Problema 0.1 Calcular la longitud de una vuelta de una hélice de

Problema 0.1 Calcular la longitud de una vuelta de una hélice de radio R
y paso de rosca a, parametrizada por γ(φ) = (R cos φ, R sin φ, aφ). Obtener la
parametrización por longitud de arco de la hélice.
Solución:
Calculamos la velocidad de la parametrización,
γ 0 (φ) = −R sin φ ux + R cos φ uy + a uz ,
kγ 0 (φ)k =
p
R 2 + a2 ,
para calcular la longitud de la hélice,
L(Γ) =
Z
0
2π
kγ 0 (φ)k dφ =
Z
0
2π
p
p
R2 + a2 dφ = 2π R2 + a2 . 2
Figura 1: Hélice
La ecuación de la parametrización por longitud de arco es ds = kγ 0 (φ)k dφ.
Por tanto,
Z φ
p
s=
kγ 0 (φ)k dφ = R2 + a2 φ ,
0
γ̃(s) = γ
s
√
2
R + a2
s
s
s
, R sin √
, a√
= R cos √
.2
R 2 + a2
R 2 + a2
R 2 + a2
Problema 0.2 Calcular el momento de inercia de un rectángulo homogéneo de
lados a, b respecto a un eje que coincida con uno de los lados, respecto a un eje
paralelo al anterior que pase por el centro y respecto a un eje perpendicular al
rectángulo que pase por su centro.
Solución:
Podemos parametrizar de manera trivial el rectángulo por medio de
g : (−a/2, a/2) × (−b/2, b/2) →
R3
,
(x, y)
7→ (x, y, 0)
situando el rectángulo en el plano XY y el origen en el centro del rectángulo.
1
Figura 2: Rectángulo de lados a, b
Calculamos el momento respecto a los ejes, teniendo en cuenta que la densidad es σ = M/ab, ya que el área del rectángulo es ab,
3 b/2
Z a/2
Z b/2
Z a/2
Z
y
dx
dy y 2 = σ
dx
Ix = σ (y 2 + z 2 ) dS = σ
3 −b/2
S
−a/2
−b/2
−a/2
Z
b3 a/2
M b2
ab3
= σ
=
.
dx = σ
12 −a/2
12
12
Por la simetrı́a de la figura,
M a2
a2 + b 2
,
Iz = Ix + Iy = M
.2
12
12
Finalmente, para calcular el momento respecto al lado a, como está separado
una distancia b/2 del centro de masa,
Iy =
b2
M b2
=
,
4
3
usando el teorema de Steiner. Del mismo modo,
Ia = Ix + M
M a2
.2
3
Problema 0.3 Calcular por dos métodos el flujo del campo v(x, y, z) = 2y uy
a través de la parte del cilindro de ecuación x2 + y 2 = R2 , R > 0, comprendida
entre los planos z = −a, z = a.
Ib =
Solución:
Parametrizamos el cilindro usando coordenadas cilı́ndricas,
g:
(0, 2π) × (−a, a) →
R3
,
(φ, z)
7→ (R cos φ, R sin φ, z)
tomando como normal ∂φ × ∂z . Por tanto, el flujo
x
v
vy
Z 2π
Z a
∂g1 ∂g2
Φv,S =
dφ
dz ∂φ
∂φ
∂g
0
−a
∂g2
1
∂z
∂z
2
es
vz
∂g3
∂φ
∂g3
∂z
g(z,φ)
∂
∂φ
∂φ×∂
Figura 3: Cilindro
=
=
0
2R sin φ 0 dz −R sin φ R cos φ 0 dφ
−a
0
0
0
1 Z 2π
Z a
Z 2π
2R2
dφ
dz sin2 φ = 4aR2
sin2 φ dφ
Z
2π
Z
a
0
=
4aR2
0
−a
φ sin 2φ
−
2
4
2π
= 4πaR2 . 2
0
ν
Ζ+
ν
Ζ−
Figura 4: Cilindro cerrado
Como la divergencia del campo v es
div v(x, y, z) =
∂v x (x, y, z) ∂v y (x, y, z) ∂v z (x, y, z)
+
+
=2,
∂x
∂y
∂z
podemos aplicar el teorema de la divergencia para calcular el flujo pedido, usando el recinto comprendido dentro del cilindro, si le añadimos las dos tapas circulares que lo cierran, Z± , situadas en los planos z = −a, z = a, con normales
exteriores respectivas νZ− = −uz , νZ+ = uz . Teniendo en cuenta que el flujo a
través de las tapas Z± es nulo, ya que uz es perpendicular al campo v,
Z
Z
div v dV = 2
dV = 2Vol(V ) = 4πaR2 . 2
Φv,S = Φv,S + Φv,Z− + Φv,Z+ =
V
V
3
Problema 0.4 Calcular por varios métodos la circulación del campo v(x, y, z) =
y 2 ux a lo largo del triángulo definido por los ejes X, Y y la recta x + y = 1,
z = 0.
Solución:
Parametrizamos el triángulo, descomponiéndolo en tres segmentos, X, Y ,
XY ,
γX : (0, 1) →
R3
,
x
7→ (x, 0, 0)
γXY :
γY : (0, 1) →
R3
,
y
7→ (0, y, 0)
(0, 1) →
R3
.
x
7→ (x, 1 − x, 0)
Figura 5: Triángulo Γ
Si escogemos como orientación el sentido antihorario en el plano XY , resultará que estamos recorriendo X en sentido positivo, Y , XY en sentido negativo.
Por tanto,
Cv,Γ = Cv,X − Cv,Y − Cv,XY = 0 − 0 −
Z
Cv,X =
Cv,Y =
Cv,XY
Z
0
Z
1
1
=
Z
0
0
hv, τ iγX dx =
Z
1
0
1
hv, τ iγY dx =
Z
Z
1
hv, τ iγXY dx =
1
0
=
1
0
0
h0, ux i dx = 0 ,
2
y ux , uy dx = 0 ,
(1 − x)2 ux , ux − uy dx
(x − 1)3
(1 − x) dx =
3
2
1
1
=− .2
3
3
1
0
=
1
.
3
Otro método para calcular la circulación consiste en aplicar el teorema de
Stokes a una superficie que tenga por borde orientado la curva Γ, por ejemplo, el
triángulo plano limitado por Γ, con normal ν = uz , que lo podemos ver como la
4
región D del plano comprendida entre las rectas y = 1 − x, y = 0 para x ∈ [0, 1].
Como
ux uy uz rot v(x, y, z) = ∂x ∂y ∂z = −2y uz ,
y2 0
0 Cv,Γ
= Φrot v,D =
Z
D
=
Z
0
1
hrot v, νi dS =
1−x
dx −y 2 0 = −
Z
0
Z
0
1
dx
Z
1−x
dy (−2y)
0
1
(1 − x)2 dx =
5
(1 − x)3
3
1
0
=−
1
.2
3