c1re 07092009

1
Tabla de contenido
CAPÍTULO 1 ................................................................................................................................................... 2
1
SISTEMAS TRIFÁSICOS. .................................................................................................................... 2
1.1.
SISTEMAS TRIFÁSICOS....................................................................................................................... 2
1.2
DEFINICIONES BÁSICAS .................................................................................................................... 3
1.2.1 Señales trifásicas son tres variables sinusoidales de igual frecuencia angular y que difieren en
sus fases temporales. ................................................................................................................................ 3
1.2.2 Señales trifásicas equilibradas o simétricas o balanceadas son aquellas que tienen valores
máximos iguales y cuyas fases difieren en 120º........................................................................................ 3
1.2.3 Secuencia de fases ....................................................................................................................... 4
1.2.4
Operador a

............................................................................................................................ 4
1.3
GENERADOR SINCRÓNICO ................................................................................................................. 5
1.3.1 Generador monofásico ................................................................................................................ 5
1.3.2 Generador trifásico. .................................................................................................................... 7
1.4
FRECUENCIAS EMPLEADAS EN SISTEMAS TRIFÁSICOS ......................................................................12
1.5
VENTAJAS DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS .........................................................................................12
1.5.1 Flujo energético en sistemas trifásicos. ......................................................................................12
1.5.2 Sistema trifásico tetrafilar. Conductor neutro. ...........................................................................15
1.5.3 Generación de sistemas polifásicos a partir de uno trifásico. ....................................................16
1.5.4 Sistema trifásico trifilar. .............................................................................................................16
1.5.5 Tierra de protección. ..................................................................................................................16
1.6
MODELOS. COMPONENTES DE REDES TRIFÁSICAS............................................................................17
1.6.1 Generador trifásico estrella. ......................................................................................................17
1.6.2 Generador trifásico triángulo.....................................................................................................20
1.6.3 Carga trifásica estrella. ..............................................................................................................24
1.6.4 Carga trifásica triángulo. ...........................................................................................................25
1.7
REDES TRIFÁSICAS EQUIVALENTES. .................................................................................................26
1.7.1 Generadores equivalentes. .........................................................................................................26
1.7.2 Cargas equivalentes ...................................................................................................................27
1.8
POTENCIAS EN SISTEMAS TRIFÁSICOS. .............................................................................................28
1.8.1 Definiciones ................................................................................................................................28
1.8.2 Sistema equilibrado. ...................................................................................................................29
1.9
ANÁLISIS DE SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS. ........................................................................29
1.9.1 Generador y carga en conexión estrella con neutro...................................................................29
1.9.2 Generador y carga conectados en triángulo. .............................................................................31
1.9.3 Generador estrella, carga triángulo. ..........................................................................................32
1.9.4 Generador triángulo, carga estrella. ..........................................................................................32
1.9.5 Carga en paralelo.......................................................................................................................33
1.9.6 Caídas de tensión en sistemas con neutro. .................................................................................33
1.10
ANÁLISIS DE SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS. ..................................................................37
1.10.1
Generador y carga conectados en estrella con neutro. ..........................................................38
PROBLEMAS RESUELTOS ........................................................................................................................45
SISTEMAS TRIFASICOS ............................................................................................................................45
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
2
Redes Eléctricas
Capítulo 1
1 Sistemas trifásicos.
1.1.
Sistemas trifásicos
La generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica se efectúa, generalmente, mediante
sistemas trifásicos.
El siguiente esquema ilustra el flujo de energía desde el generador hacia los consumidores o cargas:
Figura 1.1
La representación de la Figura 1.1, se denomina unilineal, debido a que sólo se dibuja una línea, en
lugar de los tres o cuatro conductores que emplean los sistemas trifásicos. Se indica con pequeños
trazos verticales, sobre la línea, el número de conductores que posee el sistema.
Se transmite con tensiones altas, ya que para un flujo de energía determinado las corrientes serán
menores, y tanto menores cuanto mayores sean las tensiones. A corrientes menores se tendrán
menores pérdidas por disipación en las líneas de transmisión. Recuérdese que la disipación en una
resistencia es proporcional al cuadrado de la corriente, y también varía proporcionalmente con el
largo de la línea e inversamente con la sección del conductor.
Se distribuye con tensiones menores por la forma de emplear la energía eléctrica y por razones de
seguridad. Los usos más difundidos de la energía eléctrica son: alumbrado, fuerza motriz y
calefacción; en todos ellos es deseable tener corrientes elevadas. En el caso de los motores,
recuérdese que la fuerza entre dos conductores que llevan corrientes es proporcional al producto de
éstas. En planchas, radiadores y calefactores en general interesa tener alta disipación, y ésta es
proporcional al cuadrado de la corriente.
La resistencia del cuerpo humano entre mano y pie, es de 1000 a 3000 Ohms. Entre ambas manos,
aproximadamente, 700 a 1000 Ohms. Si una persona, apoyada en tierra, toca un conductor que está
con cierta tensión respecto a tierra, permitirá que circule una corriente eléctrica a través de su
cuerpo.
Corrientes de 1,2 a 1,6 mA producen cosquillas.
Corrientes de 50 mA y mayores pueden causar la muerte.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
3
Los valores dados son muy variables y dependen de diversos factores. Por ejemplo, del estado de
aislación respecto a tierra, zapatos, guantes, humedad de las manos, calidad conductora del suelo,
etc. Corrientes que circulen entre ambas manos son más peligrosas, debido a la mayor circulación
en zonas cercanas al corazón.
Por razones de seguridad para los seres humanos, convendría disponer de tensiones bajas en redes
de distribución. Sin embargo, esto implicaría artefactos carísimos, ya que sería necesario
construirlos de tal modo que soportaran corrientes altas, en el caso de requerirse una potencia
determinada. Las tensiones normalizadas de distribución domiciliaria son 220 ó 110 Volts.
Los sistemas trifásicos de potencia pueden ser analizados con los conceptos básicos de la teoría de
redes. Sin embargo, debido a la importancia y uso que ellos tienen, se desarrollarán procedimientos
prácticos para analizarlos.
Nuestro objetivo será familiarizar con el lenguaje, nomenclatura y definiciones usuales de los
sistemas trifásicos. Para ellos desarrollaremos modelos y los analizaremos desde el punto de vista
de las redes eléctricas; no obstante, se introducirá el punto de vista físico cuando éste logre
enriquecer la información necesaria para cumplir con el objetivo propuesto.
Se estudiarán sistemas trifásicos en estado estacionario y con señales sinusoidales de igual
frecuencia angular. Se tratarán, en general, sistemas trifásicos en condiciones normales de
operación. Fenómenos transitorios, armónicas y fallas en sistemas trifásicos no serán desarrollados
en este texto.
1.2
Definiciones Básicas
1.2.1
Señales trifásicas son tres variables sinusoidales de igual frecuencia angular y que difieren
en sus fases temporales.
1.2.2
Señales trifásicas equilibradas o simétricas o balanceadas son aquellas que tienen valores
máximos iguales y cuyas fases difieren en 120º.
Ejemplo 1.1
En la Figura 1.2 se ilustra un conjunto de voltajes trifásicos equilibrados.
La Figura 1.3 muestra corrientes trifásicas desequilibradas.
Figura 1.2
Figura 1.3
Ejemplo 1.2
En la Figura 1.4 se muestran las formas de ondas asociadas a los fasores de la Figura 1.2
Si nos fijamos en los instantes en que las señales tienen un valor determinado, veremos que la señal
e2 adquiere ese valor después que la señal e1 ; y que un instante después toma dicho valor la señal
e3 .
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
4
Redes Eléctricas
Figura 1.4
Se aprecia mejor la secuencia, si se observan los valores mínimos, máximos o los cruces por cero.
Para las señales de la Figura 1.4, la secuencia de fases es (1, 2, 3); esto también puede observarse
directamente en la Figura 1.2, recordando que los fasores son las transformadas fasoriales de las
señales girando en sentido contrario al del reloj.
También puede decirse que la secuencia es (2, 3, 1) ó (3, 1, 2). Se acostumbra escoger la secuencia
en orden ascendente, ya sea alfabética o numéricamente.
1.2.3
Secuencia de fases
La secuencia describe el orden en que los fasores pasan por una referencia temporal arbitraria. Se la
anota mediante un conjunto ordenado de los subíndices de las señales, encerrados entre paréntesis.
Operador a
1.2.4

Es conveniente definir el operador a , para describir un desfase de 120º. Nótese que es un número

complejo.
a 1120º

Algunas relaciones:
a
2
a
3
240º

1 120º
1

1 a a


2
0
La Figura 1.5 resume las principales relaciones.
Figura 1.5
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
1.3
Generador sincrónico
1.3.1
Generador monofásico
5
Para producir tensiones alternas, generalmente, se emplea un conversor electromecánico de
energía, denominado generador sincrónico o alternador.
El dispositivo se construye enrollando un conductor de cobre sobre un núcleo de fierro. Por un
conductor se hace circular corriente continua, lo cual produce un campo magnético; el fierro al
magnetizarse permite obtener un valor mayor de la inducción magnética en las caras polares de
electroimán.
Figura 1.6
Al electroimán indicado, se le agrega un eje mecánico y se lo impulsa mediante energía mecánica
que se le suministra. La fuerza motriz puede provenir de una turbina a gas, agua o vapor; también
puede ser un motor a explosión.
Por otro lado, se dispone de un enrollado fijo, dentro del cual gira el electroimán:
Figura 1.7
Para fijar el devanado se lo incorpora dentro de ranuras en un dispositivo cilíndrico, que se
construye en fierro y se denomina estator.
Al girar la parte móvil o rotor, se inducirán de acuerdo con la Ley de Faraday, tensiones en el
devanado estacionario o estator.
En la Figura 1.7 se han definido las referencias para las variables del estator:
es el flujo enlazado por el estator.
e es la tensión generada por el campo magnético variable producido por el rotor.
También se indica la referencia para el movimiento del rotor. Si , la frecuencia angular de giro,
es positiva, de acuerdo con la referencia indicada, existirá un giro del rotor según el reloj; esto
mirando el rotor desde los terminales a y a’, en donde se induce la tensión e.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
6
Redes Eléctricas
En un curso básico de electromagnetismo, para estudiantes de ingeniería, se fundamenta que con
las referencias elegidas resulta:
e
d
dt
(1.1)
La relación (1.1) es general; pero consideramos que el circuito del estator está abierto. De este
modo no se considera la disipación, ni la tensión de reacción debida al flujo de la corriente en el
circuito del estator. Es decir, el flujo enlazado sólo es debido al campo asociado al rotor.
Para recordar las referencias de la relación (1.1), se suele emplear la regla de la mano derecha. Se
coloca el pulgar, en la dirección de referencia asumida para el flujo enlazado; el resto de los dedos
indica una dirección que, seguida a través del circuito, indica la polaridad positiva de la referencia
para el voltaje entre los terminales.
Se suele representar la configuración anterior mediante el esquema que se muestra en la Figura 1.8,
que corresponde a una vista en corte de la sección del artefacto.
Figura 1.8
En la Figura 1.8 no se muestra como se cierran los devanados; tampoco se indica el enrollado del
rotor, ni como se lo alimenta.
El esquema se muestra en el instante t igual a cero.
En t 0 el flujo enlazado es máximo positivo, las líneas del rotor atraviesan el área encerrada por
el estator, en igual dirección que la de referencia.
Si el rotor gira según el reloj, un instante después de t 0 , se tendrá un flujo enlazado positivo,
pero menor que el inicial. Debe recordarse que para calcular el flujo enlazado importan las líneas
que inciden normalmente con la superficie.
Cuando ha girado 90º se tendrá que el flujo enlazado será cero, y un instante después se tendrá un
flujo negativo. La Figura 1.9, muestra la forma de onda del flujo enlazado por el estator. Se ha
supuesto una forma sinusoidal, como una aproximación razonable para simplificar el desarrollo.
Figura 1.9
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
7
Derivando la forma de onda, ya sea analítica o gráficamente, y cambiando el signo se obtiene la
Figura 1.10.
d
dt
eaa '
ˆ
ˆ
sen( t )
sen( t )
Figura 1.10
Un modelo de redes del generador sincrónico se muestra en la Figura 1.11.
Figura 1.11
Figura 1.12
En la Figura 1.12 se ilustra un modelo más real del generador, en él se han considerado las pérdidas
por disipación y la autoinductancia del estator.
1.3.2
Generador trifásico.
El dispositivo descrito en 1.3.1. es monofásico. Hemos utilizado antes la palabra fase, para
describir la “diferencia de fase” entre dos formas de ondas sinusoidales, o el ángulo de un sinusoide
respecto a una referencia. También en una máquina eléctrica se emplea el término fase para
describir un devanado y sus dos terminales asociados.
Un generador sincrónico tiene generalmente tres enrollados o fases en el estator. Lo cual permite
generar tensiones trifásicas.
Las fases se distribuyen, en el espacio, con 120º de separación, como se indica en la Figura 1.13.
Figura 1.13
Para giro según reloj, y aproximados por sinusoides, los flujos enlazados son como se muestran en
las figuras siguientes. La Figura 1.14 muestra el flujo asociado a la fase a.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
8
Redes Eléctricas
Figura. 1.14
Debe notarse que b pasa por un máximo positivo de 30º después del instante inicial, como se
ilustra en la Figura 1.15.
Figura 1.15
En forma análoga,
la Figura 1.16.
c pasa
por cero 60º después del instante inicial. La forma de onda se muestra en
Figura 1.16
Se tiene para los flujos enlazados:
ˆ sen( t )
a
a
ˆ cos( t 30º )
b
ˆ sen( t 60º )
c
b
c
Aplicando a las expresiones anteriores, la Ley de Faraday, relación (1.1), se obtienen:
eaa '
ˆ
cos( t )
ebb '
ˆ
sen( t 30 )
ecc '
Profesor Leopoldo Silva Bijit
a
b
ˆ
c
cos( t 60 )
21-09-2009
Sistemas trifásicos
9
Figura 1.16
Relaciones que se simbolizan mediante transformadas fasoriales en la Figura 1.17, con secuencia
(a, b, c).
Figura 1.17
Un diagrama de redes del alternador trifásico idealizado se muestra en la Figura 1.18.
Figura 1.18
En forma análoga pueden obtenerse las tensiones generadas cuando el rotor gira en sentido
contrario al reloj. Los resultados se muestran en las Figuras 1.19 y 1.20.
Figura 1.19
Para los flujos enlazados, se obtienen:
a
b
c
Profesor Leopoldo Silva Bijit
ˆ sen( t )
a
ˆ cos( t 30º )
b
ˆ cos( t 30º )
c
21-09-2009
10
Redes Eléctricas
Figura 1.20
Las tensiones entre terminales, con secuencia (c, b, a):
ˆ
eaa '
a
cos( t )
ebb '
ˆ
sen( t 30 )
ecc '
ˆ
cos( t 60 )
b
c
Igual resultado puede obtenerse si en (1.2) se cambia
por
.
Si denominamos secuencia positiva a la de la Figura 1.17, suele llamarse secuencia negativa a la de
la Figura 1.19. Debe notarse que en ambas figuras los fasores giran en sentido contra reloj; pero los
sentidos de giro de los rotores son diferentes.
Ejemplo 1.3
Secuencia y sentido de giro del rotor.
Una característica de los conversores de energía es que son reversibles; es decir, si a un dispositivo
como el indicado se le suministra energía eléctrica trifásica por el estator y si se mantiene la tensión
continua aplicada al rotor, se podrá obtener energía mecánica en el eje. En este caso se dice que el
conversor es un motor sincrónico trifásico.
Para enfatizar el concepto de secuencia analicemos los siguientes diagramas:
Figura 1.21
Figura 1.22
Si en la Figura 1.21 el eje del motor gira según el reloj, en la Figura 1.22 girará en sentido
contrario.
En las figuras anteriores puede suponerse que los puntos a’, b’ y c’ se han unido en un punto
denominado g , en el caso del generador; y m en el motor.
Ejemplo 1.4.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
11
Determinar el modelo de redes para el siguiente generador trifásico:
El diagrama se muestra en t=0
Figura E.1.4.1
Solución:
Se eligen referencias para los enlaces de flujos en las fases aa’ y bb’, según se indica en la Figura
E.1.4.2.
Figura E.1.4.2
Entonces, aplicando la Ley de Faraday, resultan:
eaa '
d a
dt
ebb '
d b
dt
Las formas de ondas de los flujos, se pueden describir en primera aproximación, por:
Figura E.1.4.3
Entonces se tiene:
Eˆ a cos( t )
eaa '
Eˆb sen( t )
ebb '
Con:
Eˆ a
a
El modelo de redes puede representarse por:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Eˆ b
b
12
Redes Eléctricas
Figura E.1.4.4
1.4
Frecuencias empleadas en sistemas trifásicos
La frecuencia de las señales sinusoidales dependerá de la velocidad angular con que se impulsa al
rotor. Existen varias razones por las que se emplean frecuencias de 50 ó 60 Hz.
Cuando se inició la transmisión de energía eléctrica se empleó corriente continua; pero por
limitaciones técnicas no se podía subir mucho la tensión, debido a la ruptura de dieléctricos, en los
generadores de corriente continua. Debido a esto, se producían grandes pérdidas en la línea por
disipación. Por esta razón se intentó transmitir con frecuencias alternas, que permiten el uso de
transformadores para elevar y bajar los niveles de tensión. Se comenzó a emplear 133,3 Hz; pero
esta frecuencia hacía importante el valor de la inductancia de las líneas, lo cual implicaba
almacenamiento reactivo de energía en las inmediaciones de los cables.
Valores más altos de frecuencia empeoran la situación y además producen irradiación de energía.
Se emplean aún, en otros países, líneas con frecuencia de 25 Hz, sobre todo en transmisión a
distancias largas. Pero esta frecuencia produce un parpadeo apreciable de la luz emitida por
ampolletas de filamento incandescente, y no puede emplearse en alumbrado, pero sí en fuerza
motriz.
Finalmente los valores exactos de 50 ó 60 Hz, corresponden a normalizaciones que los diversos
países se dan para tener: uniformidad en equipos, instalaciones, repuestos, mercado, etc.
1.5
Ventajas de los sistemas trifásicos
La transmisión por corriente continua permite ahorrar cobre, ya que sólo son necesarias dos
conductores. Para que sea eficiente debe efectuarse con tensiones bastante altas y en distancias
grandes.
La transmisión alterna trifásica es la solución económica más empleada actualmente. Permite el uso
de transformadores y pueden emplearse sólo tres conductores para transmisión a largas distancias.
A igualdad de potencia, los motores monofásicos son más grandes, tienen menor rendimiento, un
factor de potencia más bajo y menor capacidad para las sobrecargas que los trifásicos. Por esta
razón las industrias suelen usar motores trifásicos.
1.5.1
Flujo energético en sistemas trifásicos.
Debe recordarse que en caso de transmisión monofásica la potencia activa instantánea contiene un
término oscilatorio. Veremos que, en sistemas trifásicos en condiciones normales, la potencia
activa instantánea es una constante, lo cual implica un transporte de la energía más parejo que en
sistemas monofásicos.
Supongamos que los devanados de un generador trifásico se conectan en un punto común, y que el
sistema está conectado a una carga o consumidor como se indica en la Figura 1.23.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
13
Figura 1.23
Aplicando el teorema de conservación de la potencia, se obtiene la siguiente expresión para la
potencia instantánea que ingresa a la carga, proveniente de las tres fuentes de tensión:
p e1i1 e2i2 e3i3
(1.3)
La potencia aparente, en caso de excitaciones sinusoidales de igual frecuencia, será:
P
E I
1
E I
1
2
E I
2
3
(1.4)
3
Supondremos que las tensiones son simétricas y con las siguientes transformadas fasoriales:
E 0o
E
1
E
Ea
2
E
Ea
2
3
En condiciones normales las corrientes serán equilibradas, y las supondremos desfasadas respecto
de las tensiones del generador:
I
I
1
I
I a
2
I
1
I a
3
2
1
Reemplazando en la relación 1.4 se obtiene:
P
3 E I cos( )
j 3 E I sen( )
(1.5)
Entonces la potencia instantánea resulta:
p(t ) 3 E I cos( )
(1.6)
Debe notarse que la expresión (1.6) es una constante, respecto del tiempo.
Ejemplo 1.5.
Determinar el flujo de energía desde la red A hacia la red B.
Figura E.1.5.1.
Solución:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
14
Redes Eléctricas
Consideremos la potencia que ingresa a la red B; y reemplazaremos la red A por una equivalente,
tal que no se modifiquen las tensiones en las líneas 1, 2 y 3.
Aplicamos teorema de substitución por fuente de voltaje de los terminales de la red A; obtenemos:
Figura E.1.5.2
Nótese que entre el terminal 1 y 2 aparece una tensión (v1 v2 ) .
La potencia que ingresa a B estará dada por la suma de las potencias suministradas por las fuentes
de tensión:
p (v1 v3 )i1 (v2 v3 )i2
(i)
Arreglando:
p v1i1 v2i2 v3 (i1 i2 )
Por LCK se cumple que: i3
(i1 i2 )
Entonces resulta:
p v1i1 v2i2 v3i3
(ii)
Aplicando movilidad de fuentes a la figura E.1.5.2 se obtiene:
Figura E.1.5.3
En la cual se ve la relación (ii) en forma más simple, ya que es la suma de las potencias entregadas
por los generadores.
Debe notarse que la relación (i) garantiza que puede medirse la potencia, determinando dos
corrientes y dos diferencias de potencial. En un curso de mediciones, se desarrollan métodos para
medir potencia trifásica mediante el empleo de dos wattímetros (conexión de Aron).
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
15
Puede demostrarse, en general, que en un sistema m-fásico, sólo se precisan (m-1) wattímetros para
medir la potencia activa del sistema (Teorema de Blondel).
1.5.2
Sistema trifásico tetrafilar. Conductor neutro.
En la distribución domiciliaria y de fuerza se emplean transformadores con secundario conectado
en estrella. En la figura 1.24. se muestra un transformador de distribución.
Figura 1.24
El conductor n se denomina neutro, y los conductores que se conectan, para hacer la distribución,
en a, b y c se denominan líneas. El neutro está conectado, en el secundario o lado de baja tensión
del transformador, mediante un conductor con la tierra.
El concepto de fase está relacionado con la generación; mientras que el de línea con la transmisión.
Sin embargo, en la jerga de los electricistas, suele usarse el término fase para referirse a una línea,
provocando confusión.
Los valores efectivos de las tensiones entre líneas están normalizados a 380 V; y entre el neutro y
una línea se tienen 220 V. Las relaciones gráficas se muestran en la Figura 1.25.
El enrollado entre a y el punto común se denomina fase. Por esta razón también se dice que la
tensión entre fase y neutro es de 220 V. Se suele abreviar y decir que la tensión de fase es 220 V.
Figura 1.25
El sistema tetrafilar permite disponer de dos juegos de señales trifásicas. Uno con valores de
tensión de 380 V, y el otro con tensiones de 220V. Además, se dispone de tres alimentaciones
monofásicas de 220 V, que se emplean para distribuir energía en las casas.
En cada barrio o sector existe una subestación de distribución que contiene un transformador como
el recién descrito. Se trata de lograr que el total de energía consumida sea igual en cada fase.
En un caso ideal, las corrientes en las fases serán simétricas y, por lo tanto, su suma será cero. En
un caso real esto no es posible y existirá una suma distinta de cero. La suma de las corrientes de las
fases es la corriente en el neutro; y si la corriente en el neutro es pequeña puede emplearse un
conductor de sección menor, lo cual disminuye el costo de la instalación.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
16
Redes Eléctricas
Si existe sobrecarga de una fase, se presentarán corrientes desequilibradas que pueden hacer
disminuir la tensión de una fase y aumentar la tensión en otra. Esto causa problemas, ya que una
caída de un 5% de la tensión reduce el brillo de las ampolletas en un 20%; y una sobretensión de
un 5% aumenta la luminosidad en un 20%, pero reduce la vida útil de la ampolleta en un 50%.
Además, esto empeora el funcionamiento de motores trifásicos y también los televisores y otros
equipos.
El torque de arranque de los motores trifásicos varía con el cuadrado de la tensión de alimentación;
si ésta disminuye puede suceder que no parta el motor.
Los motores trifásicos tienen tres devanados de igual impedancia y pueden ser conectados al
sistema de 220 o al de 380 V. En el primer caso quedan conectados en estrella; en el segundo, en
triángulo. Los motores asincrónicos de más de 3 HP, suelen utilizar los dos sistemas de tensiones.
Parten en estrella, lo cual disminuye la corriente en las fases, y luego se conectan en triángulo.
1.5.3
Generación de sistemas polifásicos a partir de uno trifásico.
Otra ventaja del sistema trifásico, es que mediante transformadores especiales pueden lograrse
sistemas de 6 y 12 o más fases. Estos sistemas polifásicos se emplean generalmente en
convertidores, que son dispositivos que convierten energía alterna en energía continua. Está
probado que con un número mayor de fases se aumenta la eficiencia de la conversión.
En ferrocarriles suele aún emplearse convertidores giratorios para obtener la tensión continua de
alimentación.
Los convertidores actuales suelen ser estáticos, y se construyen empleando tiristores.
1.5.4
Sistema trifásico trifilar.
Se emplean en líneas de transmisión a largas distancias con tensiones del orden de 100 KV; y en la
distribución secundaria para alimentar los transformadores descritos en 1.5.2.
La razón de su empleo es económica. Se usan sólo 3 cables.
1.5.5
Tierra de protección.
Con el fin de evitar la aparición de tensiones peligrosas entre partes de instalaciones, que
normalmente están sin tensión, y otras partes vecinas que pueden encontrarse al potencial local de
tierra, se suele usar una tierra de protección.
Un extremo de un conductor se conecta a tierra, cerca del lugar donde se usa la energía, y el otro a
las partes metálicas exteriores que normalmente estén sin tensión.
En los enchufes de las casas, el conductor central es la tierra de protección.
Figura 1.26
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
17
1.6
Modelos. Componentes de redes trifásicas.
1.6.1
Generador trifásico estrella.
a) Generalidades:
Si en el diagrama de la Figura 1.18, se unen los terminales a’, b’ y c’ en un solo punto, tendremos
la configuración de un generador trifásico estrella. Si además conectamos una línea al punto
común, tendremos un sistema estrella con neutro. La Figura 1.27 muestra la conexión con las
referencias para las variables.
El nombre estrella se debe a la forma geométrica que adoptan las fuentes de tensión. También suele
llamarse y por la similitud de la forma de la conexión con dicha letra.
Figura 1.27
El modelo es idealizado, ya que considera sólo fuentes de tensión ideales. Será una buena
aproximación de un generador real, si las impedancias de carga conectadas en las líneas son mucho
mayores que las internas.
Para las tensiones en las fases generador se ha elegido la notación con doble subíndice. Si se
midieran los potenciales absolutos de los voltajes a y n , y se expresaron como va y vn
respectivamente, se tendrá:
ean
va vn
(1.7)
Veremos que la notación con doble subíndice facilitará dibujar e interpretar el diagrama fasorial
asociado a las tensiones de fase.
Debe notarse que se ha empleado la letra e para denominar las tensiones de fase, esta diferencia se
ha realizado para facilitar la diferencia con una caída de voltaje en una carga, la cual
denominaremos con la letra v.
Se han elegido las corrientes en las líneas saliendo del generador. De esta forma la potencia
instantánea que fluye hacia la carga, proveniente de cada fase del generador, tendrá signo positivo.
Ver expresión (1.3)
En esta conexión la corriente en la fase es igual a la corriente en la línea.
I
Y
If
(1.8)
En la práctica, en lugar de a, b y c se emplean R, S y T.
b) Tensiones en las fases: ( E f )
Las tensiones en las fases o los voltajes entre líneas y neutro pueden expresarse en función de una
de las tensiones de fase si el generador es equilibrado. Elegiremos generación en secuencia
(a, b, c) y usaremos Ean como tensión de referencia.
Entonces:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
18
Redes Eléctricas
Ean
E f 0º
Ebn
a Ean
Ecn
a Ean
2
(1.9)
Especificando la tensión de referencia, la relación (1.9) permite determinar las otras tensiones en
las fases.
c) Tensiones entre líneas ( Ell )
Veremos que las tensiones entre líneas son señales trifásicas simétricas y que pueden expresarse en
función de la tensión de la fase elegida como referencia.
Se tiene, aplicando LVK:
Eab
Ean Ebn
Eca
Ecn Ean
Ebc
Ebn Ecn
(1.9a)
Empleando (1.9), resulta:
(1 a 2 ) Ean
Eab
3 Ean 30º
(1.10a)
a Eab
(1.10b)
En forma similar se obtienen:
Eca
3E
Ebc
3E
150º
an
90º
an
2
a Eab
(1.10c)
Se advierte que las tensiones entre líneas son mayores que las tensiones de fases. En general, se
cumple la siguiente relación entre los módulos:
Ell
Y
3E f
(1.11)
d) Diagrama fasorial:
Las relaciones anteriores pueden recordarse con facilidad apoyándose en el símbolo de la Figura
1.28, mediante la siguiente regla:
En el diagrama fasorial la flecha (polaridad positiva) apunta a la letra del primer índice.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
19
Figura 1.28
Debe notarse que colocando en secuencia las letras a, b, c y n es suficiente para tener toda la
información. Ya que, por ejemplo, la variable Eca tiene su polaridad positiva en c y la negativa en
a. El orden de las letras es importante, deben formar la misma secuencia que la del generador.
La Figura 1.29 presenta la misma información del diagrama fasorial anterior, pero ya no puede
emplearse las letras dibujadas en los extremos de las transformadas fasoriales para identificar las
variables con doble subíndice.
Figura 1.29
Resulta sencillo demostrar que:
E
E
an
E
E
bn
E
ab
E
bc
0
(1.12)
0
(1.13)
cn
ca
La relación (1.13) se cumple siempre (LVK); mientras que la (1.12) se debe a la condición de
simetría, establecida en (1.9).
e) Corrientes:
Las corrientes en las líneas dependerán de lo que se conecte al generador.
En caso de sistema tetrafilar, Figura 1.27, se tendrá:
in
ia ib ic
(1.14)
El estudio de un generador trifásico estrella sin neutro, es similar al desarrollado anteriormente.
Excepto que en la relación (1.14) se efectúa in = 0.
El generador trifásico mantiene las relaciones expresadas en (1.8) y (1.10) independientemente de
la corriente que circule por las líneas.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
20
Redes Eléctricas
f) Símbolos:
En adelante, cuando nos interese la conducta en los terminales de un generador estrella, usaremos
los siguientes símbolos:
La Figura 1.30 muestra el caso tetrafilar, indicando cada línea explícitamente. La Figura 1.31
presenta la misma información, pero es forma unilineal.
Figura 1.30 -1.31
El caso trifilar se indica en las figuras 1.32 y 1.33.
Figuras 1.32 -1.33
Ejemplo 1.6.
en función de E .
Para generador estrella, con secuencia (a, c, b), determinar E
bc
an
Solución:
El diagrama fasorial es el siguiente:
Ejemplo 1.6
Se advierte que E
3E
bc
90º
an
Puede compararse el resultado con la relación (1.10c), y el diagrama con la Figura 1.28.
1.6.2
Generador trifásico triángulo.
a) Generalidades:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
21
Si en la Figura 1.18 se une el terminal a con c’, el c con b’, y el terminal b con a’, se obtiene la
configuración triángulo. El nombre es debido, obviamente, a la forma geométrica de la conexión.
En la Figura 1.34 se muestra la conexión y la referencia para las variables.
Figura 1.34
En la red, las corrientes con doble índice, indican la dirección en que fluye la corriente.
La conexión también se denomina delta, ya que el símbolo para esa letra mayúscula griega es
.
El sistema trifásico, en este caso, sólo puede ser trifilar. El símbolo terminal, especificando las
líneas, se muestra en la Figura 1.35; y el diagrama unilineal se ilustra en la Figura 1.36 para
secuencia (a, b, c).
Figuras 1.35 – 1.36
b) Tensiones:
En la conexión triángulo las tensiones entre líneas son iguales a las tensiones en las fases.
Ell E f
(1.15)
Para generación simétrica, en secuencia (a, b, c), las relaciones entre las tensiones se muestra en la
Figura 1.37.
Figura 1.37
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
22
Si se elige la tensión entre a y b como referencia se tendrá:
E
Redes Eléctricas
Ell 0
 ab
2
E
a E
bc
(1.16)
ab
E
aE
ca
ab
Y se cumple:
E
E
 ab
E
bc
0
(1.17)
ca
La relación 1.17, puede observarse gráficamente en la Figura 1.37; corresponde a la aplicación de
LVK en el triángulo.
El generador ideal, definido en 1.16, sostiene las tensiones independientemente de las corrientes
que circulan por las fuentes de tensión.
c) Corrientes:
Aplicando LCK se cumple que:
I
I
a
I
b
0
(1.18)
c
Y también que:
I
I
a
I
I
ba
I
b
I
I
cb
I
c
ac
(1.19)
ba
I
ac
cb
Si se conocen las corrientes en las fases pueden determinarse las corrientes en las líneas. Pero si se
conocen las corrientes de líneas no pueden determinarse unívocamente las de fase, salvo que se
agregue una condición adicional.
En el sistema formado por (1.19) no pueden despejarse las corrientes de fase en términos de las de
línea. La matriz resulta singular.
c1) Corrientes en las fases:
Supondremos que las corrientes de fases constituyen un sistema equilibrado. Esto es equivalente a
suponer que cada generador entrega igual potencia aparente.
Empleando igual convenio para los diagramas fasoriales con variable de doble subíndice se obtiene
la Figura 1.38.
También pueden representarse como se indica en la Figura 1.39.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
23
La Figura 1.38 ilustra gráficamente la relación (1.18); mientras que en la Figura 1.39 se aprecia que
las corrientes de fase son simétricas.
Figura 1.38
Figura 1.39
c2) Corrientes en las líneas:
Aplicando en la Figura 1.39 la relación (1.19) se obtiene la Figura 1.40.
Figura 1.40
Debe observarse que los módulos de las corrientes de líneas son mayores que los de las corrientes
en las fases. Es decir:
Il
3 If
(1.20)
La regla del doble índice no se aplica para las corrientes de línea que tienen un solo subíndice. En
la Figura 1.40 se advierte la relación (1.18), pues las corrientes forman un triángulo. Y como éste
es equilátero se tendrá que las corrientes de línea son simétricas. La relación entre los ángulos de
las corrientes en las líneas y en las fases se observa en la Figura 1.41., que es equivalente con la
Figura 1.40.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
24
Redes Eléctricas
Figura 1.41
Ejemplo 1.7.
En un generador triángulo se conoce la corriente de línea:
ia
3 sen( t 30º )
Determinar la potencia aparente suministrada por la fase ebc , con:
ebc
2 cos( t 30º )
Solución:
La potencia aparente pedida es:
P
Ebc I cb*
2
2
Y se conoce E
bc
30º
Para secuencia (a, b, c) se tiene, viendo la Figura 1.40:
I
a
I
3
cb

90º
Pero se da la corriente en la línea a, entonces:
I
a
3
2
60º
Resulta:
P
1.6.3
3
120º
3
2
3
j
2
Carga trifásica estrella.
En la Figura 1.42 se muestra la carga trifásica estrella con las referencias para las variables.
Para los voltajes en las impedancias de la carga se ha elegido la letra V.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
25
Figura 1.42
Las corrientes en las líneas se escogen entrando a la carga. Entonces la potencia aparente que entra
a la carga se expresa según:
P V I * v I * v I *
a
a
b
b
c
(1.21)
c
Si existe conductor neutro, se tendrá:
I
I
n
I
a
I
b
(1.22)
c
En caso de alimentación trifilar se tendrá:
I
I
a
I
b
0
(1.23)
c
Se dice que la carga estrella es equilibrada o balanceada sí y sólo si:
Z
Z
a
Z
b
(1.24)
c
A veces se menciona la relación (1.24) como carga simétrica; sin embargo, es más adecuado el
término para la generación.
Cuando deseemos referirnos a la conducta externa de la carga, es decir, desde sus terminales,
emplearemos los diagramas que se muestran en las Figuras 1.43 y 1.44.
Figuras 1.43 – 1.44
1.6.4
Carga trifásica triángulo.
La conexión y las variables se muestran en la Figura 1.45
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
26
Redes Eléctricas
Figura 1.45
La potencia aparente que ingresa a la carga se expresa según:
P V
ab
I * V I bc * V I *
ab
bc
ca
(1.25)
ca
Siempre se cumple que:
V
V
ab
V
bc
0
(1.26)
ca
Se dice que la carga trifásica triángulo es equilibrada, o balanceada, o simétrica, sí y sólo si se
cumple:
Z
Z
ab
Z
bc
(1.27)
ca
Los diagramas para representar la componente desde sus terminales; o bien, en la forma unilineal,
son similares a las Figuras 1.43 y 1.44, excepto que en lugar de la estrella se coloca un triángulo.
1.7
Redes trifásicas equivalentes.
1.7.1
Generadores equivalentes.
Sean las siguientes redes:
Figuras 1.46 – 1.47
En las Figuras 1.46 y 1.47 la carga trifásica es la misma, no importando si está conectada en
estrella o triángulo.
a) Estrella a triángulo
Si se conoce el generador estrella nos interesa determinar el generador triángulo equivalente,
respecto de la red trifásica conectada al generador.
Mediante el teorema de substitución por fuente de voltaje, se reemplaza la configuración estrella
por un triángulo, manteniendo las tensiones entre líneas. La relación (1.10) permite obtener los
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
27
generadores entre líneas equivalentes, en caso que la estrella sea simétrica. La Figura 1.28 muestra
gráficamente la situación; la Figura 1.48 presenta la misma información que la Figura 1.28, pero
hace énfasis en las relaciones entre magnitudes y fases de ambos sistemas.
Figura 1.48
Si la estrella es simétrica, se tendrá un triángulo simétrico. Si la generación estrella es
desequilibrada, el equivalente triángulo puede obtenerse siguiendo un procedimiento semejante al
recién descrito. En este caso resultará un generador triángulo desequilibrado.
b) Triángulo a estrella
Existen múltiples soluciones; es decir, el generador estrella no es único. Esto puede visualizarse en
el diagrama fasorial de la Figura 1.28, para el caso equilibrado, observando que el punto neutro de
la estrella puede colocarse en cualquier lugar. Si se está interesado en determinar variables en la
carga, podrá escogerse cualquiera de los generadores estrella, sin alterar la solución. Ya que todos
ellos mantienen las tensiones entre líneas.
1.7.2
Cargas equivalentes
a) Estrella triángulo
Para los diagramas de las Figuras 1.42 y 1.45, y en caso de carga estrella sin neutro, se tienen las
siguientes relaciones para convertir una carga estrella en una equivalente conectada en triángulo.
z2
V
Z
ab
z
c
z2
V
Z
bc
(1.28)
z
a
z2
V
Z
ca
z
b
Donde:
Z
2
 v
Z Z
 a  b
Z Z
 b  c
Z Z
(1.29)
 c  a
b) Triángulo estrella
Para convertir una carga triángulo en una estrella equivalente, se tienen:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
28
Redes Eléctricas
z z
 ab  ca
Z
 a
z

z z
 bc  ab
Z
 b
(1.30)
z

z z
 ca  bc
Z
 c
z

Donde:
z
Z

Z
 ab
 bc
Z
(1.31)
 ca
c) Carga balanceada
Si la carga es equilibrada, las relaciones se simplifican
Z
1
Z
3 f
(1.32)
Z
3 Z fY
(1.33)
 fY
 f
Donde el subíndice f recuerda la palabra fase.
1.8
Potencias en sistemas trifásicos.
1.8.1
Definiciones
Si en un sistema trifásico se numeran las fases como sigue:
Figuras 1.49 – 1.50
Y si se definen las referencias, para cada fase, de tal modo que el producto de la tensión de fase por
la corriente de fase sea la potencia instantánea que entre a la fase se tendrán:
Potencia activa trifásica:
P30
P1 P2
P3 (W )
Profesor Leopoldo Silva Bijit
(1.34)
21-09-2009
Sistemas trifásicos
29
Potencia reactiva trifásica:
Q30
Q1 Q2 Q3 (VAR)
(1.35)
Potencia aparente trifásica (módulo)
Pap30
P 230 Q 230 VA
(1.36)
P30
Pap30
Factor de potencia trifásico
(1.37)
Donde:
P1 V1 I1 cos( 1 )
Q1 V1 I1 sen( 1 )
Si la fase es una impedancia,
Si la fase es un generador,
1 es
1 es
el ángulo de ésta.
el ángulo medido desde I hacia V .
1
 1
Existen relaciones análogas para las fases dos y tres.
1.8.2
Sistema equilibrado.
Las relaciones se simplifican, y pueden expresarse según:
P30
3 V f I f cos
3 V1 1 I1 cos
W
(1.38)
Q30
3 V f I f sen
3 V1 1 I1sen
VAR
(1.39)
Qap30
3 Vf I f
FP30
FP10
3 V1 I1 VA
(1.40)
(1.41)
Las relaciones anteriores pueden aplicarse a la conexión estrella y a la conexión triángulo,
mediante la correcta identificación de las variables de fase y de las líneas.
1.9
Análisis de sistemas trifásicos equilibrados.
1.9.1
Generador y carga en conexión estrella con neutro.
En la Figura 1.51 se muestran las conexiones y variables del sistema que se desea analizar.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
30
Redes Eléctricas
Figura 1.51
Sean además:
Z
Z
Z
Z


1
Z
 c
E 0º
E
 an
Secuencia (a, b, c)
Se tienen las siguientes ecuaciones independientes:
E
I Z I Z
a 
n  n
(1.42)
E
I Z
I Z
(1.43)
E
I Z I Z
(1.44)
 an
 bn
b
 cn
I
n
n  n
c 
n  n
I I
a
I
b
(1.45)
c
Las tensiones en las fases cumplen (1.9); además, se cumple la relación (1.12).
Sumando las relaciones (1.42), (1.43) y (1.44), y aplicando (1.12), se puede despejar I
n
Si es ésta se aplica (1.45) se obtendrá:
I
n
3Z
 n
Z

0
Entonces se tendrá:
I
n
0
(1.46)
Y puede aplicarse teorema de sustitución por circuito abierto. Esto equivale a sacar conexión entre
los neutros.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
31
La relación (1.46) también implica que la tensión entre los neutros es cero; y puede aplicarse
teorema de sustitución por cortocircuito. Y la red puede estudiarse como tres redes monofásicas.
Puede verse al introducir (1.46) en (1.42), (1.43) y (1.44) que las corrientes son simétricas, y
pueden calcularse según:
E
I
 an
a
Z

I
a2 I
I
aI
b
c
E
Z
(1.47)
a

 a
Relación que insinúa que sólo es preciso calcular para la fase a, y las variables para las fases b y c
se obtienen desfasando es más y menos 120º, los valores obtenidos para la fase a.
Las potencias se calculan mediante (1.38) y (1.39), resultan:
1.9.2
P30
3
E2
cos
Z
W
Q30
3
E2
sen
Z
VAR
Generador y carga conectados en triángulo.
Figura 1.52
Sean:
Z

E
 ab
Z
E 0º
Secuencia (a, b, c)
Se considera cero las impedancias de las líneas.
Cálculo de las tensiones en las fases de la carga:
V
 ab
E
 ab
E 0º
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
32
Redes Eléctricas
2
V
E
a E 0º
V
E
a E 0º
 bc
 bc
 ca
 ca
2
a V



(1.48)
 ab
aV
  ab
Cálculo de las corrientes en las fases de la carga:
V
E
Z
 ab
I
 ab
Z

2
I
a I
I
a I
 bc
 ca
(1.49)
 ab

 ab

Cálculo de las corrientes en las líneas:
I
a
I
a I
I
aI
a
b
c
I
 ca
 ab
1 a I

 ab
3
E
Z
30º
2

(1.50)
a
 a
La determinación de las potencias se realiza, sin dificultad, mediante las fórmulas desarrolladas en
(1.8).
1.9.3
Generador estrella, carga triángulo.
El cálculo de las tensiones en las fases de la carga, se puede efectuar determinando el generador
equivalente triángulo desarrollado en el punto 1.7.1.
Figura 1.53
Determinada la tensión en la fase ab, pueden aplicarse los resultados obtenidos en 1.9.2.
1.9.4
Generador triángulo, carga estrella.
Debido a que la carga es equilibrada, puede determinarse el generador estrella equivalente
equilibrado según se vio en el punto 1.7.1.
Luego se aplica igual desarrollo que en 1.9.1.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
33
Figura 1.54
Un método alternativo es obtener el equivalente triángulo de la carga, y determinar las corrientes en
las líneas según 1.9.2. Estas corrientes serán iguales a las que circulan en las fases de la carga
estrella. Luego pueden determinarse, mediante las impedancias y corrientes de fases, las tensiones
en las fases de la carga estrella.
1.9.5
Carga en paralelo.
Ocurre frecuentemente, en la práctica, el tener que efectuar cálculos en sistemas trifásicos que
tengan cargas en paralelo. Suele interesar: la potencia total que debe entregar el generador, las
corrientes en las líneas del generador, el factor de potencia trifásico del conjunto de las cargas.
Estos cálculos permiten dimensionar: las secciones de los cables de las líneas de alimentación, los
fusibles de protección, la potencia del transformador, los condensadores para mejorar el factor de
potencia, etc.
Figura 1.55
Existen varias formas del problema propuesto, según se ilustra en la figura 1.55.
El método para solucionar estos casos dependerá de lo que se desee calcular.
Cuando se desean determinar variables en el generador, podrá calcularse un equivalente del sistema
de cargas paralelo y aplicar las técnicas de cálculo desarrolladas anteriormente.
1.9.6
Caídas de tensión en sistemas con neutro.
Se necesita efectuar estos cálculos para dimensionar las secciones de los conductores que se
deberán emplear en instalaciones eléctricas, tanto en industrias como en casas.
Una instalación incorrecta presenta riesgos de incendio, y más generalmente puede presentarse el
caso de caídas de tensión que impidan el correcto funcionamiento de la maquinaria y del
alumbrado.
Un esquema de la situación es el siguiente:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
34
Redes Eléctricas
Figura 1.56
Se considera como generador ideal la alimentación entregada por la empresa que vende la energía
eléctrica, después del medidor. En zonas muy alejadas del transformador de distribución o bien en
barrios densamente poblados con tendidos de cables de mucha antigüedad el modelo anterior será
bastante inexacto.
Las impedancias de las líneas se consideran solamente resistivas, y se calculan de acuerdo a los
valores de resistencia por metro de largo que entregan los fabricantes de los conductores. Se tienen
tablas con: las secciones normalizadas que se encuentran en el comercio, el tipo de aislamiento, la
máxima densidad de corriente que soportan en distintas condiciones de refrigeración (al aire libre,
dentro de tubos, etc.). Se recomienda consultar el manual de instalaciones de Servicios Eléctricos,
en él figuran los porcentajes permitidos para las caídas de tensión, tanto en alumbrado como en
fuerza motriz.
El método de análisis que se recomienda es calcular las corrientes en las líneas, para la carga
trifásica equivalente estrella, vista por el generador.
Ejemplo 1.8.
Determinar corrientes de línea:
Ejemplo 1.8a
Solución:
Considerando la fase a como referencia, que tendrá:
Ejemplo 1.8b
Entonces resulta:
I
a
110 30º
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
35
Y por lo tanto, para secuencia (a, c, b):
I
110 90º
I
110
b
c
I a
a 
150º
I a
2
a 
Ejemplo 1.9.
Se tiene una carga trifásica de 10 KVA con F.P. = 0,5 IND; determinar los KVA de un banco de
condensadores que conectado en paralelo con la carga anterior hace que el factor de potencia total
sea de 0,866 CAP.
Solución:
Se tienen
Ejemplo 1.9a
P
P
P
10.000  0,5

1
1
P
 2
j 10.000 
1
0,5
2
j Q2 ; Se desea calcular Q2
P
 2
Ejemplo 1.9b
Del diagrama:
Cos
Pa1
t
Pa 12
Q2 Q1
2
Reemplazando los valores numéricos se llega a:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
36
Redes Eléctricas
Q2 8.660
5.000
3
2
2
Por lo tanto:
Q2 11.746,8 ; descartando el valor de Q2 que es menor que Q1 , que determina un
FP 0,866 IND
Respuesta:
11,75 KVAR
Ejemplo 1.10.
A la red trifásica de 380 V entre líneas están conectados un motor y un horno.
Ejemplo 1.10
El motor trifásico de 5 HP tiene una eficiencia de 86% y opera con FP = 0,866, y está conectado en
estrella.
El horno trifásico tiene 36 Ohms por fase y está conectado en triángulo.
Determinar los KVA, el factor de potencia y la corriente de línea del sistema.
Solución:
En general Putil
Eficiencia Ptotal ;
en particular: Pelectrica
Pmecanica
en el eje
P
Pa1
Pa1
5
0, 75 KW

0,86
1 HP
P
4,36
0,866
Q1
P sen (arcos 0,866) = 2,52 KVAR ind
1
1
j Q1
4,36 KW
5, 036 KVA
1
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
En el horno:
37
P
Pa 2
j 0 con FP2 1
Pa 2
3 V

 2
I f cos
2
3380
380
1 12, 03 KW
36
Entonces ingresa al sistema:
P
4,36
P
16,58 KVA


j 2,52 12, 03
El factor de potencia del sistema es:
1.10
FP
12, 03 4,36
16,58
I
P
3V
0,988 ind
16,581000
3 380
25,19
A
Análisis de sistemas trifásicos desequilibrados.
Cuando se presentan corrientes desiguales en maquinarias eléctricas, tanto estáticas como
giratorias, se producen efectos perjudiciales para el correcto funcionamiento de ellas. Entre los
efectos, que se producen en funcionamiento anormal, destacamos los siguientes: distorsión de las
formas de ondas sinusoidales en las tensiones de fase en los voltajes entre líneas, pérdidas de
potencia adicionales en el fierro y en los devanados, sobre calentamiento local excesivo, esfuerzos
mecánicos en los devanados, torques parásitos opuestos a la dirección normal de funcionamiento,
reducción del torque de partida y de la eficiencia, etc.
Existen métodos especiales para el análisis de sistemas trifásicos desbalanceados, están basados en
la descomposición de las señales trifásicas desequilibradas en sumas de señales trifásicas
simétricas. Estas materias no serán tratadas en este texto. Se analizarán los sistemas
desequilibrados mediante los métodos generales desarrollados en el curso introductorio de teoría de
redes.
Los efectos perjudiciales, mencionados al comienzo, son máximos en el caso de cortocircuitos
desequilibrados que representan el caso extremo de carga desbalanceada. La caracterización
analítica de estos casos nos permitirá comparar cuantitativamente los distintos sistemas de
alimentación y obtener una medida de los efectos perjudiciales descritos.
1.10.1 Generador y carga conectados en estrella con neutro.
Figura 1.57
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
38
Sean:
Redes Eléctricas
Z
Za
a
Z
Zb
b
Z
Zc
c
E
E 0º
E
a E
E
aE
 a
 b
 c
 a
2
 b
 c
 a

  a
Nótese que las tensiones del generador son simétricas. Las impedancias del generador y de las
líneas se han incluido en la carga, por esta razón en los resultados que se obtengan no se podrá
hacer tender a cero las impedancias Z , Z y Z Un cortocircuito en una fase de la carga podrá
 a
 b
 c
representarse por una impedancia finita que llamaremos Z
 1
I
V Y
I
V Y
I
V Y
I
I
a
b
c
n
 a  a
(1.51)
 b  b
 c  c
a
I
b
I
(1.52)
c
Nótese que las corrientes constituyen un sistema desequilibrado.
Adviértase que las tensiones en las fases de la carga serán desequilibradas, debido a que las caídas
en las líneas y en las impedancias del generador serán desbalanceadas, ya que se tienen corrientes
simétricas.
Una medida de la asimetría se obtiene calculando:
V
 n
I Z
n  n
2
Y
a Y
Y
Y
 a
 a

 b
 b
Y
 c
aY
  c
Y
E
 a
(1.53)
 n
Un esquema adecuado para interpretar la situación es el siguiente diagrama fasorial:
Cálculo de las tensiones en las fases de la carga:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
39
Figura 1.58
V
E
V
V
a E
V
aE
 a
 a
 n
2
 b
V
 a

V
  a
 c
(1.54)
 n
 n
Nótese que resulta conveniente calcular primero V , luego se calculan las tensiones en las fases de
 n
la carga, y, finalmente, las corrientes en las líneas.
1.10.2. Tensión entre neutros.
La tensión entre el neutro del generador y el neutro de la carga puede determinarse por varios
métodos. La fórmula planteada anteriormente, se puede demostrar aplicando el teorema de Norton
o Thévenin, también aplicando superposición o un método general de análisis de redes.
En caso de conexión estrella sin neutro, la expresión (1.53) se modifica haciendo Y
 n
Si definimos:
Y
 t
I
N
Y
 a
Y
 a
Y
Y
 b
 c
2
a Y

aY
 b
  c
E
fuente Norton entre n c y n g
 an
Se tendrán:
I
V
 n
con neutro
=
I
N
Y
 t
N
Y
 n
Y
 t
1
Y
1
1
(1.55)
 t
Y
 n
I
V sin neutro
 n
N
(1.56)
Y
 t
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
0
40
Redes Eléctricas
Expresiones que permiten analizar distintas condiciones de falla u operación anormal; y además
efectuar comparaciones entre ambos sistemas de distribución.
Puede verse que si la suma paralelo de las impedancias de las líneas es mucho mayor que la del
neutro, se tendrá.
Y Y
 t
 n
En este caso V es casi cero, y se aprecia la importancia del conductor neutro, pues el valor de
 n
V de la expresión (1.55) será mucho menor que el dado por la (1.56)
 n
1.10.3. Cortocircuito en una fase.
a) Con conductor neutro.
Estudiemos un cortocircuito en la fase a de la carga, la situación se ilustra en la figura 1.59, para el
caso con conductor neutro.
Figura 1.59
Resulta
1
4Y
V
 n
E 
 an
 f
2 Y
1
E
 an
2
La condición para la aproximación es Y1  Y f . Esto en general se cumple, ya que la impedancia de
la línea de transmisión es muchísimo menor que la impedancia de la carga.
Figura 1.60
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
41
En la figura 1.60 se muestra el diagrama fasorial en el que se aprecia que, al producirse la falla,
aumentan las tensiones en las fases b y c.
Se produce una alta corriente en la línea fallada, que será interrumpida al fundirse el fusible de
línea; la corriente es grande pues la mitad de la tensión de fase es aplicada a una impedancia muy
pequeña. En el peor caso, el máximo aumento de la tensión en las fases b y c es de 32%, respecto
al caso sin falla.
Las sobretensiones son transitorias, mientras opera el fusible; luego las tensiones en circuito
abierto, en una fase, se calculan en 1.10.4
b) Sin conductor neutro
En este caso resulta:
1
3Y
V
 n
 f
E
 an
E
 an
1 Y
 
Ahora la tensión en la fase fallada es cero, pero las sobretensiones en las fases b y c son un 73% de
la tensión en la fase sin falla. Las tensiones son inadmisibles para equipos conectados en las fases
b y c; si por ejemplo fueran ampolletas, éstas se quemarían.
Concluimos que este sistema de distribución está en desventaja respecto al con neutro, pues una
falla de cortocircuito en una fase, que es muy frecuente, puede dañar los equipos conectados a los
otras fases.
Además, en caso de operar las protecciones en b y c, quedaría fuera de servicio todo el sistema.
1.10.4. Circuito abierto en una fase.
a) Con conductor neutro.
Usaremos el sistema propuesto en la Figura 1.59, pero ahora se abre la fase a.
Resulta.
1
Y
V
 n

E
 an
3 Y
0
 f
Es decir, las tensiones en las fases b y c, prácticamente no se modifican. Los equipos conectados
en las fases b y c podrán seguir operando sin dificultades; esto para el caso de que los dispositivos
que no requieran de alimentación trifásica.
b) Sin conductor neutro.
Ahora resulta:
E
V
 n
 an
2
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
42
Redes Eléctricas
Situación que se ilustra en la Figura 1.61
Las tensiones en las fases b y c disminuyen en 13%
Se concluye que en caso de falla de circuito abierto en una fase, es más ventajosa la distribución
con conductor neutro.
Figura 1.61
1.10.5. Otros sistemas desequilibrados
Los sistemas conectados en triángulo y en desequilibrio pueden ser estudiados mediante técnicas
generales de análisis de redes, y no serán desarrollados en este texto.
Ejemplo 1.11. Determinar
Determinar las corrientes en las líneas.
Ejemplo 1.11
Con
Vab t
10 sen 10t 37º
Z
5 3 5j
Z
5 5 3j
1
 2
Solución:
Por inspección
V
V
I
a
 ac
 bc
; I
b
Z
Z
; I
c
I
a
I
b
 2
1
Es preciso conocer Vac y Vbc en términos de los datos:
V
V
120º
V
V
V
 bc
 ac
 ab
 ca
 ab
Profesor Leopoldo Silva Bijit
120º
21-09-2009
Sistemas trifásicos
Pero se tiene:
V
43
10 37º
 ab
(referencia seno)
Conviene la forma polar, para la división:
Z
10
30º; Z
10
I
10
10
23º
1
30º
7º
I
10 83
1
10 60
I
I
I
0,518 112º
1
 2
60º
Resultan:
a
b
a
c
b
0,194
143º
j 0, 480
Entonces:
ia
sen 10t
ib
sen 10t 143º
ic
0,52 sen 10t 112º
7º
cos 10t 127º
0,52 cos 10t 22º
Ejemplo 1.12.
Determinar la corriente en la línea a, con neutro conectado y sin neutro.
Ejemplo 1.12
a) Con neutro conectado.
V
I
 a
V
E
V
1
1
1
a2 
a
4
2
E 4
 a
1 1 1
1
4 4 2
a
 a
 n
4
 a
V
 n
Profesor Leopoldo Silva Bijit
a4
E
a

8
4
21-09-2009
44
Redes Eléctricas
E
I
a
 a
4
a
1

8
b) sin neutro.
E
I
a
 a
4
a
1

4
; mayor que el caso a)
Ejemplo 1.12
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
45
PROBLEMAS RESUELTOS
SISTEMAS TRIFASICOS
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
46
1.
Redes Eléctricas
Para el siguiente sistema, determine la corriente en la fase del generador:
Solución:
Para la fase a del generador se tiene la siguiente red equivalente:
Entonces.
Ea
I
a

Z // Z 2
1

Se tiene:
Z // Z
1
 2
4
3
Resulta:
Ia
2.
240 3
4
104
A
Si la tensión de fase estrella es
E
 an
110 30º ,
determinar E si la secuencia es (a, c, b).
 ca
Solución:
El diagrama fasorial es :
Se tiene:
E
 ca
3E
 an
150º
Entonces:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
E
47
110
 ca
3
120º
Pueden calcularse:
E
110 3
E
110 3 180º
 cb
 ba
3.
60º
Calcular el valor de:
a 1
3a
j
2
x


Solución:
Se tienen:
a 1
3 150º

j
90º
Entonces:
x

3 150º 90º
3
120º
360º 1
Resulta:
x 1

4.
Partidor estrella-triángulo.
En motores trifásicos, para reducir las altas corrientes en la partida, se les hace andar inicialmente
conectados en estrella. Cuando el motor ha adquirido una velocidad cercana a la nominal se
conectan sus fases en triángulo. A continuación se estudian algunas relaciones entre ambas
conexiones.
V
V
 f
V
 ab
Profesor Leopoldo Silva Bijit
V
 ab
 f
21-09-2009
3
48
Redes Eléctricas
V
3V
 ab
I
 
 ab
I
 
Z

3Z

V
I
 f
 ab
I
 f
Z

V *
P
 
 ab
3V
 ab
Z*

3Vab 2
Z*
I
 
3V
 ab
P
 
3

V *
 ab
3 Z*

Entonces:
I
V f
3
V f
V
V 
 f
3
I
 f
I
1

I
3
 
I

I
3

5.
Sistema equilibrado.
Si la corriente de línea es de 10 A , determinar la tensión entre líneas.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Vab2
Z*

Sistemas trifásicos
49
Solución:
Para las variables:
Se tienen:
V
Z If
If
I
3
V
Z I
3
V
50
3
Entonces:
6.
510
3
28,87
Para el siguiente sistema.
Si el módulo de la impedancia disminuye en 20%, determinar la variación de la tensión de fase en
la carga.
Solución:
La tensión en las fases de la carga solo depende del generador. Y como este no cambia, no habrá
variación de la tensión de fase.
En cambio la corriente de fase en la carga aumenta en un 25%. Esto debido a:
Originalmente: I f
Luego: I f
Vf
0,8Z
Vf
(i)
Z
1, 25
Vf
(ii)
Z
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
50
Redes Eléctricas
Sistema equilibrado, con impedancia de línea no despreciable, Z
7.
 
1 30º
Determinar la tensión de fase en la carga.
Solución:
El circuito monofásico, para la fase de referencia es el siguiente:
Entonces:
V
220 0º
4 30º
1 30º 4 30º
3
V
101,6 V
 c
 c
8.
4 220
5
3
Se tienen cargas equilibradas:
Determinar la impedancia en una fase de la carga equivalente estrella.
Solución:
La impedancia de la carga triángulo convertida en una equivalente estrella es:
Z
 2
2 90º
Pueden unirse los neutros de las cargas estrellas, pues son equilibradas. Entonces las impedancias
Z y Z quedan en paralelo.
 2
1
Z
 e
Z //
1
Z
2
2 2j
2 2j
Profesor Leopoldo Silva Bijit
2
1 j
2
45º
21-09-2009
Sistemas trifásicos
9.
51
Se tiene el siguiente sistema equilibrado
Determinar la magnitud de las corrientes en las fases del generador.
Solución
Las corrientes en las fases del generador serán de igual módulo que las corrientes en las fases de la
carga.
380
40
I fc arg a
I
9,5
A
3 16,5
I
3
I f generador
10.
9,5
9,5
A
A
sistema equilibrado
(
Determinar el factor de potencia visto por el generador.
Solución:
La impedancia de fase estrella equivalente será:
Z
Z

Z

1
3
// Z
15 30º 20 20º
15 30º 20 20º
300 10º
31, 79 1,19º
FP cos
11.
 2
300 10º
31, 78 j 0, 66
9, 44 8,81º
cos 8,81º 0,988 ind .
En el siguiente sistema equilibrado, se conecta un banco de condensadores en triángulo.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
52
Redes Eléctricas
Determinar el valor del condensador de modo que el FP visto desde el generador sea uno.
Solución:
La impedancia equivalente triángulo de las cargas será:
1
WC
20 25º
Z

20 25
j
90º
Z
1
WC
Para tener factor de potencia unitario el ángulo
debe ser cero.
Entonces:
1
WC
20 cos 25
20sen25
WC
C
12.
tg
25º 90º
0, 021
67,3uF
En el siguiente sistema trifásico equilibrado las tensiones entre líneas son:
200 17º, 200 103º, E

Determinar E

Solución:
Las tensiones deben sumar cero.
Entonces:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
Resulta E

200 17º 120º
53
200 137º
Sistema equilibrado, la magnitud de corriente de línea es 30 A
13.
Determinar la tensión entre líneas:
Solución:
La corriente en la fase de la carga es:
30
3
If
La tensión entre líneas será.
V
14.

30
6 103,9 V
3
Sistema equilibrado, secuencia (a, c, b).
Con I
a
5 15º
Determinar corrientes en líneas b y c.
Solución:
Se tiene
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
54
Redes Eléctricas
Es decir:
I
aI
I
a I
b
c
 a
2
a

Entonces:
I
5135º
I
5 105º
b
c
15.
En un generador trifásico estrella, se tienen las siguientes tensiones de fases:
Determinar la tensión de la línea R respecto de la línea T.
Solución:
Se tiene:
E
 RT
3 E 30º
200
 R
Profesor Leopoldo Silva Bijit
3 30º
2
21-09-2009
Sistemas trifásicos
e
 RT
16.
200
55
3 sen wt 30º
Se tiene un sistema triángulo en paralelo con otro estrella, ambos equilibrados y con
impedancias de fases resistivas e iguales. Si la tensión entre líneas es 100 V y la
corriente de línea es de 40 A . ¿Determinar el valor de la resistencia?
Solución:
La red monofásica equivalente es:
Entonces:
I
100 R R / 3
40
3 R R / 3
De donde:
R 5, 77
17.
Una estrella resistiva está en paralelo con un triángulo equilibrado de Z

Con tensión entre líneas de 300 V
la potencia absorbida por las cargas es 19,75 KW.
¿Determinar la resistencia por fase de la estrella?
Solución:
V

300
R
Pac1
Z

Pac2
Se tienen:
2
Pac1
3
300
1

R
3
Profesor Leopoldo Silva Bijit
5 10 j
90.000
R
21-09-2009
5 10 j
19, 75KW
56
Redes Eléctricas
Pac
3300
2
300
COS
Z
27.000
10
COS arctg
5
25 100
Entonces:
R 10, 06
18.
Tres impedancias iguales, Z
2 1, 25 j están conectadas en triángulo a un sistema con

220 V de tensión entre líneas. Determinar la corriente de fase, la de línea y las
potencias.
Solución.
If
220
Z
I
3I f
Pac
Q
22 1, 252
93,3 A
161, 6 A
3I f 2  R
52, 2 KW
3I f 2 1, 25 32, 6 KVAR
Pac 2 Q 2
Pap
19.
220
61,5 KVA
¿Qué razón debe existir entre las resistencias por fase de una estrella y un triángulo
respectivamente, para que la razón entre las potencias absorbidas sea igual a un número
dado n?
Solución:
Potencia carga estrella resistiva: P
2
P
V
3 
3
P
3 V 
2
1
R
1
R
Entonces:
P
P
R
3R
Se pide:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
R
R
20.
57
1
3 P /P
1
3n
Un sistema trifásico equilibrado tiene 344 V entre líneas, y una carga estrella que absorbe
90 KW con un factor de potencia inductivo de 0,75.
Determinar la corriente en la línea.
Solución:
Se tiene:
El F.P. de la fase es igual al de la carga trifásica, si ésta es equilibrada.
Se tiene:
Pac1
V f  I  cos
Pac1
90
3
cos
Vf
30 KW
0, 75
V

3
344
168, 6
3
Entonces:
I
21.
30.000
198, 60, 75
201, 4 A
Sistema tetrafásico simétrico estrella, de secuencia (a, b, c, d).
Determinar las tensiones entre líneas en función de la tensión en la fase a.
Solución
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
58
Redes Eléctricas
Se tiene
Entonces.
E
2 E 45º
 ab
 a
E
2E
 ac
 a
E
2E
 ad
 a
E
E
E
2E
E
E
 bc
 ad
 bd
 a
 cd
22.
45º
90º
 ab
Si la tensión en la fase uno de un generador simétrico triángulo es 380 50º , determinar las
tensiones de fase del generador estrella equivalente. La secuencia es (1, 2, 3).
Solución:
Se tiene
Sea E
 12
380 50º
El diagrama fasorial, refleja la secuencia (1, 2, 3). Esto puede notarse observando la
secuencia del primer índice de las transformadas fasoriales.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
Conviene dibujarlo según
59
Se elegirá un generador estrella simétrico, en este caso, las tensiones de fases resultan:
E
380
20º
3
E
380
140º
3
E
380
260º
3
 1n
 3n
 2n
Método 2
Se conoce que la tensión de fase estrella está 30º atrasada respecto de la fase triángulo:
E
E
 1n
 12
3
30º
Entonces:
E
380
20º
3
E
E 120º
 1n
 3n
 1n
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
60
Redes Eléctricas
E
 an
23.
E
 1n
240º
Generador trifásico equilibrado, de secuencia abc, alimenta a una carga balanceada
triángulo.
Determinar el retraso de fase de I respecto de I
 bc
b
Donde I es corriente en la carga.
 bc
Solución.
Se tiene por LCK:
ia
iab ica
ib
ibc iab
Si la carga es balanceada las corrientes en las fases serán simétricas, ya que las tensiones
entre líneas también son simétricas.
La secuencia es (ab, bc, ca) esto puede verse si consideramos cargas resistivas, por ejemplo,
en el siguiente diagrama fasorial de las tensiones en las frases del triángulo:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
61
Las corrientes en las fases, estarán en fase con las tensiones. En general estarán desfasadas
respectos de las tensiones en el ángulo de la impedancia.
Luego se han dibujado las corrientes en las líneas tal que se cumplan las leyes de Kirchhoff.
Entonces:
I
3I
30º
I
3I
30º
I
3I
30º
a
 ab
b
 bc
c
 ca
Puede decirse que I está retrasada en
 bc
30º respecto I es preferible decir que I adelanta en
b
 bc
30º a I .
b
24.
Determinar la magnitud de las corrientes en las líneas
Solución:
La impedancia de fase estrella, será:
I /3

El equivalente monofásico de referencia será:
Entonces:
V
I

25.
3
3 Z
 

3
V
Z
Las señales v1, v2 y v3 son las tensiones de fases en un generador trifásico triángulo.
Se tiene
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
62
Redes Eléctricas
v1
A sen (2t 30º )
v2
A cos (2t 60º )
Determinar v3 (t ) .
Solución:
Se cumple, por ser triángulo,
v3
v1 v2
Y también.
V
V
 3
1
V
 2
Las transformadas fasoriales de v1 y v2
Se advierte que el sistema es simétrico, entonces V adelanta en 120º a V .
 3
Por lo tanto:
V
 3
Aj
Resulta:
v3 (t )
A cos 2t
La secuencia es (1, 3, 2).
26.
Para el siguiente sistema, con Z

3 30º
Determinar
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
 2
Sistemas trifásicos
63
V
 RS
I
para secuencia a) RST
 NT
b) RTS
Solución:
En general se tiene:
V
ZI
NT
  NT
Entonces:
V
 RS
V
Z

I
 NT
 RS
V
, y buscaremos la relación entre las tensiones en un diagrama fasorial.
 NT
a) Para secuencia RST
Se tiene:
V
3V
 NT
RS
Es decir: V
90º
/ V
RS
 NT
3 90º
Y la razón pedida:
V
 RS
I
3 30º 
3 90º
3 3 120º
 NT
b) Para secuencia RTS
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
64
Redes Eléctricas
Se tiene:
V
3V
90º
 NT
RS
Entonces:
V
 RS
3 90º
V
 NT
La razón pedida:
V
 RS
I
3 30º
3 90º 3 3 60º
 NT
27.
Un sistema tiene tres cargas estrella y tres cargas triángulo con iguales impedancias de fase.
Con Z
 f
2,5 1,55 j y V

380 determinar la corriente de línea y las potencias
aparentes en la carga triángulo, estrella y del conjunto de cargas.
Solución
Potencia en carga triángulo: (En 3 cargas
Para cada carga
)
:
2
Pac
380
1,5
3
cos arctg
127, 4 KW
Z
2,5
Z
2,52 1,52
1,5
2,5
2,92
Q
127, 4
P
127, 4 76, 4 j KVA

76, 4 KVAR
En la estrella:
Pac
Q
Pac
3
76, 4
3
42,5 KW
25,5 KVAR
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
P

65
42,5 25,5 j KVA
En total: Son 3 cargas
P 3 P


P
y 3 cargas
509, 7
en paralelo.
j 305, 7 KVA
Entonces:
P

3 380 I 
594,35 KVA
Resulta:
I
28.
903 A
Para el siguiente sistema trifásico
Determinar potencia activa suministrada por el generador y factor de potencia del conjunto
de cargas.
Solución:
a) Potencia
En el motor: Potencia en el eje
2 HP
2745, 7 W
Rendimiento  Potencia eléctrica suministrada al motor
Entonces:
Pac1
2745, 7
1989 W
0, 75
2 KW
En la carga resistiva:
Pac2
3 V
3 400
5
V

5
2
96
KW
Potencia activa suministrada por el generador
b) Factor de potencia.
Se tiene
FP
Pac
Pap
Pac
Pac 2 Q 2
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
98 KW
PHP
66
Redes Eléctricas
Es preciso determinar Q.
Pero Q
Q1 Q2 , con Q2
0 por ser carga resistiva.
En el motor:
Q1
Pap1  sen
Pac1
cos
sen
Q1 1989tg arc cos 0,866
1148,5 VAR
Entonces:
Pap
97,9892 1,1492
97,996 KVA
Finalmente,
HP
97989
1
97996
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
29.
67
Para el siguiente sistema
Determinar.
a) Potencia aparente suministrada por el generador.
b) Carga estrella equivalente, que consuma igual potencia
c) Factor potencia visto por el generador.
Solución.
a) P
P

1
P
P
 2
 3
2
P
3 V 
Z1
P
2000,8
P
4
1
 2
 3
cos80º jsen80º
3, 76
j 200sen arccos 0,8 160
j 0 KVA
P 167, 76

j 98, 67 194, 6 30, 46º
3V 2
b) P 3V I *

 
Z*
Entonces:
Z
*

Z

c) cos
2, 22 | 30,5º
0,74 30,5º
167, 76
194, 6
0,862 cap
También puede calcularse según
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
j 21,33 KVA
j120 KVA
68
Redes Eléctricas
HP
30.
cos
30, 46º
0,862 cap .
Sistema trifásico equilibrado
Considere líneas, generador y transformador ideales.
Determinar el cuociente entre módulos formador ideales.
Determinar el cuociente entre módulos de:
a)
b)
Tensión de fase del generador y tensión de fase en la carga.
Corriente de línea del generador y corriente de fase en la carga.
Solución:
En el transformador ideal se cumplen.
V
 a
V
 a'
a) Va
N1 I a
N2 I
 a'
Ef
3
Va ' V f
N2
N1
(en generador)
(en la carga)
Entonces:
3 Va
Va '
Ef
Vf
b)
I
a
I
 a´
I

I
c
3  N1
N2
(en generador)
(en la carga triángulo)
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
Entonces:
I
Ic
31.
69
Ia
I a´
N2
N1
Variaciones en carga.
Un generador estrella equilibrado, con 220V en las fases, alimenta una carga estrella
equilibrada de 5 30º en cada fase.
Si el módulo de una de las impedancias aumenta en 40% ¿en qué porcentaje varía la
potencia suministrada por cada fase del generador?
Con neutro conectado y sin neutro.
Solución:
En el caso equilibrado
P
 1e
E12
*
Z
E I *
 1 1

P
 2e
2
2
*
E
Z

P
 3e
E32
*
Z

Con:
E1
E2
E3
Ef
Z
Z
Z
Z
1
 2
 3
Supondremos que Z
 3
 f
1, 4 Z
 f
a) Con neutro conectado:
No varían las potencias suministradas por los generadores de las fases uno y dos que se
consideran inalteradas.
En cambio:
P
 3cn
E32
1, 4 Z
0, 714 P
 3e
 f
El generador de la fase 3 genera 28,6% menos, es decir 1 0, 714 100.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
70
Redes Eléctricas
b) Sin neutro:
Calculamos
E / Z E / Z E / Z 1, 4
V
 1

 2

 3
E

 1
E
 2
1/ Z 1/ Z 1/ Z 1, 4
 nN

V

E
 3
0, 286 E
 3
2, 714

0,105 E
 3
 nN
Y tenemos, para secuencia (1, 2, 3):
E V
P
 1Sn
E
 1  nN
 1
V
P
1
 1e
Z

P
 2 SN
 2e
1
P
 1e
E
0,948 0, 091 j
 1
V
P
 nN
*
 nN
P
0,948 0, 091 j
P
0,948 0, 091 j
 2e
E
 2
V
P
P
 2 SN
 2e
1
*
 nN
 2e
E
 2
1 V /E
P
 3 SN
P
 3e
 nN
1, 4
 3
*
1,105
P
1, 4  3e
0, 789 P
 3e
En este caso, los generadores 1 y 2 además de disminuir cerca de un 5% la potencia activa
generada también varían en el suministro de potencia reactiva.
32.
Para un generador equilibrado, de secuencia abc, se tiene el siguiente diagrama fasorial:
Determinar ean t .
Solución.
El diagrama tal como está dibujado no cumple la regla de los subíndices. Conviene dibujar
el diagrama equivalente siguiente:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
71
Se advierte que:
1
0º
3
E
 an
Entonces:
2
cos wt
3
ean t
33.
Generación asimétrica, carga equilibrada.
Con:
V
100 0º
V
100 j
 ab
 bc
Z

20 0º
Determinar I , V
a
 ca
Solución método 1
Se tiene
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
72
Redes Eléctricas
Y como V
 ca
V
 ca
V
 ab
V
 bc
, se tendrá:
100 2 135º , con secuencia (a, c, b)
La impedancia triángulo equivalente será Z

60 0º
Y se tiene:
V
 ab
I
 ab
60
V
 bc
I
 bc
60
V
 ca
I
 ca
60
La corriente de línea
I
I
5 5
26,56º 3, 73 26,56º
3
a
a
 ab
I
100 100 2
60
60
I
 ca
135º
También puede resolverse gráficamente:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
I
a
100

60
73
1 22 arctg
1
2
Solución método 2
Por teorema de substitución por fuente de tensión.
Aplicando teoremas de equivalencia respecto de los terminales xy, se tendrá.
Por lo tanto:
V
I
a
34.
V
 ab
 bc
2
2
3Z
3, 73 26,56º

Generación simétrica, carga desequilibrada
Con:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
74
Redes Eléctricas
Z
10
Z
10 j
1
 2
Z
10 j
 3
V

380 V , sec uencia
a , b, c
Determinar V
 an
Solución:
Se tiene V
E
a2
Z
1
Z
V
 n
1
3
1
Z
1
 n
a
Z
2
1
Z
V
 a
 an
1
Z
2
E
a
3
Sea
E
 a
220 0º
Entonces
j a2 a
V
 n
V
 an
V
 an
35.


j 1 1
E
a
1 aj a 2 j E
 a
aj a 1 E
 a
3 E

 a
Carga estrella desequilibrada.
Determinar las corrientes de línea, la potencia activa absorbida, y la impedancia de una
carga estrella equilibrada que absorba igual potencia.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
Con:
75
Z
5 2j
Z
10 4 j
1
 2
Z
10 10 j
 3
V

380V , sec uencia
1, 2,3
Solución:
Método 1. Análisis de mallas
Se tiene:
Z
1
Z
Z2
 2
I
E
I
E
Z
I
a
Z
Z
 2
Z
 2
 12
b
 3
 23
Entonces.
Z
Z
 2
 3
Z
 2
I
a
I
b
35, 46 11,3º
I
17,59 228,73º
I
24,00 164,86º
2
3
Z
1
20 14 j 10 4 j
1
188 170 j 10 4 j 15 2 j
I
1
 2
I
b
Z
 2
329 190 j
380 j
I
a
I
a
I
b
I
b
Y las tensiones en la carga:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Z Z
1
E
1
Z Z
a
2
2
 12
E
Z Z
3
1
3
 23
76
Redes Eléctricas
V
191,13 33,10º
V
189, 44 206,93º
V
339,36 119,86º
1
 2
 3
Potencia aparente:
P 15,8 16, 48º
KVA

La potencia activa:
Pac
15,15
KW
Carga estrella equivalente
Tenemos: 3V f I f
P 15.800
Entonces.
If
23,94 A
Z
220
23,94
9,19
Finalmente,
Z

9,19 16, 48º
Método 2.
Calculando
E
E
E
Z
Z
Z
1
Z
1
Z
1
Z
 1
 2
1
Z
 nN
 2
1
Z
 nN
 2
 3
 3
 3
19,96 j31,35
120,3 60, 41º
0,309 j 0, 0156
Y se tienen:
V
E
V
I Z
V
E
V
I Z
1
 2
 1
 2
 nN
 nN
1  1
2  2
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
V
 3
E
 3
77
VnN I Z
3  3
Determinándose iguales valores de corrientes y tensiones en las fases de la carga, que en el método
1.
36.- Para el siguiente sistema trifásico, determinar la pérdida de tensión en las líneas.
Puede convertirse la carga en estrella y analizarse la fase de referencia:
Se tiene:
I
220
1,5 10º 5 20º
I
220
6, 48 17, 7º


220
6,18 j1,97
33,95 17, 7º
Entonces la pérdida de tensión es.
V
 p
1,510º  33,95 17, 7 50,93 7, 7º
Y la tensión en la carga:
V
 c
5 20 I

169, 75 2,3º
Se tiene: 169, 75 / 220
0, 7716; es decir, se reduce en 22,84% (pérdida de tensión)
También puede estudiarse la pérdida de potencia:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
78
Redes Eléctricas
220  33,95 cos 17, 7º 7115 W
Potencia suministrada por fase
33,95
Potencia disipada en cada línea =
% pérdida de potencia = 100 
1703
7115
2
 1,5 cos 10º 1703 W
23,93%
37.- Se tiene el sistema trifásico asimétrico
Determinar la tensión entre neutros, en función de las tensiones del generador.
Solución:
La fórmula de la tensión entre neutros desarrollada para carga desequilibrada no puede emplearse,
pues fue calculada con generador simétrico.
Método 1.- Análisis de mallas.-
2Z
Z
Z
2Z

I
E
I
E
1


 2
E
1
 2
E
2
 3
Resolviendo por Cramer, se obtienen.
2E
 1
I
1
E
 2
E
 3
3Z

E
I
 2
2
2E
 3
E
 1
3Z

Entonces:
I
 nc
ng
E
 1
I Z
1 
E
 2
I
1
Profesor Leopoldo Silva Bijit
I
2
Z

E
 3
I Z
2 
21-09-2009
Sistemas trifásicos
Y empleando que E
79
E resulta:
 1
 3
E
V
 nc
 2
ng
3
Método 2.Puede verse la red dada según
Aplicando el teorema de Millman, o reemplazando las fuentes reales de tensión por sus
equivalentes de corriente se tendrá:
E
 M
E
E
E
Z
Z
Z
 1

V
 nc
ng
 3
 2


E Z
E
3
3
 M

 2
Método 3.Aplicando Thevenin entre los terminales de la impedancia conectada al generador E se tendrá:
 2
Resultan:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
80
Redes Eléctricas
Z
Z
 T
E
 T

2
E
 2
2E
 2
V

3
Finalmente,
E
V
 nc
ng
E
 2
V

 2
3
38.- Determinar condiciones para que las corrientes de fase en conexión triángulo o las tensiones de
fase estrella sumen cero.
Solución:
Estudiaremos el problema, en forma geométrica; y trataremos las transformadas fasoriales de las
variables como vectores.
a) Caso equilibrado
x a d
i
y b d
ii
z
iii
c d
El triángulo exterior representa LCK con corrientes de líneas o LVK con tensiones entre líneas
para un caso equilibrado.
Sumando las relaciones se tendrá:
x
y z
a b c
3d
Profesor Leopoldo Silva Bijit
iv
21-09-2009
Sistemas trifásicos
81
En caso de corrientes de fase estrella equilibradas está representado por x, y , z; y el
desequilibrado por a, b, c.
Hemos supuesto el conjunto x, y z equilibrado, entonces se tiene:
x, y z 0
Entonces, de iv se tendrá, si no son señales equilibradas:
a b c 3d
Y para que sumen cero debe ser d
0 ; es decir, deben ser simétricas.
39.- Se desea determinar la secuencia de un sistema trifásico, del cual no se tiene ninguna
información.
Se dispone la siguiente conexión.
La línea en que se conecta el condensador se identifica con la letra R; con T donde se conecta el
terminal de la resistencia; y con S se identifica la línea en que se conecta un extremo del
voltímetro
Demostrar que si la secuencia es (R, S, T) el voltímetro indicará una lectura mayor que la tensión
entre líneas. Si la secuencia es (R, T, S) el voltímetro tendrá una tensión menor que la tensión entre
líneas.
Solución:
Suponemos secuencia (R, S, T), entonces el diagrama fasorial se indica en la figura:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
82
Redes Eléctricas
El voltímetro mide la tensión VSN
Si la tensión entre líneas es 380, la lectura del voltímetro será 520. En general será
V
V
3 1
1,37 V
2
Ahora consideraremos secuencia (R, T, S):
Resulta ahora
V
V 
VSN
3 1
0,37 V
2
En general se tendrá:
E
VN
 R
Ng
E
 T
j E
 R
E
2
 T
E
 S
2
E
 RT
2
90º
40.- Para determinar la secuencia de un sistema trifásico simétrico se efectúa la siguiente conexión:
En las fases an y cn se conectan ampolletas, que se consideran puramente resistivas.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
2
Redes Eléctricas
La inductancia en la práctica tiene una pequeña resistencia. Se considera la reactancia de igual
valor que la resistencia de las ampolletas y mucho mayor que la de la bobina.
Determinar la regla que permite determinar la secuencia del generador
Solución
Se tiene, aplicando Millman o teoremas de superposición o equivalencia:
Z E

V
E
 a
 nN
R E
 c
 b
R 2Z

Si el sistema es simétrico:
E
 a
E
E
 c
 b
Entonces:
R Z
V
 nN
 E
 b
R 2Z

Con Z = jR resulta:

V
 nN
i.
0, 63 E 72º
 b
Para Secuencia abc:
V
 an
V
 cn
La ampolleta de la fase a es más brillante que la de la fase c.
ii.
Para secuencia acb
V
 an
V
 cn
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
3
La construcción práctica puede ser más sencilla con un condensador. Si se usan ampolletas
de 60 W, resulta un condensador de 4 F para 380 V.
En este caso:
V
 nN
0, 63108º E
 b
Para abc
V
 an
V
 cn
Para acb
V
 an
V
 cn
BIBLIOGRAFIA
Capitulo
Autor y Título
I, III
I
I, III
II
II
II, III
II, III
III
IV
Fallor *”Théorie Générale des Circuits Electriques”
Kerchner, Corcoran *”Alternating Current Circuits”
Le Page, Seely *”General Network Analysis”
Cheng, *”Analysis of Linear Systems”
Desoer, Kuh *”Basic Circuit Theory”
Javid, Brenner *”Analysis, Trasmission and Filtering of Signals”
Kuo *”Analysis and Synthesis of Linear Active Networks”
Greiner *”Semiconductor Devices and Applications”
Chua, *”Introduction to Nonlinear Network Theory”
Índice de figuras
Figura 1.1 ........................................................................................................................................... 2
Figura 1.2
Figura 1.3 .................................................................................................................. 3
Figura 1.4 ........................................................................................................................................... 4
Figura 1.5 ........................................................................................................................................... 4
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
4
Redes Eléctricas
Figura 1.6 ........................................................................................................................................... 5
Figura 1.7 ........................................................................................................................................... 5
Figura 1.8 ........................................................................................................................................... 6
Figura 1.9 ........................................................................................................................................... 6
Figura 1.10 ......................................................................................................................................... 7
Figura 1.11 ......................................................................................................................................... 7
Figura 1.13 ......................................................................................................................................... 7
Figura. 1.14 ........................................................................................................................................ 8
Figura 1.15 ......................................................................................................................................... 8
Figura 1.16 ......................................................................................................................................... 8
Figura 1.17 ......................................................................................................................................... 9
Figura 1.18 ......................................................................................................................................... 9
Figura 1.19 ......................................................................................................................................... 9
Figura 1.20 ....................................................................................................................................... 10
Figura 1.21 ....................................................................................................................................... 10
Figura 1.22 ....................................................................................................................................... 10
Figura E.1.4.1 ................................................................................................................................... 11
Figura E.1.4.2 ................................................................................................................................... 11
Figura E.1.4.3 ................................................................................................................................... 11
Figura E.1.4.4 ................................................................................................................................... 12
Figura 1.23 ....................................................................................................................................... 13
Figura E.1.5.1. ................................................................................................................................. 13
Figura E.1.5.2 .................................................................................................................................. 14
Figura E.1.5.3 .................................................................................................................................. 14
Figura 1.24 ....................................................................................................................................... 15
Figura 1.25 ...................................................................................................................................... 15
Figura 1.26 ....................................................................................................................................... 16
Figura 1.27 ....................................................................................................................................... 17
Figura 1.28 ....................................................................................................................................... 19
Figura 1.29 ....................................................................................................................................... 19
Figura 1.30 -1.31 .............................................................................................................................. 20
Figuras 1.32 -1.33 ............................................................................................................................ 20
Ejemplo 1.6 ...................................................................................................................................... 20
Figura 1.34 ....................................................................................................................................... 21
Figuras 1.35 – 1.36 ........................................................................................................................... 21
Figura 1.37 ....................................................................................................................................... 21
Figura 1.38 ....................................................................................................................................... 23
Figura 1.39 ....................................................................................................................................... 23
Figura 1.40 ....................................................................................................................................... 23
Figura 1.41 ....................................................................................................................................... 24
Figura 1.42 ....................................................................................................................................... 25
Figuras 1.43 – 1.44 ........................................................................................................................... 25
Figura 1.45 ....................................................................................................................................... 26
Figuras 1.46 – 1.47 ........................................................................................................................... 26
Figura 1.48 ....................................................................................................................................... 27
Figuras 1.49 – 1.50 ........................................................................................................................... 28
Figura 1.51 ....................................................................................................................................... 30
Figura 1.52 ....................................................................................................................................... 31
Figura 1.53 ....................................................................................................................................... 32
Figura 1.54 ....................................................................................................................................... 33
Figura 1.55 ....................................................................................................................................... 33
Figura 1.56 ....................................................................................................................................... 34
Ejemplo 1.8a .................................................................................................................................... 34
Ejemplo 1.8b .................................................................................................................................... 34
Ejemplo 1.9a .................................................................................................................................... 35
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009
Sistemas trifásicos
5
Ejemplo 1.9b .................................................................................................................................... 35
Ejemplo 1.10 .................................................................................................................................... 36
Figura 1.57 ....................................................................................................................................... 37
Figura 1.58 ....................................................................................................................................... 39
Figura 1.59 ....................................................................................................................................... 40
Figura 1.60 ....................................................................................................................................... 40
Ejemplo 1.11 .................................................................................................................................... 42
Ejemplo 1.12 .................................................................................................................................... 43
Ejemplo 1.12 .................................................................................................................................... 44
Profesor Leopoldo Silva Bijit
21-09-2009