Matemáticas para el diseño

Matemáticas
para el diseño
Introducción a la teoría de la simetría
Felipe Monroy Pérez
UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA
Casa abierta al tiempo
UNIDAD AZCAPOTZALCO Coordinación de Extensión Universitaria
Sección Editorial
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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Matemáticas
para el diseño
Introducción a la teoría de la simetría
Felipe Monroy Pérez
División de Ciencias Básicas e Ingeniería
Departamento de Ciencias Básicas
México, 1989
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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PREFACIO
UN PROBLEMA CENTRAL
DISEÑO
HA
SIDO
EL
EN
DEFINIR
LA ENSEÑANZA UNIVERSITARIA DEL
LA
MATEMATICA
ADECUADA
QUE
EL
ESTUDIANTE Y FUTURO PROFESIONAL DEL DISEÑO DEBE TENER UN SU
CURRICULA,
ESTA
DISCUSION
ESTA
LEJOS
DE
RESOLVERSE,
ME
ATREVO A AFIRMAR QUE EN MUCHAS DE LAS ESCUELAS DE DISEÑO Y
ARQUITECTURA
AUN
NO
SE
HA
DETECTADO
CABALMENTE
ESTA
PROBLEMATICA.
LAS ACTUALES ESCUELAS DE DISEÑO TIENEN SU ORIGEN EN LAS
TRADICIONALES
ESCUELAS
DE
ARQUITECTOS-CONSTRUCTORES,
Y
LA
MAYORIA DE LOS RESPONSABLES DE LA DOCENCIA EN LOS TRONCOS
COMUNES HAN TENIDO SU FORMACION EN ESTAS ESCUELAS, ES COMUN
OIR COMENTARIOS COMO
'TIENE
QUE
SABER'
"
...EL DISEÑADOR (
CALCULAR
INTEGRALES,
LEASE
ARQ.-CONST.)
CENTROS
DE
MASA,
MAXIMOS Y MINIMOS, ETC".
LA ACTUAL REVOLUCION TECNOLOGICA EN
LA INFORMATICA Y LA
COMPUTACION OBLIGA A REPLANTEAR IDEAS Y A ROMPER INERCIAS,
PARA PROPORCIONAR LAS HERRAMIENTAS TEORICAS Y PRACTICAS QUE
LA EPOCA IMPONE.
ESTE
LIBRO
MATEMATICA
ES
PARTE
DE
UNA
PROPUESTA
GENERAL:
LA
PARA EL DISEÑO ES AQUELLA QUE PROPORCIONE LOS
FUNDAMENTOS TEORICOS PARA ARRIBAR AL USO DE LAS COMPUTADORAS
COMO INSTRUMENTO INSEPARABLE DEL DISEÑADOR COMO EN EL PASADO
LO FUE
EL
LAPIZ
LA
REGLA
Y
EL
COMPAS.
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EN
INCLUIR
LA
FORMACION
LOS
MATEMATICA
SIGUIENTES
TOPICOS:
DEL
DISEÑADOR
GEOMETRIA
SE
DEBIAN
ORNAMENTAL,
COMBINATORIA Y TEORIA DE GRAFICAS, CALCULO APLICADO EN UNA Y
DOS VARIABLES; ESTOS TEMAS DEBIAN APOYARSE FUERTEMENTE CON
UN SOFWARE DISEÑADO AD HOC.
EN
HABLA HISPANA,
EXISTE UNA ESCASA LITERATURA EN
LA
DIRECCION DE ESTA PROPUESTA , SOBRESALE EL MAGNIFICO TEXTO
DE ALSINA-TRILLAS [ 4 ] , AUNQUE UNA PRIMERA LECTURA DE ESTE
LIBRO PODRIA RESULTAR DIFICIL.
ESTE LIBRO SE COMPONE DE TRES CAPITULOS, DESARROLLADOS EN
FORMA CONSTRUCTIVA, ES DECIR, LA COMPRENSION DE UN CAPITULO
DEPENDE DEL CONOCIMIENTO DEL PRECEDENTE.
SE HAN SELECIONADO
UNA BUENA CANTIDAD DE EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE APLICACION; EL
MATERIAL SE PUEDE CUBRIR EN UN CURSO REGULAR DE
'MÉTODOS
MATEMATICOS PARA EL DISEÑO .
MUCHAS PERSONAS AYUDARON A REALIZAR ESTE TRABAJO, QUIERO
AGRADECER
PARTICULARMENTE
DEPARTAMENTO DE
TECNICAS
AL
Y
PROF.
PROCESOS
GERMAN
ALDAY
DE REALIZACION DE
DEL
LA
DIVISION DE CYAD POR SU PACIENCIA PARA CONOCER LOS SECRETOS
DE LA L-PLUS-0, Y SUS COMPATIBILIDADES; A LA PROFA. MARISELA
GUZMAN GOMEZ DEL DPTO. DE CIENCIAS BASICAS DE LA DIVISION DE
CBI POR SUS VALIOSAS SUGERENCIAS Y SU DESINTERESADA AYUDA ; Y
A LA SRA. NORMA
CABALLERO POR SU ESMERADO TRABAJO, MUCHO DE
ESTO NO HUBIRA SIDO POSIBLE SIN SU AYUDA.
FELIPE
MONROY
PEREZ
DPTO. CIENCIAS BASICAS
UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA.
AZCAPOTZALCO
1989
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CONTENIDO
GRUPOS Y MATRICES
1.1 GRUPOS
II.
7
1.2 ACCIÓN DE UN GRUPO
16
1.3 EJERCICIOS
21
1.4 TRANSFORMACIONES LINEALES
22
1.5 MATRICES Y DETERMINANTES
26
1.6 EJERCICIOS
31
ISOMETRIAS
2.1 EL GRUPO LINEAL
33
2.2 EL GRUPO ORTOGONAL
43
2.2.1 ROTACIONES EN PLANO
44
2.2.2 ROTACIONES EN EL ESPACIO
45
2.2.3 REFLEXIONES
48
2.2.3 REFLEXIONES EN EL PLANO
49
2.2.4 REFLEXIONES EN EL ESPACIO
52
2.3 TRANSLACIONES
53
2.4 EL GRUPO ISO(F)
56
2.5 EJERCICIOS
63
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III.
TEORÍA DE LA SIMETRÍA
3.1 INTRODUCCIÓN
65
3.2 EL GRUPO SIM(F)
67
3.3 GRUPOS DIHEDRICOS Y CÍCLICOS
69
3.4 EL TEOREMA DE LEONARDO
74
3.5 EJERCICIOS
77
3.6 ISOMETRIAS QUE FIJAN RECTAS
79
3.7 GRUPOS DE FRISOS
84
3.8 EJERCICIOS
93
3.9 GRUPOS DE TAPICES
96
3.9.1 LA RESTRICCIÓN CRISTALOGRÁFICA
99
3.9.2 LOS CINCO GRUPOS FUNDAMENTALES
103
3.9.3 LAS AMPLIACIONES
106
3.9.4 EL TEOREMA DE FEDOROV
109
3.10 EJERCICIOS
112
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I. GRUPOS Y MATRICES
1.1 GRUPOS
SIMETRÍA Y GRUPOS SON CONCEPTOS INTRÍNSECAMENTE RELACIONADOS
LOS GRUPOS SON LA HERRAMIENTA PARA 'MEDIR' LA SIMETRÍA DE
OBJETOS Y FENÓMENOS NATURALES. HERMANN WEYL ( 1885-1955 ) EN
SU LIBRO
SIMETRÍA
DEFINE LA TEORÍA DE LA SIMETRÍA COMO EL
ESTUDIO DE UNA GEOMETRÍA DETERMINADA POR LA ACCIÓN DE CIERTOS
GRUPOS , LA NOCIÓN DE QUE UNA GEOMETRÍA ES DEFINIDA POR MEDIO
DE GRUPOS DE TRANSFORMACIONES FUE DESARROLLADA POR FÉLIX KLEIN
( 1849-1925 ) EN SU CELEBRE DISCURSO CONOCIDO COMO EL PROGRAMA
DE ERLANGEN
; Y POR SOPHUS LIE ( 1842-1899 ) EN SUS TRABAJOS
SOBRE GRUPOS DE TRANSFORMACIONES . DESDE LA MITAD DEL SIGLO
PASADO EL ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA Y EN PARTICULAR DE LA SIMETRÍA
POR MEDIO DE LOS GRUPOS HA SIDO LA LINEA QUE HA REGIDO EL
PENSAMIENTO DE LA MAYORÍA DE LOS MATEMÁTICOS , SIN EMBARGO , EL
CONCEPTO DE G R U P O FUE DESARROLLADO DESDE EL SIGLO XVII
DESTACÁNDOSE EL TRABAJO DEL MATEMÁTICO FRANCÉS EVARISTE GALOIS
QUIEN MURIÓ TRÁGICAMENTE EN UN DUELO DE HONOR.
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SIN PRETENDER ENUNCIAR FORMALMENTE LAS DEFINICIONES VAMOS A
ESTUDIAR EN ESTE APARTADO DOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES QUE SON EL
HILO CONDUCTOR EN EL ESTUDIO DE LA SIMETRÍA.
GRUPO
ACCIÓN DE UN GRUPO EN EL ESPACIO
LLAMAREMOS ESPACIO
SEA EL CASO
AL
TRIDIMENSIONAL O BIDIMENSIONAL SEGÚN
; MAS TARDE PRECISAREMOS ESTE CONCEPTO DE
DIMENSIÓN .
UN GRUPO ES UN CONJUNTO NO-VACIO DE ELEMENTOS PARA LOS CUALES
ESTA DETERMINADA UNA L E Y DE COMPOSICIÓN INTERNA , ES DECIR UNA
REGLA QUE PERMITE CALCULAR PRODUCTOS ENTRE SUS ELEMENTOS.
DESARROLLAREMOS UN EJEMPLO PARA ILUSTRAR EL CONCEPTO DE
ESTRUCTURA DE GRUPO.
TOMEMOS TRES BOLAS NUMERADAS Y TRES CASILLAS TAMBIÉN
NUMERADAS Y LA PREGUNTA "DE CUANTAS FORMAS SE PUEDEN ACOMODAR
LAS BOLAS E N L A S CASILLAS";
CUANTAS COMBINACIONES SON POSIBLES
COMO ES USUAL EN MATEMÁTICAS REQUERIMOS DE UNA NOTACIÓN
ADECUADA PARA ESTUDIAR EL PROBLEMA, EN ESTE CASO ES CONVENIENTE
DESCRIBIR LOS ARREGLOS POR MEDIO DE PERMUTACIONES , ARREGLOS
RECTANGULARES COMO:
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DONDE LOS NÚMEROS DE ARRiBA REPRESENTAN LOS DE LA CASILLA Y
LOS DE ABAJO LOS DE LAS BOLAS, POR EJEMPLO:
1
2
3
2
3
1
REPRESENTA EL ARREGLO QUE SE ILUSTRA:
FIGURA 1. 1
ES DECIR EN LA CASILLA 1 ESTA LA BOLA 2 , EN LA CASILLA 2 ESTA
LA BOLA 3 Y FINALMENTE EN LA CASILLA 3 ESTA LA BOLA 1.TENEMOS
SEIS ARREGLOS POSIBLES QUE DENOTAREMOS CON LETRAS GRIEGAS :
1
2
31
e =
1 2
3"
a =
1
2
3
2
3
1
1
2
31
1
2
31
3
1
2
1
3
2
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1
CONSIDERANDO ESTOS OBJETOS COMO LOS ELEMENTOS DE NUESTRO
CONJUNTO , DEFINIMOS AHORA UNA OPERACIÓN ENTRE ELLOS .
EL PRODUCTO DE DOS PERMUTACIONES ES LA PERMUTACIÓN QUE SE
OBTIENE AL REARREGLAR LAS BOLAS DE DERECHA A IZQUIERDA CON LA
CONVENCIÓN DE QUE UNA VEZ QUE UNA BOLA ES ACOMODADA EN UNA
CASILLA LA RENUMERA .
EJEMPLO :
EL PRODUCTO
• t = «
FIGURA
SE VE COMO
1.2
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DEBE OBSERVARSE QUE AL CAMBIAR EL ORDEN DE LAS PERMUTACIONES
NO SE OBTIENE SIEMPRE EL MISMO RESULTADO , COMO PUEDE VERSE AL
CALCULAR EL PRODUCTO . r • C .
2
(n
3
iñ
FIGURA 1.3
ES DECIR:
1
2
31
1
2
1
3
1 3
1
2
31
1
1
3
2
2
31
1
2
31
2
2
3
1
2
31
1
2
3"|
1
3
3
1
2
2
PERO:
ESTE EJEMPLO MUESTRA QUE UNA OPERACIÓN DEFINIDA EN UN CONJUNTO
PUEDE SER NO CONMUTATIVA ; UNA OPERACIÓN DEFINIDA ES CONMUTATIVA
. SI EL ORDEN DE LOS FACTORES NO ALTERA EL PRODUCTO.
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DOS REQUISITOS DEBEN CUMPLIRSE PARA TENER UN GRUPO. A SABER:
> UN CONJUNTO SUBYACENTE NO~VACIO
> UNA OPERACIÓN ENTRE SUS ELEMENTOS
TENEMOS ENTONCES UN CONJUNTO: < e, a, ^,
*,
5, o
Y
UNA OPERACIÓN DEFINIDA PARA ELLOS ; EN ESTE CASO COMO HAY SOLO
UN NUMERO FINITO DE ELEMENTOS PODEMOS CALCULAR LA TOTALIDAD DE
LOS PRODUCTOS Y ESCRIBIRLOS EN UN ARREGLO QUE SE DENOMINA TABLA
DE CAYLEY PARA GRUPOS FINITOS
.
ESTA TABLA SE FORMA DE LA
SIGUIENTE MANERA : SE COLOCAN LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO EN UN
RENGLÓN Y EN UNA COLUMNA Y LOS PRODUCTOS SE CALCULAN EN LAS
INTERSECCIONES QUE SE OBTIENEN TRAZANDO PARALELAS . A LA MANERA
DE LA TABLA DE PITAGORAS
e
a
y
8
€
e
a
y
8
i
a
a
i
y
8
8
1
y
a
®
/}
€
€
V
V
S
1
€
s
s
i
y
A
i
í
Y
8
a
€
a
€
TABLA 1 . 1
12
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SE DEBE OBSERVAR QUE NUNCA HAY REPETICIÓN DE ELEMENTOS . TANTO
EN LOS RENGLONES COMO EN LAS COLUMNAS , POR LO QUE , CADA
ELEMENTO APARECE UNA Y SOLAMENTE UNA VEZ EN CADA RENGLÓN Y
COLUMNA.
UNA VEZ QUE SE HA DEFINIDO LA OPERACIÓN EL CONJUNTO ADQUIERE
UNA ESTRUCTURA . EL LECTOR PUEDE PENSAR EN EL SIGUIENTE EJEMPLO
BURDO PERO ILUSTRATIVO: UN EDIFICIO NO ES CIERTA CANTIDAD DE
ARENA. GRAVA. CEMENTO Y VARILLA , SI NO ESTOS MATERIALES
ORGANIZADOS EN UNA ESTRUCTURA PREVIAMENTE DISECADA.
CON LA OPERACIÓN DEFINIDA TENEMOS DOS ELEMENTOS DISTINGUIDOS .
EL
ELEMENTO
NEUTRO
DE
LA
OPERACIÓN
.
Y
EL
INVERSO
DE
CADA
ELEMENTO.
DADA UNA OPERACIÓN EN UN CONJUNTO , UN ELEMENTO e SE LLAMA
ELEMENTO NEUTRO PARA LA OPERACIÓN
e ° a
=
SI CUMPLE :
a ° e = a
V a
EN NUESTRO EJEMPLO EL ELEMENTO e FUNCIONA COMO ELEMENTO
NEUTRO DE LA OPERACIÓN DADA POR LA TABLA.
EL INVERSO DE
DADA
UN
ELEMENTO
a
CON RESPECTO A UNA OPERACIÓN
ES OTRO ELEMENTO DEL CONJUNTO DENOTADO a" 1 (
o
- a SEGÚN
SEA EL CASO ) QUE CUMPLE:
a • a
-1
=a
-1
• a = e
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PARA NUESTRO EJEMPLO SE TIENE:
-1
0-1-.
ry
22
5
= 5
UNA OPERACIÓN SE DICE QUE ES ASOCIATIVA SI CUMPLE
a » ( b « c )
= ( a » b ) « c
V a
,
b
,
c
UN GRUPO ES UN CONJUNTO CON UNA OPERACIÓN QUE CUMPLE :
*
EL PRODUCTO DE DOS ELEMENTOS ESTA EN EL CONJUNTO
> EXISTE UN ELEMENTO NEUTRO
> TODO ELEMENTO TIENE INVERSO
> LA OPERACIÓN ES ASOCIATIVA
SI EL LECTOR VERIFICA QUE LA OPERACIÓN DEFINIDA EN NUESTRO
CONJUNTO ES ASOCIATIVA . TENEMOS AQUÍ EL PRIMER EJEMPLO DE GRUPO.
INTUITIVAMENTE PODEMOS DECIR QUE UN GRUPO ES UN CONJUNTO CON
ESTRUCTURA INTERNA
DADA POR UNA OPERACIÓN .EL GRUPO DE LAS
PERMUTACIONES QUE HEMOS DESCRITO HASTA AHORA RECIBE EL NOMBRE DE
GRUPO SIMÉTRICO DE ORDEN TRES
Y SE SIMBOLIZA COMO S 3 .
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UNA CARACTERÍSTICA DE ESTE GRUPO ES QUE PUEDE SER DESCRITO POR
MENOS ELEMENTOS NOTEMOS QUE:
-1
Y ADEMAS
a
POR LO QUE DENOTANDO a • a = a 2
a.
a2.
7
SE TIENE ENTONCES QUE
c,
Y SUS PRODUCTOS DETERMINAN TODO EL CONJUNTO , O
SEA . EL CONJUNTO DE PERMUTACIONES SE PUEDE ESCRIBIR TAMBIÉN
COMO:
S3
=
{
G
,
a ,
a
,
y,
a - y
, •a • y
}
DE ESTA MANERA LA TABLA QUEDA COMO:
£
a
a-1
Y
£
£
a
a"
Y
a'JY
aY
a
a
a'é
€
aY
V
a-'Y
£
a
amiy
aY
Y
aY
e
a
a-1
a*
F
a?
V
ay
ce1 Y
a'*Y
aY
aY
Y
a-'
€
a
Y
a'Jy
a
a-1
c
TABLA 1.2
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EN UN GRUPO SIEMPRE SE CUMPLEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:
( a « b )"
= b"
• a"
( a"1 r 1 = a
V
a,b
Va
QUE LLAMAREMOS LAS LEYES DE LOS SIGNOS.
1.2 A C C I Ó N D E U N G R U P O
DADO UN GRUPO NOS INTERESA CONOCER SU ACCIÓN EN EL ESPACIO
TRIDIMENSIONAL O BIDIMENSIONAL SEGÚN SEA EL CASO , PODEMOS PENSAR
QUE UNA VEZ QUE EL GRUPO ACTÚA EN EL ESPACIO SE TIENE GEOMETRÍA
EN EL SIGUIENTE EJEMPLO VEREMOS LA ACCIÓN DEL GRUPO SIMÉTRICO
EN EL PLANO CONSIDEREMOS UN TRIANGULO EQUILÁTERO CON CENTRO EN
EL ORIGEN DE COORDENADAS DEL PLANO SUPONGAMOS QUE UNO DE LOS
VÉRTICES SE ENCUENTRA SOBRE EL EJE VERTICAL Y QUE SE TIENE UNA
NUMERACIÓN EN SENTIDO ANTIHORARIO DE CADA UNO DE LOS VÉRTICES .
h
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CADA ELEMENTO DEL GRUPO S 3 PRODUCE UN MOVIMIENTO GEOMÉTRICO .A
SABER :
a
a ROTACIÓN DE 120»
0
s ROTACIÓN DE 240»
7
3 L -REFLEXIÓN
6
s
IRREFLEXIÓN
J;
m
L3-REFLEXI0N
e
a
ROTACIÓN DE O»; o 3 6 0 .
Y LA ESTRUCTURA ESTUDIADA PARA S 3 PRODUCE UNA GEOMETRÍA:
a
a'1
! (**Y
!
a1)'
aY
aY
Y
a'* Y
a
a'V
aY
Y
aY
€
a
a'1
e
a
a'1
ar1
e
€
Y
/Á/ i
Y
a
aY
Y
Y
a'ly
i
! aY
!
a
e
TABLA 1.3
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AMPLIANDO DE MANERA NATURAL A TODO EL PLANO LA ACCIÓN DEL
GRUPO ,
PODEMOS DECIR ENTONCES
QUE LA ACCIÓN DEL GRUPO
SIMÉTRICO DE ORDEN 3 PRODUCE LA SIGUIENTE GEOMETRÍA:
>
EL
CONJUNTO
DE
MOVIMIENTOS
RÍGIDOS
DE
UN
TRIANGULO
EQUILÁTERO FORMAN UN GRUPO.
LAS ROTACIONES EN MÚLTIPLOS DE 1 2 0 °
2 n
] FORMAN A SU VEZ
UN GRUPO.C ZONA 1 )
* EL PRODUCTO DE DOS REFLEXIONES ES UNA ROTACIÓN ( ZONA 4
)
> UNA ROTACIÓN POR UNA REFLEXIÓN ES UNA REFLEXIÓN ( ZONAS 2 , 3 )
ESTA DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DE S 3 ES UNA REPRESENTACIÓN DEL
GRUPO.
FIGURA
1.5
UN GRUPO ES UN OBJETO ABSTRACTO
LA ACCIÓN DE UN GRUPO PRODUCE GEOMETRÍA
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UN SUBGRUPO ES UN SUBCONJUNTO DEL GRUPO
QUE CON LA MISMA OPERACIÓN ES UN GRUPO
LAS ROTACIONES EN MÚLTIPLO DE n/3 FORMAN UN SUBGRUPO DE S 3
CON CARACTERÍSTICAS PARTICULARES, SE TIENE QUE
INVERSO , ENTONCES SI ESCRIBIMOS
, 0
{a
e = a°
1
,
a
2
,
a
«
ES SU PROPIO
EL SUBGRUPO ES :
.
>
ESTE ES UN EJEMPLO DE LO QUE SE-LLAMA U N GRUPO CÍCLICO , ES
DECIR ,
UN GRUPO CUYOS ELEMENTOS SON LAS POTENCIAS DE UN
ELEMENTO DISTINGUIDO . O BIEN LOS MÚLTIPLOS SI LA OPERACIÓN EN
EL GRUPO SE DENOTA ADITIVAMENTE . ESTE ELEMENTO SE LLAMA EL
GENERADOR DEL GRUPO.
LOS GRUPOS CÍCLICOS FINITOS NOS AYUDARAN
AL ANÁLISIS DE LA SIMETRÍA DE CIERTAS FIGURAS PLANAS.
VEAMOS OTRO EJEMPLO DE GRUPO CÍCLICO. TOMEMOS EL CONJUNTO DE
LOS NÚMEROS
{1, 2 , 3, 4 , 5 >
Y DEFINAMOS LA OPERACIÓN COMO
UNA SUMA QUE SE CALCULA SIGUIENDO LAS MANECILLAS DEL RELOJ EN EL
SIGUIENTE ARREGLO PENTAGONAL:
FIGURA
1.6.
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SE TIENE ASI LA SIGUIENTE TABLA:
+
i
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1.4
AQUÍ 5 ES EL ELEMENTO NEUTRO . Y EL GRUPO ES CÍCLICO
UNA
GENERADO POR EL ELEMENTO 1 Y SUS MÚLTIPLOS.
REPRESENTACIÓN DE ESTE GRUPO SE OBTIENE CUANDO ESTE ACTÚA EN EL
211
PLANO POR MEDIO DE ROTACIONES DE
ESTE CASO EL
PRODUCTO SE INTERPRETA COMO UNA ROTACIÓN EN UN ÁNGULO QUE ES LA
SUMA DE LOS ÁNGULOS CORRESPONDIENTES A CADA FACTOR
PENSAMOS
AHORA EN LOS MOVIMIENTOS RÍGIDOS DE UN PENTÁGONO REGULAR QUE
TIENE UN VÉRTICE SOBRE EL EJE HORIZONTAL
.72°
FIGURA
2.7
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1.3 EJERCICIOS
1 . CALCULAR LA TABLA DE CAYLEY PARA PERMUTACIONES DE CUATRO
ELEMENTOS
Y
ANALIZAR
SU PRESENTACIÓN
GEOMÉTRICA
EN
LOS
MOVIMIENTOS RÍGIDOS DE UN CUADRADO .
2.
DEMUESTRE LAS LEYES DE LOS SIGNOS.
3 . CUALES DE LOS SIGUIENTES CONJUNTOS FORMAN UN GRUPO Y BAJO
QUE ESTRUCTURA :
IR
4.
Z
(N
Q
PROPORCIONE UNA ESTRUCTURA DE GRUPO AL CONJUNTO DE LAS
VOCALES
5 . ESTUDIE LA ESTRUCTURA DE GRUPO DE LAS MOVIMIENTOS RÍGIDOS
DE LAS SIGUIENTES LETRAS ESCRITAS EN TIPOGRAFÍA STANDAR.
A
6.
ESTUDIE
B
LA ESTRUCTURA
0
DE . LA
P
Q
M
" ARITMÉTICA BINARIA"
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1.4 TRANSFORMACIONES LINEALES
LAS TRANSFORMACIONES LINEALES SON HERRAMIENTA IMPRESCINDIBLE
PARA EL ESTUDIO DE LAS SIMETRÍAS DE FIGURAS EN EL PLANO Y EN EL
ESPACIO Y CONSTITUYEN EL OBJETO DE ESTUDIO DE LA LLAMADA ALGEBRA
LINEAL
, ENUNCIAREMOS EN ESTE APARTADO EN FORMA SUCINTA ALGUNOS
RESULTADOS ELEMENTALES PARA
R2 & R3 QUE TIENEN IMPLICACIONES
GEOMÉTRICAS , EL LECTOR HARÍA
BIEN EN DESARROLLAR ALGUNOS
EJEMPLOS NUMÉRICOS PARA CADA UNA DE LAS DEFINICIONES.
IDENTIFICAREMOS INDISTINTAMENTE
COMO PUNTOS o VECTORES A
LOS ELEMENTOS DEL PLANO O DEL ESPACIO ; FORMALMENTE SON DADOS POR
MEDIO DE PARES O TERCIAS ORDENADAS DE NÚMEROS REALES LLAMADAS
COORDENADAS
, USAREMOS LETRAS MAYÚSCULAS PARA DENOTARLOS; A LOS
NÚMEROS REALES LES LLAMAREMOS ESCALARES Y LOS DENOTAREMOS CON
LETRAS GRIEGAS.
FIGURA
1.8
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PARA GANAR UN POCO DE CLARIDAD EN EL CONCEPTO DE UNEALIDAD
CONVENIMOS EN LLAMAR LINEA A UNA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN ,
ES DECIR . UNA RECTA DE LA FORMA : AXQ
C O N A e R & X UN
VECTOR FIJO , LLAMADO VECTOR DIRECTOR DE LA RECTA .
UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL TRANSFORMA
LINEAS EN LINEAS
FORMALMENTE T : R3
v
> R3 ES LINEAL SI CUMPLE:
a , b ESCALARES &
.X , Y VECTORES .
CLARAMENTE LA FUNCIÓN IDÉNTICAMENTE CERO ES LINEAL, POR LO QUE
LA DEFINICIÓN INTUITIVA DEL RECUADRO ANTERIOR SE COMPLEMENTA
DICIENDO QUE UNA TRANSFORMACIÓN ES LINEAL, SI TRANSFORMA LINEAS
EN LINEAS O EN PUNTOS EN EL CASO DE T • 0 .
FIJANDO LOS
VECTORES X & Y DE LA DEFINICIÓN ANTERIOR OBTENEMOS QUE U N A
TRANSFORMACIÓN LINEAL TRANSFORMA PLANOS EN PLANOS.
DAMOS AHORA LA DEFINICIÓN DE BASE:
UNA BASE PARA
^
( R 2 ) SON TRES ( DOS ) VECTORES
NO COPLANARES
( NO COLINEALES ) .
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FORMALMENTE EL NUMERO DE ELEMENTOS DE UNA BASE DETERMINA LA
DIMENSIÓN
DEL ESPACIO . ASI PODEMOS DECIR QUE R3, TIENE DIMENSIÓN
TRES.
LA BASE
CANÓNICA
PARA R3 SON LOS VECTORES:
¿ = ( 1 , O , O )
, ¿ = ( 0 , 1 , 0 )
DE LA MISMA FORMA LA BASE
CANÓNICA
( 1 . 0 )
%- ( O , O , 1 )
PARA EL PLANO ES :
( 0 , 1 )
DADA UNA BASE PARA EL ESPACIO. TODO VECTOR SE ESCRIBE COMO
COMBINACIÓN LINEAL DE LOS ELEMENTOS DE LA BASE :
( X ,
Y,
Z ) = X ¿
+ Y¿
+
Z&
POR EJEMPLO:
( 2. , -1 , -5 ) = 2 I - % -5 k
Y LOS NÚMEROS
x,Y ,z
SE LLAMAN LAS
COORDENADAS DEL
VECTOR CON RESPECTO A LA BASE .
DADOS DOS VECTORES X - ( Xi , Yi , 2i ) Y - ( Xa , Ya . Zz )
EL NUMERO :
X'Y
SE LLAMA
= Xi X2 + Yi Y2 + Zi Z2
EL PRODUCTO INTERNO .
PARA EL VECTOR X - ( x . Y , z ). EL NUMERO:
¡ xi =
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/
«...
p
/X2 +
p
Y2 +
p
Z2
SE LE LLAMA L A NORMA DE VECTOR .
ESTOS; DOS NÚMEROS NOS SIRVEN PARA ESTUDIAR LA GEOMETRÍA DE
LOS VECTORES Y LAS TRANSFORMACIONES LINEALES .
DADOS DOS VECTORES X Y DIFERENTES DE CERO LA SOLUCIÓN * DE
LA ECUACIÓN .
X-Y = 1 X ¡ ¡ Y ¡ eos *
TOMADA EN EL INTERVALO
LOS VECTORES
X & Y SE DENOTA
CLARAMENTE SI
ES
[ o , 2 * ] . SE LLAMA
<XY.
X - Y = O . SIN SER AMBOS NULOS . LA SOLUCIÓN
• « TT/2 , EN ESTE CASO DECIMOS QUE LOS
OCTOGONALES
ESCRIBIENDO ESTO COMO
PERPENDICULARES
EL ÁNGULO ENTRE
VECTORES SON
X ± Y , DOS LINEAS SON
SI SUS VECTORES DIRECTORES SON ORTOGONALES .
UNA BASE DEL ESPACIO SE LLAMA BASE ORTOGONAL SI LOS VECTORES
QUE LA COMPONEN SON ORTOGONALES DOS A DOS. SE LLAMA ORTONORMAL SI
ADEMAS DE SER ORTOGONAL CADA VECTOR DE LA BASE TIENE NORMA 1
CLARAMENTE LA BASE CANÓNICA ES UNA BASE ORTONORMAL DEL ESPACIO.
EJEMPLO :
LOS VECTORES
X = ( l/v/3 , 1/1/3 , 1A/3 )
Y = ( 1/V2 , o , -1/1/2 )
Z = ( -1/V6 , 2/1/6,-1/1/6 )
FORMAN UNA BASE ORTONORMAL PARA R3
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UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL SE CONOCE
CUANDO SE CONOCE SU EFECTO EN LOS VECTORES DE UNA BASE
TOMANDO LABASE CANÓNICA PARA EL ESPACIO ESTO ES CLARO , PUES
TODO VECTOR SE ESCRIBE COMO :
( X , Y ,
Z ) = X ¿ + Y ¿ + Z &
Y POR LO LINEALIDAD SE TIENE :
T ( x , Y , z.)
» x T í +Y T h
z T fe
POR LO QUE BASTA CONOCER LA IMAGEN DE LOS VECTORES DE LA
BASE.
1.5 MATRICES Y DETERMINANTES
CONSIDEREMOS UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL DEFINIDA EN LOS
ELEMENTOS DE LA BASE CANÓNICA, COMO SE ESCRIBIÓ EN EL PÁRRAFO
ANTERIOR:
T ( X , Y , Z . )
COLOCANDO LOS VECTORES
= X T ¿ + Y T ¿ + Z T *
. ENTONCES
T I , T i . T k , COMO COLUMNAS DE
UN ARREGLO RECTANGULAR . OBTENEMOS LO QUE SE LLAMA L A M A T R I Z D E
LA TRANSFORMACIÓN LINEAL CON RESPECTO A LA BASE CANÓNICA.
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SE PUEDE PROBAR QUE LAS PROPIEDADES DE ESTA MATRIZ NO
DEPENDEN DE LA BASE ELEGIDA . O SEA . SIEMPRE ES POSIBLE HACER UN
CAMBIO DE BASE
QUE PRESERVA LAS PROPIEDADES DE LA MATRIZ .
EJEMPLO.
LA MATRIZ DE LA TRANSFORMACIÓN:
T(X,Y,Z) =
( X , X - Y , Z - X )
SE OBTIENE COLOCANDO COMO COLUMNAS LOS VECTORES:
T(o,i,o)=(o.-i.o)
T(o,o.i)=(o,o,i)
ES DECIR:
1
O
O
1
-1
O
-1
O
1
DE ESTA FORMA TENEMOS ESTABLECIDA UNA CORRESPONDENCIA QUE A
CADA TRANSFORMACIÓN LINEAL LE ASOCIA UNA MATRIZ. SE TIENE TAMBIÉN
LA RELACIÓN INVERSA QUE A CADA MATRIZ LE ASOCIA UNA
TRANSFORMACIÓN LINEAL, CABE INSISTIR QUE ESTA CORRESPONDENCIA NO
DEPENDE DE LA BASE ELEGIDA.
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PARA DEFINIR ESTA CORRESPONDENCIA NECESITAMOS LO QUE SE LLAMA
LA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ. ESTA SE OBTIENE COMO SU NOMBRE LO
INDICA "TRANSPONIENDO" RENGLONES Y COLUMNAS. LA TRANSPUESTA DE LA
MATRIZ A SE DENOTA COMO A \
DADA UNA MATRIZ LA TRANSFORMACIÓN LINEAL ASOCIADA SE ENCUENTRA
MULTIPLICADO UN VECTOR ( x , Y , z ) TRANSPUESTO , POR LA MATRIZ
Y LEYENDO EL RESULTANDO TRANSPUESTO.
EJEMPLO:
1
0
1
-1
0
Y
0
1
z
-1
0"
• x "
=
X
X- Y
z
- X
QUE COINCIDE CON EL EJEMPLO DE ARRIBA.
EN CONCLUSIÓN:
CADA TRANSFORMACIÓN LINEAL TIENE ASOCIADA UNA MATRIZ
TODA MATRIZ DETERMINA UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
POR OTRA PARTE EXISTE UN NÚMERO ASOCIADO A CADA MATRIZ
CUADRADA QUE PROPORCIONA INFORMACIÓN SOBRE LA GEOMETRÍA DE LA
TRANSFORMACIÓN , ESTE NUMERO ES LLAMADO EL DETERMINANTE DE L A
MATRIZ
, UNA FORMA FÁCIL DE CALCULARLO ES POR EL MÉTODO DE
MENORES
, QUE CONSISTE EN SIGNAR CADA ENTRADA DE ACUERDO A UN
ARREGLO SIMILAR AL "TABLERO DE AJEDREZ " ; ELEGIR UN RENGLÓN O
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COLUMNA DE LA MATRIZ Y LUEGO REDUCIR EL ORDEN DE LA MATRIZ EN
CADA UNA DE LAS ENTRADAS SUPRIMIENDO EL RENGLÓN Y LA COLUMNA A LA
QUE PERTENECEN. ITERANDO ESTE PROCESO HASTA OBTENER UNA MATRIZ DE
ORDEN 1x1 CUYO DETERMINANTE POR DEFINICIÓN SERA EL VALOR DE LA
ENTRADA .
EJEMPLO:
DET
2
-1
O
O
2
1
O
O
=
( =
(ELIGIENDO LA 3 a .
O
COLUMNA)
-1
21
+0 DET
- 1 DET
01
|1
O
+ O DET
21
= -1
DISTINGUIREMOS DOS TIPOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES
SEGÚN SEA EL DETERMINANTE DE SU MATRIZ.
A ES SINGULAR SI
A ES
N O SINGULAR
DET (A) = O
SI DET (A) 4 O
EL DETERMINANTE MIDE LA FORMA COMO CAMBIA EL ÁREA O EL VOLUMEN
DE FIGURAS PLANAS O SOLIDOS.
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POR EJEMPLO . TOMEMOS LA TRANSFORMACIÓN:
T ( x , Y) = ( 2X + Y , Y )
T DEFORMA UN CUADRADO DE ÁREA 1 EN UN PARALELOGRAMO DE ÁREA 2
LO CUAL ERA DE ESPERARSE PUES LA MATRIZ DE T TIENE DETERMINANTE 2
NOS INTERESAN LASTRANSFORMACIONES LINEALES QUE TIENEN MATRIZ
NO SINGULAR PUES TRANSFORMAN VOLÚMENES EN VOLÚMENES Y ÁREAS EN
ÁREAS DEFORMAN SIN APLASTAR, ES DECIR , N O COLAPSAN FIGURAS.
A MANERA DE RESUMEN SE TIENE QUE UNA TRANSFORMACIÓN
NO-SINGULAR:
TRANSFORMA:
LINEAS EN LINEAS Y SOLO EN LINEAS
PLANOS EN PLANOS Y SOLO EN PLANOS
EL ORIGEN EN EL ORIGEN EN FORMA ÚNICA
OBSERVACIÓN IMPORTANTE
HEMOS LIMITADO NUESTRA DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL
TOMANDO COMO DOMINIO Y CONTRADOMINIO AL MISMO ESPACIO Y DE ESTA
FORMA OBTUVIMOS MATRICES CUADRADAS,SIN EMBARGO, LA DEFINICIÓN
PUEDE DARSE PARA ESPACIOS DE DIMENSIONES DISTINTAS OBTENIENDO
MATRICES RECTANGULARES.
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1.6 EJERCICIOS
1. LOCALIZAR LOS SIGUIENTES PUNTOS:
(-1,2,0)
( 6 . 7 )
(7,0,-3)
(-4.3)
(-3,2.6)
( 1 , 9 )
( 4 , 4 , 3 )
( 0 , - 1 , 0 )
2.
( -3 ,-3)
( 0 , 0 )
DIBUJAR LAS SIGUIENTES LINEAS:
( 1, 2 )
A ( 4 .-3 )
x (-1 , 0 )
A
3.
DETERMINAR
POR
MEOIO
DE
LA
DEFINICIÓN
CUALES
DE
LAS
SIGUIENTES TRANSFORMACIONES SON LINEALES.
T ( X , Y , Z )
= ( X
2
, X
+
Y , Z )
T( X , Y , Z ) = ( X ,-Z . 0 )
T( X , Y , Z ) = ( X2+ Y » Z 2 + X
, Y )
T( X , Y , Z ) * ( -X , "Y , ~Z )
T( x ,
Y
, z ) = ( 2x , -3z , x +
Y
)
T( X , Y , Z ) = ( X . Y , Z )
4 .PARA LAS TRANSFORMACIONES LINEALES DEL EJERCICIO ANTERIOR
ENCUENTRE LA MATRIZ CON RESPECTO A LA BASE CANÓNICA.
5
.ESCRIBA
TRES
BASES
DISTINTAS
DE
LA
CANÓNICA
PARA
EL
ESPACIO DE TRES DIMESIONES.
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6.DAD A UNA
BASE
ARBITRARIA
DEL
ESPACIO, FORMAR
UNA
MATRIZ
TOMANDO COMO COLUMNAS LOS ELEMENTOS DE LA BASE:
O QUE PUEDE DECIR DEL DETERMINANTE.
O QUE PASA SI LA BASE ES ORTONORMAL.
7 . CONSIDERE TRES VECTORES X . Y , Z
, 7 . ESCRIBA ( E )
O
Y TRES ESCALARES <* ,
£
( V )SI LA EXPRESIÓN ES ESCALAR O
VECTOR
| X+ Y ¡ X
(
)
XY+ a
(
)
(
)
(
)
(( a X ) (P Y ))X .
.
...
.
.
( X + Y )Z
( a X + P Y+ r Z )
8. TOMANDO
X - ( 2. -3
. 6 )
(
)
Y - ( 0 , -1 . 5 )
Z - ( 9, -8 , 6 ) a = .25
P=8
y = 4
CALCULE LOS VECTORES O ESCALARES DEL EJERCICIO ANTERIOR
9
PARA LOS VECTORES DEL EJERCICIO ANTERIOR CALCULE
<XY
10
<XZ
CALCULE EL DETERMINANTE
<JYX
<YZ
DE LAS SIGUIENTES MATRICES:
-2
1
0
8
1
0
-2
-4
7
6
-1
9
8
1
0
1
0
0
2
7
9
56
-89
0
9
-1
0
67
798
0
89
456
0
0
0
1
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II. ISOMETRIAS
2.1 EL GRUPO LINEAL
CONSIDEREMOS UN OBJETO F c R3. MOVIÉNDOSE EN FORMA ARBITRARIA.
DOS TIPOS DE MOVIMIENTOS SON POSIBLES, LOS MOVIMIENTOS RÍGIDOS,
QUE NO DEFORMAN F; Y LOS MOVIMIENTOS TOPOLOGICOS QUE DEFORMAN A F
SIN LLEGAR A ROMPERLO, ESTIRÁNDOLO* COMPRIMIÉNDOLO, ETC. PODEMOS
PENSAR QUE LA CONSISTENCIA DEL OBJETO ES ELÁSTICA.
LIMITAREMOS NUESTRO ESTUDIO A LAS TRANSFORMACIONES RÍGIDAS,
LLAMADAS TAMBIÉN ISOMETRIAS, LA HERRAMIENTA INDICADA PARA TRATAR
ESTOS OBJETOS SON LAS MATRICES, LAS CUALES FORMAN UN GRUPO.
IDENTIFICAREMOS INDISTINTAMENTE TRANSFORMACIONES LINEALES Y
MATRICES, A LA TRANSFORMACIÓN IDÉNTICAMENTE CERO LE ASOCIAMOS LA
MATRIZ CON TODAS SUS ENTRADAS IGUALES A CERO, Y A LA
TRANSFORMACIÓN IDENTIDAD
T( X ) = X LE ASOCIAMOS LA MATRIZ
IDENTIDAD:
1
O
O
O
1
O
O
O
1
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TENEMOS ENTONCES LOS OBJETOS DE NUESTRO GRUPO DEFINIREMOS
AHORA LA OPERACIÓN, PARA TRANSFORMACIONES LINEALES TENEMOS LA
COMPOSICIÓN: POR COMPOSICIÓN ENTENDEMOS LA TRANSFORMACIÓN QUE SE
OBTIENE AL OPERAR UNA ENSEGUIDA DE LA OTRA.
EJEMPLO:
T ( X , Y , Z ) - ( 2 X - Y . Z , - Y )
S ( X . Y , 2 ) = ( - X , X + Y , Z )
PARA LA COMPOSICIÓN SE TIENE:
T • S ( X, Y , Z ) - < - 3X - Y . Z . -X -Y )
Y TAMBIÉN:
S " T ( X ,
Y , Z ) > ( -2X + Y , 2 X - Y + Z , - Y )
ES DECIR LA COMPOSICIÓN DE DOS TRANSFORMACIONES LINEALES ES
OTRA COMPOSICIÓN LINEAL . ESTE "PRODUCTO" NO ES CONMUTATIVO.
POR OTRO LADO PARA LAS MATRICES EL PRODUCTO SE DEFINE EN FORMA
UN POCO MAS COMPLICADA CONSIDEREMOS DOS MATRICES A & B DEL MISMO
ORDEN DIGAMOS 3X3,
SI X x , X 2 , X 3 SON LOS RENGLONES DE LA
MATRIZ A & Y , Y 2 Y 3 SON LAS COLUMNAS DE LA MATRIZ B ENTONCES SE
DEFINE EL PRODUCTO COMO LA MATRIZ:
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AB
[Y
1
Y
1
Y ]
2
3
XiYi
X1Y2
X1Y3
X2Y1
X2Y2
X2Y3
X3Y1
X3Y2
X3Y3
J
SE DEJA COMO EJERCICIO PARA EL LECTOR, VERIFICAR QUE LA
OPERACIÓN ASI DEFINIDA ES NO-CONMUTATIVA Y QUE
A =A
V
SE CUMPLE:
A NO-SINGULAR
ES DECIR, I ES EL ELEMENTO NEUTRO PARA ESTA OPERACIÓN. POR OTRA
PARTE LA OPERACIÓN ES COMPATIBLE CON LA CORRESPONDENCIA
ESTABLECIDA ENTRE TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES. POR
EJEMPLO TOMANDO LAS TRANSFORMACIONES DEL EJEMPLO ANTERIOR SE
TIENE:
-> A =
-> B =
T S
2
0
-1
0
0
1
0
-1
0
-1
0
0"
1
1
0
0
0
1
-3
-1
0
0
0
1
-1
-1
0
CLARAMENTE SE CUMPLE:
T •S
•» A
B
S • T
->B A
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EN CONCLUSIÓN:
LA MATRIZ DE LA COMPOSICIÓN ES EL PRODUCTO DE LAS
MATRICES RESPETANDO EL ORDEN
SI UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL T TIENE MATRIZ NO NINGULAR ( N O
COLAPSA)
ENTONCES TIENE INVERSA
ES DECIR . EXISTE UNA
TRANSFORMACIÓN LINEAL QUE DENOTAREMOS COMO T" 1 Y QUE CUMPLE:
T' 1 T (X) - X
v X
FIGURA 2 . 1 .
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PARA EL CASO DE LAS MATRICES, UNA VEZ QUE SE SABE QUE LA
MATRIZ A TIENE DETERMINANTE DIFERENTE DE CERO TAMBIÉN EXISTE LA
LLAMADA
MATRIZ INVERSA
DENOTADA A" 1 CUMPLIÉNDOSE:
A A"1 - A~XA
UN SENCILLO ALGORITMO PARA ENCONTRAR MATRICES INVERSAS CUANDO
ESTAS EXISTEN ES EL SIGUIENTE:
*
TÓMESE LA MATRIZ
COMO
A
Y
DE COFACTORES , QUE DENOTAMOS
QUE
SE CALCULA
ENTRADA DE LA MATRIZ
COMO
SIGUE:
CADA
SE SUSTITUYE POR EL VALOR
DEL MENOR QUE SE OBTIENE AL OMITIR EL RENGLÓN Y
LA COLUMNA A LA QUE PERTENECE.
> LA INVERSA ES:
A -i
A
1
=
r
Acof
[ A
,t
J
det A
EL DETERMINANTE TIENE LA SIGUIENTE PROPIEDAD MULTIPLICATIVA:
V
A , B NO SINGULARES SE CUMRLE:
det
( A B ) = ( det A ) ( det B )
EN OTRAS PALABRAS, EL PRODUCTO DE NO-SINGULARES ES NO-SINGULAR
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TENEMOS
ASI DEFINIDO UN CONJUNTO DE ELEMENTOS:' MATRICES
NO-SINGULARES» O TRANSFORMACIONES LINEALES QUE NO COLAPSAN, Y UNA
OPERACIÓN DEFINIDA, LA CUAL POR LA PROPIEDAD DEL RECUADRO
ANTERIOR ES CERRADA Y ADEMAS TIENE DOS ELEMENTOS DISTINGUIDOS, EL
NEUTRO I , Y EL INVERSO A"1 PARA CADA A , UNA VEZ QUE EL LECTOR
VERIFIQUE
PARA
MATRICES
3X3
QUE LA
OPERACIÓN
ES
ASOCIATIVA.TENEMOS UN GRUPO LLAMADO EL GRUPO LINEAL GENERAL DE
DIMENSIÓN TRES
COMO:
o DOS SEGÚN SEA EL CASO ESTE. GRUPO SE DENOTA
GL3( R ) o GL 2 ( R ) .
COMO EL EJEMPLO ANTERIOR LO MUESTRA ESTOS GRUPOS NO SON
CONMUTATIVOS.
LA TEORÍA DE LA SIMETRÍA ESTUDIA ALGUNOS SUBGRUPOS DE ESTE
GRUPO Y SU ACCIÓN EN EL ESPACIO.
ESTAMOS INTERESADOS EN LA
GEOMETRÍA DE ESTOS GRUPOS Y SUS SUBGRUPOS; VEAMOS PRIMERO PARA
DIMENSIÓN DOS.
UN MÉTODO PARA ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO GEOMÉTRICO DE LOS
ELEMENTOS DE GL 2 ( R ) CONSISTE EN VER LA DEFORMACIÓN
UN
CUADRADO UNITARIO C.SI A e GL 2 ( R ) ENTONCES:
A DEFORMA A C EN' U N PARALELOGRAMO QUE SE OBTIENE DE:
UN CAMBIO DE ESCALA Y UNA ZIZALLADURA
PODEMOS PENSAR LA ZIZALLADURA COMO LA ACCIÓN DE APLASTAR
SUAVEMENTE UNA CAJA DE CARTÓN SIN TAPAS.
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ESTO ES PORQUE TODO ELEMENTO EN GL2( R ) SE ESCRIBE COMO UN
PRODUCTO
an
ai2
r 1
ai2/a22|
a2i
a22
I a2i/an
1 J
A
an
O
O
a22|
B
Y ESTAS MATRICES ACTÚAN EN LA BASE COMO:
A ( 1 O ) t = ( 1 a2i/an ) t
B ( 1
O )l = ( au
O )*•
A ( O 1 ) t s ( ai2/a22
B ( O 1 )*" = (
O
1
a22) t
FIGURA 2.2.
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LA SIGUIENTE ES UNA TABLA DE LAS POSIBILIDADES QUE TIENE UNA
TRANSFORMACIÓN NO SINGULAR EN EL PLANO.
TABLA
2.1
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EN FORMA ANÁLOGA:
TOOO ELEMENTO DE GL_( R ) DEFORMA UN CUBO UNITARIO EN
PARALELETOPO QUE SE OBTIENE DE UN CAMBIO DE
ESCALA Y UNA ZIZALLADURA.
ESTO SE SIGUE AL OBSERVAR LA SIGUIENTE DESCOMPOSICIÓN:
an
ai2
ai 3
a2i
a22
a23
a3i
a32
a33
1
=
ai2/a22
a2i/an
a3i/an
1
ai3/a33
an
0
0
a23/a33
0
a22
0
0
0
a32/a22
1
a33
B
FIGURA 2.3.
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OTRA
HERRAMIENTA
PARA
EL ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA DE
TRANSFORMACIONES SON LOS PUNTOS O LINEAS INVARIANTES.
DADA A e GL 3 ( R ) UN VECTOR x e R3 DIFERENTE DE CERO ES:
>
*
PUNTO FIJO DE
VECTOR CARACTERÍSTICO
DE
A
SI
A X - X
A
SI
3 A € R
TAL QUE:
A X • A X.
SI x ES UN VECTOR CARACTERÍSTICO EL NUMERO A SE LLAMA UN
SE CUMPLEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:
VALOR CARACTERÍSTICO.
>
A
t>
DEJA FIJA LA RECTA
det < A - * | ) -
A X
O
ESTA ULTIMA RELACIÓN TOMADA COMO UNA ECUACIÓN EN LA VARIABLE
A NOS AYUDA ENCONTRAR LOS VALORES CARACTERÍSTICOS CUANDO ESTOS
EXISTEN.
CLARAMENTE UN VECTOR FIJO ES TAMBIÉN UN VECTOR CARACTERÍSTICO
CON VALOR A = 1 , SIN EMBARGO UN VECTOR CARACTERÍSTICO NO TIENE
POR QUE SER FIJO.
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2.2 EL GRUPO ORTOGONAL
UN ELEMENTO DE GL 3 ( R ) SE LLAMA TRANSFORMACIÓN ORTOGONAL SI
PRESERVA EL PRODUCTO INTERNO, ES DECIR .. A € GL 3 ( R ) ES
ORTOGONAL SI:
( AX ) (A Y ) = X Y
V
X . Y e R3
SI SE DEFINE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS x . Y e R3 COMO EL
NUMERO : 1 x - Y || SE TIENE QUE :
T ES ORTOGONAL SI:
> PRESERVA DISTANCIAS
> PRESERVA ÁNGULOS
SE PUEDE PROBAR QUE SI UNA TRANSFORMACIÓN ES ORTOGONAL
ENTONCES EXISTE UNA BASE APROPIADA DEL ESPACIO TAL QUE LA MATRIZ
DE LA TRANSFORMACIÓN CON RESPECTO A ESTA BASE VALE +1 o -1 AL
REVÉS NO NECESARIAMENTE , ESDECIR. UNA MATRIZ DE DETERMINANTE
UNO NO TIENE POR QUE PRESERVAR EL PRODUCTO INTERNO. LAS DISTACIAS
Y LOS ÁNGULOS; EL LECTOR DEBE SER CAPAZ DE ESCRIBIR UN EJEMPLO DE
UNA MATRIZ CON DETERMINANTE UNO QUE NO SEA ORTOGONAL.
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LAS MATRICES ORTOGONALES FORMAN UN SUBGRUPO DE GL 3 ( R )
LLAMADO EL GRUPO ORTOGONAL Y ES DENOTADO COMO O 3 ( R ) O BIEN
O2( R )
SEGÚN SEA EL CASO. PARA DIMENSIÓN DOS SE TIENE EL
SIGUIENTE RESULTADO GEOMÉTRICO:
UN ELEMENTO
A e O 2 ( R ) ES
> UNA ROTACIÓN
> UNA REFLEXIÓN
SI d e t A • 1
SI
d e t A •• ~1
VAMOS A ESTUDIAR CON DETENIMIENTO ESTAS TRANSFORMACIONES.
2.2.1. ROTACIONES EN PLANO
FIGURA
2.4
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COMO SE SEÑALO EN EL CAPITULO ANTERIOR BASTA CONOCER LA
TRANSFORMACIÓN EN LOS ELEMENTOS DE UNA BASE . P.E. LA CANÓNICA,
OBTENEMOS ASI LA MATRIZ
CLARAMENTE
eos O
-sen 6
sen O
eos O
A € O 2 ( R ) . ESTA MATRIZ SE LLAMA
ROTACIÓN E N EL ÁNGULO
e .UNA ROTACIÓN
M A T R I Z DE
EN EL PLANO NO TIENE
PUNTOS FIJOS NI VECTORES CARACTERÍSTICOS DIFERENTES DE CERO .
PUES AL ESCRIBIR LA
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA
ENCONTRAMOS UNA
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO EN x CON DISCRIMINANTE NEGATIVO.
2.2.2. ROTACIONES EN EL ESPACIO
DISTINGUIMOS TRES TIPOS DE ROTACIONES EN EL ESPACIO QUE SE
OBTIENEN DEJANDO FIJO UNO DE LOS EJES DE COORDENADAS Y HACIENDO
LA ROTACIÓN CORRESPONDIENTE SOBRE EL PLANO ORTOGONALMENTE
COMPLEMENTARIO, TENEMOS ENTONCES
R
8
= DEJA FIJO EL EJE X
R * 2
" Y
DEJA F I J O EI. EJE Y
R * =
DEJA FIJO EL EJE Z
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FIGURA
2.5.
Y LAS MATRICES SON
e
1
0
0
eos
0
sen
0
e
e
-sen
eos Q
0
0
-sen
1
0
sen
0
•
eos *
sen *
0
e
eos 6
•
eos *
-sen
*
0
eos *
0
0
1
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ESTAS MATRICES NOS PROPORCIONAN CUALQUIER OTRA ROTACIÓN DEL
ESPACIO, USANDO COORDENADAS ESFÉRICAS SE PUEDE PROBAR
EL
SIGUIENTE RESULTADO:
v
A e
3 O . •
Ori( R )
, •
A
LOS ÁNGULOS
© , * ,: •
€
=
K
CON det A * i
|O , ?.U 1
K „
TAL QUE
"x
SE LLAMAN LO? ÁNGULOS DE EULER PARA A
I ¡CURA
;>.<>
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2.2.3
REFLEXIONES
DEFINIMOS PRIMERO EL COMPLEMENTO ORTOGONAL PARA UN VECTOR O
UN CONJUNTO DE VECTORES. GEOMÉTRICAMENTE LA IDEA ES LA SIGUIENTE:
EL COMPLEMENTO ORTOGONAL DE UNA LINEA EN
R2 ES CUALQUIER OTRA
LINEA PERPENDICULAR A ELLA; EL COMPLEMENTO ORTOGONAL DE UNA LINEA
EN R3 ES UN PLANO QUE TIENE LA PROPIEDAD DE QUE TODA LINEA SOBRE
EL ES PERPENDICULAR A LA LINEA DADA.
ASI EL COMPLEMENTO
ORTOGONAL DE UN VECTOR SERA EL COMPLEMENTO ORTOGONAL DE LA LINEA
QUE DEFINE; EN CUALQUIER CASO
EL ESPACIO Y SU COMPLEMENTO
ORTOGONAL EN EFECTO 'COMPLEMENTAN' DIMENSIONALMENTE EL ESPACIO.
DADO UN VECTOR " « R 3 , EL CONJUNTO.
SE LLAMA COMPLEMENTO ORTOGONAL DEL VECTOR " .
TODO VECTOR SE PROYECTA ORTOGONALMENTE SOBRE CUALQUIER PLANO O
LINEA QUE NO LO CONTENGA.EL LECTOR PUEDE PENSAR EN LA SOMBRA
PROYECTADA AL COLOCAR UNA FUENTE DE LUZ ' J U S T O ARRIBA' DE UN
OBJETO.
PARA TODO
t, e R :I
;
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE
3 A e R TAL QUE
«
SOBRE
( « - A u ) ES L A
« ' . DE AHÍ QUE : A = u «
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FIGURA 2 . 1
SI DENOTAMOS COMO ^ LA REFLEXIÓN SOBRE EL COMPLEMENTO
ORTOGONAL DE a SE TIENE:
2.2.3. REFLEXIONES EN EL PLANO
UNA REFLEXIÓN IMPORTANTE SE OBTIENE TOMANDO EL EJE HORIZONTAL
COMO EJE REFLEJANTE ES DECIR. TOMANDO u = ( O . 1 ) SE TIENE :
o- (j ( 1 , O ) = ( 1 , O )
(T(¡ ( O , 1 ) = ( O , - 1 )
Y LA MATRIZ QUEDA COMO
i
o
o
-i
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ESTA MATRIZ LE LLAMAREMOS LA REFLEXIÓN
CANÓNICA
Y NOS SIRVE
PARA ESTUDIAR EN FORMA MAS GENERAL LAS REFLEXIONES EN EL PLANO.
CONSIDEREMOS
PENDIENTE
UNA RECTA
QUE PASA POR EL ORIGEN
Y TIENE
tan e , UN VECTOR UNITARIO ORTOGONAL A ELLA ESTA
DADO POR " - ( -sen 9 , eos 0 ) = ( eos a , sen a ) DONDE :
ir
+ e COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA.
FIGURA 2.8.
USANDO LA FORMULA ENCONTRADA ANTES SE TIENE QUE LA MATRIZ DE
LA REFLEXIÓN ES:
1 - 2 eos'" a
-2 eos a sen a
-?. eos a son a
1 - 2 son a
-eos 2a
-sen 2a
-sen 2a
eos 2a
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PERO OBSERVEMOS QUE ESTA MATRIZ SE PUEDE ESCRIBIR COMO EL
PRODUCTO:
eos a
-sen a
sen a
eos a
-1
eos a
sen a
-sen a
eos a
ES DECIR. LA REFLEXIÓN ES COMPOSICIÓN DE:
>
>
UNA ROTACIÓN EN EL ÁNGULO
-a
UNA REFLEXIÓN CANÓNICA QUE FIJA EL EJE
<>
UNA ROTACIÓN EN EL ÁNGULO
Y
+ a
FIGURA y. 9.
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2.2.4. REFLEXIONES EN EL ESPACIO
LA REFLEXIÓN EN R3 CON RESPECTO A UN PLANO CON UNA INCLINACIÓN
DADA AMERITA UN AJUSTE DE EJES EN FORMA ANÁLOGA A LA REALIZADA
PARA DIMENSIÓN DOS. ESTE AJUSTE ESTA DADO POR EL PRODUCTO DE TRES
MATRICES,
EN ESTE CASO LA MATRIZ DE ENMEDIO ESTA
DETERMINADA
POR UNA REFLEXIÓN CANÓNICA QUE TIENE TRES POSIBILIDADES QUE SE
OBTIENEN DE FIJAR CADA EJE Y REFLEJAR EN EL CORRESPONDIENTE
COMPLEMENTO ORTOGONAL, TENEMOS ASI LAS SIGUIENTES MATRICES:
i
<r
=
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
"1
0
0
0
-1
0
o
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
-1
i ~
B
cr
k
=
DEJA FIJO EL PLANO YZ INVIERTE EL EJE X
DEJA FIJO EL PLANO XZ INVIERTE EL EJE Y
s
DEJA FIJO EL PLANO XY INVIERTE EL EJE Z
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EL CONJUNTO DE ROTACIONES DEL ESPACIO FORMAN UN SUBGRUPO DE
O_( R ) LLAMADO EL GRUPO ESPECIAL Y DENOTADO COMO SO., ( R ) .
SIN EMBARGO LAS REFLEXIONES SOBRE RECTAS 0 PLANOS QUE PASAN POR
EL ORIGEN NO FORMAN UN GRUPO PUES EL PRODUCTO DE DOS REFLEXIONES
NUNCA ES UNA REFLEXIÓN. SE TIENE ENTONCES LAS SIGUIENTES
CONTENCIONES:
S0 3 ( R ) c O 3 ( R ) c GL 3 ( R )
2.3 TRANSLACIONES
VAMOS AHORA A HABLAR DE UN TIPO DE MOVIMIENTO RÍGIDO DEL
ESPACIO QUE ESTRICTAMENTE NO ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL . PERO
QUE PUEDE ESTUDIARSE POR MEDIO DE MATRICES , PARA ESTO PENSAMOS
EL PLANO XY GEOMÉTRICAMENTE EQUIVALENTE AL PLANO TRANSLADADO EN
FORMA PARALELA HASTA EL PUNTO k , ES DECIR IDENTIFICANDO
y
)
=
(
x
,
i)
OBSERVEMOS LA SIGUIENTE TRANSFORMACIÓN:
" X"
1
0
í)
1
b
Y
í)
0
i
1
' X
4-
Y
f
h
1
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ESTA MATRIZ DEJA FIJO AL PLANO R2 TRANSLADADO. Y ACTÚA EN EL
REALIZANDO UNA TRANSLACIÓN DEL "ORIGEN " AL PUNTO ( a , b ).
FIGURA 2.10
DE MANERA ANÁLOGA UNA TRANSLACIÓN EN R3 ESTARA DADA POR LA
SIGUIENTE MATRIZ:
1
0
0
a
0
1
0
b
0
0
1
c
0
0
0
1
EN ESTE CASO LA TRANSLACIÓN ES HASTA EL PUNTO U.b.e)
IDENTIFICADO CON (a.b.c.i) € R 4
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LAS TRANSLACIONES FORMAN UN GRUPO BAJO LA COMPOSICIÓN, DADOS
X.Y. e R:! EXISTE UNA Y SOLO UNA TRANSLACIÓN QUE LLEVA x EN Y LA
DENOTAREMOS COMO T X Y -
DADOS p . Q , R , s € R2 NO COLINEALES SE CUMPLE:
xpo =
TRS
«
[PQRSI
ES UN PARALELOGRAMO
LAS TRANSLACIONES PRESERVAN DISTANCIAS Y ÁNGULOS . ES DECIR
X
~ Y i= iX A n (
X Y =
TÍ
AD
X
> ~ T A J Y ) ¡I V A,B, X , Y
X ) TÍ
Y )
V A,B, X , Y
AD
HEMOS HABLADO DE REFLEXIONES SOBRE RECTAS QUE PASAN POR EL
ORIGEN Y ROTACIONES CON CENTRO EN EL ORIGEN , AHORA CON LA AYUDA
DE LAS TRANSLACIONES PODEMOS HABLAR DE REFLEXIONES Y ROTACIONES
FUERA DE ORIGEN COMO COMPOSICIÓN DE UNA TRANSLACIÓN CON UNA
REFLEXIÓN O ROTACIÓN SEGÚN SEA EL CASO, ENTENDIENDO ESTAS ULTIMAS
EN EL SENTIDO ESTUDIADO MAS ARRIBA.
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2.4 EL G R U P O ISO(F)
VAMOS AHORA A ESTUDIAR EN FORMA UNIFICADA ESTOS MOVIMIENTOS
RÍGIDOS DEL PLANO Y DEL ESPACIO CON EL CONCEPTO DE ISOMETRIA,
CUYAS RAICES ETIMOLÓGICAS SON:
ISOMETRIA
I Z O I
e T p o v
i sos
metron
IGUALDAD
DISTANCIA
-»R
UNA ISOMETRIA ES UNA TRANSFORMACIÓN T : R"
NO
NECESARIAMENTE LINEAL QUE PRESERVA LAS DISTANCIAS . O SEA :
T x - T Y
X -
Y
V
X . Y e
RJ
SE DEJA COMO EJERCICIO PARA EL LECTOR VERIFICAR QUE BAJO LA
COMPOSICIÓN. EL CONJUNTO DE TODAS LAS ISOMETRIAS FORMAN UN GRUPO
A ESTE GRUPO LO DENOTAREMOS COMO IS0 3 ( R ) O COMO ISO2< R ).
SEGÚN SEA EL CASO.
OBSERVEMOS QUE TODA TRANSFORMACIÓN ORTOGONAL ES UNA ISOMETRIA
PERO AL REVÉS NO NECESARIAMENTE . ESTO ES POR EL HECHO DE QUE LAS
TRANSLACIONES NO SON TRANSFORMACIONES LINEALES
Y AUN SI SON
EXPRESADAS COMO MATRICES CAMBIAN LA DIMENSIÓN DEL ESPACIO.
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v
T
€ ISO., ( R ) SE CUMPLE SOLO UNA DE LAS SIGUIENTES
PROPOSICIONES:
> T ES UNA ROTACiON
> T ES UNA REFLEXIÓN
> T ES UNA TRANSLACIÓN
UNA ISOMETRIA EN EL PLANO QUEDA DETERMINADO POR SU ACCIÓN EN
TRES PUNTOS NO COLINEALES , ES DECiR SI DOS ÍSOMETRIAS COINCIDEN
EN TRES PUNTOS NO COLINEALES ENTONCES SON LA MISMA.
TENEMOS ENTONCES TRES TIPOS DE MOVIMIENTOS RÍGIDOS EN EL PLANO
Y EN EL ESPACIO: ROTACIONES . REFLEXIONES, Y TRANSLACIONES, OTRA
NOMENCLATURA USADA PARA ESTOS MOVIMIENTOS ES LA SIGUIENTEIAS
ROTACIONES EN EL PLANO SE LLAMAN GIROS Y EN EL ESPACIO ROTACIONES
AXIALES . LAS REFLEXIONES EN EL PLANO SE CONOCEN CON EL NOMBRE
DE SIMETRÍA AXIAL, Y EN EL ESPACIO SIMETRÍA ESPECULAR (EL PLANO
REFLEJANTE ACTÚA COMO UN ESPEJO).
LA SIGUIENTE ES UNA TABLA QUE RESUME LAS POSIBILIDADES QUE
TIENEN LOS ELEMENTOS DE ISO.,( R ), ISO./ R ) TOMANDO ROTACIONES
CENTRADAS EN EL ORIGEN Y REFLEXIONES SOBRE RECTAS QUE PASAN POR
EL ORIGEN LA CUARTA COLUMNA DE LA TABLA NOS DA EL VALOR DEL
DETERMINANTE.
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1S0METRIAS
TRASLACIÓN
TRASLACIÓN
Y GIRO
+1
cos0 - sen0
sen0 cos0
0
TRASLACIÓN
Y SIMETRÍA
AXIAL
TRASLACIÓN
TRASLACIÓN
Y SIMETRÍA
ESPECULAR
TRASLACIÓN
Y ROTACIÓN
AXIAL
- 1
100 a\
010 b
001 c
\ooo 1
+1
10
01
0000
- 1
0
0
1
0
1 0
0
0 cosí? — sen0
0 sen# cos0
0 0
TRASLACIÓN
Y SIMETRÍA
ROTACIONAL
+1
0
+1
0
-1 0
0
0 cosí? - sen0
0 sen0 COS0
0 0
0
- 1
TABLA 2.,
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ENUNCIAMOS A CONTINUACIÓN ALGUNOS RESULTADOS ELEMENTALES ,
PERO IMPORTANTES ACERCA DEL GRUPO ISO2( R )
TODO ELEMENTO DE ISO 2 ( R ) ES UN PRODUCTO DE UN NUMERO
FINITO DE REFLEXIONES
POR SUPUESTO QUE ESTE NUMERO NO ESTA UNÍVOCAMENTE DETERMINADO
PUES SIEMPRE ES POSIBLE AGREGAR DOS REFLEXIONES EN UN PRODUCTO
A SABER <r <r , i. E. . UNA REFLEXIÓN ES UNA
INVOLUCIÓN.
n n
T 6 |SO2( R ) ES :
> PAR
SI
SE ESCRIBE COMO EL PRODUCTO DE UN NUMERO PAR DE
REFLEXIONES-
> IMPAR
SI SE ESCRIBE COMO EL PRODUCTO DE UN NUMERO IMPAR DE
REFLEXIONES.
LAS ISOMETRIAS PARES FORMA UN SUBGRUPO DE ISO2< R ) .
SI i ES UNA RECTA . ^
DENOTA LA REFLEXIÓN SOBRE i.
PARA VERIFICAR LOS SIGUIENTES RESULTADOS SE RECOMIENDA
UTILIZAR LA TÉCNICA "(aldinq papen-
, QUE CONSISTE EN HACER
DOBLECES SOBRE PAPEL ENCERADO PARA OBTENER TRAZOS QUE
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CON AYUDA DE REGLA Y COMPÁS PROPORCIONAN UNA 'DEMOSTRACIÓN' DE
LOS RESULTADOS
¡
I
TEOREMA 1
I
Dadas
I y m d o s r e c t a s e n OR2
( I I! m ) => ( <r <T = x
11
TEOREMA
1
m
^
2
)
d(l,m)
Dada I recta en IR si m ^ I y
, entonces:
2
<rm o*
= TPQ
n
donde P O son las intersecciones de I con m y
respectivamente
CADA TRANSLACIÓN ES PRODUCTO DE REFLEXIONES
PARALELAS
UNA ROTACIÓN EN
CON CENTRO c ES UN ELEMENTO DE IS0 2 ( R )
QUE SE OBTIENE DE UNA TRANSLACIÓN SEGUIDA DE UN ELEMENTO DEL
GRUPO S0 2 ( R ) LA DENOTAREMOS COMO R c e .
TEOREMA 3 Dadas dos rectas i, m. si í n m
20
Entonces:
<r <r = R
m
1
c
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TODA ROTACIÓN ES PRODUCTO DE DOS REFLEXIONES CON RECTAS
CONCURRENTES Y VISCEVERSA , EL PRODUCTO DE DOS
REFLEXIONES CON RECTAS CONCURRENTES ES UNA ROTACIÓN
UNA ISOMETRIA QUE FIJA EXACTAMENTE UN PUNTO ES UNA ROTACIÓN.
EL PRODUCTO DE DOS ROTACIONES DE DIFERENTE CENTRO ES UNA
ROTACIÓN O UNA TRANSLACIÓN
SEAN RAe R * DOS ROTACIONES DE DIFERENTE CENTRO ; POR EL
3
TEOREMA
B.ENTONCES
SI t
ES LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS
EXISTEN RECTAS
m. , n QUE PASAN POR
A
A
Y B
RESPECTIVAMENTE TALES QUE :
-
K - *i V
\
0/2
T
R
R°=<7
B
SI
|-
+
_*_
=
ir
A
on
m
•
=R
n n m
ENTONCES OBTENEMOS UNA TRANSLACIÓN.
FINALIZAMOS ESTA PARTE CON DOS OBSERVACIONES IMPORTANTES:
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> EL PRODUCTO DE DOS REFLEXIONES NUNCA ES UNA REFLEXIÓN
I S 0 2 ( R ) NO ES UN GRUPO CONMUTATIVO PUES:
o dos rotaciones con d i s t i n t o centro no conmutan.
(<r
<r =<r
m
n
cr ) « [ ( m I n )
n
m
o
( m -L n ) ]
"
1
i
1
1
1
1
1
1
1
i
1
!
1
1
1
1
!
1
1
1
1
1
1
!
1
1
—1 j
1
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2.5 EJERCICIOS
1. TOMANDO LAS TRANSFORMACIONES:
X , Y , Z )
= ( 2 X - Y , X , Z
+
S ( X , Y , Z ) = ( X, -Y , - Z )
R ( x , Y , z ) = ( 2x ,
3Y
, 5z )
ESCRIBA
T*R
2.
S*R
T-S-R
TOMANDO LA BASE CANÓNICA ESCRIBA LAS MATRICES CORRESPONDIENTES PARA
CADA UNA DE LAS TRANSFORMACIONES DEL EJERCICIO ANTERIOR.
3.CALCULE
LA
INVERSA
PARA
CADA
UNA
DE
LAS
TRANSFORMACIONES
DEL
EJERCICIO ANTERIOR.
4.
DIBUJE
LA
DEFORMACIÓN
DEL
CUADRADO
UNITARIO
POR
LAS
SIGUIENTES
MATRICES:
-3
2
0
1
-1
0
0
1
O
1
-1
0
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5. DIBUJAR LA DEFORMACIÓN DEL CUBO UNITARIO POR:
1
0
0
-
1
O
6.
O
ENCUENTRE
.3
1
05
8
l
1
~6
0
-1
0
0
9
1
LOS VALORES Y LOS VECTORES CARACTERÍSTICOS DE LAS
MATRICES DADAS EN 4 .
7.ESCRIBE Y DIBUJA <*•»•, PARA CADA UNO DE LOS SIGUIENTES VECTORES:
u - ( -3 . O . 8 )
u - < O . O . -1 )
u - ( 2 . -1 )
a - ( -2 . "3 )
TI
•j-,
8 . TOMANDO 4>
R*R*
«
9.
ESCRIBA LA
_
ir
* * - g - ; ESCRIBA
z
MATRIZ
y
K *: \'
DE REFLEXIÓN CON RESPECTO A
LAS
SIGIUIENTES
RECTAS:
Y
= 2x
3x - 2Y = O
.5x +.3Y = 2X * 8Y
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III. TEORÍA DE LA SIMETRÍA
3.1 INTRODUCCIÓN
HEMOS CONSTRUIDO EN LOS DOS CAPÍTULOS ANTERIORES LA
HERRAMIENTA NECESARIA PARA ESTUDIAR LA ACCIÓN DE DETERMINADOS
GRUPOS QUE PARA PATRONES DEFINIDOS PROPORCIONAN UNA GEOMETRÍA
ORNAMENTAL
SIMETRÍA-
QUE SE CONOCE CON EL NOMBRE CLASICO DE TEORÍA DE L A
LOS GRUPOS QUE DEFINEN ESTA TEORÍA SE LLAMAN GRUPOS
ORNAMENTALES
Y TIENEN SU ORIGEN EN EL ANÁLISIS DE CRISTALES Y
ESTRUCTURAS MOLECULARES. LIMITAREMOS NUESTRO TRATAMIENTO A R 2 ,
AUNQUE CON UN TRABAJO CUIDADOSO SE PUEDE CONSEGUIR PARA R3 UNA
GENERALIZACIÓN DE LOS MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN SEGUIDOS. EL
LECTOR INTERESADO PUEDE CONSULTAR [ 1 1 .
LOS OBJETOS QUE NOS CIRCUNDAN
"...UN
CIRCULO
ES
MAS
DISEÑO ES POCO SIMÉTRICO",
SIMÉTRICO
ES COMÚN REFERIRSE A
CON RESPECTO A SUS SIMETRÍA,
QUE
UN
TRIANGULO",
"...ESE
SON EXPRESIONES FRECUENTEMENTE USADAS,
QUEREMOS AHORA DARLE PRECISIÓN A ESTE CONCEPTO DE SIMETRÍA.
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DADO UN CONJUNTO F c K 2 , UNA LINEA t. Y UN PUNTO p
SE TIENE LA SIGUIENTE DEFINICIÓN:
£
ES UNA LINEA DE SIMETRÍA DE F SI
<r¿ F ) = F
P ES UN PUNTO DE SIMETRÍA DE F SI
3 O• € [ O ,211 •]
TAL QUE
R" ( F ) = F
SE RECOMIEMDA AL LECTOR REALIZAR UN EXPERIMENTO DEL TIPO
papen, PERO CON UNA GOTA DE TINTA PARA VISUALIZAR ESTOS
CONCEPTOS. LA SIGUIENTE FIGURA ES UN EJEMPLO DE ESTO:
%
FIGURA
) .1
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3.2 EL GRUPO SIM(F)
LLAMAREMOS FIGURA A UN SUBCONJUNTO F DE R2 QUE ES CONEXO, O
UNION FINITA DE PIEZAS CONEXAS CON UN BORDE BIEN DETERMINADO . LA
FORMALIZACION DE ESTOS CONCEPTOS DE BORDE Y CONEXIDAD ESTA FUERA
DEL ALCANCE DE ESTE LIBRO , EL LECTOR INTERESADO ENCONTRARA UNA
EXPOSICIÓN ACCESIBLE DE ESTAS DEFINICIONES
TOPOLOGICAS
EN [ 2 h
CUANDO HABLEMOS DE FIGURA PODEMOS PENSAR EN LAS MODELOS
GEOMÉTRICOS TÍPICOS: CÓNICAS, POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES
ASI COMO UNIONES E INTERSECCIONES FINITAS DE ESTOS.
SUPONGAMOS DADA UNA FIGURA F c R2
A e ISO 2 ( R ) ES UNA SIMETRÍA PARA F si
A( F ) = F
ES DECIR, SI LA FIGURA F QUEDA INVARIANTE BAJO LA ACCIÓN DE LA
ISOMETRIA A. PARA UNA FIGURA FIJA F EL CONJUNTO DE TODAS SUS
SIMETRÍAS FORMAN UN GRUPO BAJO LA COMPOSICIÓN. ESTE GRUPO SE
CONOCE COMO
EL GRUPO DE KLEIN DE F, O EL GRUPO
DE SIMETRÍA DE
F. Y LO DENOTAREMOS COMO SIM ( F ).
TENEMOS YA UN EJEMPLO DE ESTE TIPO DE GRUPOS: EL GRUPO DE
SIMETRÍA DEL TRIANGULO EQUILÁTERO ES S 3 ESTUDIADO YA EN EL
PRIMER CAPITULO ; SIN EMBARGO EL EJEMPLO DEL GRUPO CÍCLICO
REPRESENTADO POR LAS ROTACIONES DEL PENTÁGONO NO ES EL GRUPO DE
SIMETRÍA DE ESTA FIGURA.
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EL GRUPO DE SIMETRÍA DE UNA FIGURA F c ü 2 , 'MIDE' LA SIMETRÍA
DE LA FIGURA, PROPORCIONANDO UN DESCRIPCIÓN COMPLETA DE SU
GEOMETRÍA.
NO IMPORTA QUE TAN IRREGULAR SEA UNA FIGURA, SIEMPRE EXISTE EL
GRUPO DE SIMETRÍA, P . E. UN RECORTE INFORMAL HECHO A MANO DE UNA
HOJA DE PAPEL TIENE UN GRUPO CON UN SOLO ELEMENTO. A SABER. LA
IDENTIDAD. SIM ( F ) ES UN GRUPO QUE PUEDE SER FINITO O INFINITO.
CONMUTATIVO O NO CONMUTATIVO.
PARA LOS, GRUPOS FIN'TOS LA TABLA DE CAYLEY NOS PROPORCIONA
UNA DESCRIPCIÓN COMPLETA DE LA SIMETRÍA DE LA FIGURA. SIN EMBARGO
EN MUCHOS CASOS NO ES FÁCIL HACERLA, EL LECTOR PUEDE PENSAR LA
DIFICULTAD PARA ESCRIBIR UNA TABLA PARA SIM ( F ) SI ESTE TIENE
MAS DE 10 ELEMENTOS, SIN EMBARGO, CON EL DISEÑO DE UN BUEN
ALGORITMO REDUCIENDO LA SIMETRÍA A UN PROBLEMA DE COMBINATORIA LA
COMPUTADORA PUEDE AYUDARNOS A CUANTIFICAR LA SIMETRÍA DE LOS
OBJETOS.
ESTUDIAREMOS TRES GRUPOS DE SIMETRÍAS:
> LOS GRUPOS DE LEONARDO: DIHEDRICOS Y CÍCLICOS
» LOS GRUPOS DE FRISOS
» LOS GRUPOS DE TAPICES
LO QUE CARACTERIZA A ESTOS GRUPOS ES EL NUMERO DE
TRANSLACIONES QUE CONTIENEN Y EL ELEMENTO MODULAR QUE SE USE PARA
REALIZARLO GEOMÉTRICAMENTE.
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3.3 GRUPOS DIHEDRICOS Y CÍCLICOS
PARA n > 2 CONSIDEREMOS UN POLÍGONO REGULAR F n DE n LADOS
INSCRITO EN UN CIRCULO CENTRADO EN EL ORIGEN QUE TIENE UNO DE
SUS VÉRTICES SOBRE EL EJE DE LAS x. SE TIENE EL SIGUIENTE
RESULTADO:
SIM ( F n )
ESTA GENERADO POR:
o cr = cr
s X-REFLEXJON
X
2Tt/n
P = R
ESTO SIGNIFICA QUE S!M ( F ) SE COMPONE DE 2n ELEMENTOS:
2
P,
3
P
,
P
2
cr
9
pe
,
3
p cr
n-l
p cr
f
p
cr
DONDE SE CUMPLEN LAS RELACIONES:
(T
-
cr
= r
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Y ADEMAS COMO o- p" ES UNA REFLEXIÓN CON RESPECTO A UNA RECTA
QUE PASA POR EL ORIGEN, LE.. UNA INVOLUCIÓN, ENTONCES:
( <r p
) =
( cr p
)
=
EL GRUPO SIM ( F ) SE LLAMA
(
p
) cr
= p
<r
EL GRUPO DIHEDRICO DE ORDEN
n , Y
n
SE DENOTA COMUNMENTE COMO D n . IGUAL QUE EN EL CASO DEL TRIANGULO
EQUILÁTERO ESTUDIADO EN EL PRIMER CAPITULO, LAS POTENCIAS DE LA
ROTACIÓN
P
PROPORCIONAN UN SUBGRUPO QUE LLAMAREMOS
CÍCLICO DE ORDEN
rs
n Y DENOTAREMOS COMO Cn . ES DECIR:
2
i
C = ( P ,
D
= { P , P¿ , P 3
EL GRUPO
3
P
, P
4
,
n
P
, p n , <r , p<r , p¿cr
,
, p3cr
,
t
P
*
>
p n <r>
SE CUMPLE EL SIGUIENTE RESULTADO:
TEOREMA
Vn€(N
3
P , Q c R 2 POLÍGONOS TALES QUE
SIM ( P ) = D
SIM ( Q ) - C
n
PARA EL PRIMER CASO EL POLÍGONO
n
ES REGULAR INSCRITO EN UN
CIRCULO. PARA EL SEGUNDO CASO EL POLÍGONO ES ESTRELLADO
CONSTRUIDO CON LAS TRISECCIONES DE LOS LADOS.
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VAMOS A ESTUDIAR EL GRUPO DIHEDRICO DE ORDEN CUATRO,
CONSIDERAMOS PARA ESTO UN CUADRADO CENTRADO EN EL ORIGEN CON UNO
DE SUS VÉRTICES SOBRE EL EJE X.
\
X
FIGURA
L,
3.2
SI P DENOTA UNA ROTACIÓN DE n/2 , Y <r UNA x-REFLEXION,
ENTONCES EL GRUPO DE SIMETRÍA PARA ESTA FIGURA SE COMPONE DE OCHO
ELEMENTOS:
£ = ROTACIÓN DE 271
P = ROTACIÓN DE
n/2
P 2 = ROTACIÓN DE n
P
^
s
E
ROTACIÓN DE 3rr/2
X - REFLEXIÓN
^ P = L t ~ REFLEXIÓN
r P
= Y ~ REFLEXIÓN
P
= L 2 - REFLEXIÓN
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SE DEJA COMO EJERCICIO PARA EL LECTOR CALCULAR LA TABLA DE
CAYLEY PARA ESTE GRUPO
LAS SIGUIENTES TABLAS ILUSTRAN LA CONSTRUCCIÓN PARA LOS
PRIMEROS GRUPOS DIHEDRICOS:
2
D2
s
C,
TRIANGULO ISÓSCELES
2
C2
RECTÁNGULO
TRIANGULO ESCALENO
s
PARALELOGRAMO
( NO ROMBO )
( NO CUADRADO )
D 3 = TRIANGULO EQUILÁTERO
D.
5
C. =
CUADRADO
EN GENERAL:
D
=
¡
n-poLIGONO REGULAR
i
n
C
= n-poLIGONO ESTRELLADO
n
TABLA 3. ¡
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r—r
o V- n
•
O-
B-rB
Í^.-H H-f-H
v
''
^^
^X
L/l 3 . 2
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3.4 EL TEOREMA DE LEONARDO
LEONARDO
D A VINCI
DETERMINO SISTEMÁTICAMENTE LAS POSIBLES
SIMETRÍAS DE UNA CONSTRUCCIÓN CENTRAL, DE TAL FORMA QUE AL
AGREGAR CAPILLAS Y NICHOS NO SE DESTRUÍA LA SIMETRÍA DEL NÚCLEO,
ESENCIALMENTE. LEONARDO USO LOS GRUPOS DIHEDRCOS FINITOS.
ESTA IDEA DE TRABAJAR CON SIMETRÍAS DETERMINADAS POR GRUPOS DE
POLÍGONOS CON CENTRO HA SIDO ENRIQUECIDA CON LA PRACTICA
COTIDIANA DEL DISEÑO; AL PROYECTAR EL ARQUITECTO PROCURA LA
EXISTENCIA DE UN PUNTO CENTRAL DE SIMETRÍA PARA LOCALIZAR TODOS
AQUELLOS SERVICIOS E INSTALACIONES DE USO GENERAL (
ASCENSORES, INSTALACIONES SANITARIAS, ETC. )
EN LA
ESCALERAS,
PERSPECTIVA
DEL AHORRO ECONÓMICO, ESPACIAL, Y EL ENCUBRIMIENTO NATURAL DE
ESTAS. EN REALIDAD ESTA BUSCANDO UN GRUPO DIHEDRICO QUE DETERMINE
LA SIMETRÍA DE SU PROYECTO. ALGO SEMEJANTE OCURRE EN EL DISECO
DE MOBILIARIO Y HERRAMIENTA, EL CONOCIMIENTO DE LA SIMETRÍA
AYUDA A PREDECIR FUNCIONALIDAD FÍSICA. ERGONOMICA Y ESTÉTICA DE
CUALQUIER DISEÑO.
EN LA SIGUIENTE FIGURA SE BOSQUEJA UN ANÁLISIS DE LA SIMETRÍA
EN OBRAS DE
LEDOUX.
SOANE Y URIGHT
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FIGURA 3 . 3
POR SER LEONARDO EL PRIMERO EN USAR SISTEMÁTICAMENTE ESTOS
GRUPOS, LLEVAN SU NOMBRE
G ES UN GRUPO DE LEONARDO SI
> G ES FINITO
^ G TIENE UN CENTRO DE SIMETRÍA
POR DEFINICIÓN LOS GRUPOS DE LEONARDO SON FINITOS, POR LO
TANTO NO CONTIENEN TRANSLACIONES. DE AHÍ QUE SOLO PUEDEN CONTENER
ROTACIONES Y REFLEXIONES, DISTINGUIMOS DOS CASOS:
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a).SUPONGAMOS QUE G SOLO CONTIENE ROTACIONES, ENTONCES
TODAS LAS ROTACIONES TIENEN EL MISMO CENTRO PUES SI
RA , RB ^ G. ENTONCES:
R* ) '
LO QUE ES IMPOSIBLE, PUES ESTO ES UNA TRANSLACIÓN,
PODEMOS
SUPONER
ENTONCES
QUE
LOS
ELEMENTOS
DEL
GRUPO TIENEN CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENADAS DE
DEL PLANO. SEA
R
LA ROTACIÓN DE ÁNGULO MÍNIMO,
ENTONCES: V R ? € G , 3 k € ÍN
3 n €
M
TAL QUE
C = M ,
.'•
QUE CUMPLE <t> = 2 n / n , y EL GRUPO RESULTA
SER EL GRUPO CÍCLICO C n b).SUPONGAMOS AHORA QUE G CONTIENE UNA REFLEXIÓN <r ,
ENTONCES CONTIENE A SU CUADRADO o*2 QUE SABEMOS ES
UNA ROTACIÓN,
•••
CONTIENE TODAS LAS POTENCIAS DE
ESTA ROTACIÓN Y SUS PRODUCTOS CON LA REFLEXIÓN, ES
DECIR, G ES EL GRUPO DIHEDRICO D n .
ESTE RESULTADO SE CONOCE CON EL NOMBRE DE TEOREMA DE LEONARDO
Y SE ENUNCIA COMO SIGUE:
1
1
TEOREMA.
SI
G ES
3 n € ÍN
UN GRUPO DE LEONARDO ENTONCES
TAL QUE
G =C
0
n
i
G= D
n
!
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3.5 EJERCICIOS
1. DESCRIBIR SlM( F ) PARA CADA UNA DE LAS FIGURAS SIGUIENTES:
2.
SUPONIENDO
QUE CADA PATRÓN SE EXTIENDE
AL INFINITO,
ESTUDIAR
LA SIMETRÍA.
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3. ESCRIBIR LA TABLA DE CAYLEY PARA D4>
4 . PARA CADA UNA DE LAS SIGUIENTES FIGURAS DETERMINAR EL GRUPO DE
SIMETRIA.( JAPANESE OPTICAL AND GEOMETRICAL ART HAJINE OUCHI )
#o#
#
$
5. DIBUJAR LOS POLÍGONOS CORRESPONDIENTES DE C 5 , C ? ,
6 . DETERMINAR SIM ( F ), PARA LAS F DE LA FIGURA 3. 3
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3.6
I S O M E T R I A S Q U E FIJAN R E C T A S
ESTAMOS AHORA INTERESADOS EN ESTUDIAR SUBGRUPOS DE IS0 2 ( R )
QUE CONTENGAN TRANSLACIONES . TENEMOS DOS POSIBILIDADES :
> EL GRUPO CONTIENE UNA TRANSLACIÓN
> EL GRUPO CONTIENE MAS DE UNA TRANSLACIÓN
DE ENTRADA PODEMOS DECIR QUE ESTOS GRUPOS SON INFINITOS. PUES
SI UN GRUPO CONTIENE UNA TRANSLACIÓN ENTONCES CONTIENE TODOS SUS
MÚLTIPLOS Y POR LO TANTO ES INFINITO, SIN EMBARGO UN GRUPO PUEDE
SER INFINITO SIN QUE CONTENGA TRANSLACIONES, P.E. , EL GRUPO DEL
CIRCULO.
ANTES DE PROCEDER AL ESTUDIO DE LOS GRUPOS DE SIMETRÍA DE LOS
FRISOS, ANALIZAREMOS LOS ELEMENTOS DEL GRUPO ISO,( R ) QUE DEJAN
INVARIANTE A UNA RECTA DADA i .
SEMIGIROS
(Half turn)
UN SEMIGiRO ES POR
DEFINICIÓN
UNA
ROTACIÓN
EN
UN
ÁNGULO DE n .
R (
I )=
V A 6
A
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UN SEMIGIRO TIENE LAS SIGUIENTES PROPIEDADES
> A
ES EL PUNTO MEDIO ENTRE CUALQUIER PUNTO
& SU IMAGEN
R* ( A
SI
C
A
V
A
€ £
ES EL PUNTO MEDIO ENTRE
A
&
B
ENTONCES:
FIGURA 3 . 3
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REFLEXIONES
DOS TIPOS
RECTA ¿
DE REFLEXIONES
DEJAN
INVARIANTE
, UNA
OTRA TOMADA
TOMADA CON RESPECTO A
i
CON RESPECTO A
í
í
A
Y
LA
LA
SE CUMPLE CLARAMENTE:
3.5
TRANSLACIONES
Si
£ = A a + b
ENTONCES:
x
ES
DECIR
GENERADO
,
na
EL
GRUPO
POR ^
DIRECCIÓN DE
¿
{ I ) = I
DONDE
V n e Z
INFINITO
a
DE
TRANSLACIONES
ES UN VECTOR EN LA
DEJA INVARIANTE LA RECTA
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REFLEXIONES CON
DESLIZAMIENTO
( glide
ESTE
reflection
TIPO
DE
)
MOVIMIENTO
RÍGIDO
SE
OBTIENE
COMO
PRODUCTO DE MOVIMIENTO ESTUDIADOS ANTES.
SEAN l> m , a TRES RECTAS TALES QUE:
*> L n
Y TAMBIÉN
rri ^ a
(.-.
I \ m )
LA d-REFLEXION CON CENTRO n ESi.
>
UNA d -
REFLEXIÓN
REFLEXIÓN ES EL PRODUCTO DE UNA
Y
UN SEMIGIRO
CON CENTRO
EN LA
RECTA QUE REFLEJA
t> UNA el -
REFLEXIÓN NO TIENE PUNTOS FIJOS ,
PERO EL PUNTO MEDIO ENTRE CUALQUIER PUNÍO Y
SU IMAGEN SE ENCUENTRA EN EL CENTRO DE LA <*
-
REFLEXIÓN
COMO
L
I , m.
n
ENTONCES LOS PRODUCTOS
CONMUTAN Y SE TIENEN DOS EXPRESIONES PARA Tí
y = (<r<r)<r
a
DONDE
UNA
d
v
n
A = í
-
DENOTAMOS:
n
/ 4
mf
n
=
<r ( <r 0 % ) =
I
&
REFLEXIÓN
v
a
/ 7 i n
^
m
B
=
CON
I '
CENTRO
*
LA
do^
SE TIENE EL SIGUIENTE RESULTADO:
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UNA d - REFLEXIÓN ES EL PRODUCTO DE UNA REFLEXIÓN EN UNA
LINEA i Y UN SEMIGIRO CON CENTRO EN UN PUNTO FUERA DE i
FIGURA
3.5
SEA 7 UNA d - REFLEXIÓN CON CENTRO i , SI x ES UNA TRANSLACIÓN
QUE FIJA i ENTONCES :
T K = 7
T
Y ADEMAS :
r2
= TA
CON
A ?« O
FIGURA
( CAMINATA )
1.7
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3.7
GRUPOS DE FRISOS
PASAMOS AHORA AL ESTUDIO FORMAL DE LOS FRISOS . LOS FRISOS
HAN SIDO UTILIZADOS EN DISEÑOS ANTIGUOS Y MODERNOS DESEMPEÑANDO
EL DOBLE PAPEL DE ELEMENTO CONSTRUIDO Y ESPACIO SUSCEPTIBLE DE
ORNAMENTACIÓN.
PARA ARQUITECTOS DEL MOVIMIENTO MODERNO RACIONALISTA ( LE
CORBUSIER . FRANK LLOYD WRIGHT )
. LA ORNAMENTACIÓN , MAS ALLÁ
DE UN RITO. MAS QUE UN ACTO MÁGICO, ES UNA SÍNTESIS . UNA
ARTICULACIÓN DE ELEMENTOS QUE COMUNICAN UN RITMO.
CORRIENTES
ENLAZADAS
ACTUALES
HABLAN DEL " FRISO DE LAS EDIFICACIONES
" DONDE EL CLASICO MOTIVO QUE SE REPITE A LO LARGO DE
UNA BANDA ES SUSTITUIDO POR LA PLANTA ( DEL EDIFICIO ) GENERANDO
POR TRANSLACIÓN HORIZONTAL UNA SERiE DE EDIFICIOS EN HILERA , DE
ESTA
MANERA UNA
POSIBILIDADES:
VEZ
DEFINIDA
UN ENLAZAMIENTO
VIVIENDAS EN HILERA )
LA PLANTA
SIN ESPACIOS
SE
TIENEN
DOS
INTERMEDIOS
(
O UNA REPETICIÓN CON UN ESPACIO DE
VECINDAJE.
LA SIGUIENTE FIGURA ILUSTRA UN DISEÑO CLASICO DE LE CORBUSIER
( LA CASA DEL ARTISTA ), DONDE APARECE UNA REPETICIÓN ENLAZADA, Y
OTRA REFLEJADA.
DE NO HABER LIMITACIONES ESPACIALES CLARAMENTE UN DISEÑO COMO
ESTE LLENARÍA UNA FRANJA INFINITA SUJETA A UN RITMO BIEN
DEFINIDO.
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FIGURA
3.8
SEA F c « UNA FIGURA, Y x e |S0 2 ( R ) , UNA TRANSLACIÓN FIJA.
UN FRISO CON ELEMENTO CELULAR F ES UN CONJUNTO DEL TIPO:
9 = { T ( F ) I k 6 1 }
DE ESTA MANERA EL FRISO SE MANTIENE SIEMPRE LIMITADO POR DOS
RECTAS PARALELAS EN UNA FRANJA INFINITA QUE DE SER HORIZONTAL SE
EXTIENDE A LA DERECHA Y A LA IZQUIERDA.
LA
CÉLULA
F SE LLAMA TAMBIÉN
MODULO,
SISTEMÁTICA CONSTITUYE LA BASE DEL
RITMO
Y SU REPETICIÓN
QUE COMUNICA AL
OBSERVADOR.
DADO UN FRISO :' SIEMPRE ES POSIBLE LOCALIZAR UNA RECTA SOBRE
LA QUE
'DESCANSA'
EL FRISO. QUE SIN PERDIDA DE GENERALIDAD PUEDE
ELEGIRSE HORIZONTAL. LLAMAMOS A ESTA RECTA EL CENTRO
DEL FRISO.
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SEA i EL CENTRO DE UN FRISO 9 Y SEA a UN VECTOR EN LA
DIRECCIÓN DE LA RECTA t ENTONCES UN GRUPO G c |S02( R ). ES EL
GRUPO DE ISOMETRIA DEL FRISO 9 CON CENTRO ¿ SI SE CUMPLE :
> g ( I ) = I
> T
na
e Gu
POR LO ESTUDIADO ANTES
V g e G
V n 6
. LOS ELEMENTOS DE ISOa( R ) QUE
FIJAN i SON TRANSLACIONES . REFLEXIONES
, d - REFLEXIONES Y
SEMIGIROS .
SI DISTINGUIMOS ENTRE LOS GRUPOS QUE TIENEN SEMIGIROS Y LOS
QUE NO . TENEMOS LA SIGUIENTE CLASIFICACIÓN DE LOS GRUPOS DE
FRISOS.
GRUPOS QIUE INO COINTDEINEIN SEMOCOROS
EL GRUPO
SOLO CONTIENE TRANSLACIONES , ES DECIR
F
= { x
1
EL GRUPO
I
rúl
n e Z >
'
F¡.
SE OBTIENE CON Vx AGREGÁNDOLE
^
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EL GRUPO Fj
SE OBTIENE
CON Ft AGREGÁNDOLE <r¿-
EL QRUPQ Fj
SE OBTIENE
CON V x AGREGÁNDOLE
(GRUPOS CON SEW DIGO ROS
EL GRUPO F 2
SE OBTIENE CON
F x Y UN SEMIGIRO
EL GRUPO Fg
SE OBTIENE
CON
F g AGREGÁNDOLE
CON
?z AGREGÁNDOLE
<r¿
GRUPO Fg
SE OBTIENE
ES EL ÚNICO GRUPO GENERADO POR UNA d - REFLEXIÓN
LA SIGUIENTE TABLA ILUSTRA LA CLASIFICACIÓN DE LOS GRUPOS DE
FRISOS.
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V
k
k
k
k
r
f
r r r
k F.1
k
1
1
i
A A ik A
r
r r r
f
k
k
k
k
k
k k
k
•i
•
k
V ir
V
Jk ik ik ik ik ik F.1
n n n n
¿
< i.
i k
3.3.
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EL ALGORITMO PARA LA CLASIFICACIÓN DE LAS GRUPOS DE FRISOS ES
COMO SIGUE:
ESTA
NOTACIÓN DE ÍNDICES Y SUPERINDICES
PARA LOS GRUPOS DE
FRISOS SE DEBE AL MATEMÁTICO HÚNGARO FEJES TOTH
ÍNDICES
SUPERINDICES
1
s NO TIENE SEMIGIRO
2
s
TIENE SEMÍGIRO
2
s
=
EL CENTRO ES LINEA
DE SIMETRÍA
EL CENTRO NO ES LINEA
DE SIMETRÍA PERO EXISTE
UNA LINEA DE SIMETRÍA
PERPENDICULAR A t
TENEMOS ASI EL SIGUIENTE RESULTADO:
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I
TEOREMA
LOS ÚNICOS GRUPOS DE FRISOS QUE EXISTEN SON
{ rF
\
F1
i
'
r
i
'
r
F2
i
'
r
F3
i
r
'
F1
F
2
'
' 2
f
'
F2 >
2
'
EN CONCLUSIÓN:
s
F%
NO
TIENE
PUNTOS
NI
LINEAS
DE
SIMETRÍA,
EL
CENTRO NO ES UNA LINEA DE SIMETRÍA
FJ
s
NO TIENE PUNTOS DE SIMETRÍA Y EL CENTRO NO ES
UNA LINEA DE SIMETRÍA.
F2
=
NO TIENE PUNTOS DE SIMETRÍA , TIENE UNA LINEA
DE SIMETRÍA PERO EL CENTRO NO ES UNA LINEA DE
SIMETRÍA
F^
s
NO TIENE PUNTOS NI LINEAS DE
INVARIANTE BAJO
F2
s
TIENE
UN
SIMETRÍA SOLO ES
UNA el - REFLEXIÓN
PUNTO
DE
SIMETRÍA
PERO
NO
TIENE
LINEAS DE SIMETRÍA
F2
s
TIENE UN PUNTO DE SIMETRÍA Y EL CENTRO ES UNA
LINEA DE SIMETRÍA
F,¿ =
TIENE UN PUNTO Y UNA LINEA DE SIMETRÍA PERO EL
CENTRO NO ES UNA LINEA DE SIMETRÍA.
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UNA DESCRIPCIÓN SIMBÓLICA DE ESTOS GRUPOS SE OBTIENE AL TOMAR
UNA SUCESIÓN INFINITA DE PUNTOS EQUIDISTANTES : A o .
SI Mi
A : , A2 .
ES EL PUNTO MEDIO ENTRE Ai & A l + 1 . ENTONCES:
z
o
z
•
Al
Mi
A2
z
•
z
o
M2
A3
M3
A4
M4
/
o
•
Al
Mi
A2
o
M2
A3
•
e
M3
A4
M4
V
#
o
/
Ml
•
°A2
o
"M2
o
Mi
"A3
z
/
•
Al
o
o
A2
M2
•
A3
M3
\
z
o
Mi
•
Al
/
o
A2
A2
o
M2
A3
M3
•
M3
z
z
Al
Mi
A'¿
M4
/
•
A3
o
Mi
•
A*
\
z
° Al
/
o
" M;;
" A:J
A4
M4
A4
M4
AI
M4
o
z
* M:J
\7
J.5
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FINALMENTE TENEMOS EL SIGUIENTE DIAGRAMA DE FLUJO QUE
ALGORITMIZA ESTA CLASIFICACIÓN FORMAL DE LOS GRUPOS DE FRISOS:
NO ES
FRISO
SI
F!
NO
SI
SI
"i1
NO
SI
NO
NO
SI
NO
>t
FIGURA L
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3.8
EJERCICIOS
1. DESCRIBIR LOS GRUPOS DE SIMETRÍAS PARA:
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
DWDWDWDWDWDWDWDWDWDWD
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS
MWMWMWMWMWMWMWMWMWMWM
2.
DADAS LAS MATRICES
-i
A = Rn
B
=
CT
25
Y
-1
-i
DISEÑAR LOS FRISOS
A , B , C , AB . BC . AC
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3 . DETERMINAR CUALES DE LOS SIGIENTES PATRONES SON FRISOS Y EN SU
CASO CALCULAR SU GRUPO DE SIMETRA.
\
11 n
1
a
a
/
a
Zl
\
\
T I Í I T I T I T
I
I
\ / \ /
I-1 CU HA t. 10
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4 . DESCRIBIR EL GRUPO DE SIMETRÍA PARA CADA UNO DE LOS SIGUIENTES
FRISOS ( JAPANESE BORDER DESIGN's
;
THEODORE MENTEN )
i.Xi
-Ff•
• ¡ • • • • a
FIGURA
3.11
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3.9
G R U P O S DE TAPICES
ESTUDIAREMOS AHORA LOS GRUPOS DE FIGURAS QUE AL MOVERSE BAJO
LA ACCIÓN DE UN GRUPO
PAVIMENTAN
EL PLANO FORMANDO UNA
CELOSÍA
INFINITA QUE SE EXTIENDE DE IZQUIERDA A DERECHA Y DE ABAJO HACIA
ARRIBA .
ESTE TIPO DE
'PAVIMENTADO'
EJEMPLO DE ESTO LO TENEMOS EN
VILLE
RADIEUSE'
NO ES AJENA AL DISECO UN
DE
'LA
DE LE CORBUSIER DONDE UTILIZA MOTIVOS QUE
SE
REPITEN OBEDECIENDO UN
RITMO.
EL DISTRITO
FINANCIERO
DE TAL FORMA QUE DE NO EXISTIR
LIMITANTES EN EL TIEMPO Y EN EL ESPACIO LLENARÍA TODO EL PLANO.
FIGURA
3.1'A.
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UNA FIGURA F c r
EL PLANO BAJO LA ACCIÓN DE UN GRUPO
TAPIZA
W c ISO ( R 2 ) SI SE CUMPLEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:
t> R 2 =
I
I
w (
W € W
> w ( F ) n u ( p )
= 0
V u ,w € W
» SI ? w ES EL SUBGRUPO DE LAS TRANSLACIONES
DE W
ENTONCES
EXISTE UNA BASE { a , b }
DE K2 TAL QUE :
J
W
as { ' T
T , = T
. I n , Kl 6 Z }
na mb
na + nb '
'
ESTA ULTIMA PROPIEDAD ES CONSECUENCIA DEL HECHO DE QUE TODA
TRANSLACIÓN PUEDE ESCRIBIRSE COMO PRODUCTO DE DOS TRANSLACIONES
ARBITRARIAMENTE DEFINIDAS POR UN PAR DE VECTORES NO COLINEALES .
LO QUE A SU VEZ RESULTA DEL HECHO FUNDAMENTAL DE QUE SIEMPRE
EXISTE UNA BASE PARA EL ESPACIO.
p e R2 FORMA UN C O N J U N T O
LA IMAGEN DE UN PUNTO
QUE LLAMAREMOS
INFINITO
LATICE
DISCRETO
DEL PLANO EN EL PUNTO p
ASOCIADA AL. GRUPO ? w .
DADO UN PUNTO
p PARA CUALQUIER PAR n . m e i SE TIENE UN
PARALELOGRAMO CON VÉRTICES :
p
-
DONDE : A
n
n + l m
=T
m
mD +
,
P
n m
(
P
.
P
, -
nm+1
P
,
n*lm+l
).
iux
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ESTA FIGURA SE LLAMA
UNIDAD CELULAR DEL TAPIZ.
FIGURA 3.13.
CLARAMENTE LAS CÉLULAS SOLO PUEDEN SER RECTANGULARES O
RÓMBICAS ; DADO UN TAPIZ CON GRUPO W SE CUMPLE:
ES UNION DISJUNTA DE CÉLULAS
ADEMAS SI LA CÉLULA ES RÓMBICA , Y d ES SU DIAGONAL . PARA
TODA RECTA t SE CUMPLE:
W
)
•> ( t•
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PARA VER ESTO TOMAMOS UN PUNTO p ARBITRARIO Y
A e í . TAL
QUE T A P ES LA TRANSLACIÓN MÍNIMA NO IDÉNTICA ; SI ESCRIBIMOS Q
= <r¿ ( P ) SE CUMPLE : <rt x Ap r'1
= T AQ , Y COMO A , P , Q SON
TRES PUNTOS NO COLINEALES ENTONCES :
PERO
| P - A || = || Q - A ¡
.-.
i
7
W
= <\P ,
T
A0
>
CONTIENE A «¿.
EN FORMA ANÁLOGA SE PUEDE PROBAR QUE SI LA CÉLULA ES
RECTANGULAR Y
d
ES UN LADO DEL RECTÁNGULO ENTONCES :
v l t.q. ( <r¿
3.9.1
€
W ) -» ( l I d )
LA R E S T R I C C I Ó N C R I S T A L O G R Á F I C A
EL DISEÑO DE TAPICES TIENE UNA LIMITANTE GEOMÉTRICA QUE ES
CONOCIDA COMO
LA RESTRICCIÓN CRISTALOGRÁFICA
ESTE NOMBRE SE DEBE
A QUE EL ANÁLISIS Y LA CLASIFICACIÓN DE ESTOS PATRONES DE
PAVIMENTACIÓN PLANA HAN SIDO ESTUDIADOS EXHAUSTIVAMENTE POR
CRISTALOGRAFOS DESDE HACE MAS DE DOS SIGLOS .
EN 1879
E.S. FEDOROV
PROBO QUE SOLO EXISTEN 17 GRUPOS
CONSTRUIDOS SOBRE UNA LATICE SUBYACENTE DETERMINADA POR EL GRUPO
DE TRANSLACIONES.
CONSIDEREMOS UN TAPIZ SU GRUPO DE SIMETRÍA W Y SU SUBGRUPO
DE TRANSLACIONES
"J = { T ^ » x ^
| n , k e 2 }.SE TIENE EL
SIGUIENTE RESULTADO:
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TEOPEMA
si R p 6 ^ W
ENTONCES :
O - II
—
—
OBSERVAMOS PRIMERO
TENDRÍAMOS
QUE
TRASLAPES
—
Q = - J J - PUES DE LO CONTRARIO
EN
EL
PAVIMENTADO
Y
NO
SE
CUMPLIRÍA LA CONDICIÓN DE UNION DISJUNTA.
TENEMOS ASI UNA t n e 2
T
ES
.-. 3 k € Z
TAL QUE
na+mb ^P
U N A
FIJA , ENTONCES V m € Z
R0TACI0N
Q -
(
C 0 N
CENTRO
T
na>mb
P + n a + mb
R / * ^
) ( P ) , ES EL
PUNTO MAS CERCANO A P , POR OTRO LADO SI SE TOMAN LOS
PUNTOS:
p = RQ
( p )
o * Rp,
SE TIENEN CUATRO PUNTOS
| P- Q| ANALICEMOS LOS
> n
( o )
P , P' . Q . Q' QUE CUMPLEN:
» P' " Q' 1 = I P' " Q »
VALORES POSIBLES PARA n .
NO PUEDE SER MAYOR QUE 6 PUES SE CONTRADICE EL
HECHO DE QUE
Q SEA EL PUNTO MAS CERCANO A P
Q
FIGURA 3 . 1 4 .
CONCLUSIÓN
n < 6
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6 =
SI n = 6 SE TIENE QUE
Q'
FIGURA
n
3.15
NO PUEDE SER IGUAL A 5 PUES SE CONTRADICE QUE
Q SEA EL PUNTO MAS "CERCANO A P
FIGURA 3. 16
SI n = 4
Q'
i...
FIGURA
1.17
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SI n = 3
FIGURA 3. 18
Q
FIGURA
t> si n = 1
P'
Qf
3.19
0 = 2n
PPf
QQ
FIGURA 3.20
ESTO SUGIERE UNA TÉCNICA PARA GENERAR GRUPOS DE TAPICES A
PARTIR DE UNA FIGURA CENTRADA EN EL ORIGEN
CON GRUPO DE
LEONARDO DE ORDEN n EN UN SISTEMA DE COORDENADAS FIJADO DE
ANTEMANO . EL PAVIMENTADO SE CONSIGUE DESPLAZANDO EN UNA LATICE
LA FIGURA.
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3.9.2
LOS C I N C O G R U P O S FUNDAMENTALES
TENEMOS ENTONCES CINCO GRUPOS DE SIMETRÍA PARA UN TAPIZ
= <
1
nMfmh
W 2 = < x na+rnb
VC = < T na+mb
27I/3
'
na+mb '
P
R 27T/6
na+mb ' "r
ESTOS GRUPOS SE ILUSTRAN EN LAS SIGUIENTES FIGURAS
i
i
W.
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\
i
\
\
i
\
\
i
\
VL
i
i
i
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\
\
\
\
\
\
w.
w,.
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3.9.3
LAS AMPLIACIONES
INTRODUCIENDO OTROS MOVIMIENTOS RÍGIDOS EN FORMA ANÁLOGA COMO
SE HIZO EN LOS FRISOS OBTENEMOS LOS OTROS GRUPOS , TAMBIÉN EN
ESTE CASO USAMOS LA NOTACIÓN DE T ÓTH DE ÍNDICES Y SUPERINDICES
AMPLIACIÓN DEL GRUPO
> EL GRUPO W¡
UNA REFLEXIÓN CON RESPECTO A LA
DIAGONAL SI LA CÉLULA ES RÓMBICA
> EL GRUPO Wj
UNA REFLEXIÓN CON RESPECTO A UNA
PARALELA A UN LADO SI LA CÉLULA
ES CUADRADA ( RECTANGULAR )
EL GRUPO W,
UNA d - REFLEXIÓN
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AMPLIACIÓN DE W
EL GRUPO W2
REFLEXIÓN
CON
RESPECTO
A
LA
DIAGONAL SI LA CÉLULA ES RÓMBICA
EL GRUPO W2
REFLEXIÓN
CON
RESPECTO
A
UNA
PARALELA A UN LADO DE LA CÉLULA
RECTANGULAR
EL GRUPO W2
UNA d - REFLEXIÓN CON RESPECTO A
UNA LINEA QUE CONTIENE EL CENTRO
DEL SEMIGIRO Y ES PARALELA A UNO
DE
LOS
LADOS
DE
LA
CÉLULA
RECTANGULAR.
EL GRUPO W?
DOS
DESLIZAMIENTOS
PARALELOS
CON
EJES
t
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CLARAMENTE SE CUMPLE:
W2 &
W2 TIENEN EJES DE SIMETRÍA ORTOGONALES
W*
TIENE SIMETRÍA
C1
W^ TIENE SIMETRÍA C O
AMPLIACIÓN DE
TENEMOS
DOS
CASOS
EN
AMBOS
W
PODEMOS
ENCONTRAR
TRES
EJES
DE
SIMETRÍA QUE DELIMITAN UN TRIANGULO EQUILÁTERO
EL GRUPO W3 TIENE SIMETRÍA
EL
O
GRUPO
W3
TIENE
SIMETRÍA
BIEN
AMPLIACIÓN DE W
TENEMOS DOS CASOS EN AMBOS LA CÉLULA ES RECTANGULAR Y SUS LADOS
SON
LOS ÚNICOS EJES DE SIMETRÍA
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EL GRUPO
W,
TIENE
SIMETRÍA
D,
4
O
1
BIEN
EL GRUPO W4 TIENE SIMETRÍA
AMPLIACIÓN DE W
EL GRUPO W*
POR
CADA
PASAN
SEIS
PUNTO
DE
EJES
DE
LA
LATICE
SIMETRÍA,
TOMAMOS LAS SEIS REFLEXIONES
3.9.4
EL T E O R E M A D E F E D O R O V
ESTA CLASIFICACIÓN SE CONOCE CON EL NOMBRE DE TEOREMA DE
FEDOROV Y SE ENUNCIA COMO SIGUE:
TEOREMA SOLO EXISTEN 17 GRUPOS DE TAPICES
W W
w
w3 w ;
K
w.. w!
4
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LA SIGUIENTE TABLA RESUME LAS POSIBILIDADES PARA LOS GRUPOS DE
SIMETRÍAS DEL PLANO.
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
i
i
k
k
k
A
i
k
k
k
A
W k
k
k
A
i
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A\
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V
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ik
ik
V
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A
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A
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k r k r w
T1 V k J f \ J r \j
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TENEMOS
COMO
INTERPRETACIÓN DE
UN EJEMPLO
'LA MINIATURA'
W4 & W? CON SIMETRÍAS
i.
LA
SIGUIENTE
, DE FRANK LLOYD D.WRIGHT COMO
C, & D .
4
¿
It u l i
DE APLICACIÓN
4
ir.K^jpEH^ I
L J L - ' B Lr I
'L«
IiIr
b.
21;
TU
:
i
u'
y
en.
u
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ira
^
TÍO,1-?
1
JU.1.1
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3.10
1.
EN
EJERCICIOS
CADA
CASO
DETERMINE
LA
LATICE,
LA
CÉLULA
Y
EL
GRUPO
DE
SIMETRÍA.
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Z
N
Z
N
N
Z
N
Z
Z
N
Z
N
N
Z
N
Z
P
P
P
P
P
b
b
b
b
b
P
P
P
P
P
bP
bP
bP
bP
bP
PbPbPbPb
v
\y
qdqdqdqd
/\
PbPbPbPb
\y
QdqdQdQd
v
/\
\/
v
^ 7« ^
7-
f\ 7» «s.
l^ ^J |¿^
7»
^\
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i v \ ii.i,i: I; V
SI:
/ rrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrr
^rrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrr.
Le Corbusier's project
for La Ville Radicuse
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BIBLIOGRAFÍA.
[ 1]
TRANSFORMATION
GEOMETRY
AN INTRODUCTION TO SIMMETRY
GEORGES
NEW
[ 2 1
E.
YORK
MARTIN
N.Y.
1984
COMPUTER - AIDED
ARCHITECTURAL
DESIGN
WILLIAM J . MITCHEL
VAN NOSTRAND
REINHOLD C.
NEW YORK , N.Y.
[33
1977
THE GEOMETRY OF ENVIRONMENT :
AN INTRODUCTON TO SPATIAL
ORGANIZARON
LIONEL
RIBA
IN DESIGN
MARCH
PHILIP STEADMAN
PUBLICATIONS
GREAT BRITAIN
[ 4 ]
&
1971
LECCIONES DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA
CURSO PARA ESTUDIANTES DE ARQUITECTURA
C. ALSINA
GUSTAVO
E. TRILLAS
GILÍ
BARCELONA 1 9 8 4
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Impreso en el Taller de Impresión y Reproducción
UAM-Azcapotzalco.
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UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA
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UNIDAD AZCAPOTZALCO Coordinación de Extensión Universitaria
Sección Editorial
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