5. ENGRANAJES CILÍNDRICOS RECTOS

5. ENGRANAJES CILÍNDRICOS RECTOS
5.1. Introducción
El objetivo de los engranajes es transmitir rotaciones entre ejes con una relación de
velocidades angulares constante. Este objetivo se puede lograr también mediante
otros dispositivos como correas, ruedas de fricción o mecanismos de barras articuladas, pero todos ellos tienen limitaciones. Por ejemplo, las correas y ruedas de fricción
no pueden transmitir grandes potencias y los mecanismos de barras articuladas son
aplicables sólo en unos pocos casos concretos.
Los engranajes, en cambio, gozan de varias ventajas: son sencillos de construir,
pueden transmitir grandes potencias y están normalizados. Por ello, son elementos
muy utilizados en gran variedad de máquinas, como reductores, cajas de cambios, diferenciales, trenes de engranajes, etc.
5.1.1. Clasificación de los engranajes
Los engranajes se clasifican en los siguientes grupos:
Cilíndricos (ejes
paralelos).
Cónicos (ejes que se
cortan)
• Dientes rectos exteriores (Figura 5.1): invierten el signo
de la velocidad angular.
• Dientes rectos interiores: mantienen el signo de la velocidad angular.
• Rectos piñón cremallera (Figura 5.2): se pueden ver como un caso particular de los engranajes rectos exteriores en los que una de las circunferencias tiene radio infinito. Convierten una rotación en una traslación.
• Dientes helicoidales (Figura 5.3y Figura 5.4): se pueden
imaginar como un paso al límite de los engranajes rectos
escalonados.
• Rectos (Figura 5.5)
• Espirales (Figura 5.6)
Hiperbólicos (ejes
que se cruzan)
• Hipoides (Figura 5.7): se parecen a los cónicos espirales,
pero en este caso los ejes no se cortan.
• Sinfín-corona (Figura 5.8)
Helicoidales de
ejes cruzados
(Figura 5.9)
© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).
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Cap. 5: Engranajes cilíndricos rectos
Figura 5.1. Engranajes rectos exteriores.
Figura 5.2. Piñón-cremallera
Figura 5.3. Engranajes helicoidales.
Figura 5.4. Engranajes helicoidales Herringbone.
Figura 5.5. Engranajes cónicos.
Figura 5.6. Engranajes cónicos espirales.
Figura 5.7. Engranajes hipoides.
Figura 5.8. Sinfín-corona.
Figura 5.9. Engranajes helicoidales
de ejes cruzados.
© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).
Cap. 5: Engranajes cilíndricos rectos
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Cara
B'
Flanco
Fondo
Addendum
B
A
C
Circunferencia exterior
Dedendum
Circunferencia primitiva
Circunferencia de fondo
Figura 5.10. Nomenclatura de los engranajes.
5.1.2. Nomenclatura
La Figura 5.10 muestra dos dientes de engranaje con la nomenclatura más comúnmente utilizada. La circunferencia primitiva es una circunferencia intermedia entre la
circunferencia exterior y la de fondo y su importancia proviene de que el movimiento
de los engranajes puede estudiarse como una rodadura sobre ella. En los engranajes
normalizados, el espesor del hueco y la anchura del diente sobre la circunferencia
primitiva son iguales.
En los engranajes se definen las siguientes medidas:
•
•
•
•
AB = Espesor circular del diente.
BC = Anchura del hueco.
AC = AB + BC = Paso circular.
BB ' = Longitud del diente.
En un par de engranajes se llama rueda al de mayor diámetro y piñón al de menor diámetro.
p1
p2
Figura 5.11. Necesidad de la igualdad de paso circular para que el engrane sea posible.
© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).
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Cap. 5: Engranajes cilíndricos rectos
5.1.3. Condición de engrane
Para que dos engranajes engranen es necesario que tengan el mismo paso circular.
Esto se puede ver de forma intuitiva en la Figura 5.11, en donde se aprecia que debido
a la diferencia entre los pasos circulares p1 y p2 los dientes de uno no encajan en los
huecos del otro.
Matemáticamente, la condición de igualdad de pasos se escribe
p1 = p2
(5.1)
donde p1 y p2 son los pasos circulares de las ruedas 1 y 2. En un engranaje con z
dientes y radio primitivo R, el paso p se puede escribir como
2πR
(5.2)
p=
z
Sustituyendo la ecuación (5.2) en la (5.1) y simplificando, resulta
R1 z1
(5.3)
=
R2 z2
Como ya se ha mencionado en el apartado anterior, el movimiento relativo de dos
engranajes es cinemáticamente equivalente a la rodadura de sus circunferencias primitivas, como se indica en la Figura 5.12.
Igualando la velocidad del punto de contacto se obtiene
ω1 R1 = ω2 R2
(5.4)
1
R1
2
R2
Figura 5.12. Rodadura entre circunferencia primitivas.
Despejando la relación de velocidades angulares y teniendo en cuenta la ecuación
(5.3), resulta
ω1 R2 z2
=
=
(5.5)
ω2 R1 z1
Por conveniencia, en lugar de utilizar el paso circular se define un nuevo parámetro llamado módulo como el cociente entre el paso circular y el número π. Atendiendo
a la ecuación (5.2) podemos escribir:
p 2πR 2R
m= =
=
(5.6)
z
π
πz
Despejando:
mz
R=
(5.7)
2
© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).
Cap. 5: Engranajes cilíndricos rectos
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lo que permite determinar el valor del radio primitivo en función del módulo y del
número de dientes.
Figura 5.13. Transmisión de la rotación por contacto directo entre superficies.
5.2. Ley general de engrane. Perfiles conjugados
Los engranajes son mecanismos de contacto directo, ya que transmiten el movimiento
por contacto entre perfiles conjugados que deslizan entre sí. La Figura 5.13 muestra
cómo se produce este contacto.
Se vio en el Capítulo 4 que la relación de velocidades en los mecanismos de contacto directo se podía escribir en función del punto P, intersección de la línea de centros con la normal a los perfiles en el punto de contacto, como
ω1 O2 P
=
ω2 O1 P
(5.8)
Para que la relación de velocidades angulares permanezca constante en todo momento, es necesario que el punto P sea un punto constante en la línea de centros, ya
que de lo contrario el cociente de la ecuación (5.8) cambiaría. A esta condición se la
conoce como ley general de engrane. Para que dos engranajes tengan una relación de
velocidades constante han de satisfacer, por tanto, la ley general de engrane.
Es sencillo probar que el movimiento de dos engranajes que satisfacen la ley general de engrane es cinemáticamente equivalente a la rodadura de sus circunferencias
primitivas. La circunferencia primitiva del engranaje 1 tendría de radio R1 = O1 P ,
mientras que la circunferencia primitiva de 2 tendría radio R2 = O2 P . De esta forma,
la relación de velocidades entre las dos circunferencias de radio R1 y R2 sería
ω1 R2 O2 P
=
=
ω2 R1 O1 P
(5.9)
lo que coincide con la ecuación (5.8).
5.3. Engranajes de evolvente
Sería deseable encontrar unos perfiles que, por una parte, satisfagan la ley general de
engrane y, por otra, sean sencillos de construir. El perfil que cumple estas condiciones
es la evolvente de circunferencia y es el empleado en la mayor parte de los engranajes.
© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).