Cálculo mental - Biblioteca de la Universidad de La Rioja

TRABAJO FIN DE GRADO
Título
Cálculo mental
Autor/es
Laura Fernández Jiménez
Director/es
José Ignacio Extremiana Aldana
Facultad
Facultad de Letras y de la Educación
Titulación
Grado en Educación Primaria
Departamento
Curso Académico
2013-2014
Cálculo mental, trabajo fin de grado
de Laura Fernández Jiménez, dirigido por José Ignacio Extremiana Aldana (publicado por
la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia
Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.
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El autor
Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2014
publicaciones.unirioja.es
E-mail: [email protected]
Trabajo de Fin de Grado
CÁLCULO MENTAL
Autor:
LAURA FERNÁNDEZ JIMÉNEZ
Tutor/es:
Fdo. JOSÉ IGNACIO EXTREMIANA ALDANA
Titulación:
Grado en Educación Primaria [206G]
Facultad de Letras y de la Educación
AÑO ACADÉMICO: 2013/2014
RESUMEN
Las matemáticas desempeñan un papel fundamental en el sistema educativo
español, siendo junto con el lenguaje y el conocimiento del medio las áreas más
significativas y valoradas del currículo. Esta importancia se debe a su presencia en
diversas situaciones y actividades cotidianas. Por ello es imprescindible que los
ciudadanos posean conocimientos matemáticos, adquiridos en los centros educativos.
El presente trabajo está relacionado con el cálculo mental, aspecto relevante en
las matemáticas y muy práctico y aplicable en el resto de las áreas del currículo. Por ello
el objetivo principal del proyecto es diseñar una serie de actividades para facilitar a los
estudiantes la adquisición de unas pautas para enfrentarse con éxito a situaciones y
actividades donde esté presente. También trata de aumentar las capacidades cognitivas
de los alumnos, a través de la práctica del cálculo mental y la aproximación en diversas
actividades.
Para la elaboración del trabajo se ha realizado una búsqueda bibliográfica sobre
el cálculo mental y su aplicación en el aula, prestando especial atención a los distintos
libros y artículos científicos relacionados con este tema. Gracias a esta búsqueda se ha
logrado investigar, descubrir y aprender mucho sobre el concepto, la aplicación, las
ventajas, desventajas, estrategias, relación con la aproximación y muchos más ámbitos
del cálculo mental.
Además se ha planteado un conjunto de actividades transversales para aplicar en
las distintas áreas de la Educación Primaria, y se ha realizado otras actividades para
desarrollar en el área de las matemáticas. Ambas propuestas tratan de conseguir que los
alumnos desarrollen correctamente la competencia del cálculo mental, a través de
actividades individuales o grupales, que sean innovadoras, lúdicas y creativas.
1
ABSTRACT
Mathematics perform a fundamental role in the Spanish educational system,
being with the language and the knowledge of the medium the areas to be more
significant and valued in the education system. This importance is due to its presence in
various situations and daily activities. It is therefore essential that citizens have the
mathematical knowledge, acquired in the schools.
This work is related with the mental calculation relevant aspect in math and very
practical and applicable in other areas of the education. Therefore the main objective of
the project is to construct a number of activities to facilitate the acquisition of guidelines
for students to confront with success situations and activities where present situations
arise. Also tries to increase the knowledge of the student´s capabilities, through the
mental practice of the calculation and approximation in various activities.
For the preparation of the work a literature search about the mental calculation
and its application in the classroom, presents special attention to the different books and
articles scientists related to this topic. Thanks to this research that I have investigated,
discovered, and learned a lot about the concept, application, advantages, disadvantages,
strategies, relationship with the approach and many more areas of the mental
calculation.
Also has been raised with set of cross-cutting activities to apply in different
areas of Primary Education, and other activities that have been developed in the area of
mathematics. Both proposals attempt to get students to properly develop competition of
the mental calculation, through individual or group setting that are innovative, playful
and creative.
2
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 5
CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DE OBJETIVOS ................................................................ 7
CAPÍTULO II: ENFOQUE TEÓRICO Y JUSTIFICACIÓN ...................................................... 9
2.1 Matemáticas en el BOR ....................................................................................... 12
2.2 Teorías del aprendizaje-enseñanza de las matemáticas........................................ 16
CAPÍTULO III: CÁLCULO MENTAL ..................................................................................... 20
3.1 ¿Qué se entiende por cálculo mental? .................................................................. 21
3.2 Ventajas e inconvenientes del cálculo mental ...................................................... 23
3.3 Estrategias de cálculo mental ............................................................................... 24
3.4 La aproximación y el cálculo mental ................................................................... 29
3.5 Estrategias del cálculo aproximado ...................................................................... 30
3.6 Orientaciones didácticas para trabajar el cálculo mental ..................................... 33
CAPÍTULO IV: PLANTEAMIENTO DE ACTIVIDADES ...................................................... 35
4.1 Experiencia con el cálculo mental........................................................................ 35
4.2 El cálculo mental, una aplicación transversal ...................................................... 36
4.3 Propuesta de actividades para el área de matemáticas ......................................... 40
4.4 Soluciones de las actividades transversales ......................................................... 46
4.5 Soluciones de las actividades para el área de matemáticas .................................. 47
CAPÍTULO IV: CONCLUSIONES ........................................................................................... 51
CAPÍTULO V: BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 53
3
4
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo muestra los aspectos más importantes del cálculo mental y su
aplicación en el 3er ciclo de la educación primaria, concretamente en el 6º curso.
Pretende lograr un acercamiento a este campo de las matemáticas e intentar facilitar su
aplicación en el aula aportando diversos ejemplos y actividades para llevar a cabo.
En el capítulo 1º se enumeran los objetivos que se pretende conseguir. Tratando
de introducir y familiarizar al lector en el tema principal del trabajo.
El capítulo 2º se divide en tres partes: en la primera, se contextualiza el trabajo
reflexionando sobre lo que son las matemáticas y su didáctica; en la segunda, se detalla
lo que el sistema educativo español trata de conseguir con las matemáticas en la
educación primaria, se enuncian los bloques de contenidos de este área, las
competencias básicas que se trabajan y los objetivos que se pretenden conseguir. En la
tercera, se comenta el significado de la teoría de enseñanza-aprendizaje y se destacan
cuatro teorías; la conductista, la cognitivista, la constructivista y la sociocultural.
El capítulo 3º se centra en el cálculo mental y se divide en seis partes: en la
primera, aparecen varias definiciones del cálculo mental; en la segunda las ventajas e
inconvenientes del mismo. En la tercera se ofrece la explicación de algunas estrategias
del cálculo mental; en la cuarta se introduce el cálculo aproximado; en la quinta se citan
algunas estrategias del mismo. Y por último, en la sexta parte se expresan diferentes
orientaciones didácticas que tiene que tener el cálculo mental.
En el capítulo 4º se presentan diversas actividades relacionadas con el cálculo
mental. Está dividido en cinco partes, en la primera se cuenta una experiencia real sobre
el cálculo mental en un colegio, en la segunda se plantean actividades transversales y en
la tercera, actividades para aplicar en el área de las matemáticas, ambas partes dedicadas
al 3er ciclo de la Educación Primaria. Las últimas dos partes desvelan la solución de las
diversas actividades y ejemplos del trabajo.
En el 5º y último capítulo, se expresan las conclusiones personales sobre el
trabajo, tratando de realizar aportaciones útiles para futuras aplicaciones del cálculo
mental en las aulas.
5
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CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DE OBJETIVOS
A continuación se exponen los 3 objetivos que se pretenden alcanzar, y para
cada uno de ellos se presentan varios objetivos específicos, los cuales ayudan a
profundizar en los diferentes temas tratados en cada uno de los capítulos.
Generales
1. Comprender los aspectos más relevantes del cálculo mental.
2. Relacionar el cálculo mental con el cálculo aproximado
3. Plantear actividades educativas referentes al cálculo mental.
Específicos
1.1. Encontrar el verdadero valor, sentido y utilidad del cálculo mental.
1.2. Comparar las ventajas frente a los inconvenientes de la utilización del cálculo
mental.
1.3. Conocer las estrategias básicas del cálculo mental.
2.1. Conocer las estrategias básicas del cálculo aproximado.
2.2. Saber las orientaciones didácticas para realizar el cálculo mental en el aula.
3.1. Plantear actividades de cálculo mental en contextos cotidianos.
3.2. Presentar una propuesta de actividades interdisciplinares en las que se utilice el
cálculo mental.
3.3. Proponer alternativas a las actividades vivenciadas en mis prácticas escolares
referentes al cálculo mental dentro del área de las matemáticas.
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8
CAPÍTULO II: ENFOQUE TEÓRICO Y JUSTIFICACIÓN
El origen de la palabra matemática tiene su procedencia más antigua en un
término griego, μάθημα, traducido como conocimiento. A su vez, ésta se tradujo en latín
como mathematĭca.
La RAE, en la edición 22 del diccionario de la lengua española, (2001) define la
voz matemática como “Una ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes
abstractos, como números, figuras geométricas, y sus relaciones”. Pero también ofrece
otras definiciones relacionadas, describiendo las matemáticas aplicadas como “El
estudio de la cantidad considerada en relación con ciertos fenómenos físicos” Y las
matemáticas puras como “El estudio de la cantidad considerada en abstracto”.
Las matemáticas basan su estudio en la relación existente entre las distintas
cantidades, magnitudes y operaciones lógicas para obtener otras cantidades, magnitudes
y propiedades desconocidas, logrando analizar diversas situaciones. Es una de las
herramientas más útiles y prácticas para hallar la solución a los problemas que surgen
en múltiples circunstancias.
Por ello su importancia se debe a dos aspectos, en primer lugar porque ayudan a
explicar situaciones generales de la vida. Por ejemplo, cómo es la órbita de los planetas,
por qué no se cae un edificio… Y en segundo lugar, porque gracias a su práctica se
desarrollan capacidades cognitivas en las personas y así, habilidades para enfrentarse a
la vida cotidiana.
Su historia es muy amplia, ya que son tan antiguas como la propia humanidad.
Desde la prehistoria hay hechos de numeración y conocimientos geométricos,
observables en los restos de cerámicas, pieles y pinturas rupestres. Pero las primeras
referencias matemáticas más avanzadas se dieron en las grandes civilizaciones antiguas,
como son Egipto, Mesopotamia, la antigua China... Y a partir de ese momento hasta la
actualidad, comenzaron a desarrollarse ampliamente.
Siempre ha habido preocupación por la enseñanza de las matemáticas, pero
desde mediados del siglo XX este interés se incrementó de manera notable, tratando de
dar un enfoque educativo a las mismas.
9
Autores como Steiner (1985), Schoenfled (1987), Freudenthal (1991), Sierra
(1992), Brousseau (1998) y muchos más, definieron la palabra Didáctica, como la
organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje de cualquier materia o área.1
Pero tiene muchas acepciones, tales como enseñar, comunicar, conectar, lograr
que los alumnos aprendan… Por ello es importante entender la didáctica como una
ciencia de la educación, formalmente especulativa, pero virtualmente práctica, de ahí su
carácter teórico-práctico de ciencia aplicada que tiene una relación interdisciplinar con
las demás ciencias de la educación. La didáctica es utilizada por los docentes para saber
cómo realizar la enseñanza y qué métodos deben utilizar para que sea formativa.
La didáctica de las matemáticas comprende distintos ámbitos, se preocupa de las
teorías educativas, del currículo, de la política educativa, de la formación de profesores
y de los procesos de enseñanza-aprendizaje en las aulas. En estos procesos la didáctica
de las matemáticas juega un papel muy importante, ya que estudia las interacciones y
relaciones entre los distintos elementos del aula, para comprender y poder tomar las
decisiones más adecuadas en cada momento o situación.
En la teoría de Brousseau, se da mucha importancia a las interacciones dentro
del aula por ello dice que los 3 elementos que siempre están presentes en el aula son:

el estudiante

el contenido matemático

el profesor.
1. Linares Ciscar, (2011). Didáctica de las matemáticas y el profesor de los niveles básicos
1
García Cruz, J.A. La didáctica de las matemáticas: una visión general. Matemáticas en Secundaria.
Red telemática educativa europea. Información facilitada por el tutor del TFG.
10
De estos 3 elementos es la figura del profesor la más importante, ya que es quién
debe conseguir que los alumnos adquieran una formación adecuada planteando diversos
problemas y actividades. Estas actividades tienen que estar bien estructuradas y
planteadas. Obviamente, el docente debe conocer el contenido matemático y debe
responsabilizarse de los siguientes aspectos:

Crear ambientes de aprendizaje.

Lograr que los estudiantes reflexionen.

Propiciar la comunicación de las ideas matemáticas que se producen en el aula.

Evaluar el nivel de comprensión de los conceptos matemáticos.
En el anexo del decreto 4 / 2011 de 20 de enero, (BOR. 4 de febrero), por el que
se establece el currículo de educación primaria en la comunidad autónoma de La Rioja,
se definen las matemáticas cómo, “Un conjunto de conocimientos asociados en una
primera aproximación a los números y las formas, que se van progresivamente
completando hasta constituir un modo valioso de analizar situaciones variadas.
Permiten estructurar el conocimiento que se obtiene de la realidad, analizarla y lograr
una información nueva para conocerla mejor, valorarla y tomar decisiones”.
Además ofrece otra concepción, entendiendo las matemáticas como, “Un
conjunto de ideas y formas de actuar que conllevan no sólo a utilizar cantidades y
formas geométricas, sino, y sobre todo, hacerse preguntas, obtener modelos e
identificar relaciones y estructuras, de modo que, al analizar los fenómenos y
situaciones que se presentan en la realidad, se puedan obtener informaciones y
conclusiones que no estaban explícitas”. “También son inducción, estimación,
aproximación, probabilidad y tentativa, y mejoran la capacidad de enfrentarse a
situaciones abiertas, sin solución única y cerrada”.
Así que el currículo da mucha relevancia al aprendizaje de las matemáticas,
porque éstas son útiles en muchos y diferentes ámbitos (en la vida cotidiana, mundo
laboral…). Además, su aprendizaje es eficaz para la formación intelectual general y
para potenciar capacidades cognitivas en el alumnado. Por ello los docentes deben
dirigir los contenidos matemáticos que el currículo les exige con ejemplos y actividades
basadas en la vida real. Es decir, con aquellos aspectos que los alumnos realmente van a
encontrar en su día a día.
11
Son útiles también para incentivar un pensamiento crítico, la creatividad, la
autonomía del alumno, fomentar el trabajo en grupo y el trabajo cooperativo, trabajar
las inteligencias múltiples de manera individualizada y salir del aula para experimentar
lo aprendido. Llevando a cabo todo lo anterior los alumnos aprenderán y sabrán resolver
los problemas cotidianos, tomar decisiones y ser competentes en otros ámbitos, ya que
todo esto se debe aplicar también al resto de áreas de la educación primaria.
El cálculo mental es el principal tema que se va a tratar en el presente trabajo,
por ello se comienza a introducir el mismo con dos términos que han surgido en la
definición de matemáticas, y que están estrechamente vinculados al cálculo mental;
estos son la estimación y la aproximación.
La RAE en su edición 22 del diccionario de la lengua española, (2001) define la
voz estimación como “El aprecio y valor que se da y en que se tasa y considera algo”.
Y define aproximación como “La máxima diferencia posible entre un valor obtenido en
una medición o cálculo y el exacto desconocido”.
Además, para que los alumnos realicen un proceso de enseñanza-aprendizaje
adecuado los docentes tienen que saber seleccionar y diseñar las tareas matemáticas,
interpretar y analizar las producciones de los alumnos y gestionar las interacciones del
aula y guiar el discurso matemático. Con todo esto se conseguirá que el alumnado
obtenga una eficaz competencia matemática, ligada en este caso al cálculo mental,
logrando así ser buenos y competentes ciudadanos. Además de conseguir mejores
resultados académicos dentro de este ámbito.
2.1 Matemáticas en el BOR
En el anexo del decreto 4 / 2011 de 20 de enero, (BOR. 4 de febrero), por el que
se establece el currículo de educación primaria en la comunidad autónoma de La Rioja,
en el apartado de matemáticas, se dice que “la educación primaria busca alcanzar una
eficaz alfabetización numérica, para que el alumnado pueda enfrentarse con éxito a
situaciones en las que intervengan los números y sus relaciones, permitiéndole obtener
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información efectiva, directamente o a través de la comparación, la estimación y el
cálculo mental o escrito”.
Para conseguir una verdadera alfabetización numérica hay que dominar los
algoritmos del cálculo escrito, y tener una confianza con los números y las cantidades.
Así, el alumnado deberá actuar correctamente con ellos, utilizarlos adecuadamente e
identificar sus relaciones. Por ello la metodología de enseñar matemáticas con ejemplos
cotidianos está adquiriendo gran importancia hoy en día.
En el mismo anexo, más adelante se dice, “que los procesos de resolución de
problemas son uno de los ejes principales de la actividad matemática y deben ser el
principal soporte del aprendizaje matemático en la educación primaria”.
Por ello utilizando la técnica de la resolución de problemas y las vivencias
cotidianas de los alumnos, puede lograrse una enseñanza eficaz del área de las
matemáticas, y en este caso, afianzar el cálculo mental en los alumnos.
El decreto organiza los contenidos de matemáticas en cuatro bloques, que
responden al tipo de objetos matemáticos que tratan, explican y manejan en cada uno de
ellos. Incluyendo en cada uno de los tres ciclos de educación primaria unos contenidos
comunes a todos los bloques, que se refieren a la adquisición de actitudes por parte de
los alumnos. Los bloques de contenidos son los siguientes:

Números y operaciones

Medida

Geometría

Tratamientos de la información, azar y probabilidad.
En el bloque 1, Números y operaciones se nombra explícitamente el cálculo
mental, por ello se explica con más detenimiento. Pero es importante saber que se aplica
en los 4 bloques de las matemáticas ya que en todos hay que realizar cálculos.
“Este bloque pretende desarrollar el sentido numérico que se expresa en
capacidades como: habilidad para descomponer números de forma natural,
comprender y utilizar la estructura del sistema de numeración decimal, utilizar las
propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellas realizando cálculos
13
mentalmente. Para conseguir que los alumnos desarrollen la habilidad para el cálculo,
es necesario utilizar los números en diferentes contextos y diferentes procedimientos,
para que ellos mismos sepan elegir cual es el más adecuado. Con todo esto se pretende
que el alumnado a lo largo de la etapa calcule con fluidez y haga estimaciones
razonables, tratando de lograr un equilibrio entre la comprensión conceptual y la
competencia en el cálculo.”
El alumno que termina la Educación Primaria debe poseer un dominio aceptable
del cálculo y una buena comprensión de la lectura, para así entender el enunciado de los
problemas. También un conocimiento del sistema métrico decimal y del sistema de
medición del tiempo. Un lenguaje geométrico mínimo, y finalmente los conocimientos
estadísticos para entender la información de los medios de comunicación. Todo esto le
permite que su promoción a la siguiente etapa de la educación básica se realice con las
mejores condiciones, y que pueda cursar con aprovechamiento esta materia en la
Educación Secundaria Obligatoria.
2.1.1 Relación con las competencias generales
Como ya hemos indicado, las matemáticas también contribuyen al desarrollo de
las competencias básicas. Principalmente, sus contenidos tratan de desarrollar la
competencia matemática en todos sus aspectos, y desarrollar un pensamiento
matemático capaz de comprender y describir el entorno. Es en este momento cuando los
alumnos están adquiriendo la competencia en el conocimiento e interacción con el
mundo físico.
También contribuyen al tratamiento de la información y competencia digital,
porque proporcionan destrezas asociadas al uso de los números (comparación,
aproximación…) y porque utiliza distintos lenguajes gráficos y estadísticos esenciales
para interpretar la información sobre la realidad.
Los contenidos matemáticos permiten dar al alumnado la autonomía suficiente
para desarrollar la competencia de aprender a aprender, incidiendo en el esfuerzo para
abordar situaciones complejas. Para fomentar el desarrollo de la competencia en
comunicación lingüística se debe insistir en dos aspectos, en la incorporación del
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lenguaje matemático esencial, y en la descripción verbal de los razonamientos y de los
procesos.
Contribuyen a la competencia cultural y artística desde la consideración del
conocimiento matemático como contribución al desarrollo cultural de la humanidad.
Asimismo, el reconocimiento de las relaciones y formas geométricas ayuda en el
análisis de determinadas producciones artísticas. La aportación a la competencia social
y ciudadana se refiere al trabajo en equipo, que en matemáticas adquiere una dimensión
singular si se aprende a aceptar otros puntos de vista distintos al propio.
2.1.2 Objetivos
En cuanto a los objetivos que el anexo del decreto 4 / 2011 del 4 de febrero, por
el que se establece el currículo de educación primaria en la comunidad autónoma de La
Rioja en el apartado de matemáticas, se han seleccionado únicamente los siete objetivos
que se van a trabajar en las actividades planteadas, tanto en el área de las matemáticas
como en el resto de áreas de la educación primaria. Dando una importancia mayor al
objetivo número cinco y nueve, ya que son los dos en los que está nombrado el cálculo
mental explícitamente. A continuación se citan los objetivos con la misma numeración
que aparece en el BOR:
1. Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir
informaciones y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y
reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento.
2. Reconocer situaciones de su medio habitual para cuya comprensión o
tratamiento se requieran operaciones elementales de cálculo, formularlas
mediante formas sencillas de expresión matemática o resolverlas utilizando los
algoritmos correspondientes, valorar el sentido de los resultados y explicar
oralmente y por escrito los procesos seguidos.
3. Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su
uso y reconocer el valor de actitudes como la exploración de distintas
alternativas, la conveniencia de la precisión o la perseverancia en la búsqueda
de soluciones, y el esfuerzo e interés por su aprendizaje.
15
4. Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades
matemáticas para afrontar situaciones diversas, que permitan disfrutar de los
aspectos creativos, estéticos o utilitarios y confiar en sus posibilidades de uso.
5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y
medida, así como procedimientos de orientación espacial, en contextos de
resolución de problemas, decidiendo, en cada caso, las ventajas de su uso y
valorando la coherencia de los resultados.
6. Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como
en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas, así
como para la ampliación de los contenidos matemáticos y su relación con otros
de las distintas áreas del currículum.
9. Resolver y plantear problemas matemáticos utilizando un castellano correcto
y los procedimientos adecuados de cálculo, medida, estimación y comprobación
de resultados.
2.2 Teorías del aprendizaje-enseñanza de las matemáticas
Tal y como dice Sarmiento, (2007) las teorías de enseñanza-aprendizaje sirven
para explicar el fenómeno del aprendizaje, y nos ayudan a entender el comportamiento
de los alumnos y las intervenciones de los profesores. Es decir, tratan de conseguir una
explicación efectiva de los procesos internos que surgen en las personas cuando
aprenden. Y cita algunos ejemplos de estos procesos internos:

La adquisición de habilidades intelectuales.

La adquisición de información o conceptos.

Las estrategias cognoscitivas.

Destrezas motoras o actitudes.
De las teorías que más han influenciado en los procesos de enseñanzaaprendizaje se nombran cuatro, las más relevantes para Sarmiento, (2007). De las que
podemos destacar:
16
La teoría del conductismo
“Se basa en los estudios del aprendizaje mediante condicionamiento, y
considera innecesario el estudio de los procesos mentales superiores para la
comprensión de la conducta humana”.
Por lo tanto considera que el aprendizaje es un cambio permanente de la
conducta, que se logra mediante la práctica y con la interacción recíproca de los
individuos y su ambiente. Así que el mecanismo central de aprendizaje es el
asociacionismo. En esta teoría se debe hablar de los aprendizajes observables y
medibles objetivamente. Actualmente está poco aceptada, pero la práctica y la
repetición como base del aprendizaje de destrezas es un principio muy reconocido y de
gran importancia. Como representantes más significativos de esta tendencia podemos
nombrar a:
Watson, “el aprendizaje era el resultado de un acondicionamiento clásico, es
decir, formar nuevas conexiones de estímulo – respuesta a través del mismo
acondicionamiento”.
Y Skinner, “los individuos aprenden con un proceso de ensayo – error,
hábilmente dirigido por medio de una serie de refuerzos positivos y la repetición
pertinente”.
La teoría cognitivista
“Libera los aspectos restrictivos y el sujeto se transforma en un procesador
activo de información. Dando mayor importancia al papel de la cognición en el
aprendizaje humano”.
Por tanto se interesa en cómo los individuos representan el mundo en el que
viven y cómo reciben de él la información. La acción del sujeto está determinada por
sus representaciones, y antes de que un comportamiento inteligente se ejecute, ha sido
interiorizado en el individuo. Así, las representaciones construidas por la inteligencia
son organizadas por el sujeto en estructuras conceptuales, metodológicas y
actitudinales. Donde se relacionan entre sí, permitiendo al sujeto que vive en comunidad
sostener una dinámica de contradicciones entre sus estructuras y las del colectivo.
17
Kant, un precursor de esta teoría argumentaba que “toda experiencia humana
concierne a representaciones y no a las cosas por si mismas”
Se ha hecho hincapié en el papel de la atención, la memoria, la percepción, las
pautas de reconocimiento y el uso del lenguaje en el proceso del aprendizaje. Por ello el
cognitivismo presenta una gran variedad de formas:

Aprendizaje por descubrimiento.

Aprendizaje como procesamiento de información.

Aprendizaje como actividad.

Aprendizaje significativo.
La teoría del constructivismo
“Cree que el sujeto adquiere el conocimiento mediante un proceso de
construcción individual y subjetiva, por lo que sus expectativas y su desarrollo
cognitivo determinan la percepción que tiene del mundo”.
Por lo tanto lo fundamental es analizar los cambios cualitativos generados en la
organización de las estructuras cognitivas como consecuencia de la interacción entre
estas y los objetos a los que se aplica.
Para Piaget el aprendizaje es “una construcción del sujeto a medida que
organiza la información que proviene del medio cuando interacciona con el mismo.
Tiene su origen en la acción conducida en una organización mental previa, la cual está
constituida por estructuras. La estructura cognitiva determina la capacidad mental de
la persona, quien activamente participa en su proceso de aprendizaje, mientras que el
docente crea un contexto favorable para el aprendizaje”.
En la escuela el niño no siempre aprende las cosas que le interesan, sino lo
planificado por el docente. En la escuela básica uno de los aprendizajes consiste, entre
otras cosas, en aprender las reglas durante la interacción educativa (niveles de
exigencia, tipo de comportamiento, relaciones de subordinación…) Este tipo de
conocimiento se construye de forma individual y grupal, el cual es interiorizado por el
alumno implícitamente juntos con el resto de contenidos y estrategias.
18
La teoría sociocultural
“Justifica los cambios producidos en los procesos mentales
humanos,
como
consecuencia de la aparición de transformaciones en la organización social y cultural
de la sociedad”.
Es decir, se interesa en el para qué aprende ese individuo. Esta teoría sienta sus
postulados en la convicción del rol preponderante que la interacción social tiene en el
desarrollo cognitivo.
La actividad del sujeto que aprende supone una práctica social mediada,
utilizando herramientas y signos para aprender. De este modo el sujeto que aprende por
un lado transforma la cultura y por otro la interioriza. Así que, en un primer momento,
el individuo depende de los demás, pero en un segundo momento, a través de la
interiorización, adquiere la posibilidad de actuar por sí mismo y de asumir la
responsabilidad de sus actuaciones.
Su precursor Lev Vygotsky dijo lo siguiente. “El aprendizaje no es otra cosa
que la distancia entre el nivel de desarrollo determinado por la capacidad de resolver
independientemente un problema, y el nivel de desarrollo potencial determinado a
través de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración con
otro compañero más capaz”.
19
20
CAPÍTULO III: CÁLCULO MENTAL
3.1 ¿Qué se entiende por cálculo mental?
Pese a que el cálculo mental no es muy utilizado en la práctica educativa, y que
en la mayoría de libros de texto de matemáticas no lo consideran con la importancia que
se merece, es el momento de volver a retomar este ámbito de las matemáticas tan
relevante. Ya que muchos de los problemas cotidianos lo presentan de forma explícita o
implícita, por ello hay que aplicarlo en las aulas y asegurarse que los alumnos lo
interiorizan de forma eficaz.
Tal y como dice Ortiz, (2009), “estamos convencidos de que el cálculo mental
es un pilar muy importante en la educación matemática de los niños y de que su puesta
en práctica en las aulas, además de favorecer los aprendizajes aritméticos, posibilita
una enseñanza más fluida de todos los contenidos curriculares de matemáticas, ya que
la ejecución automática de cálculos sencillos permite que los alumnos puedan pensar
en los conceptos que se presenten con mayor autonomía y rigor”.
Ortiz, (2009) lo definió como un cálculo “de cabeza o de memoria”, sin ayuda
externa y con datos exactos. Además distinguió dos tipos:

Cálculo mecánico o de estímulo-respuesta: El cual tiene una técnica automática,
con el riesgo de olvidarse cuando no se utiliza. (Memorización de las tablas)

Cálculo reflexivo o pensado: En el que cada vez se utiliza distintos
procedimientos, tratando de relacionar los cálculos, números y operaciones. Por
ello hay que saber seleccionar las estrategias más adecuadas. (Conteos,
recolocaciones, dominio de las tablas, descomposiciones…)
Además, Ortiz, (2013) explicó las características más concretas del cálculo
mental. “El cálculo mental deber ser un cálculo sin ninguna ayuda exterior, basado en
la exploración y reflexión, práctico, motivador, relajado, respetando el protagonismo y
la autonomía de cada individuo, con flexibilidad de acción, diálogo y en donde no debe
primar la velocidad de respuesta”.
Jiménez Ibañez (2012) dijo que “el cálculo mental consiste en realizar cálculos
matemáticos utilizando sólo el cerebro sin ayuda de otros instrumentos como
21
calculadoras o incluso lápiz y papel. Las operaciones escritas tienen una forma de
hacerse, bien determinada y siempre igual, con independencia de los números que
entren en juego. Sin embargo, no ocurre lo mismo en el plano mental”.
Estas dos definiciones son suficientes para comprender el significado del cálculo
mental como aquel que no requiere de ninguna ayuda externa, únicamente del propio
cerebro. Que da todo el protagonismo y autonomía a quienes lo realizan, ya que son los
que buscan el camino más adecuado para llegar al resultado. Además de ser motivador,
hace reflexionar y abrir un diálogo para debatir las distintas posibilidades con las que se
llegan a la solución.
A continuación se citan algunas aportaciones de autores que realizaron
investigaciones sobre el cálculo mental, y que muestran las capacidades que se
adquieren con el mismo.
Hope, (1984) citado en Ortiz, (2009) “Los alumnos más competentes en cálculo
mental multiplicativo coinciden con los que retienen un mayor número de hechos”.
Dickson, (1991) citado en Ortiz, (2009) “Al estimular al niño a aplicar
procedimientos informales de cálculo contribuye a desarrollar en él la apreciación del
significado y estructura de las operaciones aritméticas”.
Carrol y Porter, (1994) citado en Ortiz, (2009) “Está demostrado que los que
usan cálculo mental, en vez de lápiz y papel, son mejores en conocimientos
matemáticos”.
Alistair Mcintosh, (1995) citado en Ortiz, (2009) “La presencia oral y visual
pueden evocar estrategias diferentes. Los investigadores recomiendan fuertemente el
uso de la oral ya que parece que anima a explorar más estrategias de solución, puesto
que la visual puede hacer inclinar a apoyarse hacia una forma de algoritmo mental
escrito normal”.
Según Ortiz, (2009) el cálculo mental tiene distintos campos de aplicación para
la etapa de educación primaria, los cuales se citan a continuación. Es importante
conocerlos ya que en base a ellos se plantean las posteriores actividades referentes al
cálculo mental.
22
a) Números naturales
 Ordenar, descomponer, series ascendentes y descendentes, dobles,
mitades, tercera parte…
 Múltiplos y divisores de un número.
 Paso de unas unidades a otras.
b) Números enteros
 Ordenar, descomponer, averiguar el próximo número de una serie…
 Operar con números.
c) Geometría
 Cálculo de longitudes, perímetros, apotemas, áreas y volúmenes.
 Ángulos, complementario y suplementario. Operaciones con ángulos.
d) Estadística
 Cálculo de probabilidades, porcentajes.
3.2 Ventajas e inconvenientes del cálculo mental
Tal y como Ortiz (2013) cita en varios de sus libros, el cálculo mental, al igual
que las matemáticas en general, entraña dificultades para los alumnos. Pero es cierto
que aprender, practicar y tener un adecuado manejo del cálculo mental aporta grandes
ventajas para el propio desarrollo cognitivo y personal del alumnado.
Las ventajas que el cálculo mental aporta a los estudiantes se agrupan teniendo
en cuenta tres aspectos distintos: la formación matemática, el desarrollo de capacidades
y su utilidad en la vida diaria. A continuación se nombran unas de las principales
ventajas que el cálculo mental a través de su práctica aporta al alumnado (Ortiz, 2013):

Se realiza un trabajo participativo, aspecto que motiva al alumno y con el que
aprende intercambiando información con sus compañeros.

Se realiza un trabajo atractivo en el aula, que estimula y motiva a los alumnos.

Se plantean ejemplos cotidianos, los cuales les servirán para su día a día.

El alumno es más autónomo, ya que él descubre y entiende las reglas y los
procedimientos que va a seguir.
23

El alumno se siente cómodo, ya que no tiene marcado un tiempo de realización
de las actividades.
Sobre los inconvenientes del cálculo mental, se mencionan las dificultades más
habituales que muchos niños tienen al operar con los números. Ya sea en el cálculo
mental o en las matemáticas en general las dificultadas son las mismas, y se analizan en
estas cuatro áreas:

Dificultades para operar con números sencillos con cierta rapidez y seguridad.

Dificultades lógicas para entender secuencias numéricas.

Dificultades para entender problemas numérico – verbales.

Dificultades para resolver problemas lógicos, para comprender los problemas y
para seleccionar las estrategias que llegan a la conclusión final.
3.3 Estrategias de cálculo mental
Jiménez Ibáñez (2012) dijo que “Una operación aritmética efectuada
mentalmente no tiene una única vía de cálculo, y sorprende la variedad de enfoques
posibles. Explorarlos, inspeccionar todas las posibilidades, optar por una de ellas,
determinar el orden de actuación, valorar el resultado, etc., convierte al cálculo a secas
en cálculo pensado”.
Es cierto que las operaciones se pueden resolver con muchos caminos, pero
todos llevan a la misma solución. Por eso desde el ámbito educativo se pretende que los
alumnos sepan seleccionar su mejor forma para hallar la solución. A continuación se
citan unas estrategias y técnicas muy útiles para realizar cálculos mentales sencillos,
obtenidas del artículo “Estrategias de cálculo mental” de Jiménez Ibáñez (2012) y de la
página web de Alquería (2011)2
2
Alquería (2011), Visto en: http://www.slideshare.net/josealqueria/estrategia-de-clculo
24
Estrategias para la suma
1) Recuentos o conteos; técnica utilizada por alumnos de las primeras etapas, estos
utilizan los dedos como principal apoyo. Por ello, para mejorar esta técnica y
conseguir mayor rapidez es importante introducir las series ascendentes.
48 + 8 = 48 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 56
48 + 8 = 48 + 2 + 2 + 2 + 2 = 56
2) Doblar; se lleva a cabo calculando el doble de la cantidad menor de la operación y se
le suma el resto de unidades que han sobrado. En ocasiones no sobra ninguna unidad,
ya que el doble queda completado con la descomposición de los números.
6 + 7 = (6 + 6) + 1 = 13
6 + 8 = 7 + 7 = 14
Dobles
1+1=2
6 + 6 = 12
2+2=4
7 + 7 = 14
3+3=6
8 + 8= 16
4+4=8
9 + 9 = 18
5 + 5 = 10
10 + 10 = 20
2. Elaboración propia; con el apoyo de Alquería (2011)
3) Propiedad conmutativa; resulta más sencillo cuando el primer sumando es mayor
que el segundo, por ello, cuando no es así conviene realizar el cambio.
16 + 48 = 48 + 16 = 64
4) Propiedad asociativa; cuando la operación tiene tres o más sumandos es conveniente
realizar agrupaciones, para que resulte más sencillo obtener el resultado.
64 + 48 + 16 = 64 + (48 + 16) = 64 + 64 = 128
25
5) Descomposición, se descomponen uno o los dos sumandos, en sumas y restas. Así se
consigue obtener una operación equivalente pero más sencilla que la inicial.
Habitualmente la descomposición se realiza en las decenas más próximas.

suma decenas y unidades:
48 + 16 = (40 + 10) + (8 + 6) = 50 + 14 = 64

Se completa las decenas:
48 + 16 = (48 + 2) + 14 = 64

Redondeo y compenso: se utiliza con los números terminados en 8 o 9
48 + 16 = 48 + 20 – 4 = 64
Estrategias para la resta
1) Recuentos o conteos, se realiza utilizando “la prueba de la resta”, es decir cambiar la
idea de la resta como tal. Se lleva a cabo pensando el número que le tengo que sumar
al sustraendo para obtener el resultado del minuendo.
37 – 22 = X
22 + X = 37
X = 15
2) Descomposición, tal y como se aplica en la suma.

Restar al minuendo las unidades, decenas, centenas… del sustraendo o a la
inversa.
37 – 22 = 37 – 2 – 20 = 35 – 20 = 15

Completar uno de los dos números hasta una decena próxima y sumar o
restar unidades del resultado final.
37 – 22 = 40 – 22 – 3 = 18 – 3 = 15
Tanto para la suma como para la resta, se tienen que tener en cuenta estos aspectos:

Con números positivos o negativos, hay que tener en cuenta la regla de los
signos.

Prestar atención a los números decimales, y si tienen distintas cifras decimales
es conveniente igualarlas con ceros.
26
Estrategias para la multiplicación
1) Reducción a la suma, porque no hay que olvidar que la multiplicación es una suma
de factores iguales.
25 * 2 = 25 + 25 = 50
2) Descomponer y utilizar la propiedad distributiva, se descompone un factor en sumas
o restas, para buscar el redondeo del mismo.
25 * 7 = (20 + 5) * 7 = 140 + 35 = 175
25 * 4 = (30 – 5) * 4 = 120 – 20 = 100
3) Propiedad conmutativa, se puede cambiar el orden de los factores para obtener
productos más sencillos.
25 * 13 * 4 = 25 * 4 * 13 = 100 * 13 = 1300
4) Factorización y asociación, se descomponen los factores y así se encuentran
operaciones más sencillas.
50 * 15 = 5 * 2 * 5 * 5 * 3 = 10 * 75 = 750
5) Multiplicaciones básicas:

Multiplicar por 10; por cada potencia de 10 se añade un cero al otro número,
o se corre la coma un lugar a la derecha.
48 * 10 = 480

4,8 * 10 = 48
Multiplicar por múltiplos de 10 (20, 30, 40, 50 …)
48 * 40 = 48 * 4 * 10 = 192 * 10 = 1920

Multiplicar por las potencias de dos. Si se multiplica por dos se dobla el
número, si es por cuatro se dobla el doble y así sucesivamente.
48 * 4 = (48 * 2) * 2 = 96 * 2 = 192

Multiplicar un número por 5 es lo mismo que multiplicarlo por 10 y
dividirlo entre 2.
48 * 5 = (48 * 10) / 2 = 480 / 2 = 240

Multiplicar un número por 25 es lo mismo que multiplicarlo por 100 y
dividirlo entre 4.
48 * 25 = (48 * 100) / 4 = 4800 / 4 = 1200
27

Multiplicar un número por 6 es lo mismo que multiplicarlo por 2 y luego
multiplicarlo por 3.
48 * 6 = (48 * 2) * 3 = 96 * 3 = 288

Multiplicar por 9, 99, 999… igual que multiplicar por (10 – 1), (100 – 1)…
48 * 9 = 48 * (10 – 1) = 480 – 48 = 432

Multiplicar por 11
48 * 11 =48 * (10 + 1) = 480 + 48 = 528

Multiplicar por 12
48 * 12 = 48 * (10 + 2) = 480 + 96 = 576

Multiplicar por 0,1; 0,01; 0,001; 0.0001… es lo mismo que dividir entre 10;
100; 1000; 10000…

Multiplicar por 0,5 equivale a dividir por 2.

Multiplicar por 0,25 equivale a dividir por 4.
Estrategias para la división
No hay que separarse de la idea de que dividir es repartir en partes iguales.
1) La prueba de la división; con ella se transforma la operación en una multiplicación.
18 / 3 = X
3 * X = 18
X=9
2) Dividir entre 2 y 3; se calcula la mitad o la tercera parte de la cantidad.
3) Divisiones básicas:

Dividir por 10; por cada potencia de 10 se quita un cero al otro número, o se
corre la coma un lugar a la izquierda.
180 / 10 = 18
18 / 10 = 1,8

Dividir un número entre 5; se multiplica por 2 y se divide entre 10.
180 / 5 = (180 * 2) / 10 = 360 / 10 = 36

Dividir un número entre 25; se multiplica por 4 y se divide entre 100.
180 / 25 = (180 * 4) / 100 = 720 / 100 = 7,2
28

Dividir por descomposición del divisor en factores; se realiza una sucesión
de divisiones más sencillas.
180 / 8 = (180 / 2) / 4 = (90 / 2) / 2 = 45/ 2 = 22,5

Para dividir un número acabado en uno o varios ceros; se divide sin ceros y
luego se añaden al cociente.
160 / 4 = (16 / 4) * 10 = 4 * 10 = 40

Dividir entre 0,1; 0,01… es lo mismo que multiplicar por 10; 100…
48 / 0,01= 4800

Dividir entre 0,5 equivale a multiplicar por 2.
48 / 0,5 = 48 * 2 = 96

Dividir entre 0,25 equivale a multiplicar por 4.
48 / 0,25 = 48 * 4 = 192

Dividir entre 0,2 equivale a multiplicar por 5.
48 / 0,2 = 48 * 5 = (48 * 10) / 2 = 240
3.4 La aproximación y el cálculo mental
La RAE en su edición 22 del diccionario de la lengua española, (2001) define
aproximación como, “la máxima diferencia posible entre un valor obtenido en una
medición o cálculo y el exacto desconocido”.
Conociendo este significado hay que mencionar su estrecha relación con el
cálculo mental, ya que el valor inexacto de una operación se puede calcular
mentalmente. Ortiz, (2009) hizo una aportación interesante del cálculo aproximado.
“Es una modalidad del cálculo mental, que debemos tener presente puesto que,
en ciertas situaciones da la vida diaria, no se dispone de lápiz ni papel, ni de tiempo, y
es suficiente con obtener una respuesta aproximada, no exacta. De hecho, para una
persona de la calle, es frecuente encontrarse en la necesidad de tener que dar una
respuesta inmediata ante un hecho que conlleve una magnitud cifrada. Por ejemplo, la
conveniencia de comprar un producto de forma inmediata, cuando se le ofrece un buen
descuento, la capacidad de compra de diversos productos en función de la cantidad de
dinero disponible en ese instante, etc”.
29
Como en el cálculo mental, en la aproximación tampoco se utiliza el lápiz ni el
papel. Sin embargo, esta se desarrolla con operaciones más sencillas, con las que sí es
posible obtener una solución exacta únicamente con la ayuda del cerebro.
Dajament, (1996) dijo que “No hay que efectuar nunca un cálculo del que no se
conoce una aproximación de su resultado”.
El cálculo aproximado utiliza el pensamiento algorítmico y está muy relacionado
con la estimación, ya que da un resultado próximo al resultado, que no exacto. Es muy
útil para la resolución de cálculos complicados, ya que sustituyendo los números por
otros más sencillos se obtiene un resultado muy acercado. Tiene la ventaja de ser un
cálculo muy veloz, pero es conveniente que se haga su comparación con el resultado
exacto, para saber si nos hemos acercado lo suficiente.
Es conveniente practicar el cálculo aproximado desde los primeros cursos de la
educación primaria, una vez que se tiene algo de base en el cálculo mental. Es decir, una
vez que los alumnos posean algunos conocimientos relacionados con el número, con las
operaciones y el dominio de algunas estrategias que se citarán posteriormente.
3.5 Estrategias del cálculo aproximado
Hay diversas estrategias y procesos para hacer más sencillo este tipo de cálculo,
a continuación se citan las más importantes. Todas obtenidas del libro de Ortiz, (2009).
A. Reformulación: se lleva a cabo cambiando los datos iniciales de las operaciones para
obtener otras más sencillas. Se clasifica en 3 tipos distintos.
1) Redondeo; consiste en reducir la cantidad de algunas cifras conservando un valor
semejante del número inicial. Existen dos tipos de redondeo:
 Si la cifra de las unidades es menor que 5, se mantiene todas las cifras
anteriores y únicamente se realiza el redondeo a las decenas.
1324 ≈ 1320
30
 Si la cifra de las unidades es igual o mayor que 5, se realiza el redondeo en
la última cifra que no mantenga esta regla aumentándola en una unidad.
1346 ≈ 1350 (a decenas) 1376 ≈ 1400 (a centenas) 1576 ≈ 2000 (a miles)
 Sumar redondeando; para conseguir que el error sea el mínimo posible hay que elegir
el orden del redondeo de los sumandos, y comparar el resultado obtenido con el real.
3456 + 2145 + 1649 ≈ 3000 + 2000 + 2000 = 7000 (a miles)
3456 + 2145 + 1649 ≈ 3500 + 2100 + 1600 = 7200 (a centenas)
 Restar redondeando; para realizar esta operación hay que hacer un redondeo
adecuado de los datos, se realizará lo más próximo a la cifra real, y posteriormente se
comparará el resultado obtenido con el real.
48356 – 29754 ≈ 48000 – 30000 = 18000 (a miles)
 Multiplicar redondeando; para realizar esta operación hay que hacer un redondeo
adecuado de los datos, y tratar que el resultado sea lo más próximo posible al real
comparando los resultados.
5678 * 7 ≈ 6000 * 7 = 42000 (redondeo en las unidades de millar)
 Dividir redondeando; para realizar esta operación hay que hacer un redondeo
adecuado de los datos, y tratar que el resultado sea lo más próximo posible al real
comparando los resultados.
6556 / 2 ≈ 6600 / 2 = 3300 (a centenas)
2) Truncamiento: se lleva a cabo remplazando las cifras a partir del orden de la
aproximación por ceros, eligiendo cual es la unidad que se quiere truncar, si las
unidades, decenas, centenas…
 Sumar truncando en las unidades de millar y en las centenas.
3456 + 2145 + 1649 ≈ 3000 + 2000 + 1000 = 6000
3456 + 2145 + 1649 ≈3400 + 2100 + 1600 = 7100
 Restar truncando en las unidades de millar.
48356 – 29754 ≈ 48000 – 29000 = 19000
31
 Multiplicar truncando en las unidades de millar.
5678 * 7 ≈ 5000 * 7 = 35000

Dividir truncando a unidades de millar
6452 / 2 ≈ 6000 / 2 = 3000
3) Sustitución: se lleva a cabo cambiando un número por otro, de tal modo que sea muy
aproximado al mismo.
420 / 9 ≈ 450 / 9 = 50
Siguiendo el mismo proceso, que con la división, la sustitución es muy útil para la
realización de la suma de fracciones.
48 / 102 + 31 / 3 ≈ 48 / 100 + 30 / 3 = 0,48 + 10 = 10,48
B. Procesos de traslación: este método consiste en expresar la operación original e
inicial en términos más manejables. Es decir hay que cambiar una operación por otra
que sea equivalente a la misma o simplemente modificar el orden en las operaciones.
234 + 198 + 223 + 185
4 * 200 = 800
(5673 / 25) * 98 ≈ (100 / 25) * 5700
4 * 5700 = 22800
C. Procesos de compensación: consiste en aproximar las dos cifras de una operación de
la forma más equilibrada posible. Para conseguir que esta se realice con un cálculo más
rápido y sencillo que con la operación inicial.
49 * 32 ≈ 50 * 30 = 1500
Al realizar una suma con el proceso de compensación es conveniente redondear unos
sumandos por defecto y otros por exceso. Sin embargo, en la resta nunca se debe
redondear en el sustraendo cuando este vaya a resultar mayor que el minuendo.
48 + 32 ≈ 50 + 30 = 80
48 – 32 ≈ 50 – 30 = 20
En el producto se pueden aproximar una o a las dos cifras. Y por último en la división
se aproximan las dos cifras hacia un mismo sentido.
29 * 9 ≈ 30 * 10 = 300
26 / 6 ≈ 25 / 5 = 5
32
3.6 Orientaciones didácticas para trabajar el cálculo mental

En los primeros cursos de la educación primaria se recomienda trabajar con
materiales didácticos lúdicos para explicar el resultado de una operación. Por lo que
no se deben realizar muchos cálculos escritos y mentales.

La práctica del cálculo mental debe estar acompañada con la del cálculo escrito, ya
que éste solo ocupa unos pocos minutos del resto del tiempo de la clase.

Se tienen que utilizar distintas metodologías, que se alejen de la monotonía y sean
entretenidas para el alumnado.

El cálculo mental tiene que presentarse de forma visual y material. Con estos
métodos el alumno se familiariza con el sistema de numeración y las distintas
operaciones. En los primeros cursos conviene utilizar los recursos visuales.

El cálculo mental se debe realizar en el área de las matemáticas y en el resto de
áreas del currículo. Con ejemplos cotidianos, con ejemplos presentes en el aula, sin
permitir el uso de la calculadora o del lápiz y papel.

El profesor debe conseguir que el alumno descubra los procedimientos mentales y
las estrategias más útiles para él a través de experimentos personales.

Conviene realizar un intercambio de ideas y opiniones entre los alumnos para que
expliquen sus métodos de resolución. Así el profesor podrá detectar los errores de
los mismos, al mismo tiempo que estos siguen aprendiendo de sus compañeros.

En un principio la rapidez no tiene que importar en la realización de los cálculos
mentales, por ello cada alumno debe tener su propio tiempo de contestación. Ya
que si tienen un ritmo marcado puede que haya alumnos que se desmotiven y
pierdan el interés por el cálculo mental.

Para captar la atención de los alumnos y que los resultados progresen
adecuadamente, es importante no abusar del cálculo mental. Por ello hay que
realizar sesiones breves que no superen los cinco minutos, y que sean variadas. Lo
que sí es muy importante practicarlo todos los días de la semana.
33
34
CAPÍTULO IV: PLANTEAMIENTO DE ACTIVIDADES
4.1 Experiencia con el cálculo mental
En el presente trabajo se han tratado muchos aspectos del cálculo mental, su
significado, ventajas, desventajas, métodos de aplicación, su relación con la
aproximación… pero todavía no he citado el motivo por el que me decanté por la
selección de este tema.
Estoy de acuerdo con muchos de los autores que se han citado a lo largo del
trabajo de la importancia que tiene el cálculo mental, relacionándola con el día a día de
todas las personas, ya que está presente en numerosos aspectos cotidianos. Muchas
veces consciente o inconscientemente realizamos cálculos mentales para solucionar
problemas que se nos presentan de forma natural. Por ello, este fue el principal motivo
por el que escogí este tema, ya que pienso que es un campo que los alumnos tienen y
deben dominar para su futuro.
En este curso 2013 – 2014 he tenido la oportunidad de realizar las prácticas
escolares, para mí la asignatura más valiosa de los 4 años de formación en el grado de
educación primaria. Estuve durante 3 meses en el colegio concertado Escuelas Pías de
Logroño, y aunque pasé por todos los ciclos y cursos de la Educación Primaria, con la
clase que más tiempo pasé fue con los alumnos de 6º B.
Con ellos he presenciado todas las materias impartidas, por lo que las
matemáticas han ocupado un importante lugar en mi “calendario escolar”, así que tengo
constancia de cómo la profesora aplica el cálculo mental en su aula. Este fue otro
motivo por el que seleccioné este tema, ya que para mí es un reto personal enfocar el
cálculo mental desde un punto de vista distinto al que conocí.
A continuación explico cómo vivencié yo la aplicación del cálculo mental, el
cual solo se ponía en práctica en el área de las matemáticas. Todos los días, antes de
comenzar con las explicaciones correspondientes para esa hora, la maestra decía en voz
alta “Cálculo mental”, y automáticamente los alumnos sacaban sus cuadernos y se
preparaban para la realización del mismo. El cálculo mental consistía en lo siguiente, la
maestra leía 5 problemas dejando 2 segundos de margen en cada uno de ellos, y los
35
alumnos tenían que escribir rápidamente la respuesta en sus cuadernos. Para hacer la
corrección del mismo se nombraba al alumno que antes hubiese finalizado el ejercicio,
y él decía las respuestas de los 5 problemas. La profesora afirmaba o negaba las
soluciones para que todos los alumnos tuviesen las respuestas correctas.
No pongo en duda que sea un buen método de aplicación, pero aumentado la
dificultad de los problemas que se les planteaban, ya que eran excesivamente sencillos
para los alumnos de 6º. Tanto que la mayoría de ellos los podrían realizar alumnos de
todos los ciclos de la etapa de educación primaria. Lo que menos me gustó fue la
mecanización con la que trabajaban, ya que creo que el cálculo mental se puede realizar
también de forma inconsciente en el aula y aplicar a su vez en todas las áreas, no solo en
matemáticas.
Por ello, este trabajo lo he dirigido a los alumnos del 3º ciclo de educación
primaria, concretamente al 6º curso. Tratando de adaptar mi experiencia con actividades
más adecuadas a sus conocimientos, y poderlo trabajar en todas las áreas del currículo.
4.2 El cálculo mental, una aplicación transversal
En el siguiente apartado se plantean 10 actividades para desarrollar en todas las
áreas de la educación primaria, excepto en inglés. Con ellas se trabaja las operaciones
aritméticas básicas, es decir, la suma, resta, multiplicación y división. No consisten en
actividades largas o complicadas, sino que son preguntas cortas para realizar en un
momento determinado de la clase, con una respuesta rápida por parte de los alumnos.
Objetivos:

Desarrollar el cálculo mental y la aproximación en todas las áreas del currículo.

Practicar el cálculo mental y la aproximación de forma espontánea en el aula.

Trabajar con las operaciones aritméticas básicas, para mejorar la comprensión de
las mismas por el alumno.

Orientar las actividades con ejemplos presentes en el aula, para intentar llamar la
atención de los alumnos y aumentar su motivación.
36

Fomentar el interés por el cálculo mental, para conseguir una implicación en el
mismo y mejorar así las capacidades cognitivas de los alumnos.
Como las matemáticas están presentes en todas las áreas del currículo se
plantean diversos ejemplos de actividades para llevar a cabo. Diariamente aparecen
situaciones muy útiles para aplicar el cálculo mental o plantear una actividad de cálculo
a través de dicha situación, a continuación se exponen algunos ejemplos de actividades:
Conocimiento del Medio
Actividad 1: operaciones aritméticas de la suma, la resta y la multiplicación.
Puede desarrollarse al impartir la unidad del clima y los ríos de España, y
llevarla a cabo de manera individual. Los alumnos anotan la respuesta exacta o
aproximada en sus cuadernos en un periodo de tiempo limitado, y ambas propuestas se
corrigen de forma grupal. Además de realizar cálculos mentales, esta actividad sirve
para afianzar algunos conocimientos ya tratados.
 El río Ebro cuenta con una longitud de 928 km, es decir, 271 km más que el río
Guadalquivir. ¿Cuántos km mide el río Guadalquivir?
 El río Sella tiene una longitud de 56 km, el doble de esta longitud y 41 km más,
es la longitud del Nalón. ¿Cuántos km mide el río Nalón?
Actividad 2: operación aritmética de la división.
Puede desarrollarse en la unidad de la prehistoria y la edad antigua para volver a
captar la atención de los alumnos. Responderán en voz alta varios alumnos nombrados,
sabiendo que el resto realizarán los cálculos inconscientemente de forma individual.
 En el paleolítico superior se cazaba por grupos. Si en una cueva vivían 70
homínidos y querían hacer 5 grupos. ¿Cuántos homínidos habrá por grupo?
Con esta actividad se puede reflexionar con los alumnos sobre las nociones de
numeración de esta época.
 Con 37.800 soldados romanos se consigue hacer 9 ejércitos para comenzar con
la expansión romana. ¿Cuántos soldados habrá por ejército?
37
Tras comprobar el resultado, los alumnos realizarán la misma operación escrita
con números romanos. Y podrán reflexionar sobre la forma de representar los números
de varios sistemas, comprobando que nuestro sistema decimal es más sencillo para
realizar operaciones escritas.
Lengua castellana y literatura
Actividad 1: operación aritmética de la división.
Se puede llevar a cabo antes de realizar un dictado para que los alumnos
averigüen el número de líneas que tienen que escribir en el mismo. Para ello escribirán
el dictado y será al final cuando lo hayan escrito y estén corrigiendo las faltas de
ortografía, cuando comprueben que el número de líneas que han escrito es el correcto.
 El siguiente dictado consta de 104 palabras y tenéis que escribir 8 palabras en
cada línea. ¿Cuántas líneas tenéis que escribir?
Actividad 2: operación aritmética de la multiplicación.
Puede realizarse al comienzo de la clase. Los alumnos escribirán el resultado
exacto o el aproximado en su cuaderno, posteriormente se corregirá en voz alta
comprobando el número de aciertos, de errores y la aproximación más cercana.
 El libro de Charlie y la fábrica de chocolate de Roald Dahl tiene 176 páginas
¿Cuántas páginas habrá entre los libros de 5 alumnos?
Música
Actividad 1 y 2: operaciones aritméticas de la suma, la resta, la multiplicación y la
división.
Puede plantearse en los últimos minutos de la clase, realizando las actividades en
cinco grupos de cinco alumnos cada uno, simulando un concurso o competición entre
los distintos grupos del aula.
38
 La flauta dulce tiene 8 agujeros, si somos 25 alumnos ¿Cuántos agujeros hay
entre todas las flautas? ¿Y si fuésemos 5 menos en clase? ¿Y si fuésemos 10
menos? ¿Y si fuésemos 15 menos en clase?
 Sabiendo que la primera canción de un cd dura 1´56´´, la segunda 2´04´´, la
tercera 1´93´´, la cuarta 2´07´´, la quinta 2´4´´. ¿Cuántos minutos grabados hay
en el cd? Si las canciones durasen lo mismo y el cd estuviese completamente
gravado ¿Cuántos minutos durará cada canción si hubiese 4? ¿Y si hubiese 8?
Educación plástica
Actividad 1: operaciones aritméticas de la multiplicación y la división.
Se puede llevar a cabo antes de comenzar a pintar un mural con pinturas al agua.
Se desarrollará por parejas, aquella que realice primero el cálculo será la que diga la
respuesta de la operación en voz alta, siendo comprobada la misma por la maestra.
 Ponemos 15cm³ de pintura en un vaso de precipitados, para conseguir que la
mezcla sea perfecta hay que mezclarlos con un 10% de agua. ¿Cuántos cm³ de
agua deberíamos añadir al vaso de precipitados?
 Sabiendo que 100 cm³ son 100 ml ¿Cuántos ml serán 1.5 cm³? ¿Y cuántos cl
serán? ¿Cuántos cl de agua hacen falta para los 25 alumnos de la clase?
Además con la realización de estos ejercicios los alumnos practican el cálculo
mental, y también trabajan o simplemente recuerdan el cambio de unidades. Ya que se
puede emplear como recordatorio o práctica de la unidad de matemáticas donde se
trabajan los cambios de unidades.
Actividad 2: operación aritmética de la multiplicación.
En las fechas de Navidad se realizan vidrieras para decorar las ventanas del
aula. Por ello tras su realización se pueden plantear las siguientes preguntas para que los
alumnos realicen sus cálculos de forma individual, haciendo las correcciones en voz alta
con el orden que indique la maestra.
 Si cada vidriera tiene 5 partes con 10 agujeros cada una, ¿Cuántos agujeros
tendrá cada vidriera? ¿Cuántos agujeros habrá en 12 vidrieras?
39
Educación física
Actividad 1: operación aritmética de la división.
Se realizará en una sesión en la cual haya distintas actividades grupales con un
número de miembros en los grupos distinto para cada una de las actividades.
 Se le explica a los alumnos que somos palomitas de maíz en una sartén, por ello
tendrán que ir saltando continuamente. La maestra dirá el número de grupos que
necesita para cada actividad, y los alumnos sin parar de saltar se tendrán que
colocar en los grupos dichos, completándolos con 1 persona más en cada grupo
si estos no fuesen exactos.
Actividad 2: operaciones aritméticas de la suma, resta, multiplicación y división.
Se realizará al final de la sesión, como actividad de vuelta a la calma. Los
alumnos se colocarán en círculo y tendrán que seguir las instrucciones de la maestra.
Esta indicará a un alumno que diga un número y dirá en voz alta “se multiplica por 5”,
el alumno siguiente tendrá que realizar la operación y así sucesivamente hasta que la
maestra indique a otro alumno que diga otro número y cambie la operación aritmética,
por ejemplo suma 3, resta 2, divide por 4…
Tras la realización de estas actividades se puede realizar una reflexión grupal de
las reglas de divisibilidad de los distintos números, tratando de que comprendan que
cuando el resto de una división no da cero esta no es exacta y por lo tanto no es divisible
por aquel número con el que se haya realizado la operación. (Anexo 1)
4.3 Propuesta de actividades para el área de matemáticas
A continuación se plantean una serie de actividades para llevar a cabo en el área
de las matemáticas, que tratan de afianzar el cálculo mental en los alumnos. Por lo que
cabe destacar que todas ellas comparten un mismo objetivo:

Practicar el cálculo mental con actividades lúdicas y con él mejorar el cálculo en
todas las operaciones aritméticas básicas.
40
Las actividades presentan distintas metodologías explicadas en cada actividad,
pero todas ellas tratan de fomentar el trabajo en equipo, parejas, para así mejorar las
habilidades sociales de los alumnos y sus relaciones con el resto de compañeros al
mismo tiempo que practican el cálculo mental.
Actividad 1: Mágicas numéricas; Corbalan, (2011).
Con la intención de explicar el funcionamiento de nuestro sistema numérico y
con el apoyo de los “trucos de magia” que tanto gustan al alumnado, se va a trabajar el
cálculo mental de manera inconsciente y divertida.
En primer lugar la maestra realizará la actividad a un alumno voluntario del aula.
Ella le dirá que piense en dos números de una cifra cada uno, y que a continuación
realice los siguientes pasos. (Anexo 2)
* Multiplica el primer número que has pensado por 2.
* Súmale 6 a este resultado.
* Multiplica ese resultado por 5.
* A este último resultado súmale el segundo dígito y réstale 30.
Tras esto el alumno se dará cuenta que por “arte de magia” se ha conseguido que
realice cálculos mentales y de modo inconsciente ha llegado hasta el número formado
por los dos dígitos que él había pensado en el mismo orden.
Después de la realización de este ejemplo los alumnos se colocarán en parejas, y
con los pasos de la actividad proyectados en el proyector, llevaran a cabo la misma
intercambiándose el rol de mago cuando uno de la pareja haya realizado dos veces los
cálculos.
Después de varios minutos de forma común se intentará buscar el porqué del
resultado, diciéndoles que piensen en nuestro sistema de numeración decimal. La
maestra realizará una breve introducción de otro sistema de numeración, esta vez el de
base 2 simplemente para que los alumnos sepan que existen más sistemas de
numeración. Esto les será útil para su comprensión en cursos posteriores.
41
Actividad 2: La fecha de cumpleaños; Corbalan, (2011).
Continuando con los trucos de “magia” y con la realización de cálculos
mentales, en la siguiente actividad algunos alumnos del aula podrán adivinar el día del
mes del cumpleaños de otros de sus compañeros. Para su realización la maestra
explicará a 5 alumnos de la clase el “truco” de la actividad, y el resto de los alumnos se
tendrán que colocarse en 5 grupos de 4 personas cada uno. Seguidamente los alumnos
que conocen cómo se realiza la actividad se repartirán en los 5 grupos del aula y
comenzarán a realizar la actividad.
Cada alumno conocedor de la actividad dispondrá de cinco tarjetas con los
números del 1 al 31 distribuidos de forma distinta en cada una de ellas. (No tienen que
estar todos los números en todas las tarjetas) Los alumnos que no la conocen solo
tendrán que indicar en qué tarjetas está el día de su cumpleaños. Con ese único dato los
alumnos sabrán el día del mes en el que nació su compañero.
Tras realizar la actividad a todos los componentes del grupo, la profesora dará
un tiempo a los alumnos que no conocen la actividad para que traten de descubrir la vía
de solución de la actividad, y cómo su compañero ha conocido el día del mes de sus
cumpleaños. Después de un largo debate un alumno conocedor de la actividad explicará
a todos los alumnos como ha realizado la actividad, para que así los alumnos puedan
realizar este “truco de magia” a sus amigos y familiares. Pero la profesora planteará una
cuestión para toda la clase, sabiendo cómo se realiza esta actividad los alumnos tienen
que tratar de explicarle por qué se consigue este resultado para que de nuevo los
alumnos reflexionen sobre nuestro sistema de numeración decimal y comprendan que
existen otros sistemas de numeración más, todo esto sin profundizar mucho en el tema.
(Anexo 3)
Actividad 3: ¿Cuánto es 14 entre 4?; Corbalán, (2011).
La presente actividad se lleva a cabo para que los alumnos sepan contextualizar
una respuesta y para que reflexionen sobre el papel del cálculo en la vida real. Para ello
se les planteará 3 casos en los que tienen que responder a tres preguntas distintas.
Anotarán las respuestas en su cuaderno en un plazo de tiempo de 4 segundos, y
42
posteriormente se abrirá un dialogo en el aula para intercambiar opiniones sobre la
actividad y los resultados obtenidos.

Si hay 14 libros valiosos para repartir de forma equitativa entre 4 personas,
¿Cuántos libros tendrá cada una?

Si tenemos que repartir una herencia de 14 mil euros entre 4 personas,
¿Cuántos euros heredara cada una?

Si hay 14 personas y todas ellas quieren volver a sus hogares en taxi, ¿Cuántos
taxis necesitarán?
La actividad pretende que los alumnos reflexionen sobre el significado de la
división y el reparto, ya que en los casos anteriores las divisiones se tienen que hacer de
tres formas diferentes. Por ello tendrán que darse cuenta que el resultado de una división
va a depender mucho del objeto que se quiera repartir, ya que hay objetos o materiales
imposibles de partir por la mitad, mientras que otros sí tienen esa posibilidad. Así que
los alumnos tendrán que comprender esto para ser eficaces ante otras situaciones que se
les planteen en la vida real. (Anexo 4)
Actividad 4: ¿Qué símbolos necesitamos?; Sánchez Torres, (2010).
Con la realización de esta actividad se pretende que los alumnos realicen los
cálculos mentales que necesiten para conseguir que las operaciones aritméticas
aportadas por la profesora tengan sentido. Por lo que el lapicero solo podrá ser utilizado
para anotar los símbolos y los paréntesis necesarios para que se cumpla la operación
aritmética.
Por ejemplo, ¿Qué símbolos hay que utilizar para que sea correcta la siguiente
igualdad? (Anexo 5)
5
5
5
5
= 100
Para la puesta en práctica de esta actividad la maestra entregará un folio con las
operaciones a cada alumno. Ellos tendrán que completarlas de forma individual, y tras
su realización será corregida grupalmente en la pizarra, una vez hecha la corrección y
comprobar que los alumnos las tienen correctas, estos tendrán que pegar la hoja en sus
cuadernos para que no la pierdan y la puedan ojear en ocasiones posteriores.
43
Actividad 5: Un solo símbolo; Sánchez Torres, (2010).
Con la realización de esta actividad se pretende que los alumnos realicen los
cálculos mentales que necesiten para conseguir que las operaciones aritméticas
aportadas por la profesora tengan sentido. Por lo que el lapicero solo podrá ser utilizado
para anotar el símbolo necesario para que se cumpla la operación aritmética. Sabiendo
que solo podrán colocar un único símbolo, este podrá ser colocado en uno de todos los
espacios que hay entre los dígitos.
Por ejemplo, ¿Dónde hay que colocar el símbolo adecuado para que la siguiente
igualdad sea correcta? (Anexo 6)
3
5
1
= 153
Para la puesta en práctica de esta actividad la maestra entregará un folio con los
ejercicios propuestos a cada alumno. Ellos tendrán que completarlas de forma
individual, y tras su realización será corregida grupalmente en la pizarra, una vez hecha
la corrección y comprobar que los alumnos las tienen correctas, estos tendrán que pegar
la hoja en sus cuadernos para que no la pierdan y la puedan ojear en ocasiones
posteriores.
Actividad 6: El peso de la botella; Capó Dolz, (2013).
Antes de comenzar la siguiente actividad los alumnos se distribuirán en 5 grupos
de 5 personas cada uno. Una vez que estén colocados se les entregará una botella de
plástico con agua y un cubo vacío a cada grupo, para que puedan experimentar y
vivenciar la actividad personalmente y así logren comprenderla mejor.
La maestra proyectará el enunciado de la actividad y los alumnos tendrán que
debatir y vivenciar la actividad con la botella antes de escribir conjuntamente el
resultado en un papel en blanco. Posteriormente para evaluar la actividad se realizará un
recuento común con todos los resultados obtenidos de la clase y se comprobará el
número de aciertos y errores que se han dado entre los distintos grupos. (Anexo 7)
“Un recipiente lleno de agua pesa 35kg. Cuando solamente está lleno hasta la
mitad pesa 19kg. ¿Sabrías calcular cuánto pesa vacío?”
44
Actividad 7: Sumas enigmáticas; Capó Dolz, (2013).
Para la siguiente actividad los alumnos se tendrán que colocar en parejas, una
vez estén colocados la maestra comenzará con la realización de la misma.
En primer lugar repartirá una hoja con el enigma que la pareja tiene que resolver
de manera conjunta (Anexo 8). Explicará a los alumnos que disponen de un tiempo
exacto de 3 minutos para realizar la actividad, en la cual tendrán que utilizar únicamente
el lapicero para anotar el valor de los distintos elementos que se piden.
En el enigma tendrán que adivinar el valor que tienen las respectivas frutas que
aparecen en el mismo (fresa, plátano, sandía y limón). Para que lo puedan conseguir la
maestra les dirá que en la columna de la derecha del enigma aparecen las cifras que
representan la suma de los valores de las frutas de las mismas filas. También les
aportará el dato de que en la última fila del enigma aparecen las cifras que representan
la suma de los valores de las frutas de las mismas columnas.
La corrección de la misma se llevará a cabo de manera conjunta, abriendo un
diálogo y llegando a un acuerdo con las soluciones de la actividad.
Actividad 8: Completa los cuadros.
Para desarrollar esta actividad los alumnos se dispondrán de nuevo en parejas.
Se proyectará de forma individual tres enigmas, y se dará un periodo de tiempo de 60
segundos para que las parejas piensen y discutan la solución de uno de los diversos
cuadros en blanco que hay en todo el enigma, el cual será indicado por la maestra.
La pareja que primero levante la mano será la que diga el resultado que han
pensado en voz alta, y si este es correcto será anotado en la pizarra por la profesora. A
continuación se irán completando del mismo modo el resto de cuadros en blanco del
enigma, los cuales serán indicados por la profesora con el orden más sencillo de
solucionarlo.
Para que la actividad sea más entretenida y capte la atención de los alumnos se
realizará un concurso entre las parejas de la clase, este método hace que estén muy
motivados y participen de forma correcta en la actividad. Para controlar el concurso se
45
dará puntos a la pareja que acierte el resultado, ganando así la pareja que consiga más
aciertos, es decir, más puntos al final del ejercicio. (Anexo 9)
Actividad 9: Completa los cuadros
La siguiente actividad se realizará en 5 grupos de 5 alumnos cada uno, se lleva a
cabo de este modo para que los alumnos aprendan a trabajar en equipo, a escuchar
diferentes opiniones y respetar el turno de los compañeros. La docente entregará a cada
grupo un folio con los dos cuadros que tendrán que completar de forma grupal.
Les hará saber a los alumnos que para rellenar los cuadros en blanco tienen que
tener en cuenta que todas las filas y columnas deben sumar en este caso 24, pero podría
ser cualquier otro número. La maestra indicará a los alumnos cuando deben comenzar a
realizar la actividad, y el tiempo finalizará cuando uno de los cinco grupos haya
conseguido rellenar los huecos de los dos cuadros que se les ha aportado.
Llegados a este punto tendrán que salir a la pizarra de manera conjunta y
organizarse entre todos para saber cómo van a indicar las soluciones y cómo las han ido
hallando. Este modo de evaluación les va a venir muy bien para saber trabajar en equipo
y para quitarse el miedo escénico ya que todos los componentes del grupo tendrán que
hacer alguna aportación al resto de los compañeros. (Anexo 10)
4.4 Soluciones de las actividades transversales
Conocimiento del medio
Actividad 1: primera pregunta 657km / segunda pregunta 153km
Actividad 2: primera pregunta 14 homínidos / segunda pregunta 4200 soldados
Lengua castellana y literatura
Actividad 1: primera pregunta 13 líneas
Actividad 2: primera pregunta 880 páginas
46
Música
Actividad 1: primera pregunta 200 agujeros / segunda pregunta 160 agujeros
tercera pregunta 120 agujeros / cuarta pregunta 80 agujeros
Actividad 2: primera pregunta 10 minutos / segunda pregunta 2.5 minutos
tercera pregunta 2 minutos / cuarta pregunta 1.25 minutos
Educación plástica
Actividad 1: primera pregunta 1.5 cm³ de agua / segunda pregunta 1.5ml
tercera pregunta 15cl de agua / cuarta pregunta 375cl de agua
Actividad 2: primera pregunta 50 agujeros / segunda pregunta 600 agujeros
Educación física
Actividad 1: dependerá del número de grupos que se necesite en las actividades.
Actividad 2: dependerá del número y de la operación aritmética que se vaya indicando.
4.5 Soluciones de las actividades para el área de matemáticas
Actividad 1:
La solución será siempre el número formado por los dos dígitos pensados por la persona
a la que se le realiza la actividad puestos en el mismo orden en el que los piensa.
Actividad 2:
La persona que realiza la actividad tendrá que sumar el dígito que aparece en la parte
superior izquierda de cada tarjeta en las que su compañero previamente ha dicho que
aparece el día de su cumpleaños, esta suma indicará el día exacto, de su cumpleaños.
47
Actividad 3:
Primera: 3 libros y sobran 2 libros / Segunda: 3500 € / Tercera: necesitan 4 taxis
Actividad 4:
(5 + 5) * (5 + 5) = 10
(8 – 5) + (6 + 3) = 12
(8 + 7) – 5 = 10
[(7 * 3) + 9] / 3 = 10
6 – (2 + 1) = 3
[(7 + 4) + 3] + (8 – 5) = 9
100 / (2 + 1) = 5
[(9 + 4) – (2 + 6)] + 8 = 13
(2 * 4) * (3 * 5) = 120
(8 + 6 + 4) – (6 + 10) = 2
(14 – 7) + (5 – 2) = 10
[(9 * 2) + 7] – (5 * 2) = 15
Actividad 5:
3 * 51 = 153
49 * 4 = 196
18 * 8 = 144
35 / 5 = 7
59 – 12 = 47
121 + 9 = 130
23 + 9 = 32
7 + 97 = 104
64 – 17 = 47
176 – 8 = 168
93 / 3= 31
288 / 3 = 96
Actividad 6:
35 – 19 = 16 por lo que 19 – 16 = 3 kilos que pesa el recipiente vacío.
Actividad 7:
El valor de cada fruta es el siguiente:
Fresa = 1 / Limón = 2 / Plátano = 3 / Sandía = 4
48
Actividad 8:
4.5
6
4
4
18.5
5.5
5
4.5
3.5
18.5
7
2.5
3.5
5.5
18.5
1.5
5
6.5
5.5
18.5
18.5 18.5 18.5 18.5
5.2
3.4
4
6.4
19
4.4
5.8
5.2
3.6
19
4.8
3.6
6
4.6
19
4.6
6.2
3.8
4.4
19
19
19
19
19
3.75
6.75 6.75 12.75 30
8.25
9
7.5
5.25
30
11.25
7.5
5.25
6
30
6.75
6.75 10.5
6
30
30
30
30
30
Actividad 9: hay otras posibles soluciones
10
9
5
10
9
5
4
8
12
6
8
10
10
7
7
8
7
9
49
50
CAPÍTULO IV: CONCLUSIONES
Gracias a la elaboración de este proyecto he podido adquirir diversos
conocimientos que me han servido para progresar en uno de los ámbitos de las
matemáticas que personalmente y ahora más que nunca considero el más importante, el
cálculo mental y también el cálculo aproximado.
Si hecho un vistazo al pasado, recuerdo que las matemáticas solían ser una de las
áreas más complicadas para los escolares, pero a su vez, la que más les divertía e
incluso les gustaba tras su práctica. Recordando mi paso como alumna de Educación
Primaria y tras vivenciar las prácticas escolares del grado de educación primaria, he
comprobado que el cálculo mental es un ámbito de las matemáticas en el que los
profesores apenas profundizan y practican con sus alumnos. En mi etapa escolar ni si
quiera realizábamos ejercicios de cálculo mental, y en la actualidad, al menos lo poco
que he experimentado, simplemente se basa en el dictado de problemas con un nivel
inferior al que el alumno podría enfrentarse. Resultando este cálculo muy poco
complicado e incluso aburrido para los alumnos, ya que escriben los resultados de las
actividades de forma mecánica y sin apenas pensar.
Con esto deduzco que una aplicación incorrecta del cálculo mental en el aula,
puede llevar a los alumnos a perder el interés en el mismo. Por ello gracias a la
elaboración de este proyecto y tras plantear y hacer una profunda búsqueda
bibliográfica en la que he encontrado multitud de actividades destinadas al cálculo
mental en el aula, creo que con una adecuada aplicación del mismo, este puede resultar
realmente emocionante para los alumnos. Así que considero muy relevante tratar de
mantener en los alumnos una inquietud hacia el cálculo mental y hacia el cálculo
aproximado, motivándoles con el desarrollo de actividades lúdicas, atractivas y sobre
todo no repetitivas.
Para ello los docentes tendrán que plantear actividades con distintas
metodologías y temáticas, y considerar el tiempo de actuación de los alumnos, el cual
será inferior en los cursos superiores de la educación primaria y superior en las primeras
etapas. También tienen que tener en cuenta su amplia aplicación, pudiendo realizar
actividades de cálculo mental no solo en el área de las matemáticas, pero siempre
teniendo en cuenta una estructura progresiva de adquisición.
51
Como ya se ha explicado a lo largo del proyecto, las matemáticas en general, y
el cálculo mental en particular son útiles para muchas de las situaciones que los
alumnos abordan a diario y continuamente en su vida, por ello es importante aplicarlo
de forma continuada. Así se logrará formar verdaderos y competentes ciudadanos,
capaces de enfrentarse a los problemas diarios en los cuales no se dispone ninguna
herramienta de resolución, sino que únicamente es la mente la que puede dar la solución
a los mismos. Y a su vez, gracias a la práctica del cálculo mental se desarrollan
habilidades cognitivas en los alumnos, consiguiendo que sus resultados académicos
sean más positivos tanto en la etapa de la educación primaria como en el resto de etapas
educativas a las que se van a enfrentar a lo largo de su escolarización.
52
CAPÍTULO V: BIBLIOGRAFÍA
Boletín oficial de La Rioja. (4 de febrero de 2011). Matemáticas, pp. 54-66.
Bermejo, V. (2004). Cómo enseñar matemáticas para aprender mejor. Alcalá, España:
CCS.
Capó Dolz, M. (2013). Disfruta, juega y aprende con las matemáticas 1. Alcalá,
España: CCS.
Chamorro, M C. (2003). Didáctica de las matemáticas. Madrid, España: Pearson
Prentice Hall.
Corbalán, F. (2011). Mates de cerca. Barcelona, España: GRAÓ
Flores, P., y Moreno, A. J. (2011). Matemáticas competentes…para reír. Barcelona,
España: GRAÓ
Fumerton, M. (22 de septiembre de 2008). Teoría de las inteligencias múltiples de
Howard
Gardner.
Recuperado
de:
http://www.slideshare.net/mayrafumerton/teora-de-las-inteligencias-mltiples-dehoward-gardner-presentation
Jiménez Ibáñez, J.J. (2012). Estrategias del cálculo mental. IES Alhama de Corella,
España.
Linares Ciscar, S. (2011). Didáctica de las matemáticas y el profesor de los niveles
básicos. Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas básicas. 15-17.
Marín Rodríguez, M. (2010). Competencia matemática en primaria. Actividades para el
tercer ciclo. Alcalá, España: CCS.
Ortiz, M., y Ortega del Rincón, T. (2009). Cálculo mental. Primer ciclo de educación
primaria. Badajoz, España: @becedario.
Ortiz, M. (2012). Cálculo mental en el aula en el primer ciclo de educación primaria.
Alcalá, España: CCS.
Ortiz, M. (2013). Cálculo mental en el aula en el tercer ciclo de educación primaria.
Alcalá, España: CCS.
Pereyra-García Castro, M.A., Luzón Trujillo, A., y Torres, M. (2010). Organización y
gestión educativa. Revista del Fórum Europeo de Administradores de la
Educación, 18(6), 12-17.
RAE, (2001). Diccionario de la lengua española (DRAE). 22
53
Sánchez Torres, J. D. (2010). Juegos matemáticos y de razonamiento lógico. Alcalá,
España: CCS.
Sarmiento Santana, M. (2007). Enseñanza y aprendizaje. La enseñanza de las
matemáticas y las NTIC. Una estrategia de formación permanente. 32-51.
Colegio Romareda,
2011. (Zaragoza) Cálculo mental en el 3º ciclo. Visto en:
http://www.colegioromareda.org/primaria/3ciclo/matestercerciclo2011/6CALC
ULO2011.pdf
54
Anexo 1: Criterios de divisibilidad de los distintos números
Número
Regla de divisibilidad
Divisibles por 1
Todos los números
Divisibles por 2
Los números que terminan en cero o cifra par
Divisibles por 3
Los números cuyas cifras suman 3 o múltiplo de 3
Divisibles por 4
Los números cuyas dos últimas cifras son 00 o múltiplo de 4
Divisibles por 5
Los números terminados en 0 o 5
Divisibles por 6
Los números divisibles por 2 y por 3
Divisibles por 8
Los números cuyas tres últimas cifras son 000 o múltiplo de 8
Divisibles por 9
Los números cuyas cifras suman 9 o múltiplo de 9
Divisibles por 10
Los números terminados en 0
Divisibles por 11
Los números en los que la suma de las cifras de lugar par, menos
la suma de las cifras de lugar impar da 0 o múltiplo de 11
Divisibles por 12
Los números divisibles por 3 y por 4
Divisibles por 14
Los números divisibles por 2 y por 7
Divisibles por 15
Los números divisibles por 3 y por 5
Divisibles por 18
Los números divisibles por 2 y por 9
Divisibles por 25
Los números terminados en 00 o múltiplos de 25
Divisibles por 100
Los números terminados en 00
Elaboración propia; con el apoyo de “El huevo de chocolate”, visto en:
http://www.elhuevodechocolate.com/mates/mates4.htm
Anexo 2: Pasos actividad “Mágicas numéricas”
Anexo 3: Tarjetas actividad “Fecha de cumpleaños”
1
9
17
25
2
11
19
27
4
14
22
30
3
11
19
27
3
14
22
30
6
15
23
31
5
13
21
29
7
15
23
31
7
20
28
7
15
23
31
10
18
26
12
21
29
8
12
20
26
30
16
20
24
28
9
13
21
27
31
17
21
25
29
10
14
24
28
18
22
26
30
11
15
25
29
19
23
27
31
Anexo 4: Preguntas actividad “¿Cuánto es 14 entre 4?
Anexo 5: operaciones actividad “¿Qué símbolos necesitamos?
Nombre del alumno______________________________________________________
¿Qué símbolo necesitamos?
Completa las siguientes operaciones con los símbolos correspondientes para que estas
tengan sentido, también puedes utilizar paréntesis si es necesario.
5
5
5
5
8
7
5
6
2
1
100
8
2
4
3
5
= 120
= 10
7
4
3
8
5
=9
=3
9
4
2
6
8
= 13
10 = 5
7
3
9
3
= 10
8
6
4
6
10
=2
9
2
7
5
2
= 15
2
14
7
5
= 100
5
6
2
3
= 10
= 12
Anexo 6: operaciones actividad “Un solo símbolo”
Nombre del alumno______________________________________________________
Un solo símbolo
Completa las siguientes operaciones con un único símbolo para que estas tengan
sentido, tendrás que colocarlo en uno de todos los espacios que hay entre los dígitos,
formando así números de varias cifras con los que operarás para llegar hasta la solución.
3
5
1
= 153
7
9
7
= 104
3
5
5
=7
9
3
3
= 31
2
3
9
= 32
1
8
8
= 144
1
7
6
8
1
2
1
= 130
4
9
4
= 196
6
4
1
7
= 47
5
9
1
2
2
8
8
3
= 96
= 168
= 47
Anexo 7: enunciado actividad “El peso de la botella”
Anexo 8: enigma actividad “Sumas enigmáticas”
10
5
8
13
16
12
16
17
Fresa: _________________________
Limón: ________________________
Plátano: _______________________
Sandía: ________________________
14
17
Anexo 9: cuadros actividad número 8
Anexo 10: cuadros actividad número 9
Número y componentes del grupo: __________________________________________
______________________________________________________________________
Completa los cuadros de tal manera que todas las filas y columnas sumen 24.
5
4
7
8
10
9