Propiedades calorimétricas de superconductores convencionales

Universidad Nacional de Colombia-Sede
Bogotá
Tesis Magı́ster en ciencias– Fı́sica
Propiedades calorimétricas de
superconductores convencionales
Autor:
Director:
Cristhian Andres Aguirre
José José Barba Ortega
Tesis necesaria para el cumplimiento como requisito
parcial para optar al grado de Magı́ster en Ciencias– Fı́sica
Grupo de fı́sica mesoscópica
Departamento de Fı́sica, Unal- Bogotá
Marzo 2016
ii
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Resumen
Facultad de Ciencias
Departamento de Fı́sica, Unal- Bogotá
Magı́ster en Ciencias– Fı́sica
Propiedades calorimétricas de superconductores convencionales
Por Cristhian Andres Aguirre
La influencia del confinamiento cuántico del condensado superconductor ha sido uno
de los tópicos de estudio en fı́sica de bajas temperaturas mas importante en las ultimas décadas. El estado de vórtices en algunos sistemas fı́sicos ha generado un enorme
interés en la comunidad cientı́fica en todo el mundo, por ejemplo, la configuración de
vórtices tiene relevancia directa como los gases frı́os y los condensados de Bose-Einstein
[1]; sistemas coloidales y cristales moleculares; espintronica, microdispositivos biológicos
y dispositivos opto-electrónicas [1-6]. En 1908 H. K. Onnes, fı́sico Holandés, logró la
licuefacción del Helio a una temperatura de 4,2K en sus laboratorios de Leiden en los
paı́ses bajos, tres años después descubrió el fenómeno que posteriormente se reconoce
como la manifestación del mundo cuántico a nivel macroscópico: La Superconductividad.
A partir de entonces han sido diversas las teorı́as y los resultados experimentales que
intentan explicar el mecanismo por el cual aparece la superconductividad. Con el fin de
profundizar en esta rama de la fı́sica del estado solido y de aportar algunos resultados
novedosos, en éste proyecto será aplicada la teorı́a Ginzburg-Landau para calcular la
respuesta magnética del estado superconductor de muestras mesoscópicas entre estado
Meissner y estado Abrikosov, visando extender la co-existencia de la superconductividad
y el magnetismo. El sistema de estudio escogido es un prisma largo de sección transversal cuadrada, inmerso en un campo magnético externo. Calcularemos la susceptibilidad
magnética de la muestra con diferentes tamaños, condiciones de contorno y parámetro Ginzburg Landau. Este análisis será llevado a cabo solucionando numéricamente las
ecuaciones Ginzburg-Landau dependientes del tiempo usando el método de variables de
enlace, lo cual nos permitirá aportar a la solución de problemas actuales en esta rama
de la fı́sica.
Índice general
Resumen
I
Contenido
II
Lista de figuras
IV
1. Introducción
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Nota Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Principales Teorı́as fenomenológicas.
2.1. Teorı́a de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Teorı́a de Ginzburg-Landau GL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Transición de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Formalismo GL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Longitud de Penetración λ, longitud de coherencia ξ y parámetro de
Ginzburg-Landau κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Ecuaciones dependientes del tiempo T DGL (Time dependence GinzburgLandau equations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Discretización de T DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1. Discretización Primera ecuación GL . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2. Discretización segunda ecuación GL . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3. Discretización Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Resultados obtenidos y discusión
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Formalismo Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Propiedades Magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Propiedades Térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Cálculos realizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Variación de las propiedades magnéticas con el tamaño de la muestra . .
3.5. Variación de las propiedades magnéticas con el parámetro de GinzburgLandau κ de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Variación de las propiedades magnéticas con el parámetro de degennes γ
3.7. Cálculo en muestras 2D y 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Contenido
iii
4. Articulo Publicado Journal of Low Temperature Physics
45
4.1. Effects of sizes deGennes, and Ginzburg Landau parameters on the magnetic susceptibility of an isotropic superconductor- January 2016, Volume
182, Issue 1, pp 51-60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Índice de figuras
1.1. Caı́da de la resistividad en función de la temperatura [7] . . . . . . . .
1.2. Apantallamiento del campo magnético en una muestra superconductora
efecto Meissner-Oshenfeld [7],[8],[9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. J~ Corriente de apantallamiento en una muestra superconductora con λc
~
1.4. J(r)
Corriente superconductora en un anillo superconductor . . . . . . .
1.5. Variacion de Bapp y ns para un material dado [7],[12],[14]. . . . . . . . .
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2
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4
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6
2.1. Variación espacial de la inducción (h) dentro de la muestra . . . . . . .
2.2. Magnetización en función del campo magnético aplicado hallado vı́a GL,
para una muestra cuadrada de 6ξ con κ = 1 a T = 0. . . . . . . . . . . .
2.3. Variación de la energı́a libre (G), en función del parámetro de orden η .
2.4. Mallado realizado en el método de variables de enlace. . . . . . . . . . .
2.5. Celda unitaria del mallado usado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.1. Magnetización en función del campo magnético para una muestra cuadrada superconductora de lado L=3,6,9,12,15, T=0 y κ = 1. . . . . . . . .
3.2. Susceptibilidad magnética en función del campo magnético para una muestra cuadrada para κ = 1 y γ = 1 A)L = 3ξ B) L = 6ξ C) L = 9ξ . . . . .
3.3. Susceptibilidad magnética en función del campo magnético para una muestra cuadrada dado κ = 1 y γ = 1 A)L = 12ξ B) L = 15ξ . . . . . . . . . .
3.4. Susceptibilidad magnética en función del campo magnético para una muestra cuadrada dado γ = 1 y L = 6ξ A)κ = 1 B)κ = 2 C) κ = 1,5 . . . . . .
3.5. Susceptibilidad magnética en función del campo magnético para una muestra cuadrada dado γ = 1 y L = 6ξ A) κ = 3 B) κ = 5 . . . . . . . . . . .
3.6. Susceptibilidad magnética en función del campo magnético para una muestra cuadrada dado L = 6ξ κ = 1 A) γ = 1 B) γ = 0,8 C)γ = 0,9 . . . . .
3.7. Susceptibilidad magnética en función del campo magnético para una muestra cuadrada dado L = 6ξ κ = 1 A) γ = 0,95 B) γ = 0,98 C) γ = 1,02
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Susceptibilidad magnética en función del campo magnético para una muestra cuadrada dado (L = 6ξ κ = 1 A) γ = 1,04 B) γ = 1,06 . . . . . . . .
3.9. Susceptibilidad magnética en una muestra de 2 dimensiones en función
del campo magnético aplicado L = 12ξ, κ = 1 y γ = 1 . . . . . . . . . . .
3.10. Susceptibilidad magnética en una muestra de 3 dimensiones en función
del campo magnético aplicado L = 12ξ, κ = 1 y γ = 1 . . . . . . . . . . .
iv
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Capı́tulo 1
Introducción
1.1.
Introducción
El descubrimiento del estado superconductor en el mercurio en 1911 por el fı́sico holandés Heike Kammerling Onnes en su laboratorio en Leiden (Paı́ses Bajos) generó el
nacimiento de este estado como un nuevo estado de la materia solo posible bajo ciertas condiciones particulares para aquellos materiales que poseen una transición de fase
de segundo orden. El estado superconductor es de basta importancia en aplicaciones
tecnólogicas, ya que al no manifestar perdidas Ohmnicas (Resistividad nula) se generan corrientes persistentes en el interior de dichas muestras y en ciertos tipos de ellos,
el ingreso de flujo magnético cuantizado denominados vórtices en el material. Uno de
los mayores avances en esta área de baja temperatura, fue el realizado ente los años
de 1985-1986, por Berdnoz-M üller descubriendo superconductores de alta temperatura
critica. Con el avance técnico y tecnológico se ha implementado bastamente en estos materiales, ya sea por sus propiedades de resistividad nula, y de diamagnétismo perfecto.
Con ello, se presenta a continuación una reseña histórica, con la finalidad de establecer
en un contexto claro el estado del arte en el estudio de la superconductividad. Dado
esto, procedemos a estudiar los aspectos básicos que establecen este estado de la materia (Electrodinámico, termodinámico y cuántico), en cada capı́tulo de la presente tesis
se abordará cada uno de ellos, dando cuenta del formalismo fı́sico y matemático y finalizando con los aspectos centrales estudiados en la presente tesis, generando desde el
formalismo de la teorı́a de Ginzburg-Landau GL; que es el fundamento central de la
presente tesis. Luego, se presenta el cálculo de las propiedades calorimétricas en función
del campo magnético para una muestra cuadrada (2D) y una muestra cubica (3D). Se
1
Chapter 1. Introducción
2
establece una sección dedicada a la explicación del método numérico usado para la solución de las ecuaciones diferenciales de Ginzburg-Landau y como es la discretización
mediante dicho método (variables de enlace).
1.2.
Nota Histórica
El descubrimiento del estado superconductor inicia con la posibilidad de generar la licuefacción del helio He , es decir de condensar el helio en forma liquida, esto se establece
a temperaturas muy bajas entre 4,1K y 4,3K dependiendo de la pureza del helio usado. Dado esto, en el laboratorio de la universidad de Leiden (Paı́ses Bajos) en 1908, H.
Kammerling Onnes en conjunto con Gilliest Holst descubrieron que a cierta temperatura
la resistividad del Hg decaı́a a niveles que superaban la medición de los aparatos con
los cuales lo registraban, por ello, argumentaron que era igual a cero ρ = 0 (figura 1.1).
Figura 1.1: Caı́da de la resistividad en función de la temperatura [7]
La segunda propiedad que describe a este tipo de materiales es el diamagnétismo perfecto, (efecto Meissner-Oschenfeld-(1933)), el material en presencia de un campo magnético
expulsa el flujo (o campo magnético) de su interior completamente. Desde la electrodinámica macroscópica se da cuenta del hecho de la existencia de 3 tipos de materiales
básicos en términos de la respuesta del material a campos magnéticos externos; los cuales son diamagnéticos, paramagnéticos y ferromagnéticos. La fı́sica contenida, esta en el
Chapter 1. Introducción
3
hecho de que el material se compone de dipolos magnéticos y estos dipolos son los responsables de la respuesta a dicho campo magnético aplicado y el promedio de la orientación
de estos dipolos en una dirección preferente, es lo que se determina como magnetización
~ (r) y el comportamiento de esta variable establece si es diamagnético, paramagnético
M
o ferromagnético. Sin embargo, al considerar al material como homogéneo, isótropo y
lineal se puede relacionar el campo magnético aplicado con la magnetización, por medio de χm que es la susceptibilidad magnética, que en caso del diamagnétismo perfecto
χm = −1; para los paramagnéticos χm > 0. La magnetización no ocurre por la orientación de los dipolos, si no por la generación de una súper corriente en la superficie
del superconductor, lo cual establece un campo magnético que anula al campo aplicado
(figura 1.2).
Figura 1.2: Apantallamiento del campo magnético en una muestra superconductora
efecto Meissner-Oshenfeld [7],[8],[9]
El siguiente avance fue el realizado en 1935 por los hermanos H. London, F. London, estudiarón el comportamiento electrodinámico de los superconductores, dando cuenta del
efecto Meissner en términos de lo que denominaron apantallamiento del campo magnético y explicando como ocurre esto en el superconductor tipo I, esto es generado por que
el campo magnético en el superconductor penetra un poco en él, esta distancia de ingreso en el modelo de los hermanos London se denomina λc que es la longitud critica
hasta donde ingresa dicho campo. Con ello ya que existe un campo en la superficie; esto
genera una corriente, denotada como súper densidad de corriente, lo que genera un campo magnético que apantalla al campo aplicado, resultando en el efecto Meissner (figura
1.3). En la sección dedicada a esta teorı́a, se demostrará lo anteriormente escrito. El
resultado mas notable es como a partir de las 2 ecuaciones de los hermanos London, se
puede demostrar dicho apantallamiento del campo magnético y el campo eléctrico(figura
1.4). Sin embargo, el punto mas notable en el fallo de la teorı́a de los hermanos London, es el hecho que no da cuenta del comportamiento cuántico del sistema y en el caso
Chapter 1. Introducción
4
de superconductores tipo II no explica el hecho del ingreso de los fluxoides en el material.
Figura 1.3: J~ Corriente de apantallamiento en una muestra superconductora con λc
Durante los siguientes 17 años, no existió un avance fructı́fero en el desarrollo de la teorı́a
del estado superconductor, existı́an algunos tipos de teorı́as no localistas que describı́an
el comportamiento bajo algunos casos muy puntuales, como lo es el modelo de Pippard
(electrodinámica no local). Fue en 1950 que se desarrolló la teorı́a de V. Ginzburg y L.
Landau, en la URSS. Una teorı́a que describı́a el comportamiento del estado superconductor en términos del modelo de un súper fluido cuántico, que para su existencia debı́a
establecerse un cambio de fase de segundo orden, siendo dicho estado una extensión
de la teorı́a de transición de fase de segundo orden de L. Landau desarrollada en 1935
para la súper fluidez del helio. Con ello, la conceptualización del modelo es la generación de una funcional energética, que describiera aproximadamente el comportamiento
del estado superconductor, y que dado esto para el material, el funcional se minimizara
en el estado superconductor. Los resultados de la teorı́a se extendieron con el avance
de los descubrimientos de materiales en estado superconductor con mayor temperatura
critica, y dio explicación aproximada del comportamiento cuántico de dicho estado, en
la sección dedicada a esta teorı́a se dará cuenta de la dependencia de esta funcional y
del desarrollo teórico.
En 1957 se desarrolló, hasta lo que hoy en dı́a se considera el modelo mas completo del
estado superconductor por J. Bardeen, Cooper y Schiffer, la llamada teorı́a BCS, que
describe el comportamiento cuántico del material en función de cómo se establece un
potencial atractivo entre electrones presentes en el material, y como es ésta interacción
mediada por los Fonones, que son perturbaciones generadas en la red. La idea general
del modelo es la instauración de una funcional que describa dicho potencial y escrito en
términos de los estados de ocupación (segunda cuantización). Mediante este modelo se
realizan cálculos de los “Gap“ de energı́a en esto sistemas. Sin embargo, el calculo de
Chapter 1. Introducción
5
las propiedades termodinámicas y la respuesta magnética del material es muy complejo y solo esta generalizado para estados en los que el superconductores es homogéneo,
isótropo y lineal.
En 1957 luego del desarrollo de la teorı́a BCS, Gorkov demostró que la teorı́a GinzburgLandau se puede obtener como solución particular del funcional propuesto por BCS,
mediante funciones de Green. Es de basta importancia el desarrollo teórico realizado
por Gorkov, ya que establece el limite de validez de la teorı́a GL:
~
Figura 1.4: J(r)
Corriente superconductora en un anillo superconductor
1. Variaciones de temperatura cercanas a la temperatura critica.
2. Variaciones suaves del parámetro de orden.
Que son los primeros acercamientos para la solución de las ecuaciones diferenciales de
GL independientes del tiempo.
Bajo estas consideraciones en el año de 1957 Alexei Abrikosov demostró que a partir
del formalismo GL se daba cuenta del ingreso dentro el material de flujo magnético
(Fluxoides) y minimizando la energı́a libre del sistema en dicho estado y describiendo
el tipo de superconductor según la variación de la longitud de coherencia ξ y la longitud de penetración λ (figura 1.5). Dado esto, se inicia con el comportamiento del flujo
magnético (fluxoide) en el estado superconductor y como es la dinámica de los mismos.
Unos años después en 1960, se dio cuenta de este fenómeno en términos experimentales
por R. Peierls.
En 1985 se dió el descubrimiento y desarrollo en el área de los superconductores de alta
temperatura critica con el descubrimiento por Berdnoz y M üller de un superconductor
basado en un oxido de cobre, que posee una temperatura critica alta (32K), comparada con las bajas temperaturas de los superconductores, tales como el mercurio (4.2K),
Chapter 1. Introducción
6
estaño (5.6K) y algunas otras aleaciones. Con este descubrimiento se inicia el estudio
de los superconductores tipo II, o superconductores “sucios“, que tienen temperaturas
criticas más altas. Desde dicho año, se inició una carrera para desarrollar materiales que
alcanzaran este estado a temperatura ambiente, y se han desarrollado varias aleaciones
que tienen como generalidad la base de óxidos de cobre con temperaturas criticas de
50K-110K, el más alto hallado en la actualidad, fue desarrollado en Berkley [7],[9],[12]
con temperatura critica de 130K. En los últimos años el desarrollo se ha centrado en
óxidos de mercurio, para los cuales la temperatura critica es mayor, bajo la adición de
altas presiones, generalmente con presiones de los Gpa. En la ultima década (2000-2010)
se ha iniciado a trabajar con los óxidos de mercurio, y se ha descubierto que poseen
mayores temperaturas criticas a presiones menores en comparación con su contra parte
de óxidos de cobre; el gran final que se esta buscando, es descubrir o desarrollar superconductores a temperatura ambiente; por supuesto seria un avance increı́ble en términos
tecnológicos, cientı́ficos, médicos y de aplicaciones en toda la rama del conocimiento,
por las propiedades especiales que exhibe este estado de la materia.
Figura 1.5: Variacion de Bapp y ns para un material dado [7],[12],[14].
Capı́tulo 2
Principales Teorı́as
fenomenológicas.
A continuación se describe en la forma mas detallada posible las dos teorı́as fundamentales que utilizaremos en la explicación del estado superconductor, esto con la finalidad de
abordar los dos aspectos principales que son importantes para la descripción del estado
superconductor en la presente tesis.
1. Termodinámica.
2. Electrodinámica.
Haciendo énfasis en la descripción cuántica del fenómeno, este capitulo tiene la finalidad
de mostrar las bases conceptuales necesarias para la comprensión de como se realizó el
calculo total de las capacidades calóricas C(H)T y C(T )B
2.1.
Teorı́a de London
La descripción del modelo de los hermanos H. London y F. London [7] , establece el
comportamiento fenomenológico del apantallamiento del campo magnético y la resistividad nula de la muestra en estado superconductor, desde la perspectiva macroscópica
de estado. Ası́ pues, para la obtención de la primera propiedad del sistema (súpercorriente) o resistividad nula, parte del hecho de la segunda ley de Newton aplicada en
electromagnetismo:
d~v
f~ = m
dt
7
(2.1)
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
8
Como corolario para sistemas con masa constante. En términos de las variables electromagnéticas
~
f~ = eE(r)
(2.2)
~ el campo eléctrico y f~ la fuerza que se genera en la carga,
Siendo e la carga del electrón, E
~
por la aplicación de dicho campo. Con ello, con ayuda de la densidad de corriente J(r),
que da cuenta de la cantidad de corriente que pasa por un área de sección transversal
constante en un tiempo determinado.
~
J(r)
= en < ~v >
(2.3)
Con < ~v > la velocidad de deriva de los electrones en el material [32], que es una
velocidad promedio que poseen los electrones en el movimiento en la red del sistema
considerado, ya que estos electrones tienen la posibilidad de colisionar con los núcleos
que conforman el material, se puede igualar
~
eE(r)
=m
d~v
dt
Integrando respecto a t y considerando que τ → ∞, el promedio del tiempo que le lleva
a los electrones realizar un encuentro con alguno de los núcleos, que se suponen fijos en
la red cristalina.
~
eE(r)τ
= m~v
Con ello, hallando la velocidad de deriva
< ~v >=
~
eE(r)τ
m
(2.4)
Igualando (2.4) en (2.3)
~
ne2 E(r)τ
~
J(r)
= en < ~v >=
m
Y dado que nos compete establecer como es la variación de la densidad de corriente del
sistema, ya que el hecho de la aplicación de un campo eléctrico establece un cambio en
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
9
dicha densidad de corriente, realizamos la derivación respecto al tiempo, pero realizando
una evaluación en el tiempo promedio τ . Obteniéndose
~
~
d ne2 E(r)τ
dJ(r)
=
dt
dt
m
~
Despejándose E(r)
~ m dJ(r)
~
= E(r)
dt
ne2
Que desde la teorı́a de London se escribe
d
~
~
E(r) =
ΛJ(r)
dt
Esta es la primer ecuación de London, que describe el comportamiento de la súpercorriente [20]; es decir, el comportamiento dinámico de los electrones que se establecen
el estado superconductor, la constante Λ determina la densidad de súper electrones
[7],[14],[20] en el estado superconductor. Dado esto
~
~
J(r)
= σ E(r)
(2.5)
Donde σ es la conductibilidad eléctrica del material, que da cuenta del movimiento de
los electrones y ρ =
1
σ
que seria la resistividad. Dado esto
σ=
ne2 τ
m
Que depende directamente del tiempo promedio de interacción de los súperelectrones, y
como abstracción se establece que los electrones en el estado superconductor, poseen un
camino libre medio infinito; es decir, se aceleran hasta generar altas velocidades, y esto
reforzado por la interacción phonon-electrón del sistema.[7],[20]
La segunda ecuación de London, no tiene origen desde primeros principios, ya que se establece por los hermanos London, como respuesta a la explicación del apantallamiento del
campo magnético en las muestras superconductoras (efecto Meissner-Oshenfel)[12],[20].
~h(r) = −c∇ × (ΛJ(r))
~
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
10
Donde ~h(r) es la contribución al campo magnético originado por la corriente que es
originada por la penetración del campo externo en la muestra. Esta da cuenta del campo
en términos puntuales, y no como una variable macroscópica, para lo cual debe realizarse
~
un promedio sobre el sistema abordado. Ahora despejando J(r)
de la ley de Ampere; ya
que no existen corrientes de desplazamiento en el estado de equilibrio del superconductor.
∇ × ~h =
4π ~
J(r)
c
(2.6)
y
c
~
(∇ × ~h) = J(r)
4π
Igualando en la segunda ecuación de London
~h = −c∇ × Λ c (∇ × ~h)
4π
Haciendo uso de una propiedad vectorial
~a × (~b × ~c) = ~b(~a · ~c) − ~c(~a · ~b)
Que para el caso particular de la ecuación de London
2
~h = c Λ (∇(∇ · ~h) − ∇2~h)
4π
Siendo ∇2 el operador Laplaciano. Sin embargo, la ley de Gauss para el magnetismo
establece que ∇ · ~h = 0 que da cuenta de que las lineas de campo son cerradas, o en
forma alterna, que no hay monopolos de campo magnético, se obtiene
2
~h = − c Λ ∇2~h
4π
Y definiendo una nueva constante λ2 =
c2 Λ
4π
h
+ ∇2~h = 0
λ2
La solución de la ecuación diferencial para un sistema semi-infinito, en el caso particular
de estar en una dimensión.
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
11
x
h(x) = exp ±
λ
Esta solución da cuenta del hecho de que existe una longitud de penetración λ en el
material (figura 2.1) , al estar presente el campo magnético en la superficie genera una
corriente que a su vez, establece un campo magnético que se opone al campo externo,
la superposición de estos campos, da como resultado que en el interior de material haya campo nulo, y da explicación del efecto Meissner-Oschenfeld. Adicional, siguiendo
el mismo proceso para la obtención de la ecuación diferencial para ~h se obtiene una
ecuación similar, esto establece que el comportamiento del campo eléctrico también es
apantallado en el material en estado superconductor[7],[20].
Figura 2.1: Variación espacial de la inducción (h) dentro de la muestra
Dado esto, la explicación de la generación de la súper corriente en el superconductor es
explicado, satisfactoriamente vı́a las ecuaciones de London; uno de los grandes problemas
de la teorı́a de London, es que no da cuenta de el ingreso de fluxoides,[13],[14] y esto se ve
en que la curva de magnetización en función del campo aplicado, no es una curva suave;
si no que posee saltos conforme existe ingreso de campo cuantizado, esto se estudia en
el formalismo GL, tal y como se presenta en la figura (2.2).
2.2.
Teorı́a de Ginzburg-Landau GL
La teorı́a de Ginzburg-Landau GL es de ı́ndole fenomenológico, con esto dando por sentado que tiene fundamentos fı́sicos, en función del entendimiento de la experimentación
de dicho fenómeno. La fundamentación esta bajo el hecho del establecimiento de un
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
12
Figura 2.2: Magnetización en función del campo magnético aplicado hallado vı́a GL,
para una muestra cuadrada de 6ξ con κ = 1 a T = 0.
cambio de fase en el material, al ser reducida su temperatura a valores menores de la
temperatura critica propia para cada material T < Tc y cuya explicación se establecerı́a
bajo la teorı́a de cambio de fase de segundo orden, generada por el mismo L. Landau,
~ que representan el parámetro de orden; que es la
esto basado en dos variables ψ(~r, t) y A
variable que describe el estado en el cual se encuentra el material y el potencial vector,
que explica el comportamiento energético. Con ello, daremos inicialmente un resumen
de dicha teorı́a y posteriormente se abordada el formalismo GL
2.3.
Transición de fase
La transición de un estado a otro para los materiales ocurre de dos diversas formas.
Están las transiciones donde el sistema necesita absorber energı́a y dada la saturación
de la misma, se cambia de estado; las peculiaridades del cambio están dadas por el hecho
de que las variables de estado presentan discontinuidades en ciertas variables al cambio
de dicho estado, o en forma enunciada por Enhrenfest que establecı́a que la derivada de
la energı́a libre (energı́a que puede aprovecharse en trabajo) es discontinua para estos
cambios. En el caso especifico de las transiciones de segundo orden se ve que existe una
curva continua en una franja de las cantidades termodinámicas que se desvı́a en los dos
estados estudiados. Por ejemplo, cambio del estado normal a superconductor, se observa
que la curva que da cuenta de dicho cambio es continua y se acentúa en una franja
al rededor de la temperatura critica. Con ello, Landau propuso que una transición de
segundo orden, se presenta cuando el sistema cambia de un estado desordenado a uno
ordenado, en función de algún parámetro
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
13
1. Debe existir un parámetro de orden, es decir una función que de cuenta de ciertos
valores para un estado y valores nulos al realizar dicho cambio de fase.
2. La energı́a se puede expandir en potencias de dicho parámetro, para valores cercanos a la temperatura critica (valor para el cual se realiza el cambio de fase).
Dado escribimos la energı́a libre de Gibbs G en términos de series de potencias del
parámetro de orden η
G = aη + bη 2 + cη 3 + dη 4 . . . .
(2.7)
Donde esta serie de potencias, es valida para valores cercanos a la temperatura critica
η ∼ L. Con ello, ya que la primer derivada es continua en el valor en el que ocurre el
cambio de fase.
dG
= a + 2bη + 3cη 2 + 4dη 3 = 0
dη
(2.8)
Y dado que el estado posee un mı́nimo local, lo que establece Landau, es que el sistema
al realizar un transición de segundo orden, minimiza su energı́a libre.
a + η(2b + 3cη + 4dη 2 ) = 0
(2.9)
Dado esto, existen 2 opciones para las cuales se cumple el mı́nimo local
1. Que tanto a y η son nulos
2. Que a es nulo, pero η, el parámetro de orden no lo sea.
El primer caso es trivial y establece que no existió un cambio de fase. Adicional, debemos
generar la segunda derivada
d2 G
= 2b + 6cη + 12dη 2 > 0
dη 2
De la definición del parámetro de orden η debe ser diferente de cero, y esto se cumple
si a es diferente de cero en la transición. Adicional, considerando la primera potencia
para η ya que esperamos que la variación del parámetro sea suave el valor de b = 0, por
supuesto con η 6= 0 se obtiene
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
(2b + 3cη) = 0 → η = −
14
2b
3c
E igualando en la expresión anterior, con el mismo criterio de considerar la primer
aproximación de η
d2 G
= −4a
dη 2
Con lo cual, para la consideración de que la expresión anterior deba ser positiva, debe
tener a un valor negativo. Ası́ pues, Landau estableció que el comportamiento de la
constante a posee un comportamiento diferente para los valores en los que cambia el
parámetro de orden; es decir, el comportamiento de la constante es
(
a(T ) =
a(T ) < 0 si T < Tc
a(T ) > 0 si T > Tc
Bajo la condición de que a = 0 en (2.7) y con las respectivas derivadas
G = bη 2 + cη 3 + dη 4 . . . .
(2.10)
dG
= 2bη + 3cη 2 + 4dη 3
dη
y
d2 G
= 2b + 6cη + 12dη 2
dη 2
Y dado que la primer y segunda derivada debe ser positiva, entonces las constante c
debe anularse; con ello, se obtiene igualando en (2.7) para la energı́a libre de Gibbs
G − G0 = a(T − Tc )η 2 + dη 4 + . . .
(2.11)
Donde se considera G0 el valor de la energı́a de Gibbs, antes de la transición de fase. En
la figura (2.3) se visualiza el comportamiento de la energı́a en función del parámetro η.
La curva de color azul, da cuenta de los valores positivos de a(T ).
Esta es la base fundamental para la consideración del funcional de la energı́a libre de
Gibbs, de la teorı́a de Ginzburg-Landau. Bajo esta premisa desarrollaremos el formalismo
GL.
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
15
Figura 2.3: Variación de la energı́a libre (G), en función del parámetro de orden η
2.4.
Formalismo GL
La base para la descripción del estado superconductor fue descrita en la sección anterior,
da cuenta de como es el cambio que sufre un sistema al cambiar de un estado ordenado
a uno desordenado. La visión de Landau estaba en la generación de un parámetro de
orden (en general complejo) que de cuenta de dicho cambio de fase. Este parámetro
de orden ψ(x, t) puede variar en posición y tiempo. Y la propuesta GL, establece una
funcional, expandida en términos de series de potencias (cuadradas) de dicho parámetro
y las consideraciones electrodinámicas de la cantidad de movimiento y posibles campos
externos al sistema.
2
1
e∗ ~
H2
β ∗ 2
(−i~∇
+
A)ψ
+
Gs − Gn = α(T )ψ ψ + (ψ ψ) +
2
2m∗
c
4π
∗
(2.12)
Siendo ψ el parámetro de orden, α(T ) una constante (negativa), β un valor positivo, m∗
~ es el potencial vector (∇ × A
~ = B)
~ y e∗ la
es la masa efectiva de los súper electrones, A
carga efectiva de los pares de Cooper.
Donde realizaremos varias aclaraciones respecto a dicho funcional
1. Al realizar la expansión en potencias, se toman solo los cuadrados de ψ por que al
estar la función definida salvo un factor de fase, se establece que sera siempre real
el producto (ψψ ∗ ), generando que la energı́a es siempre positiva y real solo para
las potencias pares.
2. Al excluir las potencias impares de ψ también se evita el hecho de obtener valores
complejos de la energı́a.
3. α(T ) puede obtener el valor positivo para el estado normal, y negativo para el
estado superconductor, este es el parámetro de cambio de fase en la teorı́a de
Landau.
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
16
Desde la teorı́a BCS[7],[20], se establece que m∗ = 2me e igual para la carga e∗ = 2ee ,
por el hecho de la interacción de los pares de Cooper.[12],[14]
Adicional β siempre es positivo (valor de “b“ en (2.7)), el termino
es el operador de la energı́a cinética,
P2
2m∗
1
2m∗
∗
~
(−i~∇− ec A)ψ
2
siendo el primer termino el operador cuántico
de P en la representación de las posiciones y el segundo término, la energı́a cinética de
una partı́cula en presencia de un campo magnético.
Con ello, desde el formalismo GL se establece el comportamiento de la funcional de
energı́a libre de Gibbs, en términos de la variación de dicha funcional respecto a ψ ∗ [31]
2
δ
H2
δ
β ∗ 2
1
e∗ ~
∗
Gs −Gn =
α(T )ψ ψ + (ψ ψ) +
−i~∇+ A ψ +
(2.13)
δψ ∗
δψ ∗
2
2m∗
c
4π
Donde para el primer termino sera nula la variación, ya que el estado superconductor se
caracteriza por ser un estado de mı́nima energı́a. Entonces
δ
Gs − G n = 0
δψ ∗
Y para los siguientes términos
δ
∗
α(T )ψ ψ = α(T )ψδψ ∗
δψ ∗
δ
δψ ∗
δ
δψ ∗
β ∗ 2
(ψ ψ)
2
e∗ ~
− i~∇ + A
c
2
= β(ψ ∗ ψ)ψδψ ∗
∗
(ψ ψ) =
Y
δ
δψ ∗
H2
4π
e∗ ~
− i~∇ + A
c
2
ψδψ ∗
=0
Igualando en (2.13), y realizando la integración para todo el volumen del superconductor
∗
∗
∗
0 = α(T )ψδψ + β(ψ ψ)ψδψ +
e∗ ~
− i~∇ + A
c
2
ψδψ ∗
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
Y
Z
3
Z 0d r =
∗
α(T )ψ + β(ψ ψ)ψ +
e∗ ~
− i~∇ + A
c
17
2 ψ δψ ∗ d3 r
(2.14)
Teniendo en cuenta el lema fundamental del calculo variacional [31].
Z
ηM d3 r = 0
(2.15)
En el caso particular de η = 0 que en el caso de la funcional de G es δψ ∗ , entonces
0=
e∗ ~ 2
α(T )ψ + β(ψ ∗ ψ)ψ + − i~∇ + A
ψ
c
(2.16)
Con la condición de frontera
n̂ ·
e∗ ~ i − i~∇ + A ψ = ψ c
b s
s
(2.17)
Siendo b el parámetro de deGennes que establece el tipo de materiales con los cuales tiene
contacto el superconductor, en el caso de b < 0, es un superconductor con temperatura
critica mayor, b > 0 material metálico y b = ∞ dieléctrico o vacı́o. Las soluciones de las
ecuaciones GL a las variaciones de b, será abordado en el siguiente capitulo.
La primer ecuación de Ginzburg-Landau, da cuenta del parámetro de orden ψ, la cual
~
se obtiene realizando la variación de la energı́a libre respecto al potencial vectorial A
(2.16). Ası́
δ
β
δ
G s − Gn =
α(T )ψ ∗ ψ + (ψ ∗ ψ)2 +
~
~
2
δA
δA
2
∗
~ ×A
~
1
e ~
∇
∗
− i~∇ + A (ψ ψ) +
2m∗
c
4π
Obteniéndose para cada termino
δ
∗
α(T )ψ ψ = 0
~
δA
(2.18)
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
18
δ β ∗ 2
(ψ ψ) = 0
~ 2
δA
δ
1
e∗ ~ 2 ∗
e∗ ~ e∗
1
~
−
i~∇
+
−
i~∇
+
ψψ ∗ δ A
A
(ψ
ψ)
=
A
∗
∗
~
2m
c
m
c
c
δA
Y
~
~ ∇ × (∇ × A)
δ ∇×A
~
=
δA
~
4π
4π
δA
E igualando en (2.17)
0=
1
m∗
~ e∗ ~ e∗
∇ × (∇ × A)
∗
~
− i~∇ + A
δA
ψψ +
c
c
4π
Aplicando las propiedades del operador gradiente ∇(ψψ ∗ ) = ψ∇(ψ ∗ )+ψ ∗ ∇(ψ) Se obtiene la segunda ecuación de GL, haciendo uso del lema fundamental del calculo variacional
[31]:
i~
(ψ∇(ψ ∗ ) + ψ ∗ ∇(ψ)) +
m∗
~ 2
~
(e∗ A)
∇ × (∇ × A)
∗
ψψ
+
=0
cm∗
4π
(2.19)
Estas son las ecuaciones GL independientes del tiempo, y se deben solucionar simultáneamente comparando con la ecuación de Ampere de la electrodinámica
~ =
∇×B
4π ~
J(r)
c
Se establece un sı́mil con la densidad de corriente, sólo que en el caso de las ecuaciones
GL es la densidad de probabilidad de los electrones súper conductores
~
∇ × (B)
=
4π
∗ ~ 2
i~
(e A)
∗
∗
(ψ∇(ψ ) − ψ ∇(ψ) −
ψψ ∗
∗
m
cm∗
Las expresiones presentes en los cuadros anteriores son las ecuaciones Ginzburg-Landau
independientes del tiempo. Es importante resaltar:
1. Las ecuaciones GL son ecuaciones no lineales, que deben ser solucionadas autoconsistentemente.
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
19
2. Los operadores vectoriales dependen explı́citamente de la geometrı́a y dimensionalidad de la muestra.
3. Si la muestra es 2D (filme fino), solo es necesario solucionar la primer ecuación
~ en la muestra, no da cuenta de comportamientos
GL, ya que siendo constante el B
de desmagnetización
4. Estas ecuaciones dan cuenta de estados estacionarios, que en principio son estados
para los cuales los valores propios de las ecuaciones no dependen del tiempo y
dichos valores en el caso de la primer ecuación es α(T ).
i ~
5. n̂·(−i∇+A)ψ = b ψ establece el hecho de que los electrones en el superconductor
s
s
no tienen la posibilidad de salir del mismo. Siendo n un vector unitario normal, a
la superficie.
Una simplificacion se suele realizar con la definicion de un nuevo parametro de orden
[7],[35]
r
ψ∞ =
−α
β
α<0
Esta función, establece la dependencia del sistema en estado superconductor de las
constantes α y β, esta función es la llamada función para el estado de condensación, y
describe como es el comportamiento del valor ψ lejos de la frontera y en ausencia de
corrientes y campos.
2.5.
Longitud de Penetración λ, longitud de coherencia ξ
y parámetro de Ginzburg-Landau κ
Antes de abordar las ecuaciones que describen la dinámica del flujo magnético en los
superconductores, estableceremos dos parámetros que son de inmensa importancia en el
formalismo GL y ellos son λ que como se describió en la sección del formalismo de las
ecuaciones de London, es la distancia hasta la cual el campo magnético puede penetrar en
un superconductor semi-infinito, esta penetración describe el comportamiento de dicho
campo magnético en el material y se ha encontrado fenomenólogicamente que tiene el
valor
s
λ=
mc2
4πns e2
(2.20)
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
20
Siendo ns la densidad de súper electrones, que ya se ha establecido que ha de ser proporcional al cuadrado del parámetro de orden ψ ∗ ψ. La otra cantidad que es de bastante
importancia es ξ(T ) que se denomina longitud de coherencia que establece la variación
del parámetro de orden desde la frontera, es decir da cuenta de la variación espacial
de los electrones dentro de la muestra. Esta cantidad se obtiene de un cambio de variable en la primera expresión de GL[7],[12],[20] y de la respectiva adimensionalización,
obteniéndose
ξ 2 (T ) =
~2
4m∗ α(T )
(2.21)
Siendo α la constante fenomenológica que da cuenta, si el material está o no en estado
superconductor. Dada la teorı́a de transición de fase de segundo orden de Landau, estos
dos parámetros en función de la temperatura forman lo siguiente
λ(0)
λ(T ) = q
1 − TTc
(2.22)
ξ(0)
ξ(T ) = q
1 − TTc
(2.23)
y
Donde ξ(0) y λ(0) son los valores de dichos parámetros a temperatura cero, TC es la
temperatura critica del material. [20].[32]
Con estas dos cantidades se establece un tercer parámetro
κ=
λ(T )
λ(0)
=
ξ(T )
ξ(0)
(2.24)
Que es el denominado parámetro de Ginzburg-Landau, que da cuenta de si el superconductor es de tipo I (κ <
√1 )
2
o tipo II (κ >
√1 ).
2
Este parámetro se estudiará a fondo
en el tercer capitulo cuando se inicie con el tratamiento de los parámetros que describen
las propiedades calorimétricas de los superconductores de tipo II.
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
2.6.
21
Ecuaciones dependientes del tiempo T DGL (Time dependence Ginzburg-Landau equations)
Dado que las expresiones deducidas para las ecuaciones de GL son independientes del
tiempo, no es posible predecir el comportamiento del sistema si se realiza la evolución
temporal. Esto quiere decir que con las expresiones anteriores no se puede predecir
como es la transición entre estados de equilibrio (cuasi-estacionarios); por ello, se describe la evolución temporal de las ecuaciones de GL mediante las siguientes expresiones
[12],[13],[14],[20].
~
∂
δG(ψ, A)
ie∗ φ
~2
ψ=−
+
∗
∗
2m D ∂t
~
δψ
(2.25)
~
~
σ ∂A
δG(ψ, A)
+ ∇φ = −
~
c ∂t
δA
(2.26)
y
Siendo D el coeficiente de difusión, σ la conductividad electrica en el estado normal y
φ el potencial escalar. Bajo estas consideraciones las expresiones T DGL dan cuenta de
cómo es la evolución temporal de las propiedades del estado superconductor por medio
~ Ahora bien, estas ecuaciones deben ser invariante bajo las transformaciones
de ψ y A.
de recalibración (Gauge) ya que están definidas a lo sumo por una constante que puede
escogerse de forma arbitraria para transformar las ecuaciones en una forma mas simple,
~ Adicional, con las
esto es por la unicidad del potencial φ y del potencial vector A.
condiciones de frontera el sistema genera estabilidad en la solución y consistencia en el
sistema de ecuaciones. Dado esto, establecemos que no existirán corrientes externas al
material, con lo cual el potencial escalar se anula φ = 0 y ∇φ = 0, e igualando a las
ecuaciones GL independientes del tiempo antes halladas
∂
ie∗ φ
e∗ ~
~2
∗
+
ψ = − αψ + β(ψ ψ)ψ + (−i~∇ + A)ψ
2m∗ D ∂t
~
c
∂ψ + ∇φ
e∗ ~ 2
~2
∗
= − αψ + β(ψ ψ)ψ + − i~∇ + A ψ
2m∗ D
∂t
c
Con ayuda del valor de equilibrio para el parametro de orden en ausencia de campos y
gradientes ψ∞ , se genera un cambio de variable, para adimensionalizar la ecuación.
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
22
ψ
ψ
=f = q
α
ψ∞
β
y
ψ
ψ∞
2
= f2 =
ψ2
α
β
Igualando en la expresión anterior y teniendo en cuenta que ξ 2 (T ) =
1
1− TT
, se obtiene
c
la primer ecuación GL adimensionalizada.
∂ψ
1
2
∗
~
=
(∇ − iA) ψ + (1 − T )(1 − ψ ψ)ψ
∂t
η
(2.27)
~
∂A
~
~
= (1 − T )Re(ψ ∗ (∇ − iA)ψ)
− κ2 ∇ × (∇ × A)
∂t
(2.28)
y
i
~ = ψ
n̂ · (∇ − iA)ψ
b s
s
Con
~ s = Hs
∇×A
en
la
superficie
En cuanto a T , se halla en unidades de la temperatura critica del superconductor, Tc , η
depende de la longitud de coherencia y la longiitud de penetracion a campo cero ξ(0) y
λ(0). Adicional las condiciones de frontera
1. La proyección de la súper corriente J~s normal al superconductor es nula, esto
establece que la súper corriente debe estar contenida en el superconductor.
2. El campo magnético en la superficie del superconductor debe ser igual al campo
externo. Esto sin considerar efectos de desmagnetización, osea en muestras donde
~ son invariantes a lo largo del eje donde se aplica H.
~
ψyA
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
2.7.
2.7.1.
23
Discretización de T DGL
Discretización Primera ecuación GL
La discretización del sistema se realiza mediante el método de variables de enlace, dado
que las ecuaciones de T DGL no tienen solución analı́tica, deben ser solucionadas mediante análisis numérico, iniciaremos con la discretización de la primera ecuación de GL
no sin antes definir el mallado usado para dicha solución, en la figura (2.4) se establece
dónde se evaluarán cada una de las cantidades de interés. Con ello, se establece una
x que recorre las componentes del eje x y, U y que
variable que definiremos como Ui,j
i,j
recorre las celdas en el eje y, la generalidad es que se estructura un cambio de variable
para que la discretización sea lo mas simple. Ası́
Figura 2.4: Mallado realizado en el método de variables de enlace.
x
Ui,j
(x, y, t)
Z
x
−i
= exp
A(ξ, x, t)dξ
(2.29)
x0
y
y
Ui,j
(x, y, t)
= exp
Z
y
−i
A(y, η, t)dη
(2.30)
y0
x
Ası́ pues, se puede notar lo siguiente de la variable de enlace Ui,j
Z
d
d
x
x
Ui,j (x, y, t) =
exp − i A(x, ξ, η)dx
= −iA(x, ξ, η)Ui,j
(x, y, t)
dx
dx
x
Con la misma condición para y
Z
d
d
y
y
Ui,j (x, y, t) =
exp − i A(y, ξ, η)dy
= −iA(x, ξ, η)Ui,j
(x, y, t)
dy
dy
y
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
24
y
x (x, y, t)
Adicional definiendo los conjugados de Ūi,j
(x, y, t)y Ūi,j
Z
U¯x i,j (x, y, t) = exp i A(x, ξ, η)dx
(2.31)
x
Z
y
¯
U i,j (x, y, t) = exp i A(y, ξ, η)dy
(2.32)
y
Establezcamos una función f (x) que es bien comportada en el intervalo de U x entonces
d
d x
df
x
x
x
x
¯
U i,j (x)
Ui,j (x)f (x) = Ūi,j (x) f (x) (Ui,j (x)) + Ui,j (x)
dx
d
dx
Con
x
Ūi,j
(x)
f (x) −
x
iAUi,j
(x))
+
df
x
Ui,j
(x)
dx
x
x
x
x
−iAŪi,j
(x)f (x)Ui,j
(x)) + Ui,j
(x)Ūi,j
(x)
df
dx
x (x)U x (x) = 1 definidas mediante (2.19-2.21) la expresión
Y bajo la propiedad de Ūi,j
i,j
finalmente toma la forma de
x
Ūi,j
(x)
df
df
d
x
Ui,j (x)f (x) = −iAf (x) +
=i
− Af (x)
dx
dx
dx
y
x
Ūi,j
(x)
d
d
x
Ui,j (x)f (x) = − iA +
f (x)
dx
dx
(2.33)
Y con esta relación de recurrencia para la expresión anterior haciendo f (x) =
d
−i+ dx
se obtiene
x
Ūi,j
(x)
x
∂Ui,j (x)
∂(−i +
d
d
d
x
x
x
Ui,j
(x) −i+
= Ūi,j
(x)
−i+
+Ui,j
(x)
dx
dx
∂x
dx
∂x
d dx )
Por lo tanto el termino
∂
~
−i
−A
∂x
2
=
x
Ūi,j
(x)
d2
x
Ui,j (x)f (x)
dx2
(2.34)
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
25
Donde reemplazaremos f (x) por el parámetro de orden ψ. Resta establecer como se
discretizará la derivada con lo cual haremos uso de la expansión en series de Taylor.[32]
∆x
∆
1 ∆ 2 0
) = f (x) + f 0 (x) +
f (x) + . . .
2
2
2! (2)
(2.35)
∆x
∆ 0
1 ∆ 2 0
f (x −
) = f (x) + f (x) −
f (x) + . . .
2
2
2! (2)
(2.36)
f (x +
Y
Substrayendo las expresiones se obtiene que para f 0 (x)
f 0 (x) =
f (x +
∆x
2 )
− f (x −
∆
∆x
2 )
(2.37)
De la misma forma se puede obtener una expresión discretizada la para la segunda
derivada.
f 0 0(x) =
f (x + ∆x) − 2f (x) + f (x − ∆x)
(∆x)2
(2.38)
Con todos los procesos anteriores la primer ecuación de Ginzburg-Landau
1
∂ψ
2
∗
~ ψ + (1 − T )(1 − ψ ψ)ψ
=
(∇ − iA)
∂t
η
Se obtiene antes de la discretización
2
∂ψ
1
d2
y d
x
x
x
=
Ūi,j (x) 2 Ui,j ψi,j + Ūi,j 2 Ui,j ψi,j + (1 − T )(1 − ψi,j ψ̄i,j )ψi,j (2.39)
∂t
η
dx
dx
Y con la inclusión de dicha discretización
1
∂ψ
y
y
x
x
x
x
=
Ūi,j
[Ui+1,j
ψi+1,j − 2Ui,j
ψi,j + Ui−1,j
ψi−1,j ] + Ūi,j
[Ui,j+1
ψi,j+1 −
∂t
η
y
y
2Ui,j ψi,j + Ui,j−1 ψi,j−1 ] + (1 − T )(1 − ψi,j ψ̄i,j )ψi,j
(2.40)
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
2.7.2.
26
Discretización segunda ecuación GL
Para la discretización de la segunda ecuación de Ginzburg-Landau,, debe tenerse un
poco mas de cuidado ya que estableceremos las condiciones de frontera bajo las cuales
la súper corriente es valida en un sistema.
~
∂A
~
~
= (1 − T )Re(ψ ∗ (∇ − iA)ψ)
− κ2 ∇ × (∇ × A)
∂t
~ ya obtuvimos la discretización, como
Ası́ pues, dado que para el termino (∇ − iA)
2
x (x) d (U x ψ ), solo restarı́a hallar un expresión para el termino ∇ × (∇ × A)
~ para
Ūi,j
i,j i,j
dx2
R
R
~ = ∇ × f d∀. Bajo este teorema
lo cual usaremos el teorema de Stockes f n̂ · ds
estableceremos dicha discretización, para lo cual tomaremos una celda del mallado, con
puntos arbitrarios que definiremos como lo muestra la figura(2.5)
Figura 2.5: Celda unitaria del mallado usado.
x (x) =
Con lo cual, iniciaremos de la siguiente, ya se indico la variable de enlace Ui,j
Rx
Ry
y
exp − i x0 A(ξ, x, t)dξ y Ui,j
(x, y, t) = exp − i y0 A(y, η, t)dη entonces si estableR
R
~ y por el teorema de Stokes ∇ × A
~ · ds)
~ · d~r.
cemos el flujo de campo magnético (A
Dado esto, con la condición del rotacional evaluaremos este termino en la celda unitaria,
con el cambio de la integración, por su respectiva contra parte discreta.
Z
~ =
~ · ds
B
Z
~ · d~r =
∇×A
Z
xi+1
Z
yj+1
Ax dx +
xi
Z
xi
Ay dy +
yj
Z
yj
Ax dx +
xi+1
Ay dy
yj+1
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
27
Donde para cada termino se establece la discretización de la integral como
R yj
xi
Ax dx =
Ax(i,j) ∆x donde los subı́ndices indican el punto sobre la red donde se evalúan. Ası́ pues,
para cada termino en la expresión anterior
Z
~ · d~r = Ax(i,j) ∆x + Ay(i+1,j) ∆y − Ax(i,j+1) ∆xAy(i,j) ∆y
∇×A
Se han tomado dos términos negativos, ya que la contribución esta dirigida en dirección
contraria del crecimiento de la circulación. Adicional, ya que el termino presente en
la
x
discreticación ha de estar en términos de la variable de enlace, Ui,j (x, y, t) = exp −
R
i x A(x, ξ, η)dx con ello, aplicando“exp“ a ambos términos de la igualdad.
Z
exp
y
y
x
x
~ r = exp[Ax(i,j) ∆x+Ay(i+1,j) ∆y−Ax(i,j+1) ∆xAy(i,j) ∆y] = Ui,j
∇×A·d~
Ui+1,j
Ui,j+1
Ui,j
Y definiendo
y
y
x
x
Li,j = Ui,j
Ui+1,j
Ui,j+1
Ui,j
= exp
Z
~ · d~s
B
(2.41)
~ z del sistema, realizando una aproMediante el cual se puede hallar la relación con el B
ximación por series de Taylor a (2.39)
Z
exp
2.7.3.
~
B · d~s = 1 + iB∆x∆y
B=
Im(Li,j )
∆x∆y
(2.42)
Discretización Temporal
Ahora consideraremos la solución a esto mediante el método de Euler, que da cuenta de
esta discretización de la forma mas simple posible. Ası́ pues, considere
tn = (n − 1)∆t
(2.43)
Siendo tn el tiempo en un instante cualquiera n, por supuesto n lo consideraremos desde
0 < n < N con N el tamaño del mallado en el que se considerara. Según esto considere
una función de t, f (t) dado que el problema inicial en función de dicha función seria
Chapter 3. Principales Teorı́as fenomenológicas.
Z
28
tn+1
f (t)dt = f (t)∆t
(2.44)
tn
Esta expresión establece, que podemos realizar una transformación en las derivadas
temporales de la siguiente forma
∂ψ
n+1
n
= ψi,j
− ψi,j
∂t
y
~
∂A
~ n+1 − A
~ ni,j
=A
i,j
∂t
Con ello, las dos ecuaciones (se debe recordar que la primera ecuacion es vectorial) de
GL en su forma totalmente discretizada seria
n+1
ψi,j
=
n
ψi,j
1
y
y
x
x
x
x
Ūi,j
[Ui+1,j
ψi+1,j − 2Ui,j
ψi,j + Ui−1,j
ψi−1,j ] + Ūi,j
[Ui,j+1
ψi,j+1 −
+
η
y
y
2Ui,j ψi,j + Ui,j−1 ψi,j−1 ] + (1 − T )(1 − ψi,j ψ̄i,j )ψi,j (2.45)
y
2
n
~ n+1 = A
~ ni,j + 1 − T Im(ψ¯i,j Ux i, jψi+1,j ) + κ (B
~n − B
~ z,i+1,j
A
)
i,j
∆x
∆y 2 z,i,j
(2.46)
Donde sólo consideramos la expresión para la coordenada x, pero en general existe una
expresión para cada coordenada[12],[13],[20]. En esta tesis, se consideró una muestra
cuadrada y ciertas propiedades que observaremos en el siguiente capitulo. Sin embargo,
la discretización y los procesos descritos en este capitulo son los que se realizaron.
Capı́tulo 3
Resultados obtenidos y discusión
3.1.
Introducción
En este capitulo se estudia la respuesta magnética de superconductores convencionales,
con diferentes condiciones de frontera, tamaño de la muestra y κ, esta respuesta se
estudia en función del parámetros deGennes b y de la susceptibilidad magnética χm
~ (H), se puede hallar la susceptibilidad magnética y la capacidad
[33],[34]. Ası́ mediante M
calórica.
3.2.
3.2.1.
Formalismo Teórico
Propiedades Magnéticas
El análisis del comportamiento dinámico del superconductor, es realizado através de la
solución numérica de las TDGL:
∂ψ
1
2
∗
~
=
(∇ − iA) ψ + (1 − T )(1 − ψ ψ)ψ
∂t
η
~
∂A
~
~
= (1 − T )Re(ψ ∗ (∇ − iA)ψ)
− κ2 ∇ × (∇ × A)
∂t
Siendo η =
tA
~
tψ
~ y ψ generalmente es
la relación entre los tiempos de relajación de A
η = 1. Y las condiciones de contorno necesarias para la solución de dichas ecuaciones.
i
~ = ψ
n̂ · (∇ − iA)ψ
b s
s
29
Chapter 3. Propiedades Magnéticas-Propiedades Calorimétricas
30
y
~s = H
~s
∇×A
Desde la electrodinámica clásica, el estudio de la respuesta magnética en los materiales,
~ la susceptibilidad magnética χm , la magpuede obtenerse mediante el campo auxiliar H
~ , que es el promedio macroscópico de los momentos dipolares magnéticos
netización M
presentes en el material. Ası́ :
~
M~(r) = χm (H)H
(3.1)
Donde (3.1) establece la anisotrópia e inhomogéneidad de la respuesta magnética del
material. Esta magnetización será usada para calcular la susceptibilidad magnética, esta
relacionada con el comportamiento de la capacidad calórica del sistema
dM (H)
= χm
dH
(3.2)
~ (H) en
Al calcular χm , debe tenerse como punto de partida el comportamiento de M
~ este calculo se obtiene mediante la solución de las ecuaciones T DGL,
función de H,
mediante el proceso dado al final del capı́tulo anterior. Según esto, analizaremos este comportamiento de χm bajo variaciones de κ (parámetro de Ginzburg-Landau), γ
(parámetro de degennes) y L (tamaño de la muestra).
3.2.2.
Propiedades Térmicas
Obteniendo las variables magnéticas se puede analizar las propiedades térmicas (salvo
una constante) del sistema superconductor. Con ello en mente se define la entalpı́a
~ ·H
~
H0 = U + B
(3.3)
A presión y volumen constante. Adicional con la energı́a libre de Gibbs
G0 = H 0 − T S
(3.4)
Siendo T la temperatura del sistema (T < Tc ) y S la entropı́a del proceso. Con ello,
diferenciando (3.3)
Chapter 3. Propiedades Magnéticas-Propiedades Calorimétricas
31
~ · dH
~ + dB
~ ·H
~
dH 0 = dU + B
Dado que el estado superconductor se caracteriza por ser de mı́nima energı́a, dU = 0,
ası́, la expresión anterior se establece como
~ · dH
~ + dB
~ ·H
~
dH 0 = B
~ = 0 en el interior del material, entonces
Y en el estado Meissner-Oschenfeld, dB
~ · dH
~
dH 0 = B
Y con ayuda del campo auxiliar en el superconductor.
dH 0 =
~
B
~
· dB
µ
Y con la integración sucesiva para hallar el comportamiento de la entalpı́a en función
del campo magnético.
H0 =
B2
+ H0
2µ
(3.5)
Siendo H0 el valor de H(p = p0 , T = T0 , V = V0 ) que la energı́a evaluada en las
condiciones iniciales. Asi pues, derivando (3.4)
dG0 = dH 0 + d(T S) =
~
B
~ + d(T S)
· dB
µ
e integrando, teniendo en cuenta que el segundo factor es constante y que G0 es la
densidad de energı́a por unidad de volumen, se obtiene
G0 = V
B2
+ G0
2µ
(3.6)
Siendo G0 el analogo a H0 y donde V es el volumen de la muestra. Adicional con la
expresión para la capacidad calórica, en función de la energı́a libre de Gibbs.
Cp = T
d2 G0
dT 2
(3.7)
Chapter 3. Propiedades Magnéticas-Propiedades Calorimétricas
32
Igualando para G0
Cp =
T V d2 |B|2
2µ dT 2
Para lo cual realizaremos la derivada de la siguiente forma
TV
Cp =
2µ
∂
∂T
~
dB
~
(2B) ·
dT
Y
~ ∂B
~
~
T V ~ d2 B
∂B
Cp =
B·
+
·
µ
dT 2
∂T ∂T
Obteniéndose
2
~ 2 ∂B TV
d |B|
Cp =
B
+ 2
µ
dT
∂T (3.8)
Con (3.8) y (3.5) con un proceso parecido al descrito anteriormente, se puede demostrar
[14](pg 54, ecuacion 3.21) que
∂M
∂H
(3.9)
C p ∼ χm
(3.10)
Cp ∼
Que bajo la consideración de (3.2)
Que en principio establece que al realizar el calculo de la susceptibilidad magnética,
se esta obteniendo indirectamente (salvo una constante) la capacidad calórica del superconductor. Bajo estas consideraciones presentamos los cálculos obtenidos para χm ,
relacionado con la capacidad calórica del superconductor.
3.3.
Cálculos realizados
Mediante la solución de T DGL se obtuvieron las formas funcionales de la magnetización variando el campo magnético desde cero hasta H2 y de H2 hasta cero, siendo H2 el
Chapter 3. Propiedades Magnéticas-Propiedades Calorimétricas
33
campo de transición superconductor-estado normal, es decir, el campo en el cual el material pierde el estado superconductor [12],[13],[14]. Ası́ pues, presentamos los resultados
obtenidos para las variaciones de los parámetros κ, γ y L.
3.4.
Variación de las propiedades magnéticas con el tamaño de la muestra
En la figura 3.1 apreciamos la magnetización en función del campo magnético para una
muestra cuadrada superconductora de lado L=3,6,9,12,15, T=0 y κ = 1. Los saltos
identifican el ingreso de uno o más vórtices (fluxoides)[7],[13],[20] dentro de la muestra.
Figura 3.1: Magnetización en función del campo magnético para una muestra cuadrada superconductora de lado L=3,6,9,12,15, T=0 y κ = 1.
Se puede identificar en la gráfica (3.1) que el tamaño de la muestra afecta drásticamente
el diamagnétismo y el numero de vórtices que ingresan, siendo capaz de soportar mayor
cantidad de vórtices la muestra de mayor tamaño [20],[14]. Los valores que se presentan
son solo para la variación del campo desde cero hasta H2 = 2Hc2 (0), efecto MeissnerOschenfeld (H1 ) es destruido en H1 con el ingreso de los primeros vortices en la muestra.
el cual esta presente en todas las gráficas analizadas. Vemos que H2 aumenta con la
disminución de L y el máximo de diamagnétismo aumenta con L, se necesitan campos
H altos para destruir la superconductividad en muestras pequeñas.
Chapter 3. Propiedades Magnéticas-Propiedades Calorimétricas
34
En las figuras (3.2-3.3) mostramos χm en función del tamaño de la muestra con κ = 1
y considerando una condición de contorno (superconductor-vacı́o) simulada con γ = 1.
Adicional, como el cambio de fase es de segundo orden se esperarı́a que el sistema
tuviese cambios abruptos en algunas variables macroscópicas[32],[33],[34], como lo es
la susceptibilidad magnética y la capacidad calórica, esto ocurre efectivamente en la
muestra estudiada. Estos saltos coinciden con el ingreso y salida de los vórtices en la
muestra y el numero de ellos aumenta con el aumento de L, a su vez (H1 ) depende de
L y es menor para muestras cada vez mayores. El espacio que tienen los vórtices para
ingresar en la muestra es mayor y la barrera de energı́a superficial es menor.
(a) L = 3ξ κ = 1 y γ = 1
(b) L = 6ξ κ = 1 y γ = 1
(c) L = 9ξ κ = 1 y γ = 1
Figura 3.2: Susceptibilidad magnética en función del campo magnético para una muestra cuadrada para κ = 1 y γ = 1 A)L = 3ξ B) L = 6ξ C) L = 9ξ
3.5.
Variación de las propiedades magnéticas con el parámetro de Ginzburg-Landau κ de la muestra
En las figuras (3.5) y (3.6) se gráfica χm (H) puede observarse que en las gráficas existe
una coincidencia, entre las caı́das de χm decreciendo el campo magnético, con el ingreso
Chapter 3. Propiedades Magnéticas-Propiedades Calorimétricas
(a) L = 12ξ κ = 1 y γ = 1
(b) L = 15ξ κ = 1 y γ = 1
Figura 3.3: Susceptibilidad magnética en función del campo magnético para una muestra cuadrada dado κ = 1 y γ = 1 A)L = 12ξ B) L = 15ξ
de los vórtices en la muestra.
(a) κ = 1 L = 6ξ y γ = 1
(b) κ = 2 L = 6ξ y γ = 1
(c) κ = 1,5 L = 6ξ y γ = 1
Figura 3.4: Susceptibilidad magnética en función del campo magnético para una muestra cuadrada dado γ = 1 y L = 6ξ A)κ = 1 B)κ = 2 C) κ = 1,5
35
Chapter 3. Propiedades Magnéticas-Propiedades Calorimétricas
36
Para las primeras variaciones de κ se observa la caı́da que sufre χm para ciertos valores
del campo (figura 3.2), adicional a esto, dado que existe una variación tan grande de
χm , esto es una muestra más desde la termodinámica que esto es una transición de fase
de segundo orden(figura 3.3). En la figura 3.4, L(ξ) representa el tamaño de la muestra
superconductora en unidades de la longitud de coherencia. [32].
(a) κ = 3 L = 6ξ y γ = 1
(b) κ = 5 L = 6ξ y γ = 1
Figura 3.5: Susceptibilidad magnética en función del campo magnético para una muestra cuadrada dado γ = 1 y L = 6ξ A) κ = 3 B) κ = 5
Con el aumento del parámetro de GL la periodicidad de estos saltos son otra muestra de
el ingreso de vórtices en la muestra que minimizan la energı́a libre de Gibbs en el estado
superconductor (figura 3.2) y (figura 3.3). La configuración especı́fica que tendrán los
vórtices al entrar a la muestra mesoscópica, debe darse en función de la minimización
de dicha energı́a, esto por supuesto lo observaremos en la siguiente sección, donde se
pueden observar como los parámetros de minimización de la configuración de dichos
vórtices tienen extensa importancia fı́sica [32],[33].
3.6.
Variación de las propiedades magnéticas con el parámetro de degennes γ
El siguiente parámetro importante γ, establece que posiblemente el superconductor no
esté rodeado por el vacı́o, si no que se establece otro tipo de material, esto se ve directamente en el parámetro de deGennes b donde b → ∞ es la interacción con el vacı́o
(Sup-vacı́o) γ = 1, como se ha tomado hasta el momento, b > 0 simula el contacto
del superconductor con metal (Sup-metal) 0 < γ < 1 y b < 0 es el contacto de un
superconductor con otro superconductor de mayor temperatura critica (Sup-sup) γ > 1.
Chapter 3. Propiedades Magnéticas-Propiedades Calorimétricas
b=
nx
1−γ
37
(3.11)
Siendo nx el tamaño de la malla.
(a) γ = 1 L = 6ξ y κ = 1
(b) γ = 0,8 L = 6ξ y κ = 1
(c) γ = 0,9 L = 6ξ y y κ = 1
Figura 3.6: Susceptibilidad magnética en función del campo magnético para una muestra cuadrada dado L = 6ξ κ = 1 A) γ = 1 B) γ = 0,8 C)γ = 0,9
Las gráficas muestran el comportamiento de la susceptibilidad magnética bajo diferentes
fronteras; con ello, se observa que para los valores de 0 < γ < 1 menores que 1,0 no
existen caı́das abruptas de χm ya que al estar en contacto con materiales metálicos que
no contribuyen con un cambio apreciable en esta cantidad, al no establecer respuesta
magnética en la muestra. Por el contrario con el valor γ = 1, se observan variaciones en
los valores de la susceptibilidad, ya que la respuesta al material en la frontera cambia.
Chapter 3. Propiedades Magnéticas-Propiedades Calorimétricas
(a) γ = 0,95 L = 6ξ y κ = 1
(b) γ = 0,98 L = 6ξ y κ = 1
(c) γ = 1,02 L = 6ξ y κ = 1
Figura 3.7: Susceptibilidad magnética en función del campo magnético para una muestra cuadrada dado L = 6ξ κ = 1 A) γ = 0,95 B) γ = 0,98 C) γ = 1,02
(a) γ = 1,04 L = 6ξ y κ = 1
(b) γ = 1,06 L = 6ξ y κ = 1
Figura 3.8: Susceptibilidad magnética en función del campo magnético para una muestra cuadrada dado (L = 6ξ κ = 1 A) γ = 1,04 B) γ = 1,06
38
Chapter 3. Propiedades Magnéticas-Propiedades Calorimétricas
3.7.
39
Cálculo en muestras 2D y 3D
En esta sección estudiamos el efecto de la dimensionalidad sobre χm , escogemos una
muestra 2D y otra 3D y presentamos los resultados de χm para 5 diferentes valores de
γ.
Figura 3.9: Susceptibilidad magnética en una muestra de 2 dimensiones en función
del campo magnético aplicado L = 12ξ, κ = 1 y γ = 1
El efecto de la dimensionalidad en χm se presenta en la figura 3.8, se observa que la
variaciones de χm están en un intervalo de (−1 < χm < 0,6).
Por otro lado, la variación de (−2,5 < χm < 2,5) (figura 3.11) para una muestra tridimensional, y con ello, las caı́das de la susceptibilidad en ambos casos están en los mismos
puntos para H1 , solo que el valor y los rangos de variaciones son diferentes; ésta por
ende debe ser una de las variables mas importantes al establecer estudios cuantitativos
de las propiedades magnéticas en los superconductores y ya que esta relacionada con la
capacidad calórica [32],[33]; según esto, entonces al obtener χm en cada punto, se puede
hallar Cp , ya que esta definido solo salvo una constante que fue demostrada en (3.9).
Chapter 3. Propiedades Magnéticas-Propiedades Calorimétricas
40
Figura 3.10: Susceptibilidad magnética en una muestra de 3 dimensiones en función
del campo magnético aplicado L = 12ξ, κ = 1 y γ = 1
3.8.
Discusión
En las secciones anteriores se graficarón los valores para χm , con la variacion de los
parametros γ, κ y L, en las gráficas se establecieron los H1 que son los valores del
campo en el cual la muestra esta en estado Meissner-Oschenfeld y H1 para este mismo
estado, pero con la disminución del campo magnético. Bajo esta premisa, se observa
que para las variaciones del tamaño de la muestra, el valor del primer campo critico
disminuye, con los demas parametros constantes κ = 1. Asi, L = 3ξ H1 = 1,78, L = 6ξ
H1 = 1,1, L = 9ξ H1 = 0,98, L = 12ξ H1 = 1,1, L = 15ξ H1 = 0,9 y L = 15ξ H1 = 0,87.
Teniendo en cuanta, que H1 = 0,87Hc2 , para que todos los campos esten en unidades
de Hc2
L(ξ)
κ( λξ )
H1
3
6
9
12
15
1
1
1
1
1
1.78
1.1
0.98
0.9
0.87
Cuadro 3.1: L(ξ), κ = 1 y H1
Chapter 3. Propiedades Magnéticas-Propiedades Calorimétricas
41
La siguiente variación se realizo en función de κ, estos valores de H1 para cada valores
del parámetro de Ginzburg-Landau, con el tamaño de la muestra constante L = 6ξ. Ası́,
κ = 1 H1 = 1,1, κ = 1,5 H1 = 0,8, κ = 2 H1 = 0,51, κ = 3 H1 = 0,41 y κ = 5 H1 = 0,4
L(ξ)
κ( λξ )
H1
6
6
6
6
6
1
1.5
2
3
5
1.1
0.8
0.51
0.41
0.4
Cuadro 3.2: Variación κ, L(ξ) = 6ξ y H1
La variación de γ, que da cuenta del parámetro de Degennes (3.11), con L = 6ξ. Obteniéndose γ = 0,8, H1 = 0,9, γ = 0,9, H1 = 0,88, γ = 1, H1 = 1,08, γ = 0,95, H1 = 0,98,
γ = 0,98, H1 = 0,99 y γ = 1,02, H1 = 1,2
L(ξ)
6
6
6
6
6
γ
0.88
1
0.95
0.98
1.02
H1
0.88
1.08
0.98
0.99
01.2
Cuadro 3.3: Variación γ, L(ξ) = 6ξ y H1
Para el caso de un filme fino, que en las graficas se representan como 2D, se obtiene que
L = 12ξ, κ = 1 y γ = 1 H1 = 0,89; que en contraste con la muestra en 3D L = 12ξ, κ = 1
y γ = 1 H1 = 0,32, y este cambio de estado Meissner-oschenfeld, puede comprenderse
por el hecho que en la muestra puede tenerse vórtices en el sistema en cada cara del
prisma, con lo cual el campo magnético, puede ingresar mas fácilmente.
L(ξ)
12
12
γ
1
1
κ
1
1
H1
0.89
0.32
Cuadro 3.4: Variación de filme fino a prisma
Para analizar la susceptibilidad magnética, se realizó la variación de H hasta Hc2 que es
el campo de transición superconductor estado normal. Luego de esto, se varió el campo
hasta H = 0, por lo cual existe un H1 , para el cual de nuevo la muestra queda en estado
Meissner-Oschenfeld, este campo se evaluó para las graficas en las cuales de varia γ. Ası́,
L = 6ξ, γ = 1 H1 = 0,43, L = 6ξ, γ = 0,80 H1 = 0,90, L = 6ξ, γ = 0,90 H1 = 0,61,
Chapter 3. Propiedades Magnéticas-Propiedades Calorimétricas
42
L = 6ξ, γ = 0,95 H1 = 0,55,L = 6ξ, γ = 0,98 H1 = 0,70, L = 6ξ, γ = 1,02 H1 = 0,49,
con ello; obtenemos la siguiente tabla
L(ξ)
6
6
6
6
6
6
γ
1
0.80
0.90
0.95
0.98
1.02
H1
0.43
0.90
0.61
0.55
0.70
0.49
Cuadro 3.5: Variación de γ y campo H1 (Estado Meissner-Oschenfeld)
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Capı́tulo 4
Articulo Publicado Journal of
Low Temperature Physics
4.1.
Effects of sizes deGennes, and Ginzburg Landau parameters on the magnetic susceptibility of an isotropic
superconductor- January 2016, Volume 182, Issue 1,
pp 51-60
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