5. Espacios de Hilbert

MÉTODOS MATEMÁTICOS
ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES LINEALES
Profesora: Mª Cruz Boscá
TEMA 2: ESPACIOS EUCLÍDEOS Y DE HILBERT
Sea un espacio lineal L ≡ (X, +, ·) sobre el cuerpo k .
Producto interno o escalar y espacio pre-Hilbert
Definición: Una producto escalar o interno ⋅, ⋅ sobre L es una aplicación
⋅, ⋅ : L × L → k , tal que satisface los axiomas:
de L × L sobre k ,
Ax.1: x, x ≥ 0 ∀x ∈ L
Ax.2: x, x = 0 ⇔ x = 0
Ax.3: x, y = y, x
*
∀x, y ∈ L (hermiticidad)
Ax.4: x, α y = α x, y
∀α ∈ k ∀x, y ∈ L (homogeneidad a la derecha)
Ax.5: x, y + z = x, y + x, z
∀x, y, z ∈ L (distributividad o aditividad)
-Nota: esta definición es la de una forma sesquilineal hermítica.
Definición: El par ( L, ⋅, ⋅ ) define un espacio pre-Hilbert o espacio euclídeo.
( L, ⋅, ⋅ ) es espacio normado, ( L, ⋅ ) , con la norma derivada del producto
escalar según x = +
x, x
∀x ∈ L .
Sea un espacio pre-Hilbert L ≡ ( L, ⋅, ⋅ ) y sea ⋅ la norma inducida:
Propiedades y definiciones
x, 0 = 0, x =0 ∀x ∈ L
x, y = 0 ∀y ∈ L ⇒ x = 0
x, y = z , y
∀y ∈ L ⇒ x = z
x,α y + β z = α x, y + β x, z y α x + β y, z = α * x, z + β * y, z ∀α ,β ∈ k ∀x,y,z ∈ L
© M.C. Boscá, U. de Granada
1
Desigualdad de Schwarz-Cauchy-Buniakowskii:
a) x, y
b) x, y
2
≤ x, x ⋅ y , y
( x, y ≤ x ⋅ y ) ∀x, y ∈ L ;
2
= x, x ⋅ y , y
⇔ y=λ x
λ ∈ k x, y ∈ L .
Ángulo entre dos vectores: Si k = ℝ , entonces el ángulo ϑ entre dos
vectores no nulos de L se define según cos ϑ =
x, y
x ⋅ y
, x, y ∈ L, x ≠ 0, y ≠ 0 .
Identidad de polarización:
1
2
2
x + y − x − y  ∀x, y ∈ L .

4
1
2
2
2
2
b) Si k = ℂ, entonces x, y =  x + y − x − y − i ( x + iy − x − iy )  ∀x, y ∈ L .


4
a) Si k = ℝ, entonces x, y =
Ley del paralelogramo:
x + y + x − y = 2( x + y ) ∀x, y ∈ L .
-Nota: esta ley no se cumple en un espacio normado arbitrario; sí cuando la norma
deriva de un producto escalar. Además, se tiene:
Un espacio normado ( L, ⋅ ) es espacio pre-Hilbert ( L, ⋅, ⋅ ) ⇔ en él se
2
2
2
2
satisface la ley del paralelogramo.
Y, entonces, ⋅, ⋅ queda definido por la identidad de polarización. Y este
producto interno induce la norma específica del espacio normado de
partida: un espacio normado admite, en su caso, una única estructura
euclídea.
Un espacio euclídeo es un espacio normado cuya norma satisface la ley
del paralelogramo.
⋅, ⋅ es una función continua.
Sean xn e yn dos sucesiones de Cauchy en ( L, ⋅, ⋅ ) ⇒
xn , yn es sucesión
de Cauchy en k .
Definición: Dos espacios pre-Hilbert L1 ≡ ( L1 , ⋅, ⋅ 1 ) y L2 ≡ ( L2 , ⋅, ⋅ 2 ) son
isomorfos en producto escalar ⇔ ∃ T : L1 → L2 , aplicación lineal de L1 en L 2 ,
tal que:
a) T es un isomorfismo entre los espacios lineales.
b) T preserva el producto escalar: Tx, Ty 2 = x, y 1 ∀x,y ∈ L1 .
Dos espacios euclídeos son isomorfos en producto escalar ⇔
isomorfos en norma.
son
-Notación: L1 ≃ L2 .
Todos los espacios euclídeos de igual dimensión finita n son isomorfos
entre sí topológica y métricamente.
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2
Sea un espacio pre-Hilbert L ≡ ( L, ⋅, ⋅ ) y sea ⋅ la norma inducida:
Ortogonalidad
Definición: Dado ( L, ⋅, ⋅ ) , dos vectores x, y de L son ortogonales
⇔ x, y = 0 .
-Notación: x ⊥ y
x⊥ y⇔ y⊥x
0 ⊥ x ∀x ∈ L
x⊥x⇔ x=0
x ⊥ y⇒ x+ y = x− y
Definición: Un vector x ∈ L es ortogonal a un subconjunto S ⊂ L
⇔ x ⊥ y ∀y ∈ S .
-Notación: x ⊥ S
Definición: Un conjunto S = { xα }α ∈A , A ≡ conjunto indicial de cualquier
cardinalidad, es ortogonal
⇔ xα ⊥ xβ ∀α , β ∈ A / α ≠ β ⇔
xα , xβ = δαβ xα
2
∀α , β ∈ A .
Definición: Dos subconjuntos S1 ⊂ L y S 2 ⊂ L son mutuamente
ortogonales
⇔ x ⊥ y ∀x ∈ S1 ∀y ∈ S 2 .
-Notación: S1 ⊥ S 2
Teorema de Pitágoras generalizado:
Sea { xn }n∈I ⊂ L, card I ≤ ℵ0 , un conjunto ortogonal tal que
∑x
n∈I
n
= x.
Entonces,
2
⇒ ∑ xn
2
x =
2
es convergente, con suma
n∈I
∑x
n∈I
n
= ∑ xn
2
.
n∈I
Dado S = { xα }α ∈A ⊂ L , conjunto ortogonal, S es conjunto linealmente
independiente ⇔ 0 ∉ S .
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3
Definición: Sea un subconjunto A ⊂ L, A ≠ ∅ . Se define su complemento
ortogonal A⊥ como el subconjunto A⊥ = { x ∈ L / x ⊥ y ∀y ∈ A} ⊂ L .
Dado A ⊂ L, A ≠ ∅ ⇒ A⊥ ⊲ L .
Dados A ⊂ L, A ≠ ∅ y B ⊂ L, B ≠ ∅ ⇒
A ⊂ B ⇒ B ⊥ ⊂ A⊥
A ⊂ A⊥⊥
A ⊂ B ⇒ A⊥⊥ ⊂ B ⊥⊥
A⊥ = A⊥⊥⊥
A ∩ A⊥ = ∅ ∨ A ∩ A⊥ = 0
x ∈ A ∩ A⊥ ⇒ x = 0
{}
( A)
⊥
= A⊥
L⊥ = 0 y
[ A]
⊥
{}
{0}
⊥
=L
= A⊥
{}
Si A es denso en L, esto es, A = L , entonces ⇒ A⊥ = 0
Proyectores ortogonales
Definición: Dados dos subespacios lineales M 1 < L y M 2 < L tales que
L = M 1 ⊕ M 2 , un proyector de L sobre M 1 en la dirección de M 2 ,
PMM1 2 ≡ PM1 : L → M 1 , se dice que es un proyector ortogonal ⇔ M 1 ⊥ M 2 .
Dados un proyector ortogonal P y el operador identidad I en L ⇒ el
operador I − P es proyector ortogonal con recorrido R ( I − P ) = ker P y núcleo
ker ( I − P ) = R ( P ) .
{}
Todo proyector ortogonal PM es continuo y, sii M ≠ 0 , de norma unidad.
Dado P proyector ortogonal en L ⇒
ker P ⊲ L
R( P) ⊲ L
ker P = ( R ( P )) ⊥
R ( P ) = (ker P )⊥
Dados dos subespacios lineales M < L y N < L tales que L = M ⊕ N y
M ⊥ N , entonces ⇒ ∃! (existe un único) proyector ortogonal P con R ( P ) = M
y ker P = N = M ⊥ .
-Nota: Obsérvese que, dado un M ⊲ L , no está garantizado que exista un proyector
ortogonal PMM ⊥ , o sea, no siempre se tendrá L = M ⊕ M ⊥ (algo que sí ocurre cuando el
espacio es completo, esto es, un Hilbert).
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4
Conjuntos ortonormales
Definición: Un conjunto S = { xα }α ∈A ⊂ L , A ≡ conjunto indicial de cualquier
cardinalidad, es ortonormal
⇔ S es ortogonal y xα = 1 ∀α ∈ A ⇔
xα , xβ = δα , β ∀α , β ∈ A .
Dado S = { xα }α ∈A ⊂ L , conjunto ortonormal ⇒ S es conjunto linealmente
independiente.
Dado S = { xα }α ∈A ⊂ L , conjunto ortonormal ⇒ 0 ∉ S .
 xα
 xα
Dado S = { xα }α ∈A ⊂ L , conjunto ortogonal, 0 ∉ S , entonces S0 = 

 es
α ∈A
conjunto ortonormal ⇔ S0 es conjunto linealmente independiente.
Método de ortonormalización de Gram-Schmidt:
Dado S = { xn }n∈I ⊂ L , card I ≤ ℵ0 , conjunto linealmente independiente,
entonces ⇒ existe un conjunto ortonormal S0 de la misma cardinalidad,

yn
yn
construible según S0 = un =


 ⊂ L , donde
n∈I
n −1
y1 = x1 ; yn = xn − ∑ u k , xn uk , n > 1, n ∈ I , y que es tal que [ S0 ] = [ S ] .
k =1
Definición: Dados un conjunto ortonormal S = { xα }α ∈A ⊂ L y un vector
x ∈ L , se definen las componentes de Fourier del vector x respecto al
conjunto ortonormal S como el conjunto de escalares xα , x ∈ k , α ∈ A ,
notándose CF( x , S ) =
{ xα , x }α
∈A
⊂ k
.
Dado un espacio euclídeo L y un subconjunto ortonormal finito del
mismo, S = { xn }n∈I ⊂ L , card I = m, m ∈ ℕ y finito, entonces ⇒
a)
m
y = ∑ xn , y
∀y ∈ L /
2
n =1
2
2
m
+ y − ∑ xn , y xn
, x n ∈ S ∀n ∈ I
n =1
2
m
y ≥ ∑ xn , y , xn ∈ S ∀n ∈ I
b) Desigualdad de Bessel finita: ∀y ∈ L /
2
n =1
Dado ( L, ⋅, ⋅ ) y un subconjunto ortonormal a lo sumo numerable del
mismo, S = { xn }n∈I ⊂ L , card I ≤ ℵ0 , entonces ⇒ :
2
a) Desigualdad de Bessel: ∀y ∈ L /
y ≥ ∑ xn , y , xn ∈ S ∀n ∈ I
2
n∈I
b) ∀y ∈ L : lim xn , y =0, xn ∈ S ∀n ∈ I
n →∞
c) ∀ y, z ∈ L /
∑
n∈I
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y, xn
xn , z ≤ y ⋅ z , xn ∈ S ∀n ∈ I .
5
-Nota: Obsérvese que el conjunto de escalares xn , u ∈ k , n ∈ I , no son sino las
componentes de Fourier del vector u respecto al conjunto ortonormal S = { xn }n∈I ⊂ L .
S = { xα }α ∈A ⊂ L ,
( L, ⋅, ⋅ ) ,
Dados
CF( x , S ) = { xα , x
}α
∈A
conjunto
ortonormal
de
L,
y
⊂ k
, conjunto de las componentes de Fourier de un
vector x ∈ L respecto a S , entonces ⇒
S ( x ) = { xα ∈ S /
xα , x ≠ 0}α ∈A =
card S ( x ) = card { xα ∈ S /
{ xn }n∈J
⊂ S es numerable, esto es:
xα , x ≠ 0}α ∈A = card { xn }n∈J = card J ≤ ℵ0 y
card C(Fx≠, S0) = { xα , x ∈ CF( x , S ) / xα , x ≠ 0}
α ∈A
≤ ℵ0 ; C(Fx≠, S0) ⊂ CF( x , S ) ⊂ k .
y ≥ ∑ xn , y , lim xn , y =0, xn ∈ S ( x ) ∀n ∈ J
∀y ∈ L /
2
2
n →∞
n∈J
(para y = x ) x
≥ ∑ xn , x ,
2
2
lim xn , x = 0,
n →∞
n∈J
y ⋅ z ≥ ∑ y, xn
∀ y, z ∈ L /
n∈J
, xn ∈ S ( x ) ∀n ∈ J
xn , z
x ⋅ z ≥ ∑ x, xn
(para y = x ) ∀ z ∈ L /
xn ∈ S ( x ) ∀n ∈ J
, xn ∈ S ( x ) ∀n ∈ J .
xn , z
n∈J
Dados ( L, ⋅, ⋅ ) , S = { xn }n∈I ⊂ L, card S ≤ ℵ0 , conjunto ortonormal de L a
lo sumo numerable, y C = {λn }n∈I ⊂ k , conjunto de escalares de igual
∑λ x
cardinalidad que S , entonces, si ∃ y ∈ L /
n∈I
=y
n n
(esto es, si la serie
converge en L con suma y ) ⇒
a) λn = xn , y ∀n ∈ I
b) y
2
= ∑ λn = ∑ xn , y
2
2
n∈I
(Identidad de Parseval)
n∈I
∑λ
x ,x }≡C
-Nota 1: Obsérvese que, en general,
{λ
además, y aun aunque
n∈I
n
=
2
n
n
⇒
⇐
convergente
( x,S )
F ≠0
y
∑λ x
n∈I
∑λ x = ∑
n∈I
n n
n∈I
n n
convergente ;
xn , x xn
fuera
convergente, su suma podría ser y ∈ L , y = ∑ λn xn = ∑ xn , x xn ≠ x , teniéndose
n∈I
n∈I
entonces, según la identidad de Parseval y la desigualdad de Bessel, que, dado
∑λ x
n∈I
n n
= y,
entonces
⇒ y = ∑ xn , y
2
n∈I
2
= ∑ λn = ∑ xn , x
2
n∈I
2
≤
2
x ,
con
n∈I
xn , x = xn , y = λn ∀n ∈ I .
-Nota 2: En particular, en espacios euclídeos completos (hilbertianos), sí se tiene la
⇒
2
doble implicación ∑ λn convergente
∑ λn xn convergente ; además, si S no es
⇐ n∈I
n∈I
un conjunto ortonormal numerable cualquiera, sino una base ortonormal numerable,
entonces se tendrá garantizado y = x en las fórmulas de la anterior nota 1, esto es,
∑
n∈I
xn , x xn = x ,
∑
n∈I
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xn , x
2
= x .
2
6
Bases ortonormales
Definición: Una base ortonormal de L es un conjunto B ⊂ L ortonormal
maximal (esto es, B ⊂ L es conjunto ortonormal y ∃S ⊂ L conjunto
ortonormal / B S ).
Todo conjunto ortonormal puede ampliarse a base ortonormal.
{}
Todo espacio euclídeo L ≡ ( L, ⋅, ⋅ ) , L ≠ 0 , posee al menos una base
ortonormal.
{}
Definición: Un conjunto ortonormal S ⊂ L es un conjunto total ⇔ S ⊥ = 0 .
Un conjunto B ⊂ L es base ortonormal de L ⇔ B es un conjunto total.
Todas las bases ortonormales de un espacio pre-Hilbert o euclídeo tienen
la misma cardinalidad.
Definición: La dimensión ortogonal o hilbertiana de un espacio euclídeo se
define como el cardinal de sus bases ortonormales: dim H L = card B ,
B ≡ base ortonormal de L .
Por convenio, si L = 0 , entonces dim H L = 0 .
{}
Dado ( L, ⋅, ⋅ ) con dim L ≤ ℵ0 (dimensión lineal) ⇒
a) Dado S = { xn }n∈I ⊂ L , card I = dim L , base de Hamel de L , el
conjunto S0 = {un }n∈I ⊂ L , obtenido a partir del S mediante el método de
ortonormalización de Gram-Schmidt, es b.o.n. de L .
b) Toda base ortonormal es base de Hamel.
c) ∃ una base ortonormal numerable ( ≡ b.o.n), B = {en }n∈I , con
m
card B = card I ≤ ℵ0 , tal que ∀x ∈ L ∃m( x) ∈ N , m finito / x = ∑ en , x en , donde
{ e ,x }
m
n
n =1
n =1
son las componentes de Fourier del vector x respecto a la base
B.
d) dim H L = dim L .
-Notas:
1) Si L es completo (cualquier dimensión) ⇒ dim L ≥ dim H L .
2) ∃ L completo (Banach) con dim L = ℵ0 .
3) En general, puede ser dim L > dim H L (i.e.: lo es para L completo con
dim H L ≥ ℵ0 ).
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7
Interrelaciones en un euclídeo
En un ( L, ⋅, ⋅ ) , espacio euclídeo general, se tiene:
{}
L ≠ 0 espacio euclídeo ⇒
∃
un B base ortonormal de L , y puede
∃ un S ⊂ L , conjunto ortonormal (si ∃ , es también base
ortonormal) para el que se cumplen las siguientes propiedades e
interrelaciones:
B
≡
b.o. de L
S , si ∃ , es b.o. de L
L=S
∀x, y ∈ L : x, y =
∀x ∈ L : x =
2
∑
xn , x
2
xn ∈S ( x )
∑
x, xn
∀x ∈ L : x =
xn , y
∑
xn , x xn
xn ∈S ( x )
xn ∈S ( x ) ( S ( y ) )
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-Nota: En todas las series que aparecen se cumplen los requisitos que garantizan que la
convergencia de las mismas, y en su caso el valor de la suma, no se ven afectados por
reordenaciones.
-Nota sobre terminología:
Algunos autores definen, alternativamente:
{}
1) Un conjunto ortonormal completo como aquél S tal que S ⊥ = 0 (aquí: cuando
S ⊥ = 0 , entonces S es un conjunto ortonormal total).
{}
2) Una base ortonormal como un conjunto ortonormal tal que
L = [ S ] (aquí: lo
primero, un conjunto ortonormal maximal; lo segundo, un conjunto S que expande L).
3) Un conjunto ortonormal cerrado S como aquél tal que L = [ S ] .
-Nota sobre convergencia de las series:
En todas las series que aparecen en espacios normados y euclídeos, se satisfacen
siempre, en cada caso, las condiciones que garantizan que ni la convergencia ni el valor
de la suma quedan afectados por reordenaciones de términos en la serie.
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8
Espacio euclídeo separable
Definición: ( L, ⋅, ⋅ ) es separable ⇔ existe un subconjunto no vacío a lo
sumo numerable denso en L :
L es separable ⇔ ∃D ⊂ L , D ≠ ∅ , card D ≤ ℵ0 / D = L .
Dados ( L, ⋅, ⋅ ) separable y S ⊂ L conjunto ortogonal (u ortonormal ) ⇒
S es a lo sumo numerable: card S ≤ ℵ0 .
Dado ( L, ⋅, ⋅ ) separable ⇒
dim H L ≤ ℵ0 .
La separabilidad es un invariante topológico.
-------------------------------------------------------------------------------------
Interrelaciones en un euclídeo separable
En un ( L, ⋅, ⋅ ) euclídeo separable (no necesariamente
completo) se tiene:
{}
L≠ 0
espacio euclídeo separable ⇔
∃
un Sℵ0 ⊂ L , conjunto
L =  S 
ortonormal a lo sumo numerable ( card Sℵ0 ≤ ℵ0 ) /
.
Interrelaciones:
Sℵ
0
≡B
es b.o.n. de L
∀x ∈ L : x = ∑ xn , x
2
L =  Sℵ0 
xn
∀x, y ∈ L : x, y = ∑ x, xn
∀x ∈ L : x = ∑ xn , x xn
xn , y
xn
xn
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2
9
Sea un espacio lineal L ≡ (X, +, ·) sobre el cuerpo k .
Espacio de Hilbert
Definición: Dado un espacio euclídeo o pre-hilbertiano ( L, ⋅, ⋅ ) , constituye
un espacio de Hilbert ⇔ es completo respecto de la topología inducida por
el producto escalar ⇔ toda sucesión de Cauchy es convergente.
-Nota: algunos autores definen un Hilbert requiriendo, además, la separabilidad del
espacio; otros, también, una dimensión lineal no finita.
( L, ⋅, ⋅ ) es espacio de Hilbert ⇔ ( L, ⋅ ) , con la norma derivada del
producto escalar según x = +
x, x
∀x ∈ L , es espacio de Banach.
Compleción
Definición: Dado L = ( L, ⋅, ⋅ ) espacio euclídeo no completo, se define una
compleción del mismo como un espacio L> ≡ ( L> , ⋅, ⋅ > ) tal que:
a) L> es espacio completo, esto es, hilbertiano.
b) Contiene un subconjunto L0 denso en L> , esto es, L0 = L> .
c) ( L0 , ⋅, ⋅ > ) es isomorfo en producto escalar con ( L, ⋅, ⋅ ) , L0 ≃ L .
Todo espacio euclídeo admite una compleción, única salvo isomorfismos
en producto escalar.
Ejemplos
(k n , ⋅ 2 ) , donde x ≐ (α1 ,… , α n ), α i ∈ k ∀i ∈ {1,… , n} y
x
2
=
(
n
∑ αi
2
i =1
)
1
2
es espacio Hilbert (separable).
lk2 ≡ (lk2 , ⋅ 2 ) , donde lkp k ∞ , es el subconjunto de las sucesiones
de cuadrado sumable, esto es, de las sucesiones
x ≐ {α i }i =1 = (α1 , α 2 ,… , α n ,…), α i ∈ k ∀i ∈ I = {1, 2,… , n,…} , card I = ℵ0 , tales que
∞
1
∞
∑α
i =1
2
i

2 2
< ∞ , lk∞ < k ∞ , con x 2 =  ∑ α i  , es espacio Hilbert (separable).
 i∈I

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10
,
Sea un espacio de Hilbert H ≡ ( L, ⋅, ⋅ ) y sea ⋅ la norma inducida:
Subespacio de Hilbert
Dado M ⊲ H ⇒
( M , ⋅, ⋅ ) es espacio de Hilbert
-Observación: Dados H
y M ⊂ H , M < H , no siempre ( M , ⋅, ⋅ ) es un
espacio de Hilbert.
Definición: Dado H , sea un M ⊂ H , M < H , tal que M = M , entonces el
( M , ⋅, ⋅ ) constituye un subespacio de Hilbert, o
subespacio hilbertiano, M ⊲ H , del H original.
espacio de Hilbert
Propiedades
A H , A ≠ ∅ es cerrado ⇔ A H , A ≠ ∅ es completo.
Dado H , A < H ⇒ A ⊲ H ⇒ ( A, ⋅, ⋅ ) es (sub)espacio de Hilbert.
Dado H , M < H / dim M = n (finita) ⇒ M ⊲ H ⇒ ( M , ⋅, ⋅ ) es (sub)espacio de
Hilbert.
Dado H , M < H / dim M = n (finita) ⇒ M = M .
Dado A ⊂ H , A ≠ ∅ ⇒ A ⊥ ⊲ H .
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11
Conjuntos ortonormales en un Hilbert
S = { xn }n∈I ⊂ H , card I ≤ ℵ0 , conjunto ortonormal a lo sumo
numerable en H :
Dado C = {λn }n∈I ⊂ k , conjunto de escalares de igual cardinalidad que S ,
Dados
entonces:
a)
∑λ
n∈I
2
n
b) Dado
(⇐ en L, H )
convergente
⇔
(⇒ en H )
∑λ
n∈I
2
n
∑
∑λ x
n n
y = ∑ λn = λ = ∑ xn , y
2
n∈I
2
n∈I
xn , x = xn , y ∀n ∈ I ,
= ∑ xn , y
= y , entonces ⇒
2
(identidad de Parseval)
n∈I
xn , x xn = y , con y ∈ H tal que:
n∈I
b) y
convergente
n n
n∈I
∀x ∈ H se tiene
2
n∈I
= λ ⇒ ∃ y∈H /
xn , y = λn ∀n ∈ I ;
a)
∑λ x
2
lim xn , x = 0 .
n →∞
= ∑ xn , x
2
≤
x
2
n∈I
(a partir de la desigualdad de Bessel)
Teorema de Riesz-Fisher
Teorema de Riesz-Fisher (“ las bases ortonormales de H expanden H ”):
Dado el conjunto ortonormal B = { xα }α ∈A ⊂ H , B es base ortonormal de H
⇒ [ B ] = H , esto es, B expande H .
(Riesz-Fisher 2) “ Lpk ([ a, b ]) ≡ (Lpk ([ a, b ]) , ⋅ p ) , p ≥ 1 , es completo” (tema 3).
Nota: Por tanto, en un espacio de Hilbert todos las proposiciones en el diagrama
correspondiente (comparar páginas 8 y 13) están interconectadas por ⇔ , y todas las
bases ortonormales
B
en el espacio las satisfacen.
Teorema: B c. ortonormal de H es base ortonormal de H ⇔
[ B] = H .
Relaciones entre dimensiones
Dado
B
B = { xα }α∈A ⊂ H , card A ≥ ℵ0 , base ortonormal no finita en H ⇒
no es base lineal de H .
Dado H / dim H H
≥ ℵ0 ⇒ dim H > dim H H .
dim H H = ℵ0 ( H separable con dimensión no
H,
dim H > ℵ0 .
∃ H / dim H = ℵ0
Dado
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12
finita) ⇒
Isomorfismos
H1
Dados dos espacios de Hilbert
H1
y
H2
y
H 2 , dim H H1 = dim H H 2 ⇔
son isomorfos en producto escalar.
Para cada cardinal ∃ , en su caso, un único espacio de Hilbert (o sea:
puede existir o no, pero si existe, es único, salvo isomorfismos isométricos).
Interrelaciones en un Hilbert
En un H ≡ ( L, ⋅, ⋅ ) , espacio de Hilbert (no necesariamente
separable), se tiene:
{}
H ≠ 0 espacio de Hilbert ⇒
al menos una),
interrelaciones:
se
∀
∃
B ⊂ H , base ortonormal de H (y
cumplen
las
siguientes
propiedades
e
B es b.o. de H
H = [ B]
∀x, y ∈ H : x, y =
∑
∀x ∈ H : x =
2
xn , x
2
xn ∈B( x )
x, xn
∀x ∈ H : x =
xn , y
xn ∈B( x ) ( B ( y ) )
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∑
∑
xn ∈B ( x )
13
xn , x xn
Espacio de Hilbert separable
{}
Caracterización: Un espacio de Hilbert H ≠ 0 es separable ⇔ existe una
base ortonormal a lo sumo numerable del mismo.
-Nota: recordar la definición: H es separable ⇔ ∃ D ⊂ H , D ≠ ∅ , card D ≤ ℵ0 / D = H .
La separabilidad es un invariante topológico.
Todo espacio de Hilbert separable con dimensión hilbertiana infinita es
isomorfo isométricamente con el espacio de Hilbert lk2 .
Dado H espacio de Hilbert separable, M ⊲ H ⇒ ( M , ⋅, ⋅ ) es espacio de Hilbert
separable.
-Nota: En general, dado ( X , d ) separable ⇒ todo A ⊂ X es separable.
------------------------------------------------------------------------------------Postulado I de la Mecánica Cuántica: A cada sistema físico que se pretenda
describir en el marco de la MC, se le hace corresponder un espacio de Hilbert H complejo
( k = ℂ ) y separable.
-------------------------------------------------------------------------------------
Interrelaciones en un Hilbert separable
En un H ≡ ( L, ⋅, ⋅ ) , espacio de Hilbert separable, se tiene:
{}
H≠ 0
espacio
de
Hilbert
separable ⇒
∀ Bℵ ⊂ H ,
base
0
ortonormal (y ∃ al menos una, y toda base de H ha de ser finita o
a lo sumo inf. numerable: b.o.n., con card Bℵ0 ≤ ℵ0 ), se cumplen las
siguientes propiedades e interrelaciones:
Bℵ0 es b.o.n. de H
∀x ∈ H : x = ∑ xn , x
2
H =  Bℵ0 
∀x, y ∈ H : x, y = ∑ x, xn
xn
∀x ∈ H : x = ∑ xn , x xn
xn , y
xn
xn
© M.C. Boscá, U. de Granada
2
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Teorema de proyección ortogonal
Teorema de proyección ortogonal:
Dados H (no necesariamente separable) y M ⊲ H , y definida ∀ x ∈ H la
distancia de x a M según d ( x, M ) = inf x − y ∈ ℝ , entonces ∀x ∈ H ⇒
a)
∃! xM ∈ M
y∈M
x − xM = d ( x, M ) ( xM ≡ xM ( x) )
/
∃y∈M
, y ≠ xM / ( x − y ) ⊥ M
c) x ∈ M ⇔ xM = x (⇒ d ( x, M ) = 0) .
b) ( x − xM ) ⊥ M ;
d) Corolario 1: H = M ⊕ M ⊥
e) Corolario 2: M = M ⊥⊥ .
-permite demostrar fácilmente el anterior teorema de Riesz-Fisher.
Un enunciado alternativo, en términos de proyectores ortogonales, sería:
⊥
Dados H y M ⊲ H ⇒ ∃! PM ≡ PMM , proyector ortogonal en la dirección de
M ( PM + PM ⊥ = I ; H = M ⊕ M ⊥ ; PM x = xM ∀x ∈ H ).
Dados H y sus subconjuntos no vacíos A, M , B :
A < H ⇒ ( A = A⊥⊥ ; A = H ⇔ A ⊥ = 0 )
M ⊲ H ⇒ ( M = M ⊥⊥ ; M = H ⇔ M ⊥ = 0 )
{}
{}
A⊥⊥ = [ A]
(⇒ en L , H )
[ A] = H
⇔
(⇐ en H )
{}
A⊥ = 0
A ⊲ H, B ⊲ H, A ⊥ B ⇒ A+ B ⊲ H .
Aproximación óptima a un vector
Definición: Dado un conjunto A = { xα }α ∈C ⊂ L , C ≡ conjunto indicial de
cualquier cardinalidad, subconjunto de un espacio normado ( L, ⋅ ) , si
existe y es único, se define la aproximación óptima a un vector x del
espacio L en términos de los vectores de A ⊂ L como el vector
( A)
( A)
xopt
∈ A ⊂ L / x − xopt
≤ x − y ∀ y ∈ A , pudiendo entonces definirse la
( A)
distancia del vector x al conjunto A como el real d ( x, A) = x − xopt
.
Definición: Dado un subespacio M ⊲ H , se define la aproximación óptima
a un vector x del espacio H en términos de M como el vector
(M )
xopt
∈M ⊲ H /
(M )
(M )
x − xopt
≤ x − y ∀ y ∈ M , siendo x − xopt
la distancia del
(M )
vector x al subespacio M , d ( x, M ) = x − xopt
.
(M )
-Nota: por ser M ⊲ H , está garantizada la existencia y unicidad de xopt
.
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Dados M ⊲ H y x ∈ H ⇒
(M )
xopt
= PM x = xM .
Dados S = { xn }n∈I ⊂ H , card I < ℵ0 , conjunto ortonormal finito en H , y
el subespacio M = [ S ] ⊲ H ⇒
(M )
xopt
= PM x = xM = ∑ xn , x x n .
n∈I
-Nota: en dimensión finita: M = [ S ] = [ S ] ⊲ H .
Dado S = { xα }α ∈A ⊂ H , conjunto ortonormal en H (sin restricción sobre
∑
card A ), y sea M = [ S ] ⊲ H ⇒ ∀x ∈ H es x opt = PM x = xM =
(M )
xα ∈S
(M )
opt
(x
xα , x xα .
(x)
es la aproximación óptima a x en términos de vectores de M ).
-Nota: Obsérvese que los escalares
xα , x ∈ k son las componentes de Fourier del
vector x respecto al conjunto ortonormal S , y recuérdese que se tiene
S ( x ) = { xα ∈ S / xα , x ≠ 0}α ∈I = { xn }n∈J ⊂ S / card S ( x ) = card { xn }n∈J = card J ≤ ℵ0 .
Corolario 1: Dado x ∈ M = [ S ] ⇒
Corolario
2:
/ x = PM x = xM =
(base
∑
xα ∈B
∑
xα ∈S
S = B ≡ b. o.
Si
( ⇔ M = [ S = B] = H )
⇒ ∀x ∈ H
x = PM x = xM =
xα , x xα
.
( x)
ortonormal)
de
H
xα , x xα .
(x)
Teorema de proyección y aproximación óptima en un
Hilbert separable
Dados H separable
y M ⊲H
⇒ ∃ ! proyector ortogonal PM ≡ PMM
( PM + PM ⊥ = I ; H = M ⊕ M ⊥ ) tal que ∀x ∈ H
es PM x = xM =
∑
n∈I
⊥
xn , x xn con
xM ∈ M , card I ≤ ℵ0 y { xn }n∈I = B ℵ0 ≡ b. o. n. , base ortonormal numerable de M.
Dados H separable, M ⊲ H y una b.o.n. de M , B ( M ) = { xn }n∈I ⊂ H ,
card I ≤ ℵ0
⇒
la aproximación óptima a un vector
(M )
de M tiene la expresión: xopt
= PM x = xM =
Corolario: Si
S = B ≡ b. o. n.
∑
n∈I
xn , x x n .
PM x = xM =
∑
xn ∈ B
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por elementos
(base ortonormal numerable) de
( ⇔ M = [ S = B] = H )
⇒ ∀x ∈ H se tiene x =
x∈H
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xn , x xn .
H