Misiones No Geocéntricas

Misiones No Geocéntricas
1. Misiones Lunares
2. Misiones Interplanetarias
Mar-12-08
Rafael Vázquez Valenzuela
Vehículos Espaciales y Misiles
1
Misiones No Geocéntricas
1. Misiones Lunares
•
•
•
1.
2.
3.
Primer Análisis: Órbita de Intercepción e impulsos mínimos.
Esfera de Influencia
Proceso de “Ajuste de Cónicas”
Hipótesis de partida:
La órbita de la Luna es una órbita kepleriana circular, de radio
D=384400 km.
La sonda lunar comienza en una órbita de aparcamiento de radio
r0, en el plano orbital de la Luna.
No se considera ningún tipo de perturbación adicional a la
presencia de los dos cuerpos (Tierra y Luna) que ejercen su
atracción gravitatoria sobre la sonda.
Apr-10-07
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1. Misiones Lunares
Primer Análisis: Órbita de Intercepción. Para un primer análisis, se
desprecia la atracción gravitatoria de la Luna y se considera simplemente
la transferencia de la órbita de aparcamiento a la órbita de la Luna.
Posibles trayectorias:
Apr-10-07
•
Órbita de mínima energía: la
transferencia de Hohmann.
•
Otras órbitas elípticas más
excéntricas.
•
Órbita parabólica o de
escape.
•
Órbitas hiperbólicas: las más
rápidas.
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Misiones No Geocéntricas
1. Misiones Lunares
Primer Análisis: Impulsos mínimos.
El resultado de calcular todas las posibles órbitas es el siguiente:
Se deduce que no es necesario
emplear una órbita parabólica o
hiperbólica, puesto que aumentan el
coste sin reducir sensiblemente el
tiempo de vuelo.
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1. Misiones Lunares
Primer Análisis: Órbita de Intercepción. El encuentro Luna-sonda será
posible sólo si ambos cuerpos llegan simultáneamente al punto de
encuentro! Por tanto, es necesario conocer cuando se aplica el impulso en
la órbita de aparcamiento, cuál debe ser el ángulo inicial de la Luna
(llamado “ángulo de fase” y denotado como ). Será necesario aguardar
a que la Luna se encuentre en dicho ángulo para realizar la transferencia
(“ventana de oportunidad”).
Determinación:
tTRANS
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μ
= TRANS D3
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1. Misiones Lunares
La esfera de influencia. Concepto originalmente inventado por Laplace.
Consideremos un vehículo espacial cercano a un cuerpo masivo (que
denotamos como 1), y alejado de otro cuerpo (que denotamos como 2)
cuya atracción puede considerarse en primera aproximación como una
perturbación. La fuerza gravitatoria específica, g, que siente el vehículo
espacial, se puede escribir como
g = g1 + g2 '
g
donde 'denota que la fuerza se considera perturbativa. Si por el
contrario el cuerpo se encontrase en las inmediaciones del cuerpo 2:
g = g1 '+ g2
Consideremos los puntos del espacio para los que se verifica:
g1 ' g2 '
=
g2
g1
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1. Misiones Lunares
La esfera de influencia.
g1 ' g2 '
=
g2
g1
Dichos puntos verifican que la perturbación tiene la misma magnitud con
respecto a la fuerza central kepleriana, en las dos ecuaciones:
g = g1 + g2 '
g = g1 '+ g2
Por tanto, la aproximación g g2 o g g1 es igualmente válida; dichos
puntos constituyen el límite que divide el espacio en dos zonas, en las
cuales una aproximación es mejor que la otra. Una expresión
aproximada para el lugar geométrico descrito por dicha ecuación cuando
el cuerpo 2 es supuesto menos masivo que el cuerpo 1, consiste en una
esfera (la esfera de influencia) alrededor del cuerpo 2, de radio:
m2 Re = D m Apr-10-07
1
2 /5
(donde D es la distancia entre 1 y 2)
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1. Misiones Lunares
La esfera de influencia.
Para ese caso (cuerpo 1 más masivo que 2), el interior de la esfera de
influencia será donde se considere la atracción del cuerpo 2 y se
despreciará la de 1, mientras que en el exterior, sólo se considerará la
atracción de 1. Si una trayectoria kepleriana (con 1 como cuerpo
central) cruza la esfera de influencia, se calculará una nueva trayectoria
kepleriana (proceso de ajuste de cónicas) con 2 como cuerpo central, y
condiciones iniciales las de la trayectoria anterior al cruzar la esfera.
Este análisis en primera aproximación es válido tanto en el caso TierraLuna (todo el espacio dominado por la atracción de la Tierra excepto la
esfera de influencia lunar) como para análisis en el Sistema Solar (todo
el espacio dominado por la atracción del sol excepto las esferas de
influencia de cada planeta, y dentro de éstas las esferas de influencia de
sus respectivos satélites).
En el caso lunar: tomando D=384400 km, resulta Re=66183 km.
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Misiones No Geocéntricas
1. Misiones Lunares
Ajuste de cónicas.
Para diseñar (en primera aproximación) una misión lunar, se calculará
en primer lugar una transferencia orbital geocéntrica desde la órbita de
aparcamiento, que entre en la esfera de influencia lunar.
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1. Misiones Lunares
Ajuste de cónicas.
Fijada la órbita de aparcamiento (en el ejemplo, de altitud 180 km, es
decir, r0=6558 km), conocidas la posición inicial (ángulo de fase) de la
Luna y la velocidad de inyección, denotada por Vi y definida como la
velocidad TOTAL necesaria al
principio de la órbita de la
transferencia) se calcula si se entra
o no en la esfera de influencia lunar,
definiendo así “ventanas de
oportunidad”.
(La linea gruesa central denota
impacto con la superficie lunar)
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1. Misiones Lunares
Ajuste de cónicas.
Una vez la sonda cruza la esfera de influencia
lunar, hay que calcular una nueva trayectoria
con la Luna como cuerpo central, usando
como condiciones iniciales las de la órbita
geocéntrica en su encuentro con la esfera.
Egorov demostró que la trayectoria lunar es
siempre una hipérbola, que habrá que
determinar.
Importante: no olvidar que para expresar la
velocidad en el nuevo sistema de referencia
(selenocéntrico) se debe sustraer a la
velocidad de la sonda (expresada en el
sistema de referencia geocéntrico) la
velocidad de la Luna respecto de la Tierra!!
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1. Misiones Lunares
Tipos de misiones lunares.
•
•
•
Misión de impacto: este tipo de misión requiere que el radio del
perilunio de la hipérbola selenocéntrica sea menor que el radio
lunar (es decir, 1738 km).
Misión de orbitación lunar: se requerirá convertir la hipérbola
selenocéntrica en una elipse alrededor de la luna, con una
maniobra que exigirá un cierto impulso.
Misión de sobrevuelo: se deja inalterada la hipérbola, con lo
que a la salida de la esfera de influencia ha de realizarse un
nuevo proceso de ajuste de cónicas para determinar una nueva
trayectoria geocéntrica.
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1. Misiones Lunares
Ejemplo de misión de sobrevuelo.
Prediseño efectuado por Egorov de la misión de la sonda Lunik III,
para fotografiar la cara oculta de la Luna y enviar las imágenes de
vuelta a la Tierra.
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Misiones No Geocéntricas
2. Misiones Interplanetarias
•
•
•
•
1.
2.
3.
Esferas de Influencia
Órbitas de Intercepción e impulsos mínimos requeridos
La maniobra asistida por gravedad
El proceso de ajuste de cónicas.
Hipótesis de partida:
Las órbita de los planetas alrededor del sol son coplanarias y
circulares, con radios fijos.
La sonda interplanetaria comienza en una órbita de aparcamiento
de radio r0, en el plano de la eclíptica.
No se considera ningún tipo de perturbación adicional a la
presencia de los tres cuerpos (Tierra, Sol y planeta de destino)
que ejercen su atracción gravitatoria sobre la sonda.
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Misiones No Geocéntricas
2. Misiones Interplanetarias
Las esferas de influencia. Empleamos el concepto que se introdujo para
misiones lunares de la esfera de influencia. Se modela el Sistema Solar
como dominado por la atracción gravitatoria del Sol, excepto en esferas
centradas en cada planeta cuyo radio viene dado por:
2 /5
mPLANETA (donde a es la distancia media al sol)
Re = a m Los resultados que se obtienen de aplicar dicha fórmula son:
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Misiones No Geocéntricas
2. Misiones Interplanetarias
Las esferas de influencia.
De la tabla se extraen las siguientes conclusiones:
1. Los radios de las esferas de influencia son muy pequeños comparados
con los radios de las órbitas planetarias. Por tanto, en el cálculo de la
órbita heliocéntrica las esferas de influencia se consideran puntuales.
2. Los radios de las esferas de influencia son muy grandes comparados
con los radios de los planetas. Por tanto, en el cálculo de las órbitas
planetocéntricas, se consideran dichos radios infinitos.
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Misiones No Geocéntricas
2. Misiones Interplanetarias
Primer Análisis: Órbita de Intercepción. Para “escapar” de la esfera de
influencia (EI) terrestre, la sonda debe asumir una trayectoria geocéntrica
hiperbólica. Puesto que se asume la EI infinita, la velocidad a la salida de
la esfera de influencia será V , el exceso de velocidad hiperbólico. Una
vez fuera de la EI, la velocidad inicial en la órbita heliocéntrica será:
VINICIAL = V + V
Dado el radio de la órbita de la Tierra, se tiene:
V =
μ
132712439935, 5
= 29.74 km/s
6
150 10
a
Analicemos una transferencia de Hohmann desde la órbita circular de la
Tierra hacia la órbita circular del planeta destino. Para realizar este tipo
de transferencia, el vector V ha de ser paralelo al vector de velocidad de
la Tierra.
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2. Misiones Interplanetarias
Primer Análisis: Órbita de Intercepción. Según el planeta sea superior (i.e.
más alejado del Sol que la Tierra) o inferior, el vector V deberá apuntar
en la misma dirección que la velocidad de la Tierra, o en la opuesta. En la
figura se pueden ver los ejemplos de Marte (superior) y Venus (inferior):
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2. Misiones Interplanetarias
Primer Análisis: Órbita de Intercepción. En la siguiente figura se pueden
ver, para los dos casos, como ha de diseñarse la hipérbola de salida
geocéntrica para obtener la velocidad V necesaria (recordemos que en el
infinito, la velocidad de exceso hiperbólica sigue la dirección de las
asíntotas de la hipérbola.
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2. Misiones Interplanetarias
Primer Análisis: Impulsos mínimos.
Se puede calcular, para cada órbita
alrededor del Sol, cuál sería el impulso
mínimo V que se debe añadir en la
órbita de aparcamiento para llegar a
cada planeta, y el tiempo de
transferencia (para transferencias de
tipo Hohmann).
Observaciones:
a) Las misiones a planetas exteriores
requiren un tiempo muy largo.
b) El interior del Sistema Solar es
enérgeticamente muy costoso.
Por tanto: Las misiones no se lanzan
de forma directa al destino!
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2. Misiones Interplanetarias
Maniobra asistida por gravedad El análisis anterior justifica la búsqueda
de un mecanismo para obtener propulsión adicional y así disminuir el
coste energético y el tiempo de vuelo.
Una fuente “gratuita” de energía son otros planetas!
“Júpiter juega con las órbitas de los cometas”
Leverrier, matemático francés (siglo XIX)
En las inmediaciones de un planeta, una órbita verá modificada su órbita
de forma sustancial. La idea de la maniobra es aprovechar esta
modificación para ganar (o perder, si se desea frenar) energía y/o
modificar la dirección de la trayectoria.
(Adicionalmente: ningún planeta es tan conocido como para que
sobrevolarlo no proporcione datos nuevos de interés.)
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2. Misiones Interplanetarias
Maniobra asistida por gravedad Explícitamente, denominemos la velocidad
antes del encuentro, en el sistema de referencia heliocéntrico, como Va, y
la velocidad tras el encuentro, Vd. Similarmente, llamemos va y vd a estas
mismas velocidades expresadas en el s.r. planetocéntrico. Se tiene:
Va = VP + va , Vd = VP + vd
donde VP es la velocidad del planeta.
Además:
rp
μP
va = vd = v =
,a =
,sin = e
a
e1
2
De la figura:
V = 2V sin
2
y operando:
1
V = 2V
V2
1 + rp
μP
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2. Misiones Interplanetarias
Maniobra asistida por gravedad En el cálculo anterior, V viene dada por
la velocidad del planeta VP y la velocidad con la que la sonda se acerca al
planeta Va. Las dos variables que se pueden optimizar son V y el
acercamiento máximo al planeta, dado por el radio de periapsis rp. Puesto
que está claro que a menor rp mayor aporte de energía, tomemos rp=RP,
el radio planetario. Optimizando con respecto a V se tiene:
VOPT =
μP
eOPT = 2, OPT = 60 , V MAX =
RP
μP
RP
Es decir, la velocidad circular correspondiente a
periapsis en la hipérbola, con periapsis a “altura
cero”. Los resultados para los diferentes planetas
se resumen en la tabla.
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2. Misiones Interplanetarias
Maniobra asistida por gravedad por El máximo anteriormente conseguido
es teórico, ya que muchas consideraciones diferentes impiden alcanzarlo;
p.ej. atmósferas planetarias. Asimismo, no es recomendable acercarse a
Júpiter más de 10 radios planetarios debido a su fuerte campo magnético.
En la figura, las maniobras consecutivas que permitieron a la Voyager II
alcanzar la velocidad de escape del Sistema Solar (la configuración
planetaria que permite el llamado “Grand Tour” se repite sólo una vez
cada 176 años).
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2. Misiones Interplanetarias
Proceso de ajuste de cónicas.
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En el análisis preliminar, se calculan
muchas posibles trayectorias
heliocéntricas, diferentes de la de
Hohmann. Para encontrar estas
trayectorias, se parte de una
“oposición de referencia” y se
consideran diferentes ángulos y
tiempos, determinándose el tiempo
de vuelo y los puntos de partida y
llegada. Entonces se resuelve el
Problema de Lambert para
determinar la cónica de la
trayectoria. Todas estas soluciones
se pueden representar gráficamente.
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2. Misiones Interplanetarias
Tabla de trayectorias heliocéntricas para viajar de la Tierra a Júpiter.
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2. Misiones Interplanetarias
Proceso de ajuste de cónicas. Puesto que la esfera de influencia se
supone puntual a efectos de la trayectoria heliocéntrica, sólo es
importante en la hipérbola geocéntrica que V tenga la dirección
(marcada por u en la figura) y magnitud correctas (sin importar el plano
de la hipérbola!). Por ello existen una serie de puntos, posibles perigeos
hiperbólicos, que constituyen una circunferencia en la figura; la maniobra
de inyección habrá de realizarse en la intersección de la órbita de
aparcamiento con dicha circunferencia.
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2. Misiones Interplanetarias
Proceso de ajuste de cónicas. Finalmente, al llegar al planeta de destino,
se ajusta la cónica siguiendo el mismo procedimiento. Se pueden
construir ciertas “secciones
hiperbólicas” que en su intersección
con el punto de entrada determinan si
la trayectoria es:
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1.
De colisión.
2.
De “entrada” o “reentrada” (en la
atmósfera planetaria).
3.
De orbitación planetaria (se aplica
un V en periapsis para “cerrar” la
órbita).
4.
De sobrevuelo (apta para una
maniobra asistida por gravedad).
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