléctrico es solución de la ecuación de Helmholtz homogénea
2
G
∇ E
G
G
G
G
G
∂2 E ∂2 E ∂ 2 E
+ k02 E = 0 ⇒
+
+
+ k02 E = 0
2
2
2
x
y
z
Esta ecuación es válida para cada componente del campo eléctrico, luego
Electrodinámica
4
Tema 4: ondas planas
∂ 2 Ei ∂ 2 Ei ∂ 2 Ei
∇ Ei + k Ei = 0 ⇒ 2 + 2 + 2 + k02 Ei = 0 i = x, y, z
x
y
z
2
2
0
cuya solución se obtiene mediante el método de separación de variables ya
conocido. Así, para la componente Ex tendremos
Ex ( x , y , x ) = A e
− jkx x − jky y − jkz z
(4.1)
donde
kx2 + ky2 + kz2 = k02
;
2
ω ⎞2 ⎛ 2 πf ⎞
2
⎟ = ω ε0 µ0
⎟ =⎜
c
⎝c ⎠
⎝
⎠
k02 = ⎛⎜
La ecuación (4.1) se interpreta como la componente x del campo eléctrico
correspondiente a una onda que se propaga en la dirección dada por el vector de
G
onda k que es
G G
G
G
k = ax kx + a y ky + az kz
(4.2)
G
ya que el producto escalar de k por el vector de posición
G
G
G
G
r = a x x + a y y + az z
es kxx+ kyy+ kzz y es k0 veces la distancia perpendicular desde el origen a un plano
G
G
G G
normal al vector k . El vector k se puede escribir también como k = n k0 , donde
G
G
n es el vector unitario en la dirección de propagación y k0 es el módulo de k (ver
figura 4.2)
G
G
Figura 4.2.- Esquema de un plano normal al vector k = n k0
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Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
Soluciones similares se pueden encontrar para el resto de las componentes
del campo eléctrico que, además, no son independientes ya que deben cumplir la
G
relación ∇.B = 0 . Esto significa que solamente dos de las tres componentes pueden
tener amplitudes arbitrarias. Sin embargo, para que la divergencia del campo
eléctrico se anule, es necesario que todas las componentes tengan la misma
dependencia espacial
E y (x , y , x ) = B e
− jkx x − jky y − jkz z
;
E y (x , y , x ) = B e
− jkx x − jky y − jkz z
(4.3)
G
G
G
G
donde B y C son las amplitudes. Si definimos el vector E 0 = ax A + a y B + az B , el
campo eléctrico se puede poner como
G
G
E ( x , y , x ) = E0 e
− jkx x − jk y y − jkz z
G G
G
= E e − jk .r
(4.4)
La condición de la divergencia produce
G G
G G
G G
G G
G G
− jk .r
− jk .r
∇. E ( x , y , x ) = E0 ∇ e
= − j k . E0 e
= 0 ⇒ k . E0 = 0
G
lo que implica que el campo eléctrico es perpendicular a la dirección de propagación
de la energía. La solución dada por (4.4) se denomina onda plana uniforme porque
G G
las superficies de fase constante dadas por k . r = constante son planos y el
campo eléctrico no varía sobre un plano de fase constante. La solución para el
campo magnético se obtiene de la ley de Faraday
G
G
∇x E = − j ω µ0 H
de forma que despejando queda
G G
G
G
1
∇x E0 e − jk .r =
H =−
j ω µ0
=
donde Y0 =
G G
G
G
G
1
1 G G − jk .rG
=
E0 x ∇ e − jk .r =
k x E0 e
j ω µ0
ω µ0
(4.5)
G G
ε G G
k0 G G
n x E = 0 n x E = Y0 n x E
µ0
ω µ0
ε0
tiene dimensiones de admitancia y se llama admitancia intrínseca
µ0
1
se llama impedancia intrínseca del vacío. Notemos
Y0
G
G
G
G
G
que H es perpendicular a E y a n , por lo que tanto H como E descansan en un
del vacío. Su inverso Z0 =
plano de fase constante. Por esta razón a este tipo de ondas se les denomina ondas
o modos transversales electromagnéticos (TEM), como muestra la figura 4.3.
Electrodinámica
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Tema 4: ondas planas
G
G
G
Figura 4.3.- Relación espacial entre E , H y n en una onda TEM.
El campo eléctrico físico (real) correspondiente a la representación fasorial
(4.4) es
G
G G
G G
G
(
G G
ξ ( r ,t ) = ℜe ⎧⎨E0 e − jk .r`+ jωt ⎫⎬ = E0 cos ωt − k .r
⎩
⎭
)
(4.6)
G
donde, por simplicidad, hemos asumido E0 real. La longitud de onda λ0 es la
distancia que debe viajar la onda para que la fase cambie en 2π radianes. Es decir,
G
ω 2π
k λ0 = k0 λ0 = 2 π ⇒ k0 = ω ε0 µ0 = =
c
λ0
(4.7)
Este resultado es la relación conocida entre la longitud de onda λ0, la frecuencia
f=ω/2π y la velocidad c en el vacío. También se puede definir una longitud de onda
en otra dirección que no sea la de propagación. Por ejemplo, la longitud de onda en
la dirección x es
λx =
2π
kx
y, ya que kx es menor o igual que k0, λx es mayor o igual que λ0. La velocidad de fase
es la velocidad a la que se debería de mover un observador para ver la fase
constante. De la ecuación (4.6), se ve que la fase del campo eléctrico es constante
G G
G
G
siempre que ωt − k .r lo sea. Si el ángulo que forman k y r es θ, entonces
G G
ωt − k .r = k0 r cos θ − ωt . Diferenciando la relación
(
)
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Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
k0 r cos θ − ωt = const
da
dr
ω
=vp =
dt
k0 cos θ
(4.8)
G
para la velocidad de fase en la dirección r . A lo largo de la dirección de
propagación cos θ = 1 y vp=ω/k0=c. En otras direcciones, la velocidad de fase es
mayor que la velocidad de la luz c en el vacío. Este resultado puede entenderse
mejor examinando la figura XXX. Cuando la onda se mueva una distancia λ0 a lo
largo de la dirección de propagación la intersección del plano de fase constante con
el eje u se ha movido una distancia λu=λ0 sec θ, como muestra la figura 4.4. Por
esta razón, la longitud de onda y la velocidad de fase a lo largo de la dirección u
son mayores por un factor sec θ que las correspondientes medidas a lo largo de la
dirección de propagación.
Figura 4.4.- Propagación de una onda a lo largo de una dirección oblicua al eje u.
4.4 Ondas planas en medios dieléctricos con pérdidas
Supongamos ahora que la onda plana se propaga por un medio dieléctrico con
pérdidas caracterizado por su permitividad εr y por una conductividad finita σ. El
Electrodinámica
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Tema 4: ondas planas
proceso es el similar al realizado para el vacío, pero ahora la constante de fase es
un número complejo que denominamos constante de propagación; así
G
G
G
G
γ = a x γ x + a y γ y + az γ z
G
G
;
γ = γ0 n
(4.9)
G
donde n el vector unitario en la dirección de propagación y γ0 es el módulo de la
constante de propagación
γ02 = (α + jβ )2 = γ x2 + γ y2 + γ z2 = jωµσ − ω 2 εµ
Igualando parte real e imaginaria queda
α 2 − β 2 = − ω 2 εµ
y
2 α β =ω ε σ
y despejando
1
⎧
⎪1
α =ω µε ⎨
⎪2
⎩
⎡
⎤⎫ 2
2
⎢ 1 + ⎛⎜ σ ⎞⎟ − 1 ⎥ ⎪
⎜ω ε ⎟
⎢
⎥⎬
⎝
⎠
⎪
⎣⎢
⎦⎥ ⎭
⎧
⎪1
β =ω µε ⎨
⎪2
⎩
⎡
⎤⎫ 2
2
⎢ 1 + ⎛⎜ σ ⎞⎟ + 1 ⎥ ⎪
⎜ω ε ⎟
⎢
⎥⎬
⎝
⎠
⎢⎣
⎥⎦ ⎪⎭
(4.10)
1
En un medio con pérdidas, la onda plana se propaga a la vez que se atenúa de
acuerdo con el valor de la constante de atenuación α, cuyas unidades son Np/m o
simplemente m-1. Es muy común expresar la constante de atenuación α en dB/m. La
relación entre se obtiene a partir de
α ( dB ) = 20 log e −αz = −20 α z log e = −8 ,686 α z
y si z=1 metro, entonces
α ( dB / m ) = 8 ,686 α ( Np / m )
El campo eléctrico es entonces
G
G
G G
G
E ( x , y , x ) = E0 e −γ .r = E0 e
−γ x x −γ y y −γ z z
(4.11)
9
Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
De la misma manera que antes, el campo magnético se obtiene a partir de la
ley de Faraday
G
H =−
G G
G G
G
G
G
1
1
E0 x ∇ e −γ .r =
∇x E0 e −γ .r =
j ω µ0
j ω µ0
G
G G
G G − jk .rG
γ0
1
γ x E0 e
=
=
n xE
j ω µ0
j ω µ0
donde ahora se puede definir la admitancia intrínseca (o su inverso la impedancia
intrínseca) como
Yω = Z ω−1 =
γ0
=
jωµ
jωµ (σ + jωε )
σ + jωε
=
jωµ
jωµ
(4.12)
Como vemos, la impedancia intrínseca es el cociente (en magnitud) entre el
campo eléctrico y el magnético correspondiente a una onda plana que se propaga
por un medio infinito. A ese cociente se le llama impedancia de onda, por tanto, la
impedancia intrínseca de un medio es la impedancia de onda de una onda plana que
se propague por ese medio infinito. La impedancia intrínseca es un número complejo
cuando el medio tiene pérdidas. Si no las tiene será un número real.
Se define la profundidad por efecto piel δ (skin) como el inverso de la
constante de atenuación. Si una onda plana se propaga por un medio sin pérdidas
cuando haya recorrido un longitud igual a δ se habrá atenuado en una cantidad igual
al inverso del número “e” lo que significa una cantidad cercana al 38%.
4.4.1 Buenos dieléctricos
que
Un medio con pérdidas se dice que es un buen dieléctrico cuando se cumple
2
⎛ σ ⎞
⎜
⎟
⎜ω ε ⎟
⎝
⎠
<< 1
entonces, aplicando la aproximación (1 + x )n ≈ 1 + nx +
n (n + 1 ) 2
x + ...
2!
si x << 1 ,
Electrodinámica
⎧
⎪1
α =ω µε ⎨
⎪2
⎩
1
2
⎡
⎤⎫ 2
⎢ 1 + ⎛⎜ σ ⎞⎟ − 1 ⎥ ⎪
≈ω µε
⎜ω ε ⎟
⎢
⎥⎬
⎝
⎠
⎪
⎢⎣
⎥⎦ ⎭
⎧
⎪1
=ω µε ⎨
⎪⎩4
10
Tema 4: ondas planas
1
2 ⎫ 2
⎛ σ ⎞
⎜
⎟
⎜ω ε ⎟
⎝
⎠
⎪
⎬
⎪⎭
=
σ
2
1
2
4
⎧
⎫ 2
1 ⎛ σ ⎞
1 ⎛ σ ⎞
⎪
⎪
⎜
⎟
⎜
⎟
+
−
−
+
=
...
1
1
⎨
⎬
⎜ω ε ⎟
⎜ω ε ⎟
2
8
⎝
⎠
⎝
⎠
⎪⎩
⎪⎭
µ
ε
(4.13)
De la misma manera se obtiene que
β ≈ ω µε
(4.14)
y la impedancia intrínseca será
Zω =
jωµ
=
σ + jωε
jωµ
σ
jωε
jωε + 1
≈
µ
ε
(4.15)
De estas tres ecuaciones se observa que para un dieléctrico de bajas
pérdidas, la constante de fase y la impedancia intrínseca coinciden con las que
tendría el dieléctrico si las pérdidas no se considerasen. Además, la constante de
atenuación tiene un valor dado por la ecuación (4.13) y que nunca será un valor
demasiado grande ya que la conductividad σ de un buen dieléctrico será un número
bastante menor que la unidad.
4.4.2 Buenos conductores
que
Un medio con pérdidas se dice que es un buen conductor cuando se cumple
2
⎛ σ ⎞
⎜
⎟
⎜ω ε ⎟
⎝
⎠
>> 1
siguiendo el mismo proceso anterior, tendremos
11
Tema 4: Ondas planas
⎧
⎪1
α =ω µε ⎨
⎪2
⎩
Electrodinámica
1
⎡
⎤⎫ 2
2
⎛
⎞
σ
⎢ 1 +⎜
⎥⎪
⎟
=ω µε
⎜ω ε ⎟ −1⎥ ⎬
⎢
⎝
⎠
⎪
⎥⎦ ⎭
⎣⎢
⎧⎪ 1
≈ω µε ⎨
⎪⎩2
⎛ σ ⎞⎡
1
⎜
⎟
⎜ ω ε ⎟ ⎢1 + 2
⎝
⎠ ⎢⎣
⎧⎪ 1
≈ω µε ⎨
⎪⎩2
2
1
⎛ω ε ⎞
⎜
⎟ −
8
⎝ σ ⎠
⎧
⎪1
⎨
⎪⎩2
⎛ σ ⎞⎡
ω ε ⎞2
⎜
⎟ ⎢ 1 + ⎛⎜
⎟
⎜ ω ε ⎟⎢
⎝ σ ⎠
⎝
⎠⎣
4
⎤ ⎫⎪
⎛ω ε ⎞
⎜
⎟ + ... − 1 ⎥ ⎬
⎝ σ ⎠
⎥⎦ ⎪⎭
1
⎛ σ ⎞ ⎫⎪ 2
⎜
⎟
=
⎜ ω ε ⎟ ⎬⎪
⎝
⎠⎭
1
1
⎫ 2
⎤
⎥ − 1 ⎪⎬
≈
⎥
⎪
⎦
⎭
2
(4.16)
≈
ωµσ
2
donde se han despreciado todos los sumandos dentro del corchete excepto el
primero. Análogamente, se obtiene para la constante de fase
β≈
ωµσ
2
(4.17)
y para la impedancia intrínseca
Zω =
jωµ
=
σ + jωε
jωµ
jωµ
=
σ
ωε ≈
σ
ωε + 1
ωµ
(1 + j ) =
2σ
ω µ jπ / 4
e
Ω
σ
(4.18)
De estas tres ecuaciones observamos que los valores de α y β coinciden en
un buen conductor y que el campo eléctrico y el magnético están desfasados 45
grados que es la fase la impedancia intrínseca, que es un número complejo.
4.5 Potencia transportada
En el caso del vacío, la densidad de potencia asociada a una onda plana es
G
S =
{
}
{
(
)}
G G
G G G
G G G 1
G G G
1
1
1
Re E xH * = Re Y0 E x n xE * = Y0 E .E * n = Y0 E0 .E0* n
2
2
2
2
w / m2
y se puede suprimir el carácter vectorial multiplicando por el vector unitario en la
dirección de propagación; entonces, la densidad de potencia transportada en la
dirección de propagación es
P =
G G
1
Y0 E0 .E0*
2
w / m2
Electrodinámica
12
Tema 4: ondas planas
G
donde E0 es la amplitud de la onda plana. La densidad de energía eléctrica es
ε G G
ε G G
Ue = 0 E .E * = 0 E0 .E0*
4
4
y la densidad de energía magnética
)
( )(
G G
G G G G
µ G G
µ
µ
ε G G
Um = 0 H .H * = 0 Y02 n xE . n xE * = 0 Y02 E0 .E0* = 0 E0 .E0* = Ue
4
4
4
4
Como (Ue+Um) vG=P, siendo vG la velocidad a la que se propaga la energía, se
tiene que
Y
vG = 0 =
ε0
ε0
µ0
=
ε0
1
ε0 µ0
=c
lo que indica que la velocidad a la que se propaga la energía es la velocidad de la luz.
En el caso de un medio con pérdidas, en el que la onda avance en la dirección
del eje Z positivo y con los campos eléctrico y magnético siguientes
G
G
E = ax E0+ e − α z e − j β z
G
;
G
H = ay
1
E + e −α z e − j β z
Zw 0
la densidad de potencia es
+
G G
G E0
1
*
S = Re E xH = az
2
2
G
2
⎧⎪ 1 ⎫⎪
e −2 α z Re ⎨
⎬
⎪⎩ Zw* ⎪⎭
w / m2
4.6 Ondas estacionarias
Vamos a estudiar el caso en el que dos ondas viajan en la misma dirección
pero en sentidos opuestos. Para simplificar la formulación, consideremos que el
campo eléctrico tiene sólo componente x y la dirección de propagación es la del eje
z. El campo eléctrico sería
E x ( z ) = E0+ e − jβz + E0− e jβz = E0+ [cos βz − j sen βz ] + E0− [cos βz + j sen βz ] =
(
)
(
)
= E0+ + E0− cos βz − j E0+ − E0− sen βz = E x e jφx
13
Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
A una onda con el campo eléctrico como el dado por la ecuación anterior se
la llama onda estacionaria. El módulo de este campo eléctrico es
Ex ( z ) =
(E0+ )2 + (E0− )2 + 2 E0+ E0− cos 2 βz
y se le llama patrón de la onda estacionaria, y la fase es
Ex ( z ) =
(E0 ) + (E0 )
+ 2
−2
+
−
+ 2 E0 E0 φx = tg
−1
⎧⎪⎛ E + − E −
0
0
⎨⎜⎜ +
−
⎪⎩⎝ E0 + E0
⎫
⎞
⎟tg βz ⎪⎬
⎟
⎪⎭
⎠
El motivo por el que una onda así se llama onda estacionaria no es porque no
transporte potencia, que lo puede hacer, sino porque los máximos y los mínimos se
producen en posiciones fijas independientes del tiempo. Así, para el módulo del
campo eléctrico se tiene
E x ( z ) máx = E0+ + E0− si βz = mπ , m = 0 ,1 ,2 ,.....
y para el mínimo
E x ( z ) mín = E0+ − E0−
si βz =
2m +1
π , m = 0 ,1 ,2 ,.....
2
Es fácil ver que la separación entre dos máximos o dos mínimos consecutivos
es λ/2 y que la separación entre un máximo y un mínimo consecutivos es λ/4. La
expresión en el dominio del tiempo para esta onda estacionaria es
{
}
Σx ( z ,t ) = Re E x ( z ) e jωt = E x ( z ) cos (ωt − φx )
Se define la Razón de la Onda Estacionaria (ROE) como el cociente entre el
máximo del campo eléctrico y el mínimo del campo eléctrico, es decir
R .O .E . =
E x ( z ) máx
E x ( z ) mín
=
E0+ + E0−
+
−
E0 − E0
=
donde Γ es el coeficiente de reflexión definido como
E−
1 + 0+
E0
1−
−
E0
E0+
=
1 +Γ
1 −Γ
(4.19)
Electrodinámica
Tema 4: ondas planas
E−
Γ = 0+
E0
14
(4.20)
Para medios pasivos (los que no generan potencia) el módulo del coeficiente
de reflexión varía entre 0 y 1 y, por lo tanto, la ROE puede variar desde 1 hasta ∞.
En la figura 4.5 se muestra el patrón de la onda estacionaria para diferentes
valores del coeficiente de reflexión. En el caso en que el módulo del coeficiente de
reflexión valga 1, la ROE tomará un valor infinito y se producirá la máxima
interferencia; en este caso la onda resultante se denomina onda estacionaria pura
que no conlleva ningún transporte de energía. En este caso el patrón de la onda
estacionaria pura es
E x ( z ) = 2 E0+ cos βz
Figura 4.5.- Patrón de onda estacionaria de una onda plana para diferentes
coeficientes de reflexión.
15
Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
4.7 Velocidad de grupo
Hasta ahora se han considerado ondas cuyo campo electromagnético varían
sinusoidalmente a una única frecuencia. Las ondas electromagnéticas se utilizan
muy habitualmente para transmitir información (voz, datos digitales etc.) en una
señal que se denomina señal en banda base. Como veremos en capítulos posteriores,
las frecuencias de la onda deben ser bastante grandes puesto que las dimensiones
físicas de las estructuras que propagan la energía electromagnética deben ser del
orden de la longitud de onda. Por ejemplo, las señales en banda de voz o música se
extienden desde dc hasta 15 KHz, y las señales de televisión o los datos digitales
cubren el rango desde dc hasta algunos mega hercios. Por tanto, se requerirían
estructuras de propagación muy grandes para transmitir las señales en banda base
directamente.
Una forma de evitar este problema es trasladar la señal en banda base a
una frecuencia superior o llamada frecuencia portadora y así permitir tamaños más
razonables de las guías de onda y de las antenas. Un método común de hacer esto,
es el llamado modulación en amplitud (AM). Una señal en banda base m(t) varía la
amplitud de una señal portadora cuya frecuencia es fc como
s ( t ) = A m( t ) cos (2 πfct )
En el dominio de la frecuencia, la señal en banda base consta de una banda
de frecuencias M(f) que es trasladada vía modulación en amplitud hasta una
frecuencia portadora superior S(f)=M(f-fc). Podemos considerar esta señal como
compuesta de una multitud de frecuencias discretas, de forma que la transmisión
de esta señal a través de un medio lineal se puede obtener, por superposición, como
la transmisión de cada frecuencia individual. Si la velocidad de fase del medio por
el que se realiza la transmisión es independiente de la frecuencia todas las
componentes de la onda viajan a la misma velocidad con lo que sufren el mismo
retraso. Este es el caso de una onda plana viajando por un medio sin pérdidas.
Recombinando todas esas componentes se obtiene la señal recibida en el dominio
del tiempo de la misma forma que la transmitida. Decimos, entonces, que la señal se
transmite sin distorsión y se dice que el medio es no dispersivo puesto que todas
las frecuencias viajan a la misma velocidad.
Supongamos ahora que la velocidad de fase del medio por el que se realiza la
transmisión depende de la frecuencia vp (f). En este caso, cada componente
frecuencial viaja a diferente velocidad, cono lo que cada frecuencia individual en el
receptor ni mantiene la misma diferencia de fase que la señal transmitida. Por lo
tanto, la señal recibida en el dominio del tiempo será una señal distorsionada de la
señal transmitida. Se dice que la señal a sufrido dispersión y que el medio es
dispersivo.
La velocidad de fase viene dada por la relación
Electrodinámica
16
Tema 4: ondas planas
vp =
ω
β
(4.21)
donde β es la constante de fase. En el vacío, la constante de fase de una onda plana
es β = ω ε0 µ0 y por tanto la velocidad de fase es constante e igual a
vp = 1
ε0 µ0
. Por otro lado, para un medio con pérdidas, la constante de fase es
la parte imaginaria de la constante de propagación
β = Im {γ } = Im
{
}
jωµ (σ + jωε )
de forma que la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia y por tanto
ondas planas uniformes de distinta frecuencia que se propaguen por ese medio con
pérdidas viajarán a distinta velocidad y el medio será dispersivo.
Se define la velocidad de grupo como la velocidad a la que se propaga una
señal con una banda de frecuencias estrecha (un grupo de frecuencias).
Consideremos un grupo de frecuencias compuesto únicamente por dos frecuencias
muy próximas entre sí ω0+∆ω y ω0-∆ω, siendo ∆ω<<ω0. Las constantes de fase para
cada onda serán respectivamente β0+∆β y β0-∆β. El campo eléctrico total
correspondiente será
ξ ( z ,t ) = E0 cos [(ω0 + ∆ω )t − (β0 + ∆β )z ] + E0 cos [(ω0 − ∆ω )t − (β0 − ∆β )z ] =
= 2 E0 cos (t∆ω − z∆β ) cos (ω0 t − β0 z )
que es la composición de dos ondas una a la frecuencia ω0 y otra a la frecuencia ∆ω
mucho menor que la anterior, es decir, una onda que oscila muy rápidamente y otra
que lo hace mucho más lentamente que hace el papel de envolvente. La velocidad a
la que se propaga la onda en el interior de la envolvente es
vp =
dz ω0
=
dt β0
y la velocidad a la que se propaga la envolvente, que se llama velocidad de grupo, es
(t∆ω − z∆β ) = cte.
⇒ vg =
dz ∆ω
1
=
=
dt ∆β ∆β
∆ω
En el límite de ∆ω -> 0, la expresión para la velocidad de grupo para un
medio dispersivo es
17
Tema 4: Ondas planas
vg =
Electrodinámica
1
dβ
dω
(4.22)
En la figura 4.6 se muestra una representación gráfica de las velocidades de
fase y grupo.
Figura 4.6.- Suma de dos ondas viajeras armónicas en el tiempo de igual amplitud y
frecuencias ligeramente diferentes en un instante de tiempo dado t.
A continuación, se va a ver el caso más general en que no sólo se consideren
dos frecuencias discretas. En la práctica no se presenta nunca la situación ideal de
una onda monocromática pura, ya que ello exigiría una excitación sinusoidal
perfecta (amplitud y frecuencia constantes) durante un período de tiempo infinito.
En general, lo que ocurre es que un emisor emite una señal, que tomaremos por
simplicidad como f(z,t) durante un intervalo finito de tiempo, que de acuerdo con el
teorema de Fourier, se puede descomponer en un espectro continuo de frecuencias
con amplitudes Aω como
f ( z ,t ) =
+∞
∫ Aω e
j (ωt − βz )
dω
−∞
En el caso de que la señal se propague por un medio dispersivo, cada
componente espectral viajará a una velocidad diferente. Si en un punto z’ sumamos
las ondas que llegan y reconstruimos la función a través de la transformada inversa
de Fourier, obtendremos una nueva función f’(z’,t). Si el medio es poco dispersivo,
no habrá gran diferencia de fase entre las diferentes frecuencias, es decir se
producirá poca dispersión. Si el medio es muy dispersivo, la señal se deformará y su
reconstrucción será muy difícil. En el caso muy común, en el que es espectro o
grupo de frecuencias sea estrecho, puede encontrarse una única velocidad
característica del grupo o paquete de ondas que es la velocidad de grupo.
Electrodinámica
18
Tema 4: ondas planas
A(ω)
Figura 4.7.- Señal en banda estrecha con un ancho de
banda 2∆ω.
ω0
ω
Supongamos un grupo de frecuencias centrado en una portadora de
frecuencia ω0 y tal que Aω es cero fuera del intervalo (-∆ω,∆ω) como muestra la
figura 4.7. Entonces, podemos escribir
f ( z ,t ) =
∫ Aω e
j (ωt − βz )
dω
(4.23)
∆ω
Ya que la constante de fase depende de ω, es decir, β=β(ω), podemos
desarrollarla en serie de Taylor en torno a la frecuencia ω0
β( ω ) = β( ω0 ) +
2
2
∂β
(ω − ω0 ) + ∂ β2 (ω − ω0 ) + ....
∂ω ω
2
∂ω ω
0
0
Para grupos estrechos en los que (ω-ω0) es pequeño, la expresión anterior
se puede aproximar por los dos primeros términos, es decir, quedarnos únicamente
con una aproximación lineal
β( ω ) ≅ β( ω0 ) +
∂β
(ω − ω0 ) = β( ω0 ) + β0' (ω − ω0 )
∂ω ω0
donde el signo β0’ significa derivar respecto a ω, y el subíndice cero significa que
los valores se particularizan para la frecuencia ω0. Sustituyendo en la expresión
(4.23) se tiene que
f ( z ,t ) = e j (β0 ω0 z − β0 z )
'
∫ Aω e
jω (t − β0' z )
∆ω
Particularizando esta expresión para z=0
f ( 0 ,t ) =
∫ Aω e
∆ω
jωt
dω
dω
19
Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
podemos escribir
)
(
f ( z ,t ) = f 0 ,t − β0' z e j (β0 ω0 z − β0 z )
'
(4.24)
que muestra que la señal en un punto z tiene la misma amplitud que en el origen
(z=0) después de transcurrido un tiempo
β0' z
y un desfase dado por
β0' ω0 z − β0 z . La velocidad a la que se ha propagado la señal, y por tanto, la
energía asociada es
vg =
dz dω
=
dt dβ
(4.25)
ω =ω 0
Si la velocidad de fase varía lentamente con la frecuencia, un pulso pueden
viajar a través de un medio dispersivo con un cambio relativamente pequeño; pero
si esta condición no se satisface, el grupo se distorsiona mucho y el concepto de
velocidad de grupo ya no es válido.
Finalmente es conveniente apuntar que el hecho de una concentración de
campo en el espacio no implica una correspondiente concentración del espectro de
frecuencias, sino al contrario, de acuerdo con la propiedad de cambio de escala de
la transformada de Fourier que indica que entre la duración de la señal y su ancho
de banda existe una relación inversa. En la siguiente gráfica se muestra el
diagrama de dispersión para un medio dispersivo y para un no dispersivo.
ω
P
ω0
tg-1 vp
tg-1 vg
K0
β
Figura 4.8.- Representación gráfica de las velocidades de fase y grupo.
Electrodinámica
Tema 4: ondas planas
20
4.8 Polarización de ondas planas
El concepto de polarización de una onda se define como el lugar de los
puntos en el espacio que describe el extremo del vector campo eléctrico (o
magnético) a medida que se propaga en función del tiempo. El campo se debe
observar siempre en la dirección de propagación. Un caso típico se muestra en la
figura 4.9. Para simplificar en lo posible los dibujos, habitualmente sólo se dibuja la
proyección sobre un plano perpendicular a la dirección de propagación como
muestran las demás figuras.
Figura 4.9 Rotación de una onda plana en función del tiempo.
La polarización se puede clasificar en tres categorías: lineal, circular y
elíptica (ver figura 4.10). Si el vector que describe el campo eléctrico en un punto
en el espacio como función del tiempo está siempre colocado a lo largo de una
línea, que es perpendicular a la dirección de propagación, se dice que el campo está
21
Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
linealmente polarizado. En general, la figura que traza el campo eléctrico es una
elipse y se dice que el campo está elípticamente polarizado. En realidad, las
polarizaciones lineal y circular son casos particulares de la polarización elíptica y
se pueden obtener cuando la elipse se convierte una línea o en un círculo. La figura
que traza el campo eléctrico puede girar en uno u otro sentido, diferenciándose,
como veremos posteriormente, entonces polarización a derechas o a izquierdas.
(c)
Figura 4.10.- Trazas del extremo del vector campo eléctrico en función del tiempo
para una posición fija: (a) lineal, (b) circular y (c) elíptica.
4.8.1 Polarización lineal
Consideremos una onda plana con componentes x e y del campo eléctrico,
que viaja en el sentido de las z positivas. Los campos eléctrico y magnético
instantáneos son
Electrodinámica
22
Tema 4: ondas planas
G
{G
G
}
G
E ( z ,t ) = ax E x + a y E y = Re ax E x+e j (ωt − βz ) + a y E y+e j (ωt − βz ) =
(
G
G
= ax E x+0 cos (ωt − βz + φx ) + a y E y+0 cos ωt − βz + φ y
G
G
G
H ( z ,t ) = a y H y + ax H x
G E x+0
= ay
Z
)
+
⎧⎪ G E +
G E y j (ωt − βz ) ⎫⎪
j (ωt − βz )
x
e
e
= Re ⎨a y
− ax
⎬=
Z
Z
⎪⎭
⎪⎩
+
G Ey 0
cos (ωt − βz + φx ) − ax
donde E x = E x+0 e jφx y E y = E y+0 e
jφy
Z
(
cos ωt − βz + φ y
)
. Veamos ahora la variación del campo
eléctrico instantáneo en el plano z=0. Se pueden elegir otros planos z=cte
cualesquiera, pero el plano elegido proporciona un análisis más simple. Hagamos por
ejemplo E y+0 = 0 . Entonces
E x = E x+0 cos (ωt + φx )
Ey = 0
El lugar de los puntos que describe el extremo del vector campo eléctrico
es una línea recta que está dirigida siempre según el eje X (ver figura 4.11). Se
dice que el campo está linealmente polarizado según el eje X.
Figura 4.11.- Campo linealmente polarizado en la dirección x.
23
Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
Otras situaciones son igualmente posibles, haciendo por ejemplo E x+0 = 0 ,
resulta entonces una onda linealmente polarizada según el eje Y. Asimismo, resulta
una onda linealmente polarizada si por ejemplo φx = φ y = φ ; entonces
E x = E x+0 cos (ωt + φ )
E y = E y+0 cos (ωt + φ )
La amplitud del vector campo eléctrico es
E = E x2 + E y2 =
(Ex20 )2 + (E y20 )2 cos (ωt + φ )
que es una línea recta que forma un ángulo φ con el eje X, dado por
ϕ = tan
−1
Ey
Ex
= tan
−1
E y+0
E x+0
y se dice que el campo está polarizado en la dirección φ.
De todo lo anterior, podemos deducir que un campo está polarizado
linealmente en un punto dado del espacio si el vector campo eléctrico (o campo
magnético) si en ese punto está siempre dirigido según una línea recta en cualquier
instante de tiempo. Esto se consigue siempre que el campo eléctrico (o magnético)
posea una única componente o dos componentes ortogonales en fase o en oposición
de fase.
4.8.2 Polarización circular
Una onda se dice que está circularmente polarizada si el extremo del vector
campo eléctrico traza un círculo en el espacio.
a) Polarización circular a derechas
Una onda está circularmente polarizada a derechas si el sentido en que gira
la onda proporciona una dirección de acuerdo a la regla de la mano derecha que
coincide con la dirección y sentido de avance de la onda. Esto significa que el
sentido de giro de la onda, “observado” a lo largo de la dirección de propagación,
coincide con el de las agujas del reloj. Por ejemplo, si hacemos (en z=0)
φx = 0
;
φy = − π 2
; E x+0 = E y+0 = E0
Electrodinámica
24
Tema 4: ondas planas
entonces
E x = E 0 cos (ωt )
E y = E 0 cos (ωt − π 2 ) = E0 sen (ωt )
la amplitud del campo eléctrico es
(
)
E = E x2 + E y2 = E02 cos 2 ωt + sen 2 ωt = E02
y que está dirigido formando un ángulo φ con el eje X dado por
ϕ = tan −1
Ey
Ex
= tan −1
E0 sen ωt
= tan −1 (− tan ωt ) = −ωt
E0 cos ωt
Si dibujamos el lugar de los puntos en el espacio para varios instantes
temporales en el plano z=0, vemos que forma un círculo de radio E0 y que rota,
mirando en la dirección de propagación, en el sentido de las agujas del reloj con una
frecuencia angular ω (figura 4.12). Decimos entonces que la onda está
circularmente polarizada a derechas. Podemos escribir el campo eléctrico
instantáneo como
{G
}
G
E ( z ,t ) = Re ax E0 e j (ωt − βz ) + a y E0 e j (ωt − βz −π / 2 ) =
{[
]
G
G
= E0 Re ax − ja y e j (ωt − βz )
}
que muestra que hay una diferencia de fase de 90º entre las dos componentes
ortogonales del campo eléctrico.
De la misma forma que se ha mostrado anteriormente, para el caso en que
φx = π 2
;
φy = 0
; E x+0 = E y+0 = E0
también se muestra que es una onda circularmente polarizada a derechas.
25
Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
Figura 4.12.- Onda polarizada circularmente a derechas.
b) Polarización circular a izquierdas
Una onda está circularmente polarizada a izquierdas si el sentido en que
gira la onda proporciona una dirección de acuerdo a la regla de la mano derecha que
es el contrario a la dirección y sentido de avance de la onda. Esto significa que el
sentido de giro de la onda, “observado” a lo largo de la dirección de propagación, es
contrario al de las agujas del reloj. Por ejemplo, si hacemos (en z=0)
φx = 0
; φy = π 2
; E x+0 = E y+0 = E0
entonces
E x = E0 cos (ωt )
E y = E0 cos (ωt + π 2 ) = −E0 sen (ωt )
la amplitud del campo eléctrico es
(
)
E = E x2 + E y2 = E02 cos 2 ωt + sen 2 ωt = E02
y que está dirigido formando un ángulo φ con el eje X dado por
Electrodinámica
26
Tema 4: ondas planas
ϕ = tan −1
Ey
Ex
= tan −1
E0 sen ωt
E0 cos ωt
= tan −1 (− tan ωt ) = −ωt
Si dibujamos el lugar de los puntos en el espacio para varios instantes
temporales en el plano z=0, vemos que forma un círculo de radio E0 y que rota,
mirando en la dirección de propagación, en el sentido contrario al de las agujas del
reloj con una frecuencia angular ω (figura 4.13). Decimos entonces que la onda está
circularmente polarizada a izquierdas. Podemos escribir el campo eléctrico
instantáneo como
{G
}
G
E ( z ,t ) = Re ax E0 e j (ωt − βz ) + a y E0 e j (ωt − βz + π / 2 ) =
{[
]
G
G
= E0 Re ax + ja y e j (ωt − βz )
}
que muestra que hay una diferencia de fase de 90º entre las dos componentes
ortogonales del campo eléctrico.
Figura 4.13.- Onda polarizada circularmente a izquierdas
De la misma forma que se ha mostrado antes, para el caso en que
27
Tema 4: Ondas planas
φx = − π 2
;
Electrodinámica
φy = 0
; Ex+0 = E y+0 = E0
también resulta una onda circularmente polarizada a izquierdas.
Como conclusión, podemos decir que una onda circularmente polarizada a
derechas consiste de dos ondas ortogonales linealmente polarizadas de igual
amplitud y desfasadas 90º. El sentido de rotación se determina “girando” la
componente adelantada sobre la retrasada, si el giro coincide con el del avance de
la onda, según la regla de la mano derecha, será a derechas y si no a izquierdas.
4.8.3 Polarización elíptica
Se dice que una onda está polarizada elípticamente si el extremo del vector
campo eléctrico describe, a medida que va pasando el tiempo, en un plano
perpendicular a la dirección de propagación una elipse. El concepto de giro a
derechas o a izquierdas es el mismo que para la polarización circular. Consideremos
el siguiente caso particular
φ x = π 2 ; φ y = 0 ; E x+0 = E1 + E 2 ; E y+0 = E1 − E 2
Entonces
(
E x = (E1 + E 2 ) cos ω t + π
2
) = −(E + E ) sen(ω t )
1
2
E y = (E1 − E 2 ) cos(ω t )
Podemos calcular el lugar de los puntos en el espacio para el módulo del campo
eléctrico
E 2 = E x2 + E y2 = (E1 + E 2 ) sen 2 (ω t ) + (E1 − E 2 ) cos 2 (ω t ) =
2
2
= E12 sen 2 (ω t ) + E 22 sen 2 (ω t ) + 2 E12 E 22 sen 2 (ω t ) +
+ E12 cos 2 (ω t ) + E 22 cos 2 (ω t ) − 2 E12 E 22 cos 2 (ω t )
que agrupando podemos poner como
(
)
E x2 + E y2 = E12 + E 22 + 2 E12 E 22 sen 2 (ω t ) − cos 2 (ω t )
como
Electrodinámica
sen(ω t ) = −
28
Tema 4: ondas planas
Ex
(E1 + E2 )
y
cos(ω t ) =
Ey
(E1 − E2 )
podemos rescribir la ecuación anterior como
Figura 4.14.- Polarizaciones elíptica a derechas e izquierdas con el eje mayor según
la dirección x. (a) Polarización a derechas, (b) polarización a izquierdas. Nota: la
notación de la figura es ER=E1 y EL=E2.
29
Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
2
⎡ E y2 ⎤
⎡ E x2 ⎤
+⎢ 2
=1
⎢ 2
2 ⎥
2 ⎥
⎢⎣ E1 − E 2 ⎦⎥
⎣ E1 + E 2 ⎦
2
que es la ecuación de una elipse con su eje mayor siendo E máx = E1 + E 2 y el eje
menor E mín = E1 − E 2 . A medida que pasa el tiempo, el extremo del vector campo
eléctrico traza una elipse como se muestra en la figura 4.14. En este caso los
máximos y mínimos del campo eléctrico coinciden con los ejes mayor y menor de la
elipse, lo que se produce en
E máx = E1 + E 2 cuando ω t = (2n + 1)
E mín = E1 − E 2 cuando ω t = n
π
2
π
2
; n = 0,1,2,....
; n = 0,1,2,....
Se define la razón axial (AR) como el cociente ente el eje mayor (incluyendo
su signo) y el eje menor
AR = −
E máx
E 2 + E 22
= − 12
E mín
E1 − E 22
donde E1 y E2 son números reales positivos. La razón axial así definida puede ser
positiva (para polarización a izquierdas) o negativa (para polarización a derechas).
Además la razón axial varía entre 1 ≤ AR ≤ ∞ . El campo eléctrico instantáneo se
puede escribir como
{
}
G
G
E ( z, t ) = Re a x (E1 + E 2 )e j (ωt − βz +π / 2 ) + a y (E1 − E 2 ) e j (ωt − βz ) =
{[
]
}
{[
]
}
G
G
= Re ja x (E1 + E 2 ) + a y (E1 − E 2 ) e j (ωt − βz ) =
G
G
G
G
= Re E1 ( ja x + a y ) + E 2 ( ja x − a y ) e j (ωt − βz )
ecuación que muestra que esta onda elípticamente polarizada se puede poner como
la suma de dos ondas circularmente polarizadas una a derechas, la de amplitud E1,
y otra izquierdas, la de amplitud E2. Si E1>E2 la razón axial será negativa, la onda
circularmente a derechas será más fuerte que la elípticamente polarizada a
izquierdas, cono lo que marcará a la onda total, es decir, la onda será elípticamente
polarizada a izquierdas. Si E1<E2 ocurrirá lo contrario y la onda total será
elípticamente polarizada a izquierdas.
Análoga situación se tendrá si
Electrodinámica
Tema 4: ondas planas
φx = π 2
;
φy = 0
30
; Ex+0 = E1 − E2 ; E y+0 = E1 + E2
y las gráficas correspondientes se muestran en la figura 4.15.
Figura 4.15.- Polarizaciones elíptica a derechas e izquierdas con el eje mayor según
la dirección y. (a) Polarización a derechas, (b) polarización a izquierdas. Nota: la
notación de la figura es ER=E1 y EL=E2.
31
Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
Finalmente, el caso general será aquel en el que los ejes de la elipse no
coincidan con los ejes coordenados, como muestra la figura 4.16. En este caso se
tendrá que
Figura 4.16.- Onda elípticamente polarizada no centrada en los ejes.
∆φ = φx − φy ≠
nπ
2
; n = 0 ,1 ,2 ,....
Entonces, los sentidos de giro serán
⎧a derechas si E1 > E2 ⎫
∆φ ≥ 0 ⇒ ⎨
⎬ ó
⎩a izquierdas si E1 < E2 ⎭
⎧a derechas si E1 < E2 ⎫
∆φ ≤ 0 ⇒ ⎨
⎬ siendo
⎩a izquierdas si E1 > E2 ⎭
Ex+0 = E1 + E2 y E y+0 = E1 − E2
La razón entre el eje mayor y el menor, que se define como la razón axial
(AR) es
AR = ±
donde
Eje mayor
OA
=±
Eje menor
OB
1 ≤ AR ≤ ∞
Electrodinámica
32
Tema 4: ondas planas
⎡1 ⎧
OA = ⎢ ⎨ E x+0
⎣⎢ 2 ⎩
( ) + (E y 0 )
⎡1 ⎧
OB = ⎢ ⎨ E x+0
⎢⎣ 2 ⎩
2
+
2
( ) + (E y 0 )
2
+
2
( ) + (E y 0 )
+ 2 Ex 0
( ) + (E y 0 )
+ 2 Ex 0
+ ⎡ E x+0
⎢⎣
− ⎡ E x+0
⎢⎣
4
+
4
+
4
4
1/2
⎫⎤
⎬⎥
⎭⎦⎥
1/2
⎫⎤
⎬⎥
⎭⎥⎦
( ) (E y 0 )
cos (2 ∆ϕ )⎤
⎥⎦
( ) (E y 0 )
cos (2 ∆ϕ )⎤
⎥⎦
+
+
2
+
2
+
2
2
1/2
1/2
El signo “+” es para polarización a izquierdas y el signo “-“ corresponde a la
polarización a derechas. La inclinación de la elipse, relativa al eje x, se representa
por τ y es
τ =
4.9
π 1
− tan
2 2
−1
⎡ 2E+ E+
x0 y0
⎢
⎢E+ 2 −E+
y0
⎣ x0
( ) ( )2
⎤
cos (∆ϕ )⎥
⎥
⎦
Propagación en ferritas infinitas
Hasta ahora se ha estudiado la propagación de ondas planas monocromáticas
en medios infinitos isótropos con o sin pérdidas. En este último apartado vamos a
estudiar la propagación en un medio infinito anisótropo como una ferrita magnetiza
mediante un campo magnético estático externo de magnitud H0. Supongamos que la
dirección de propagación de la onda forma una ángulo θ con la dirección del campo
magnético aplicado, que ese campo se aplica en la dirección z y que la dirección de
propagación está contenida en el plano x-y, como muestra la figura 4.17
Y
H0
θ
γ
X
Z
Figura 4.17.- Onda propagándose por una ferrita infinita formando un ángulo
θ con la dirección del campo magnético estático externo.
33
Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
Según la figura 4.17, podemos escribir
G
G
G
G G
γ = γ x a x + γ z a z ⇒ e −γ .r = e −γ x x −γ z z
Suponiendo que los campos no varían con la coordenada y, vamos a obtener
las ecuaciones de onda para cada componente del campo electromagnético a partir
de las ecuaciones de Maxwell de rotacional
G
G
∇xE = − jωB
G
G
∇xH = − jωD
más las relaciones de constitución, que para el caso de magnetización en la
dirección z son
G
G
D = εE
;
⎡µ
G
G
B = [µ ]H = ⎢⎢ jκ
⎢⎣ 0
− jκ
µ
0
0 ⎤
G
0 ⎥⎥ H
µz ⎥⎦
Tomando la componente x de la ecuación de Faraday queda
−
∂Ey
∂z
(
= − jω µH x − jκH y
)⇒
(
γ z E y = γ cos θ E y = − jω µH x − jκH y
)
de la misma manera para el resto de las componentes tendremos
∂ E x ∂ Ez
−
= − jω jκHx + µHy
∂z
∂x
(
)⇒
− γ z Ex + γ x Ez = −γ cos θ Ex + γ sen θ Ez =
(
= − jω jκHx + µHy
∂ Ey
∂x
)
= − jω µz Hy ⇒ − γ x E y = −γ sen θ E y = − jω µz Hy
Procediendo de manera totalmente análoga pero para la ecuación de
Ampère, tendremos
− γ cos θ H y = jω ε E x
− γ cos θ H x + γ sen θ H z = jω ε E y
− γ sen θ H y = jω ε E z
Tenemos, por lo tanto, seis ecuaciones que involucran las seis componentes
del campo electromagnético más la constante de propagación γ. Es fácil, mediante
Electrodinámica
34
Tema 4: ondas planas
un proceso algebraico sencillo, eliminar, por ejemplo, las tres componentes del
campo eléctrico, quedando entonces
(
)
jω sen θ µ Hx − jκHy + jω µz cos θ Hz = 0
γ 2 sen θ (sen θ Hz − cos θ Hx ) + ω 2 ε µz Hz = 0
(
(4.26)
)
γ 2 Hy + ω 2 ε jκHx + µ Hy = 0
que es un sistema homogéneo que para que tenga solución es necesario que el
determinante de los coeficientes de Hx,Hy y Hz sea nulo,
jω µ sen θ
− γ sen θ cos θ
jκ ω 2 ε
2
ω κ sen θ
jω µ z cos θ
2
0
γ sen 2 θ + ω 2 ε µ z ω 2 ε = 0
γ 2 + ω 2 εµ
0
(4.27)
Es habitual estudiar dos casos diferentes: uno en el que la dirección de
propagación de la onda coincide con la dirección de magnetización y otro en el que
ambas direcciones son perpendiculares.
4.9.1- Propagación en la dirección de magnetización
Para el primer caso, el ángulo θ=0, por lo que la ecuación dada por el determinante
de (4.27) puede ponerse como
[γ
2
][
]
+ ω 2 ε (µ + κ ) γ 2 + ω 2 ε (µ − κ ) = 0
(4.28)
cuyas soluciones son
γ = γ − = ± jω [ε (+ κ )]1 / 2
γ = γ + = ± jω [ε (− κ )]1 / 2
Sustituyendo ambas soluciones en la última de las ecuaciones de
(4.26) se tiene que
para γ = γ −
⇒
Hy = j Hx
para γ = γ +
⇒
Hy = − j Hx
35
Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
que se corresponden con una onda circularmente polarizada a izquierdas y con una
onda circularmente polarizada a derechas, respectivamente. De ahí precisamente
el nombre que reciben las constantes de propagación. Por lo tanto, en el caso de
propagación de una onda electromagnética por un medio infinito de ferrita en la
dirección de magnetización la solución son dos ondas o modos de propagación con
polarización circular a izquierdas y a derechas.
4.9.1.1- Rotación de Faraday
Consideremos un medio de ferrita sin pérdidas con propagación como la del
apartado anterior. Supongamos que a ese medio llega una onda plana linealmente
polarizada según el eje X y propagándose según el eje Z,
E x = E 0 e − jβ z
En z=0, podemos escribir el campo eléctrico anterior desdoblado en dos
ondas circularmente polarizadas, la primera a izquierdas y la segunda a derechas,
así
G
G
E = E0 ax =
E0
(G
G
)
2 ax + jay +
E0
(G
G
2 ax − jay
)
que al propagarse por la ferrita lo harán con constantes de fase diferentes, con lo
que llegarán a z=d en instantes de tiempo diferentes. Entonces, en z=d
G
E(z =d) =
E0
(G
G
)
− jβ −d
+
2 ax + jay e
E0
(G
G
)
− jβ +d
2 ax − jay e
que se puede poner como
[
G
G
G
E ( z = d ) = E 0 e − j ( β − + β + )d / 2 a x cos (β − − β + )d 2 − a y cos (β + − β − )d 2
]
(4.29)
que es una onda linealmente polarizada, retrasada (β-+β+)d/2 y girada un ángulo
respecto al eje x dado por
θ = tg −1
Ey
Ex
[
]
= tg −1 − tg (β + − β − )d 2 = − (β + − β − )d 2
(4.30)
Si se considera ahora que la onda plana se propaga en la dirección z negativa
desde z=0 hasta z=-d y se repite exactamente el mismo anterior se obtiene la
misma expresión dada en (4.30) para el ángulo de rotación respecto al eje X. Ello
significa, que si una onda viaja en la dirección z positiva una distancia “d” y el plano
de polarización gira (por ejemplo) un ángulo θ respecto al eje X y vuelve hacia z=0
la onda sigue girando un ángulo θ en el mismo sentido, lo que confiere a este
Electrodinámica
36
Tema 4: ondas planas
comportamiento un carácter no recíproco. En conclusión, al cambiar el sentido de
propagación el plano de polarización continúa girando en el mismo sentido. A este
efecto se le denomina efecto Faraday.
4.9.1- Propagación en la dirección perpendicular a la de magnetización
Haciendo θ=90º en (4.27) se obtiene que
[
] [
][
]
(4.31)
γ = ± jω εµz de forma que Hz ≠ 0 ⇒ Hx = Hy = 0
y E y ≠ 0 ⇒ E x = Ez = 0 ,
ω 2 ε κ γ 2 + ω 2 εµz − γ 2 + ω 2 εµz γ 2 + ω 2 ε µ j ω µ = 0
y para el campo magnético
ω 2 Hz + ω 2 ε µz Hz = 0
γ 2 Hy + ω 2 ε
Hx = j
µ2 − κ 2
Hy = 0
µ
κ
Hy
µ
Las soluciones de (4.31) son
1.
lo que se corresponde con una onda plana propagándose por un medio
dieléctrico isótropo de permitividad ε y se le llama onda paralela o rayo
ordinario.
2.
γ = ± jω ε
µ2 − κ 2
µ
de
forma
que Hz = 0 ⇒ Hx ≠ 0 , Hy ≠ 0
y
E y = 0 ⇒ Ex = 0 , Ez ≠ 0 , lo que se corresponde con una onda que tiene una
componente de campo en la dirección de propagación por lo que no se
corresponde con una onda plana y se la llama onda perpendicular o rayo
extraordinario.
4.10 Referencias
[1]
Constantine A. Balanis: “Advanced Engineering Electromagnetics”, John Wiley
& Sons, 1989. Capítulo 4.
37
[2]
[3]
[4]
[5]
Tema 4: Ondas planas
Electrodinámica
Robert E. Collin: “Foudantions for Microwave Engineering”, McGraw Hill,
1992. Capítulo 2.
David M. Pozar: “Microwave Enginnering”, Addison-Wesley, 1990. Capítulo 2.
C. Paul, K. Whites and S. Nasar: “Introduction to Electromagnetic Fields”,
Third Edition, Mc Graw Hill, 2002. Capítulo 6.
D. Cheng: “Fundamentos de Electromagnetismo para Ingeniería”, AddisonWesley, 1997. Capítulo 7.