Sbre 2005 - Unican.es

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AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - 2o I.T.O.P
ESTADÍSTICA
14-09-2005
Tiempo=90 m.
1. Una fábrica efectúa un control de calidad a cada lote de 16 motores. En el control se
eligen 2 motores al azar (sin reposición) de cada lote de 16 motores y se inspeccionan.
Si alguno de los dos es defectuoso se rechaza el lote completo y si ninguno es defectuoso
se aceptan los 16 motores y se envı́an para la venta. Si un lote de 16 motores que tiene
exactamente uno defectuoso, se somete al control:
(a) calcular la probabilidad de que el lote sea rechazado.
(1 p.)
(b) si fabricar cada motor cuesta 32 euros y se vende a 50, calcular la ganancia esperada
por el fabricante para ese lote.
(1 p.)
2. La llegada de coches a una determinada rotonda se produce según un proceso de Poisson.
A dicha rotonda confluyen 3 rutas: la ruta A, la B y la C. Se sabe por estadı́sticas
anteriores que llegan a la rotonda por la ruta A, 4 autos por minuto en promedio; 3 autos
en promedio por minuto por la ruta B y 2 autos en promedio por minuto por la ruta C.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto cualquiera lleguen al menos 6 autos a
dicha rotonda?
(1 p.)
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran más de 2 minutos hasta que llegue a la
rotonda 1 auto por la ruta C?
(1 p.)
3. Una máquina A produce y envasa cierto producto a razón de 100 unidades por caja. Cada
unidad tiene un peso N(8;3) gramos. Otra máquina B hace lo mismo pero el peso de cada
unidad es uniforme entre 5 y 11 gramos. Una norma indica que una caja debe pesar entre
760 y 840 gramos.
(a) Hallar la probabilidad de que una caja procedente de la máquina A sea rechazada y
la probabilidad de que una caja procedente de la máquina B sea rechazada. (1 p.)
(b) Las cajas de ambas máquinas se mezclan, el 30% corresponde a la máquina A y el
resto a la máquina B. Un fabricante decide comprar un lote de 10000 cajas, para lo
cual muestrea 100 cajas y rechaza el lote si hay mas de 5 que no cumplan con la
norma. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el lote? (Especificar si se utiliza alguna
aproximación y justificar su aplicación).
(1 p.)
2
4. En el departamento de personal de una gran compañı́a se quiere estimar los gastos familiares en asistencia médica de sus empleados para determinar la posibilidad de proporcionarles un plan de seguro médico. Se puede suponer que la variable X = ” gasto en
asistencia médica de los empleados” sigue una distribución normal.
(a) Indicar la distribución de la variable aleatoria media muestral con muestras aleatorias
de 10 empleados, y determinar los parámetros de dicha distribución.
(0.8 p.)
(b) Si el gasto en asistencia médica de 10 empleados elegidos al azar fue:
110 − 362 − 246 − 85 − 510 − 208 − 173 − 425 − 316 − 179
i. Estimar mediante un intervalo de confianza del 95% el verdadero gasto promedio
en asistencia médica.
(0.8 p.)
ii. Estimar mediante un intervalo de confianza del 95% la desvı́ación tı́pica de los
gastos en asistencia médica.
(0.8 p.)
iii. El departamento de personal quisiera implementar un descuento en el costo
del seguro para aquellos empleados con gasto inferior a 150 euros siempre y
cuando esta porción no sea muy elevada. Para ello se tomó una muestra de
100 empleados, 20 de los cuales tuvieron un gasto inferior a 150 euros. Estimar
mediante un intervalo de confianza del 95% la proporción de empleados con un
gasto inferior a 150 euros.
(0.8 p.)
(c) ¿Qué tamaño de muestra se hubiera necesitado en el apartado b) si se quisiera estimar
la verdadera proporción de empleados con un gasto inferior a 150 euros con un error
máximo permitido del 1%, sin tener datos previos, con un nivel de confianza del 95%
y suponiendo que la población es infinita?.
(0.8 p.)
Sección 1: Soluciones
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1. Soluciones
1. Sea X = 0 equivalente a ”ningún motor es defectuoso” y A = el suceso ”el lote es
rechazado”
(a) calcular la probabilidad de que el lote sea rechazado.
P (A) = 1 − P (X = 0) = 1 −
15 14
2
1
·
=
= = 0.125
16 15
16
8
(b) si fabricar cada motor cuesta 32 euros y se vende a 50, calcular la ganancia esperada
por el fabricante para ese lote. Ganancia esperada por motor
E(G) = 18 · 0.875 − 32 · 0.125 = 11.75
para el lote completo será 16 · 11, 75 = 188.
2. la ruta A, es P o(4); la ruta B es P o(3) y la ruta C es P o(2).
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto cualquiera lleguen al menos 6 autos a
dicha rotonda? Sea Z = XA + XB + XC que es P o(9)
P (Z ≥ 6) = 1 − P (Z < 6) = 1 −
5
X
i=0
e−9
9i
= 1 − 0, 1157 = 0, 8843
i!
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran más de 2 minutos hasta que llegue a la
rotonda 1 auto por la ruta C?
El tiempo entre dos autos en la ruta 3 es Exponencial Exp(2), luego
P (T > 2) = e−2·2 = 0, 0183
3. Sea PA y PB los pesos de las cajas respectivas
(a) PA =
100
X
2
Xi con Xi ∼ N (8; σ = 3 luego PA ∼ N (800; 300) y PB =
100
X
i=1
Yi con
i=1
Yi ∼ U (8; σ 2 = 3 luego PB ∼ N (800; 30)
(b)
760 − 800
840 − 800
√
<X< √
P (760 < X < 840) = P
300
300
La probabilidad de rechazar es la misma para ambas, p = 0.02
= 0.98
(c) Es un hipergeométrica, que se aproxima a una binomial con n = 100 y p = 0.02.
La probabilidad de rechazar, con la binomial o aproximando por Poisson es P (X >
5) ≈ 0, 015
Sección 1: Soluciones
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4. Gastos médicos
(a) Siendo X ∼ N (µ; σ) la variable aleatoria x̄ =
N
(b)
10
X
xi = 2614
10
X
x̄ = 261, 4
i=1
x1 + · · · + x10
sigue la distribución
10
σ
µ; √
10
x2i = 856700
i=1
i. Hallar un intervalo de confianza al nivel del 95% para la media, con t9;0.975 =
2.2622
ŝx
x̄ ± z( 1 − α/2) √
n
Variable
gastos
Variable
gastos
N
10
Minimum
85,0
Mean
261,4
Maximum
510,0
StDev
138,8
Q1
157,3
SE
Mean %
43,9
Q3 %
377,8
%
Variable
N
Mean
StDev
SE Mean
95,0% CI
gastos
10
261,4
138,8
43,9 (
162,1; 360,7)
2
ii. Estimar la varianza σX
mediante un intervalo de confianza con un nivel de
significación del 0.05. con χ2 (9, 0.975) = 19.02 y χ2 (9, 0.025) = 2.7
9 · 138.82
9 · 138.82
;
χ2 (9, 1 − α/2) χ2 (9, α/2)
iii. Intervalo para la proporción
Sample
X
N Sample p
1
20
100 0,200000
95,0% CI
(0,126656; 0,291843)
(c)
n≥
1.962
= 9604
4 · 0.012