Práctica 1: Proyecciones cartográficas y Sistemas de Coordenadas

2o Cuatrimestre
Radiodeterminación IT
Práctica 1: Proyecciones cartográficas y Sistemas de
Coordenadas. (2a Parte).
Se pide elaborar una memoria que sea una ampliación de este guión, explicando el significado
de cada comando y añadiendo las figuras.
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¿Qué es una proyección cartográfica?
Desde al menos el siglo VI a. C., atendiendo a los trabajos de Pitágoras de los que se tiene noticia, se
sabe que la Tierra tenía una forma curvada, en principio entendida como esférica. Hemos visto que la
Tierra tiene una forma de esferoide oblato y hemos hablado de los conceptos de geoide y elipsoide la semana
pasada. El punto importante ahora es que, siendo la Tierra un cuerpo tridimensional, no es trivial cuál
es la mejor manera de representarlo sobre una superficie bidimensional. La transformación de 3D a 2D es
lo que llamamos matemáticamente proyección, que en nuestro contexto será cartográfica. En las próximas
secciones se describen las propiedades básicas de las proyecciones cartográficas y cómo se construyen. En
concreto, pondremos énfasis en la proyección más común: la proyección denominada Transversal Universal
de Mercator (Universal Transverse Mercator o UTM).
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Propiedades cuantitativas de las proyecciones cartográficas
Hay cinco propiedades características:
1. Forma (o conformalidad. Se refiere a la capacidad de una proyección de reproducir o preservar la
forma. Por ejemplo, que un triángulo equilátero sobre un esfera al proyectarse sobre un plano de
acuerdo a una determinada transformación de 3D a 2D siga siendo un triángulo equilátero daría a
dicha transformación la propiedad de ser conforme. Es decir, que se puede dar una definición precisa
de proyección conforme diciendo que es una transformación que conserva los ángulos. Es decir, que si
estamos en un barco y medimos sobre nuestro mapa que hemos de tomar un rumbo a 160𝑜 al oeste de
la línea de observación sobre un faro, efectivamente son 160𝑜 medidos en realidad sobre la cubierta del
barco. No todas las proyecciones son conformes, y de ahí que la de Mercator, usada desde antiguo, fuese
tan ventajosa en la navegación marítima. Otro nombre para este tipo de proyección es ortomórfica.
2. Distancia (o equidistancia). Un mapa es equidistante si conserva distancias desde un punto concreto
del mapa. Así, si sobre el mapa una distancia parece el doble que otra, efectivamente es así sobre un
mapa equidistante. Hay que hacer énfasis en que esta definición solamente se aplica desde un punto del
mapa, generalmente el centro. No es posible matemáticamente generar una proyección que conserve la
distancia en todas las direcciones para todos los puntos del mapa. Esto implica que ningún mapa es
fiel en su escala, aunque para mapas de zonas pequeñas el error es pequeño también.
También se denomina equidistante, alternativamente, a un mapa que sitúe todos los paralelos 3D de
la Tierra como líneas equidistantes.
3. Área (o equivalencia). Un mapa conserva el área si dos áreas cualesquira que sean iguales sobre el
mapa lo son sobre el modelo 3D de la Tierra. Se puede demostrar matemáticamente que ningún mapa
equivalente puede ser conforme y viceversa. Otros nombres para estos mapas son homolográficos o
equireales.
3
Las tres familias principales de proyecciones
Vamos a considerar tres familias de proyecciones, pese a que existen más. En concreto, serán las cilíndricas,
las cónicas y las planares o azimutales.
3.1
Proyecciones cilíndricas
Una proyección cilíndrica resulta de colocar la Tierra en el interior de un cilindro que la intersecta en el
ecuador. Una proyección cilíndrica puede ser conforme, equidistante o equivalente. Un ejemplo de proyección
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se muestra en la figura, donde la proyección se ha construido proyectando cada punto de la Tierra sobre la
superficie cilíndrica trazando líneas perpendiculares a esta. Existen varios tipos en general:
∙ Proyección cilíndrica equidistante
∙ Proyección cilíndrica equivalente
∙ Proyección de Mercator
∙ Proyección de Miller
∙ Proyección de Plate Carr’e
∙ Proyección de Mercator Transversal Universal (UTM)
Las proyecciones pseudocilíndricas se originan si en lugar de un cilindro usamos una forma geométrica con
forma de barril, que luego desenrrollamos sobre un plano 2D. Algunas proyecciones de este tipo son las
siguientes:
∙ Proyecciones de Eckert
∙ Proyección homolosena de Goode
∙ Proyección de Mollweide
∙ Proyección autálica cuártica
∙ Proyección de Robinson
∙ Proyección sinusoidal
3.2
Proyecciones cónicas
Se derivan de la proyección del globo terrestre sobre un cono colocado sobre el mismo. Hay varios aspectos
posibles en la elección de la proyección: el llamado aspecto normal corresponde a elegir el vértice del cono
sobre el eje polar de la Tierra. Si el cono toca la Tierra solamente en un paralelo, decimos que la proyección
cónica es tangente y si lo hace en dos paralelos decimos que es secante. Se puede elaborar un mapa del
mundo con la yuxtaposición de varias proyecciones cónicas (construcción policónica). Las proyecciones
cónicas implican menor distorsión que las cilíndricas en las zonas de latitudes altas y medias.
Varios ejemplos de proyecciones cónicas son:
∙ Proyección equivalente de Albers
∙ Proyección equidistante cónica
∙ Proyección conforme de Lambert
∙ Proyección autálica cuártica
∙ Proyecciones policónicas
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3.3
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Proyecciones planares o azimutales
En lugar de colocar un cilindro o un cono, se coloca directamente un plano. Un ejemplo es situar un plano
tangente a la Tierra en el polo y proyectar todo el hemisferio correspondiente según las líneas que se originan
en el polo opuesto. La mayoría de las proyecciones azimutales no son adecuadas para generar un mapa de
todo el mundo.
Algunas de las proyecciones azimutales más comunes son:
∙ Proyección gnomónica
∙ Proyección equidistante azimutal
∙ Proyección azimutal equivalente de Lambert
∙ Proyección ortográfica
∙ Proyecciones estereográfica
∙ Proyección estereográfica polar universal
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Manipulación de proyecciones y sus caractarísticas
Probemos las siguientes órdenes:
>>
>>
>>
>>
>>
close all ; clear all ;
axesm s i n u s o i d
framem on ; gridm on ; tightmap t i g h t
load coast
patchm ( l a t , long , ’ g ’ )
Podemos inspeccionar el contenido de este mapa con la orden
>> getm ( gca , ’ O r i g i n ’ )
y cambiarlo de sitio con
>> setm ( gca , ’ O r i g i n ’ , [ 4 5 0 0 ] )
Vamos a ver otro ejemplo:
>> f i g u r e
>> h=worldmap ( ’ p a k i s t a n ’ , ’ patch ’ )
sobre el que extraemos sus propiedades con
>> m s t r u c t = getm ( h ) ;
Podemos ver qué proyección se toma por defecto al hacer el mapa de la zona de Pakistán con worldmap:
>> m s t r u c t . m a p p r o j e c t i o n
También podemos cambiarla:
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>> setm ( h , ’ m a p p r o j e c t i o n ’ , ’ a i t o f f ’ )
Adicionalmente, si queremos cambiar algo en la figura, podemos ir a Edit→ Figure Propperties... en el menú
de la figura correspondiente.
5
El sistema UTM
La proyección de Mercator podemos contemplarla con los siguientes comandos
>>
>>
>>
>>
>>
close all ; clear all ;
axesm m e r c a t o r
framem on ; gridm on ; tightmap t i g h t
load coast
patchm ( l a t , long , ’ g ’ )
Se trata de una proyección cilíndrica conforme cuya formulación matemática es compleja y se plantea en términos de geometría diferencial. Sin embargo, Gerardus Mercator (Gerhard Kremer en su nombre flamenco)
propuso esta proyección en términos puramente geométricos. Esta construcción geométrica es también muy
compleja y no la describimos aquí. Resaltamos que, como toda proyección cilíndrica deforma mucho las áreas
a las latitudes más altas, y hace que tanto Groenlandia como la Antártida tengan dimensiones desmesuradas.
Sobre la proyección de Mercator, basada en colocar el cilindro de la proyección con su eje coincidente con el eje
polar de la Tierra, se ha construido una versión actualizada, más fiel. Consiste en colocar sucesivos cilindros
de ejes perpendiculares al polar terrestre y tomar, para cada uno de ellos consideramos el meridiano que lo
toca y proyectar un “huso” de la Tierra alrededor de dicho meridiano, de ± 3𝑜 alrededor de él y, por tanto,
de 6𝑜 de anchura. El número de cilindros es, consecuentemente, de 59. Esta es la proyección Transversal de
Mercator (no confundir con la proyección de Mercator Universal, que explicamos a continuación).
También existe otra modificación de la proyección de Mercator que consiste en dividir el globo en zonas, que
se llaman zonas UTM, de seis grados de longitud y ocho de latitud y que están definidos entre el paralelo 80
Sur y el 84 Norte. Cada zona tiene unas coordenadas de latitud y longitud correspondientes a un elipsoide
diferente en principio, que es el más exacto para cada una de estas zonas. Fuera de esta región, se utiliza la
proyección Estereográfica Polar Universal (UPS).
Vamos a hacer algunos cálculos basados en el sistema UTM. Primero vamos a averiguar en qué sector se
encuentra una cierta región del mundo que queramos elegir. Para ello, ejecutamos el siguiente comando:
>> utmzoneui
Por ejemplo, supongamos que hemos elegido la 30U. A continuación hacemos lo siguiente
>>
>>
>>
>>
>>
>>
close all ; clear all ;
axesm utm
setm ( gca , ’ zone ’ , ’ 3 0U’ )
d i s p laym ( w o r l d h i ( getm ( gca , ’ maplatlim ’ ) , getm ( gca , ’ maplonlim ’ ) ) )
polcmap
framem
Supongamos ahora, alternativamente, que queremos saber en qué zona se encuentra un determinado punto,
por ejemplo el [40.7, −74.0]
>>
>>
p1=[40.7 , −74.0]
z1= utmzone ( p 1 )
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Bien, sabemos entonces que se encuentra en la zona 18T, pero podríamos preguntarnos lo siguiente: ¿según
el modelo de proyección UTM, estas coordenadas de latitud y longitud corresponden a qué elipsoide?, ya
que diferentes elipsoides producen diferentes pares de latitud y longitud. Esto lo hacemos con el siguiente
comando
>>
z1= [ e l l i p s o i d , e s t r ] = utmgeoid ( z 1 )
La siguiente pregunta es, entonces: ¿qué coordenadas (𝑥, 𝑦) sobre mi mapa 2-D corresponden a este punto?
Eso lo obtengo con los siguientes comandos:
>>
>>
>>
>>
>>
u t m s t r u c t = d e f a u l t m ( ’ utm ’ ) ;
u t m s t r u c t . zone = ’ 1 8T ’ ;
utmstruct . geoid = e l l i p s o i d ;
u t m s t r u c t = d e f a u l t m ( utm ( u t m s t r u c t ) ) ;
[ x , y ] = mfwdtran ( utmstruct , p 1 ( 1 ) , p 1 ( 2 ) )
Investíguense estos comandos y entiéndase su significado antes de seguir adelante.
Otros cálculos que se pueden hacer son los de los límites que corresponden a una determinada zona UTM:
>> utmzone ( ’ 1 8T’ )
>> [ z o n e l a t s z o n e l o n s ] = utmzone ( utmzone ( 4 0 . 7 , −74.0))
Como último ejercicio de esta parte, se pide averiguar por qué y cómo los siguientes comandos permiten
hacer un mapa que va más allá de una única zona UTM
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
l a t l i m = [ −60 −15];
c e n t r a l M e r i d i a n = −70;
width = 2 0 ;
axesm ( ’ mercator ’ , . . .
’ Origin ’ , [ 0 centralMeridian − 9 0 ] , . . .
’ F l a t l i m i t ’ , [ − width /2 width / 2 ] , . . .
’ F l o n l i m i t ’ , s o r t (− l a t l i m ) , . . .
’ Aspect ’ , ’ t r a n s v e r s e ’ )
d i s p laym ( w o r l d l o ( ’ POline ’ ) ) ;
framem gridm ;
setm ( gca , ’ p l i n e f i l l ’ , 1 0 0 0 )
tightmap
mdistort s c a l e
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