1 Universidad Centroccidental “Lisandro Alvarado” Decanato de Agronomía Programa Ingeniería Agroindustrial Departamento de Gerencia y Estudios Generales Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas Definición de Valores Extremos Definición (Valores Extremos) Sea f definida en un intervalo I conteniendo a c. 1. f (c) es el mínimo de f en I sí f (c) f ( x) para todo x en I. 2. f (c) es el máximo de f en I sí f (c) f ( x) para todo x en I. El mínimo y el máximo de una función se llaman valores extremos o extremos de la función en ese intervalo. Observaciones 1. A los valores extremos, se les llama mínimo y máximo absolutos si se cumple la desigualdad correspondiente para todo x en el dominio de f. 2. ¿Tiene f un valor máximo o mínimo en I?. Una función puede no tener mínimo o máximo en un intervalo, de hecho, puede carecer de ambos. Ejemplo (2,4) Máximo 4 3 3 f(x) = x2 2 1 -1 No Máximo 4 f(x) = x2 2 1 1 2 3 (0,0) Mínimo 4 -1 1 2 3 4 (0,0) Mínimo Comparando los dos primeros gráficos vemos que se pierde un máximo al cambiar el intervalo cerrado [-1,2] por el abierto (-1,2) Profesora. Marisol Cuicas Avila 2 (2,4) Máximo 4 3 x2 sí x 0 2 sí x = 0 f(x) = 2 1 -1 1 2 3 No Máximo 4 4 3 x2 sí x 0 2 sí x = 0 f(x) = 2 1 1 -1 No Mínimo 2 3 4 No Mínimo En los gráficos, observamos que una discontinuidad (x = 0) puede afectar la existencia de extremos sobre un intervalo cerrado o abierto. El siguiente enunciado se trata de un teorema de existencia, pues asegura que existe el máximo y el mínimo pero no dice cómo calcularlos. Teorema de Valores Extremos Teorema de Valor Extremo. Si f es continua en un intervalo cerrado entonces f tiene máximo y mínimo en el intervalo. Por lo general una función que queremos maximizar o minimizar tiene como dominio un intervalo I. Pero este intervalo puede ser, abierto, cerrado, semi-abierto e infinito. Algunos de ellos contienen sus puntos frontera, otros no. Por ejemplo: [a, b] contiene a sus puntos frontera. [a, b) contiene sólo al punto frontera de la izquierda. (a, b] contiene sólo al punto frontera de la derecha. (a, b) no contiene puntos frontera. A menudo los extremos de las funciones definidas en intervalos cerrados se presentan en puntos frontera. Si c es un punto para el cual f ' (c) 0 , lo llamamos punto estacionario. Los valores extremos con frecuencia se presentan en puntos estacionarios. Si c es un punto interior a I en el que no existe f´, lo llamamos punto singular. Es un punto en que la gráfica Profesora. Marisol Cuicas Avila 3 de f tiene un vértice agudo, una tangente vertical, o tal vez da un salto. Los valores extremos pueden darse en puntos singulares. Estas tres clases de puntos, son la clave de la teoría de máximos y mínimos. Cualquier punto del dominio de f que sea uno de estos tres tipos se llama punto crítico de f. Números Críticos Definición de Número Crítico. Si f está definida en un intervalo I que contiene al punto c. Si f(c) es un valor extremo entonces c debe ser un punto crítico de f; es decir, tendrá que ser uno de los tres casos siguientes: (a) un punto frontera, (b) un punto estacionario de f ( f ' (c) 0 ) y (c) un punto singular de f en el que f ' (c) no exista. f´(c) no está definida f´(c) = 0 (tangente horizontal) c f(a) = 0 f(b) = 0 f(a) = 0 c f(b) = 0 Extremos Relativos En la figura siguiente observamos que los valores extremos pueden ocurrir en puntos interiores o terminales (fronteras) de un intervalo. Estos últimos se llaman extremos terminales y los que ocurren en puntos interiores se llaman extremos relativos. Definición de Extremos Relativos. Sea f una función y c Domf se dice que f tiene: Profesora. Marisol Cuicas Avila 4 1. Un máximo relativo (o máximo local) en el punto c si existe un > 0 tal que f(c) f(x), para todo x (c-, c+). 2. Un mínimo relativo (o mínimo local) en un punto c si existe un > 0 tal que f(c) f(x), para todo x (c-, c+). Los máximos y mínimos relativos de f reciben el nombre común de extremos relativos de f. Ejemplo Máximo Absoluto Máximo Local Máximo Local Máximo Local Mínimo local Mínimo Local Mínimo Local Mínimo Absoluto En la gráfica vemos que f tiene un máximo en algunos puntos respecto a ciertos intervalos y no respecto de otros. Análogamente sucede con el mínimo. Además parece que la manera de obligar a esos puntos a ser extremos es escoger intervalos suficientemente pequeños para producir una colina local o un valle. Esta es la idea esencial de la definición anterior. La colina más alta corresponde al máximo absoluto de f y el valle más profundo corresponde al mínimo absoluto. Las otras colinas y los otros valles corresponden a los máximos locales. Un máximo local o un mínimo local, son un máximo o un mínimo, sólo para una parte del dominio de la función. Profesora. Marisol Cuicas Avila 5 Teorema (Teorema del punto crítico para extremos locales). Si f tiene un extremo local en c entonces c es un punto crítico de f. Guía para Hallar Extremos de un Intervalo Cerrado. Para hallar los extremos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b], se sugiere: 1. Evaluar f en cada punto crítico que tenga en (a, b). 2. Evaluar f en los puntos a y b. 3. El menor de tales valores es el mínimo; el mayor es el máximo. Funciones Crecientes y Decrecientes Definiciones 1. Una función f se dice que es creciente en un intervalo I si y solo si para todo par de números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 implica f(x1) < f(x2). 2. Una función f se dice decreciente en un intervalo I si y solo si para todo par de números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 implica f(x1) > f(x2). 3. Una función f es estrictamente monótona sobre el intervalo I si y solo si es creciente o decreciente sobre I. x=a De esta definición vemos que f es creciente si su gráfica asciende al mover x hacia la derecha y es decreciente si desciende al mover x hacia la derecha. x=b La derivada va a determinar cuando una función es creciente, pues como lo indica la figura: • Una derivada positiva indica pendiente de la gráfica asciende. Decreciente que la Creciente • Una derivada negativa produce pendiente en Constante descenso. • Una derivada nula implica que la función es f´(x) < 0 f´(x) = 0 f´(x) > 0 constante. Profesora. Marisol Cuicas Avila 6 Teorema (Criterio para funciones crecientes y decrecientes). Sea f una función derivable en el intervalo (a, b). 1. Si f ' ( x) 0 para todo x en (a, b) entonces f es creciente en (a, b). 2. Si f ' ( x) 0 para todo x en (a, b) entonces f es decreciente en (a, b). 3. Si f ' ( x) 0 para todo x en (a, b) entonces f es constante en (a, b). Para ver cómo aplicar el teorema anterior, notemos que para f continua, f ' ( x) solo puede cambia de signo en los números críticos. Luego para determinar los intervalos donde f es creciente o decreciente se sugieren los siguientes pasos: 1. Localizar los números críticos de f. 2. Mirar el signo de f´ en un punto de cada intervalo determinado por dos números críticos consecutivos. 3. Decidir, mediante el teorema anterior, si f es creciente o decreciente en cada uno de esos intervalos de prueba. Una vez determinados los intervalos donde f es creciente o decreciente es fácil localizar sus extremos relativos, basta aplicar el siguiente teorema: Teorema (Criterio de la primera derivada). Sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo I, excepto a lo sumo en c entonces f(c) puede clasificarse como sigue: 1. Si f´ cambia de negativa a positiva en c, f(c) es un mínimo relativo de f. 2. Si f´ cambia de positiva a negativa en c, f (c) es un máximo relativo de f. 3. Si f´ no cambia su signo en c, f(c) no es mínimo ni máximo relativo. Profesora. Marisol Cuicas Avila 7 f´(x) > 0 f´(x) < 0 a f´(x) < 0 c f´(x) > 0 f´(x) > 0 f´(x) > 0 a b Mínimo Relativo c b Máximo Relativo c a b Ni máximo ni mínimo Relativo Determinar los intervalos donde f es creciente o decreciente es útil para hallar su gráfica. Sin embargo, localizando los intervalos donde f´ crece o decrece, podemos determinar donde se curva hacia arriba o hacia abajo la gráfica de f. Concavidad y Puntos de Inflexión Definición de Concavidad. Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto. Diremos que la gráfica de f es cóncava hacia arriba si f´ es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si f´ es decreciente en el intervalo. Interpretación Gráfica de la Concavidad Cóncava hacia arriba. f´ creciente Cóncava hacia abajo. f´ decreciente Profesora. Marisol Cuicas Avila 8 De la figura anterior, se puede deducir la siguiente interpretación gráfica de la concavidad. 1. Si una curva está por encima de sus rectas tangentes, es cóncava hacia arriba. 2. Si una curva está por debajo de las rectas tangentes es cóncava hacia abajo. Para determinar la concavidad sin ver la gráfica de f, podemos usar la siguiente derivada para distinguir donde crece o decrece f´. Bastará con tener en mente que la segunda derivada de f es la primera de f´. Por lo tanto, f´ es creciente si f´´ es positiva y decreciente si f´´ es negativa. Teorema (Criterio de concavidad). Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I: a) Si f ' ' ( x) 0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava hacia arriba, y b) Si f ' ' ( x) 0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava hacia abajo. Definición. Si la gráfica de una función continua posee recta tangente en un punto donde la concavidad cambia de sentido, llamamos a ese punto de inflexión. Punto de Inflexión Punto de Inflexión Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Cóncava hacia arriba Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Profesora. Marisol Cuicas Avila 9 Como se puede suponer, los puntos donde f ' ' ( x) 0 o donde f ' ' ( x) no existe son candidatos viables para ser puntos de inflexión, ya que para concluir que hay un punto de inflexión en algún x donde f ' ' ( x) 0 , hay que asegurarse de que la concavidad cambia de sentido. Teorema (Criterio de la Segunda Derivada) Sea f una función tal que f´(c) = 0 y tal que f´´ exista en un intervalo abierto que contenga a c. 1. Si f ' ' (c) 0 , entonces f(c) es un mínimo relativo. 2. Si f ' ' (c) 0 , entonces f(c) es un máximo relativo. 3. Si f ' ' (c) 0 , entonces el criterio no decide Observaciones 1. El criterio de la segunda derivadas sólo puede ser aplicado sí: a) f es dos veces derivable en un intervalo abierto que contenga a c, b) f ' ' (c) 0 y c) f ' ' (c) 0 2. Si el criterio de la segunda derivada no es aplicable, hay que recurrir a la primera derivada. Sobre la base de todo lo que hemos estudiado, ya está en condiciones de esbozar con mucha precisión el gráfico de una función. La técnica puede resumirse en el siguiente cuadro: Pasos ¿Qué debo estudiar? Explicación 1 Simetría Determinar si tiene simetría con respecto al eje Y o respecto al origen. En caso afirmativo el trabajo se reduce a la mitad. Sólo es necesario graficar los puntos con abscisa x 0. Recordar que: a) la gráfica de f es simétrica respecto al eje Y sí y solo sí f ( x) f ( x) , b) la gráfica de f es simétrica respecto al origen sí y solo sí f ( x) f ( x) . 2 Intersecciones con los ejes La intersección con el eje Y se encuentra haciendo x = 0. La intersección con el eje X se encuentra haciendo y = 0. Profesora. Marisol Cuicas Avila 10 Pasos ¿Qué debo estudiar? Explicación 3 Dominio, continuidad y asíntotas Hallar el dominio de la función, las discontinuidades y los intervalos de continuidad. Calcular los límites unilaterales en los extremos de estos intervalos de continuidad. Estos límites nos proporcionan las asíntotas verticales y de existir los límites al infinito estos nos dan las asíntotas horizontales 4 Estudiar la primera derivada Estudiar la derivada f´ en los intervalos particionados por los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión. Para así obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función aparte de los máximos y mínimos de esta. 5 Estudiar la segunda derivada Estudiar la segunda derivada (f´´) en los intervalos obtenidos en el paso 4. Estudiar el signo de esta para obtener la concavidad y puntos de inflexión de f. 6 Graficar Esbozar el gráfico de f con la información encontrada en los pasos anteriores. Si es necesario calcular algunos puntos extra. Actividades de Autoevalución 1. Responda con verdadero o falso cada uno de los siguientes enunciados. Justifique su respuesta. a. Una función continua definida en un intervalo cerrado debe alcanzar un valor máximo en ese intervalo. b. Si una función diferenciable f alcanza un valor máximo en un intervalo c de su dominio, entonces f´(c) = 0. c. Es posible que una función tenga un número infinito de puntos críticos. d. Sí f(x) = 3x6 + 4x4 + 2x2. La gráfica de f es cóncava hacia arriba en todo el eje real. e. Si f´(x) > 0 para todo x en I, entonces f es creciente en I. f. Si f´´(x) = 0, entonces f tiene un punto de inflexión (c,f(c)). g. Si f´(x) > 0 para todo x en [a,b] entonces f alcanza su máximo valor en b (de [a,b]). h. Si f´(x) = 0 para todo x en [a,b], entonces f es constante en el intervalo. Profesora. Marisol Cuicas Avila 11 i. La gráfica de y = senx tiene un número infinito de puntos de inflexión. 2. Use los pasos para trazar las gráficas de las ecuaciones dadas. 1 3 1 2 x x 2x 1 3 2 2 3 b) y ( x 2 1) 3 4 c ) y x senx, 0 x 2 a) y 2 d ) y 2 x 3x 3 2 5 e) y x 3 ( x ) 2 f ) y x 8 x2 x3 g) y 3x 2 1 h) y sen | x |, 2 x 2 i) y x 2 2 x 1 Referencias Edwards, C. y PENNEY, D. (1996). Cálculo con Geometría Analítica. Cuarta Edición. México: PRINTICE HALL HISPANOAMERICANA, S.A. Fleming, W. y Verberg, D. (1999). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Tercera edición. México: PRINTICE HALL HISPANOAMERICANA, S.A. Leithold, L. (1990). El Cálculo con Geometría Analítica. Sexta Edición. México: Harla. Purcell, E. y Verberg, D. (1993). Cálculo con Geometría Analítica, Sexta Edición. México: PRINTICE HALL HISPANOAMERICANA, S.A. Sáenz, J. (1995). Calculo diferencial para ciencias e ingeniería. Lara, Venezuela: HIPOTENUSA. Profesora. Marisol Cuicas Avila 12 Swokowski, E. (1988). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Segunda edición. México: Grupo Editorial Iberoamérica. “Dos alas para volar en este mundo: coraje y entusiasmo La vida no tiene sentido y parece gris y sin valor, si no hay entusiasmo. El entusiasmo da color y belleza a nuestra vida. El coraje es lo que permite que el vuelo suceda, que el pájaro avance y no retroceda. Puede que haya vientos fuertes, pero el coraje permite superar los obstáculos, yendo hacia una meta muy definida" Autor Desconocido Profesora. Marisol Cuicas Avila