Deducción de la formulación matricial de un elemento en

Deducción de la formulación matricial de un elemento en una ecuación diferencial lineal
ordinaria de segundo orden con funciones de interpolación lineales.
Caso 1.- Ecuación de la forma -[p(X)·y']' + q(X)·y =g(X).
Funciones de interpolación lineales
Considérese el intervalo [α,β] dividido en L elementos cuyos extremos son [X1, X2], [X2, X3], [X3, X4], ……., [Xk , Xk+1],
…….., [XL, XL+1], donde X1 = α y XL+1 = β. Se va reducir este estudio al elemento genérico e k , definido en el
subintervalo [Xk , Xk+1] cuyos nodos son Xk y Xk+1.
Se aproxima la solución mediante las funciones de interpolación lineales:
x
N1k ( x) = 1 −
hk
y
Nk2 (x) =
x
hk
donde hk = Xk+1 - Xk y las funciones están expresadas en coordenadas locales que se relacionan con las globales
mediante la ecuación:
X = x + Xk
Repárese que dX = dx, con lo que la ecuación diferencial expresada en coordenadas locales para el elemento ek
tendría la forma:
-[p(x + Xk )·y']' + q(x + Xk )·y =g(x + Xk )
Con estas funciones de interpolación la función en este elemento se aproxima mediante la línea recta definida por:
y = u k ⋅ Nk1 ( x) + uk +1 ⋅ Nk2 ( x )
donde uk y uk+1 son los valores de las ordenadas en los nodos del elemento, es decir en las abscisas, expresadas
en coordenadas globales, Xk y Xk+1, respectivamente.
Llevando esta aproximación a la ecuación diferencial se llega a:
− [p( Xk + x )· y' ] '+ q( Xk + x)· uk ⋅ N1k ( x) + uk +1 ⋅ Nk2 ( x) − g( Xk + x ) = R( x,...,uk +1)
Aplicando el método de Galerkin, en el que
h
k
∫o k R( x, Xk , Xk +1,u k , uk +1)·Nr ( x )·dx = 0 ∀ r = 1, 2
(
)
esta integral conduce a las siguientes integrales cuya suma ha de ser nula:
i)
Integrando por partes la integral correspondiente al primer sumando del primer miembro de la ecuación
diferencial
[
]
− ∫0hk [p( X k + x )·y' ]'·Nkr ( x)·dx = − p( Xk + x )· y'·Nkr ( x) 0 + ∫0hk p( Xk + x)· y'.
hk
dN kr ( x )
·dx
dx
ii)
El segundo término conduce a la integral
iii)
h
k
k
k
∫0 k q( Xk + x )· u k ⋅ N1 ( x ) + u k +1 ⋅ N 2 ( x ) ·Nr ( x )·dx
El tercer término, que se le llamará -fr, donde, como es sabido r toma los valores 1 ó 2:
(
)
− ∫0hk g( X k + x )·N kr ( x )· dx = − fr
reuniendo los tres resultados e imponiendo que s suma sea cero se llega a
p( Xk )· y' ( X k )·Nkr ( 0 ) − p( Xk +1)· y' ( X k +1 )·Nkr (h k ) + ∫0hk p( Xk + x)· y'.
(
)
dNkr ( x)
·dx +
dx
+ ∫0hk q( Xk + x )· uk ⋅ Nk1 ( x ) + uk +1 ⋅ N k2 ( x ) ·N kr ( x )· dx = fr
Particularizando ahora para r = 1 y sustituyendo en la integral primera y' por su valor en función de las derivadas
de las funciones de interpolación, se obtiene
 dN k
dN k  dN k ( x)
p( Xk )· y' ( Xk ) + ∫0hk p( Xk + x)·  uk · 1 + uk +1· 2 . 1 ·dx +

dx
dx  dx

(
)
+ ∫0hk q( Xk + x )· u k ⋅ N1k ( x ) + u k +1 ⋅ Nk2 ( x ) ·N1k ( x )· dx = f1
Para r = 2 se obtiene,

dNk
dN k
− p( Xk +1 )· y' ( Xk +1) + ∫0h k p( Xk + x )· u k · 1 + u k +1· 2

dx
dx

(
)
 dNk ( x)
2
.
·dx +
 dx

+ ∫0hk q( Xk + x )· u k ⋅ N1k ( x ) + u k +1 ⋅ Nk2 ( x ) ·Nk2 ( x )·dx = f2
llamando


dN k1 dN k1 ( x )
Kk11 = ∫0h k  p( Xk + x) ⋅
⋅
+ q( X k + x) ⋅ N1k ( x) ⋅ Nk1 ( x)  ⋅ dx


dx
dx




dNk dN k2 ( x)
Kk12 = K k21 = ∫0hk  p( Xk + x) ⋅ 1 ⋅
+ q( Xk + x) ⋅ Nk1 ( x ) ⋅ Nk2 ( x)  ⋅ dx


dx
dx




dNk2 dN k2 ( x)
Kk22 = ∫0hk  p( X k + x) ⋅
⋅
+ q( Xk + x) ⋅ N k2 ( x ) ⋅ Nk2 ( x)  ⋅ dx


dx
dx


se llega a las siguientes expresiones
k
p( Xk )· y' ( X k ) + K11
⋅ u k + Kk12 ⋅ uk +1 = f1
− p( Xk +1 )· y' ( Xk +1) + K k21 ⋅ uk + K k22 ⋅ u k +1 = f2
que en forma matricial adopta la forma:
k
k
 p(Xk )·y'(Xk )   K 11 K 1 2   uk   f1 
+

 ⋅


= 
k
k
 − p(Xk +1 )·y'(Xk +1 )   K 2 1 K 22   u k +1   f2 
se suele llamar
k 
K k K12
Kkel =  11
k
k 
K 21 K 22 
que, como se ha visto, es simétrica.
Caso 2.- Ecuación de la forma p(X)·y'' + q(X)·y' + r(x)·y(X) = g(X).
Haciendo las mismas consideraciones que en el caso anterior en cuanto a funciones de interpolación y al cálculo
del residuo, aplicando Galerkin, se llega a las siguientes integrales:
i)
Integrando por partes la integral correspondiente al primer sumando del primer miembro de la ecuación
diferencial
h
∫0 k
[
]
hk
p( Xk + x)· y"·Nkr ( x)· dx = p( X k + x)· y'·Nkr ( x) 0 + ∫0hk − p( Xk + x )· y'.
+ ∫0hk − Nkr ( x)· y'.
dN kr ( x)
·dx +
dx
dp ( Xk + x)
·dx
dx
ii)
El segundo define la integral
iii)

dN1k ( x)
dN k2 ( x )  k
h
+ u k +1 ⋅
·Nr ( x )·dx
∫0 k q( Xk + x)·  uk ⋅
dx
dx 

El tercer término conduce a la integral
iv)
h
k
k
k
∫0 k r ( X k + x )· uk ⋅ N1 ( x ) + uk +1 ⋅ N 2 ( x ) ·N r ( x )· dx
El cuarto término se llamará -fr, al igual que en el caso anterior:
(
)
− ∫0hk g( X k + x )·N kr ( x )·dx = − fr
Reuniendo todo los sumandos e imponiendo que esta suma sea nula, se llega a:
p( Xk +1)· y' ( X k +1 )·Nkr (h k ) − p( X k )· y' ( Xk )·Nkr ( 0 ) +

dN k1 ( x)
dN k ( x)  dN kr ( x)
+ ∫0h k − p ( Xk + x) ⋅  uk ⋅
+ u k +1 ⋅ 2
⋅
·dx +

dx
dx 
dx


dN k ( x)
dN k2 ( x )  dp ( Xk + x)
+ ∫0h k − N kr ( x) ⋅  u k ⋅ 1
+ u k +1 ⋅
⋅
·dx +

dx
dx 
dx


dN k1 ( x )
dN k2 ( x)  k
+ ∫0hk q( Xk + x)· u k ⋅
+ uk +1 ⋅
·N r ( x)· dx +

dx
dx 

(
)
+ ∫ 0hk r ( Xk + x )· uk ⋅ Nk1 ( x ) + uk +1 ⋅ N k2 ( x ) ·N kr ( x )· dx = fr
particularizando para r= 1
 dN k
dN k
− p( Xk )·y' ( Xk ) + ∫0hk − p( Xk + x )· uk · 1 + uk +1· 2

dx
dx

2/4
 dN k ( x )
. 1 ·dx +
 dx


dN k ( x)
dN k2 ( x )  dp ( Xk + x)
+ ∫0h k − N1k ( x) ⋅  u k ⋅ 1
+ u k +1 ⋅
⋅
·dx +

dx
dx 
dx


dN k1 ( x )
dN k2 ( x)  k
+ ∫0hk q( Xk + x)· u k ⋅
+ uk +1 ⋅
·N1 ( x)· dx +

dx
dx 

(
)
+ ∫0hk r ( X k + x )· uk ⋅ Nk1 ( x ) + u k +1 ⋅ Nk2 ( x ) ·N1k ( x )· dx = f1
y para r = 2, se llega a que:

dNk
dN k
p( Xk +1)· y' ( Xk +1 ) + ∫0hk − p( Xk + x )· u k · 1 + u k +1· 2

dx
dx

 dNk ( x)
2
.
·dx +
 dx


dN k1 ( x )
dN k2 ( x)  dp ( Xk + x )
+ ∫0hk − Nk2 ( x) ⋅  u k ⋅
+ u k +1 ⋅
⋅
·dx +

dx
dx 
dx


dN k1 ( x )
dN k2 ( x)  k
+ ∫0hk q( Xk + x)· u k ⋅
+ uk +1 ⋅
·N 2 ( x)· dx +

dx
dx 

(
)
+ ∫0hk r ( Xk + x )· uk ⋅ Nk1 ( x ) + uk +1 ⋅ N k2 ( x ) ·N k2 ( x )· dx = f2
llamando
Kk11 = ∫0h k − p( X k + x) ⋅
dNk1 dN k1 ( x)
⋅
·dx +
dx
dx
dN1k ( x) dp( Xk + x )
dN k ( x) k
⋅
·dx + ∫0hk q( Xk + x) ⋅ 1
⋅ ⋅N1 ( x )·dx +
dx
dx
dx
+ ∫0hk r ( Xk + x ) ⋅ Nk1 ( x ) ⋅ N1k ( x )· dx
+ ∫0h k − N1k ( x) ⋅
Kk22 = ∫0h k − p( X k + x) ⋅
+ ∫0hk − Nk2 ( x) ⋅
+
hk
∫0
dN k2 dN k2 ( x)
⋅
·dx +
dx
dx
dN k2 ( x ) dp ( Xk + x)
dN k ( x) k
⋅
·dx + ∫0hk q( Xk + x) ⋅ 2
⋅ ⋅N2 ( x )·dx +
dx
dx
dx
r ( Xk + x) ⋅ Nk2 ( x ) ⋅ Nk2 ( x)·dx
Kk12 = ∫0hk − p( Xk + x) ⋅
dN k1 dNk2 ( x)
⋅
·dx +
dx
dx
dN k2 ( x ) dp( Xk + x)
dN k ( x) k
⋅
·dx + ∫0hk q( Xk + x) ⋅ 2
⋅ ⋅N1 ( x)· dx +
dx
dx
dx
+ ∫0hk r ( Xk + x ) ⋅ Nk1 ( x ) ⋅ Nk2 ( x )·dx
+ ∫0h k − N1k ( x) ⋅
Kk21 = ∫0hk − p( Xk + x) ⋅
dN k1 dN k2 ( x)
⋅
·dx +
dx
dx
dN k1 ( x ) dp( Xk + x)
dN k ( x ) k
⋅
·dx + ∫0hk q( Xk + x) ⋅ 1
⋅ ⋅N2 ( x)· dx +
dx
dx
dx
+ ∫0hk r ( Xk + x ) ⋅ Nk1 ( x ) ⋅ Nk2 ( x )·dx
se llega a las siguientes expresiones
k
− p( Xk )· y' ( Xk ) + K11
⋅ u k + Kk12 ⋅ uk +1 = f1
+ ∫0h k − Nk2 ( x) ⋅
p( Xk +1)· y' ( X k +1 ) + K k21 ⋅ u k + Kk22 ⋅ uk +1 = f2
que en forma matricial adopta la forma:
k
 − p( Xk )·y' ( Xk )  K11
Kk12   u k   f1 

 + 
 =  
⋅
k
k  
 p( Xk +1 )·y' ( Xk +1)  K 21 K 22   u k +1  f2 
se suele llamar
3/4
k 
K k K12
Kkel =  11
k
k 
K 21 K 22 
que, como se ha visto, no es simétrica.
Código en Maple
Caso 1.Definición de las funciones p(x), q(x), g(x)
> p:=x->;# se expresan en coordenadas locales
> q:=x->;
> g:=x->;
Funciones de interpolación de un elemento genérico:
> N1:=(x,h_k)->1. -x/h_k;# h_k es la longitud del elemento
> DN1:=D[1](N1);# cálculo de la derivada con respecto a x
> N2:=(x,h_k)->x/h_k;
> DN2:=D[1](N2);
Integración de los términos de la matriz de rigidez de un elemento genérico
>K_11:=int(N1(x,h_k)*N1(x,h_k)*q(X_k+x)+DN1(x,h_k)*DN1(x,h_k)*p(X_k+x),x=0..h_k); # en la función p(x) se ha
hecho el cambio de coordenadas de globales a locales, X_k es el extremo izquierdo del elemento
>K_12:=int(N1(x,h_k)*N2(x,h_k)*q(X_k+x)+DN1(x,h_k)*DN2(x,h_k)*p(X_k+x),x=0..h_k);
>K_22:=int(N2(x,h_k)*N2(x,h_k)*q(X_k+x)+DN2(x,h_k)*DN2(x,h_k)*p(X_k+x),x=0..h_k);
Matriz de rigidez del elemento
>with(linalg):# se invoca esta librería para definir la matriz del elemento k
>K_el:=matrix(2,2,[K_11, K_12, K_12, K_22,]); #repárese que la matriz es simétrica
Determinación del vector f (vector del segundo miembro)
> f_1:=int(g(x+X_k)*N1(x,h_k),x=0..h_k);
> f_2:=int(g(x+X_k)*N2(x,h_k),x=0..h_k);
> f_el:=matrix(2,1,[f_1,f_2]);
Caso 2.Definición de las funciones p(x), q(x), r(x), g(x)
> p:=x->;#se expresan en coordenadas locales
> q:=x->;
> r:=x->;
> g:=x->;
> Dp:=D(p);# se obtiene la derivada de la función p(x)
Funciones de interpolación de un elemento genérico:
> N1:=(x,h_k)->1. -x/h_k;# h_k es la longitud del elemento
> DN1:=D[1](N1);# cálculo de la derivada con respecto a x
> N2:=(x,h_k)->x/h_k;
> DN2:=D[1](N2);
Integración de los términos de la matriz de rigidez de un elemento genérico
> K_11:=int(-DN1(x,h_k)*N1(x,h_k)*Dp(X_k+x)DN1(x,h_k)*DN1(x,h_k)*p(X_k+x)+DN1(x,h_k)*N1(x,h_k)*q(X_k+x)+N1(x,h_k)*N1(x,h_k)*r(X_k+x),x=0..h_k);
> K_12:=int(-DN2(x,h_k)*N1(x,h_k)*Dp(X_k+x)DN1(x,h_k)*DN2(x,h_k)*p(X_k+x)+DN2(x,h_k)*N1(x,h_k)*q(X_k+x)+N1(x,h_k)*N2(x,h_k)*r(X_k+x),x=0..h_k);
> K_21:=int(-DN1(x,h_k)*N2(x,h_k)*Dp(X_k+x)DN2(x,h_k)*DN1(x,h_k)*p(X_k+x)+DN1(x,h_k)*N2(x,h_k)*q(X_k+x)+N2(x,h_k)*N1(x,h_k)*r(X_k+x),x=0..h_k);
> K_22:=int(-DN2(x,h_k)*N2(x,h_k)*Dp(X_k+x)DN2(x,h_k)*DN2(x,h_k)*p(X_k+x)+DN2(x,h_k)*N2(x,h_k)*q(X_k+x)+N2(x,h_k)*N2(x,h_k)*r(X_k+x),x=0..h_k);
Matriz de rigidez del elemento
> with(linalg):# se invoca esta librería para definir la matriz del elemento k
> K_el:=matrix(2,2,[K_11, K_12, K_21, K_22,]); #repárese que la matriz no es simétrica
Determinación del vector f (vector del segundo miembro)
> f_1:=int(g(x+X_k)*N1(x,h_k),x=0..h_k);
> f_2:=int(g(x+X_k)*N2(x,h_k),x=0..h_k);
> f_el:=vector(2 ,[f_1,f_2]);
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