La expresión `! ! (`" ! `#) se llama triple producto vectorial

La expresión
~b ~c
~a
se llama triple producto vectorial. Demostrar las siguientes identidades:
~b ~c = (~a ~c) ~b
~a
~a ~b ~c
~a ~b
~c = (~c ~a) ~b
~c ~b ~a
Solución:
Para probar la primera identidad, calculamos primero
bi b
j b
k
~b ~c = b1 b2 b3 = (b2 c3 b3 c2 ) bi + (b3 c1 b1 c3 ) b
j + (b1 c2 b2 c1 ) b
k = (b2 c3 b3 c2 ; b3 c1 b1 c3 ; b1 c2 b2 c1 )
c1 c2 c3
Ahora
b
bi
b
j
k
~
=
~a
b ~c =
a1
a2
a3
b2 c3 b3 c2 b3 c1 b1 c3 b1 c2 b2 c1
= [a2 (b1 c2 b2 c1 ) a3 (b3 c1 b1 c3 ) ; a3 (b2 c3 b3 c2 ) a1 (b1 c2 b2 c1 ) ; a1 (b3 c1 b1 c3 ) a2 (b2 c3 b3 c2 )] =
= [b1 (a2 c2 + a3 b3 ) c1 (a2 b2 + a3 b3 ) ; b2 (a1 c1 + a3 c3 ) c2 (a1 b1 + a3 b3 ) ; b3 (a1 c1 + a2 c2 ) c3 (a1 b1 + a2 b2 )] =
= [b
h 1 (a1 c1 + a2 c2 + a3 b3 ) c1 (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ) ; b2 (a2 c2 + a1 ci1 + a3 c3 ) c2 (a2 b2 + a1 b1 + a3 b3 ) ; b3 (a3 c3 + a1 c1 + a2 c2 )
= b1 (~a ~c) c1 ~a ~b ; b2 (~a ~c) c2 ~a ~b ; b3 (~a ~c) c3 ~a ~b =
= (b1 ; b2 ; b3 ) (~a ~c) (c1 ; c2 ; c3 ) ~a ~b = ~b (~a ~c) ~c ~a ~b
que es lo que queríamos demostrar.
Para la segunda identidad se procede de la misma manera.
1
c3 (a