Cónicas - Universidad de Alcalá

Cónicas
Marcos Marvá
Departamento de Física y Matemáticas,
Universidad de Alcalá
November 27, 2013
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Cómo definir una cónica
Como intersección de un plano y un cono recto de doble hoja
Llamaremos
Ángulo de conicidad α: ángulo formado por el plano
perpendicular al eje del cono y su recta generatriz.
Ángulo de incidencia β: ángulo formado por el plano
perpendicular al cono y el plano que corta al cono.
Casos degenerados: el plano incidente pasa por el vértice del cono.
Punto: α > β
Recta: α = β
Dos rectas secantes:
α ≤ β ≤ π2
Cómo definir una cónica
Casos NO degenerados: el plano incidente NO pasa por el vértice
del cono.
Circumferencia: β = 0
Elipse: α > β
Parábola: α = β
Hipérbola:
α ≤ β ≤ π2
Cómo definir una cónica
Algebráicamente
Como ecuación general de segundo grado:
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Lugar geométrico
Conjunto de puntos del plano que satisfacen una determinada
propiedad geométrica
(1)
Cónicas: la circumferencia
La circumferencia de centro (a, b) y radio R es el conjunto de los
puntos P = (x, y) del plano cuya distancia a (a, b) es R.
Imponiendo la condición de la definición, el teorema de Pitágoras
proporciona la ecuación
(x − a)2 + (y − b)2 = R2
(2)
Cónicas: la circumferencia
Además
Si hacemos
A = −2a
B = −2b
C = a2 + b2 − R2
en (x − a)2 + (y − b)2 = R2 la ecuación anterior adquiere la
forma
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
(3)
Recíprocamente, toda ecuación de tipo (3) con A2 + B2 > 4C2 es
una cirfumferencia de
r
−A −B
A2 B2
centro
,
y radio R =
+
−C
2
2
4
4
Cónicas: la parábola
La parábola es el conjunto de los puntos P del plano que son
equidistantes a una recta fija L, llamada directriz y a un punto F,
llamado foco, que está fuera de dicha recta.
Eje es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice es el único punto V de la la parábola que está en el eje.
Cónicas: la parábola
Ecuación de la parábola cuando el sistema de referencia es tal que el
vértice V está en el origen de coordenadas y el foco F en el eje OX:
y2 = 2px,
(4)
donde p es la distancia orientada de foco a la directriz. Si el foco está
en el eje de ordenadas, la ecuación es
x2 = 2py
(5)
Cónicas: la parábola
Ecuación canónica de la parábola con vértice en (h, k) arbitrario
respecto de un sistema de referencia
(x − h)2 = 2p(y − k)
o bien
(y − k)2 = 2p(x − h)
(x − h) indica desplazamiento horizontal de h unidades.
(y − k) indica desplazamiento vertical de k unidades.
Analogía entre y = f (x − h) + k ↔ y = f (x)
(6)
Cónicas: la parábola
Teorema: propiedades reflectoras de las parábolas
La recta tangente a la parábola en un punto P forma ángulos iguales
con
1
La recta que pasa por P y por el foco.
2
La recta que pasa por P y es paralela al eje de la parábola.
Cónicas: la parábola
Hallar la ecuación de la parábola de vértice (2, 1) y foco (2, 4).
Hallar el vértice, en foco, el eje, la directriz y la gráfica de la parábola
de ecuación y2 − 8y = 4x − 8
El receptor de una antena parabólica de T.V. dista 3 dm, del vértice y
se se encuentra situado en su foco. Hallar la ecuación de la sección
del reflector (se supone dirigido hacia arriba y que su vértice está en el
origen de coordenadas).
El telescopio de reflexión del monte Palomar utiliza un espejo de
contorno circular de 200 plg de diámetro. El perfil del espejo según
un di ámetro es una parábola cuya distancia focal es 55.5 pie.
1
Encontrar una ecuación de la sección parabólica.
2
¿Cuál es la profundidad máxima del espejo?
Cónicas: la elipse
La elipse es el conjunto de los puntos P del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos F1 y 2 llamados focos es constante.
Vértices: puntos de corte de la elipse con la recta que une sus focos.
Eje mayor: cuerda que une los vértices.
Centro : punto medio del eje mayor.
Eje menor: cuerda perpendicular al eje mayor por el centro.
Cónicas: la elipse
La ecuación de la elipse cuando el sistema de referencia es tal que el
origen de coordenadas coincide con el centro de la elipse
x2
y2
+
=1
a2 b2
donde 2a y 2b son las longitudes de los ejes mayor y menor.
Proposición: en las condiciones anteriores se cumple a2 = b2 + c2
(7)
Cónicas: la elipse
Proposición:
dada una elipse centrada en el origen de coordenadas y ecuación
y2
x2
+
= 1, sus focos están situados en
a2 b2
1 Si a > b, entonces
p
F1 = (−c, 0),
F2 = (c, 0),
c = a2 − b2 .
2
Si a = b, es una circumferencia.
3
Si a < b, entonces
F1 = (0, −c),
F2 = (0, c),
c=
p
b2 − a2 .
Cónicas: la elipse
Forma canónica de la ecuación de elipse con centro en (h, k)
(x − h)2 (y − k)2
+
=1
a2
b2
Donde
Si a > b en (8) los focos (h ± c, k) están sobre la recta y = k.
Si a < b en (8) los focos (h, k ± c) están sobre la recta x = h.
Determinar los vértices y los focos de la elipse de ecuación
9x2 + 25y2 − 36x + 150y + 36 = 0
x2 + 4y2 − 2x + 2y − 11 = 0
(8)
Cónicas: la elipse
La excentricidad de una elipse es le cociente
e=
c
a
Para una elipse se cumple que
0<e<1
Determina la ecuación de la elipse de excentricidad
vértices son (±5, 0).
3
y cuyos
5
Cónicas: la elipse
Teorema: propiedades reflectoras de la elipse
La recta tangente a una elipse en un punto P forma ángulos iguales
con las rectas que pasan por P y por cada uno de los focos.
Cónicas: la hipérbola
La hipérbola
es el conjunto de los puntos P del plano cuya diferencia de distancias
a dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos es constante e igual a,
digamos, k.
Cónicas: la hipérbola
La ecuación de la hipérbola Si el sistema de referencia es tal que los
focos se situan sobre el eje de abcisas y el origen de coordenadas es el
punto medio de los mismos,
x2
y2
−
=1
a2 b2
(9)
k
Vértices: puntos de corte con el eje 0X; (−a, 0), (a, 0) (a = < c).
2
√
a y b = c2 − a2 son las longitudes de los ejes mayor y menor.
Cónicas: la hipérbola
Cuando los focos se situan sobre el eje de ordenadas en (0, −c) (0, c)
la forma canónica de la ecuación de la hipérbola es
x2
y2
−
=1
b2 a2
Las rectas
b
−b
y= x
y=
x
a
a
son las asíntotas de la hipérbola de la izquierda.
(10)