curvatura y puntos de inflexión

CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
1. Halla los puntos de inflexión, si los tiene, de la función f (x) = x3 – 6x2 + 9x. Determina sus intervalos de
curvatura.
2. Estudia la curvatura de la función: f (x) = x3 – 3x + 2.
3. ¿Para cuál de las funciones f (x) = x, f (x) = x2, f (x) = x3, existe un punto en el que la derivada es nula
pero no es ni un máximo ni un mínimo? ¿Qué tipo de punto es?
4. Estudia los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función f (x) = x4 – 6x2.
5. Estudia los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función f (x) = x4 – x.
6. Estudia los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función f (x) =1/x.
7. Estudia los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función f (x) =
8. Estudia la curvatura de la función: f (x) =
x
.
x −9
2
x−3 .
9. Estudia los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función f (x) = x · e–x.
10. La función f (x) = x3 + ax2 + bx + c verifica que f (1) = 1, f ‘ (1) = 0. Calcula a, b y c sabiendo que f no
tiene un extremo en x = 1.
11. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = 2x3 – 6x2 + 4 en su punto de inflexión.
12. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = x3 – 6x2 + 16x – 11 en su punto de inflexión.
13. La siguiente gráfica corresponde a la función f ‘ (x), primera
derivada de una determinada función f (x).
Estudia la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de f (x)
utilizando solamente la gráfica de f ‘ (x).
14. La siguiente gráfica corresponde a la función f ‘ (x), primera
derivada de una determinada función f (x).
Estudia la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de f (x)
utilizando solamente la gráfica de f ‘ (x).
15. Estudia los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función f (x) =
Ln x
.
x
16. Dada la función f (x) = x3 + ax2 + 5, halla el valor de a para que tenga un punto de inflexión cuando
x = 1. Encuentra, en este caso, todos los extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, de
convexidad y concavidad y los puntos de inflexión.
Respuestas:
1. La función es convexa en (–∞, 2) y cóncava en (2, +∞). En punto (2, 2) es un punto de inflexión.
2. La función es convexa en (–∞, 0) y cóncava en (0, +∞). El punto (0, 2) es un punto de inflexión.
3. f (x) = x3. Es un punto de inflexión.
4. La función es cóncava en (–∞, –1) ∪ (1, +∞) y convexa en (–1, 1). Los puntos (–1, –5) y (1, –5) son
puntos de inflexión.
5. La función es cóncava en todo su dominio.
6. La función es convexa en (–∞, 0) y cóncava en (0, +∞).
7. La función es convexa en (–∞, –3) ∪ (0, 3) y es cóncava en (–3, 0) ∪ (3, +∞). El punto (0, 0) es un punto
de inflexión.
8. La función es cóncava en (3, +∞) y no tiene puntos de inflexión.
9. La función es convexa en (–∞, 2) y cóncava en (2, +∞). El punto (2, 2e–2) es un punto de inflexión.
10. a = –3; b = 3; c = 0
11. y = –6x + 6
12. y = 4x – 3
13. La función es cóncava, pues f ‘ (x) es creciente, como se ve en la gráfica. No hay puntos de inflexión.
14. La función es convexa en (–∞, 0), pues f ‘ (x) es decreciente en ese intervalo, como se ve en la gráfica.
La función es cóncava en (0, +∞), pues f ‘ (x) es creciente en ese intervalo, como se ve en la gráfica. Hay un
punto de inflexión en x = 0.
3


15. La función es cóncava en ( 0,e3/ 2 ) y convexa en ( e3/ 2 , + ∞ ) . El punto  e3 / 2 , e −3/ 2  es un punto de
2


inflexión.
16. a = –3. La función crece en (–∞, 0) ∪ (2, +∞) y decrece en (0, 2). En el punto (0, 5) hay un máximo y en
el punto (2, 1) hay un mínimo. La función es convexa en (–∞, 1) y cóncava en (1, +∞). El punto (1, 3) es un
punto de inflexión.