Termodinámica de Sistemas Eléctricos y Magnéticos 1. Introducción

Termodinámica de Sistemas
Eléctricos y Magnéticos
P. L’Huissier
V. Pinto
M. Ramı́rez
10 de Diciembre de 2004
Resumen
Dado un sistema determinado en equilibrio termodinámico, es posible realizar un análisis de éste cuando se le aplica un campo eléctrico, magnético, o ambos. Las relaciones
obtenidas tendrán que ver tanto con la magnitud de los campos aplicados, como con las
propiedades intrı́nsecas del material.
1.
Introducción
Cuando estudiamos termodinámica, una buena parte del tiempo la dedicamos al estudio de
las relaciones que son capaces de generar un cambio de energı́a en el sistema. Dentro de este
estudio, los parámetros intensivos y extensivos son un tema de vital importancia, sabiendo
diferenciar qué parámetro es intensivo y cual es extensivo, somos capaces de describir cual
será el aporte de trabajo de cierto fenómeno al sistema. Desafortunadamente, no siempre resulta evidente cual es el parámetro intensivo y cual es el extensivo. Este problema ocasionó que
el estudio de un cuerpo en presencia de un campo eléctrico, o de uno magnético, no fuera realizado al mismo tiempo en que se desarrolló la termodinámica.
En el año 1935, E.A Guggenheim (1) aplicó Termodinámica a un sistema sometido a un campo
eléctrico y magnético. Sus trabajos “ On Magnetic and Electrostatic Energy” y “The Thermodynamics of Magnetization” explican detalladamente el comportamiento de un cuerpo en
estas condiciones. Con esto, sienta una base sólida para futuros investigadores, ya que antes
de esta publicación, no existı́an trabajos de peso en el área. Posteriormente, en el año 1955, V.
Heine (3) en su trabajo “The thermodinamics of the bodies in static Electromagnetic Fields”
realiza el estudio para un cuerpo bajo la acción de los dos campos (eléctrico y magnético).
En las siguientes páginas, estudiaremos estos trabajos, y otros más, con el fin de poder explicar,
de manera “sencilla” la Termodinámica de un sistema bajo efectos electromagnéticos.
2.
Preliminares
Para este trabajo, se utilizan algunos conocimientos de campos eléctricos y magnéticos en la
materia, que recordaremos brevemente a continuación.
2.1.
Polarización y Corriente de Desplazamiento
~ uniforme sobre una región determinada del espacio. ¿Qué suSupongamos un campo eléctrico E
cede si colocamos un cuerpo en ese campo? Las mediciones experimentales nos dicen que en
~ tiende a disminuir en presencia de materia.
general el campo eléctrico E
En una molécula y un átomo, los centros de carga (el equivalente del centro de masa) suelen
no estar en el mismo punto. Debido a esto, una fuerza ejercida por un campo externo, ejercerá un torque que intentará alinear las moléculas con este. Este fenómeno es conocido como
polarización.
No es necesario trabajar mucho para darse cuenta de que los dos fenómenos anteriores están
profundamente relacionados. En efecto, si tenemos una molécula y le aplicamos un campo
(digamos producido por carga positiva), este repelerá la carga del mismo signo, y atraerá a la
~ Puesto que los campos
negativa. Esto generará un pequeño campo en el sentido contrario a E.
pueden superponerse, a pesar de que el campo polar sea pequeño, cuando trabajamos a escala
macroscópica, tenemos del orden de 1023 moléculas, más que suficiente para tener un efecto
notorio.
Supongamos que p~ es el momento dipolar de una molécula, el momento dipolar total de un
cuerpo P~ queda definido por
n
X
P~ =
p~i
i=0
esto es, la suma sobre las n moléculas. Sin entrar en detalles, diremos que el campo eléctrico
~ queda determinado por el vector momento dipolar P~ de la forma
efectivo D
~ = ε0 E
~ + P~
D
~ es conocido como la “corriente
donde ε0 es el coeficiente de permisividad del vacı́o. El vector D
de desplazamiento”.
~ aplicado, sea uniforme, la
Algo importante que mencionar es que, a pesar de que el campo E
corriente de desplazamiento no lo será. Su valor dependerá en gran medida de la geometrı́a
y de la masa del cuerpo. De acuerdo a esto, cuando se hable de “variaciones de la corriente de desplazamiento”, en general nos estaremos refiriendo a variaciones “espaciales” y no
“temporales”.
2.2.
Paramagnetismo, Diamagnetismo y Ferromagnetismo
Supongamos el siguiente experimento. Se genera un campo magnético uniforme y se colocan
una serie de materiales en este para ver lo que les sucede. Al terminar el experimento, las
conclusiones son las siguientes: existen materiales que son repelidos por el campo, y existen
materiales que son atraı́dos por este, (en un rango muy amplio de magnitudes), no importando
el sentido que tenga.
Los materiales que son repelidos por el campo, reciben el nombre de materiales “diamagnéticos”. El diamagnetismo se caracteriza por tener una magnitud muy pequeña aún para campos
grandes. Es una propiedad de casi todas las sustancias orgánicas, y de muchas inorgánicas.
A decir verdad el diamagnetismo es una propiedad que tienen todos los cuerpos, solo que la
mayoria de las veces, este es mı́nimo comparado con los otros dos efectos que veremos.
De manera similar al diamagnetismo, existen materiales que son atraı́dos hacia el campo. Estos reciben el nombre de “paramagnéticos”. En general, cuando no detectamos diamagnetismo
en un cuerpo, es porque el paramagnetismo es un fenomeno bastante mas poderoso.
Existe un tercer tipo de materiales: los “ferromagnéticos”. Estos tienen la caracterı́stica principal de que la fuerza con la que son atraı́dos por un campo es hasta 5 órdenes de magnitud
mayor que un material paramagnético.
Los materiales magneticos en general tienen muchas otras propiedades, algunas son que la
magnetización depende de la temperatura.
2.3.
Momento Magnético y Campo Magnético
En el punto anterior, hemos hecho una descripción macroscópica, pero ¿qué pasa si miramos
el sistema desde un punto de vista microscópico? De la misma manera que una partı́cula puede ser polarizada por un campo eléctrico, es posible que esta sea polarizada por un campo
magnético. Si bien el fenómeno no es exactamente el mismo a nivel microscópico (en el caso
de la magnetización, el spin de giro de los electrones genera un momento magnético), a nivel
macroscópico el efecto es análogo, esto es, si un cuerpo es colocado en una región con un
~ las moléculas se alinearán con este, produciendo un campo
campo magnético uniforme (H),
magnético efectivo.
~
Si denotamos por m
~ el momento magnético de una partı́cula, definimos la magnetización M
de un cuerpo como
~ =
M
n
X
m
~i
i=0
De manera similar a la del caso eléctrico, podemos relacionar la magnetización con el campo
~ y el efectivo B
~ con la relación
aplicado H
~ = µ0 H
~ +M
~
B
µ0 es conocida como la permeabilidad magnética del vacı́o.
3.
Termodinámica con campo eléctrico
Para esta parte del análisis supongamos un gas polar diatómico sometido a un campo eléctrico
~ constante. El gas es orientado en un instante particular con un ángulo θ con respecto a un
E
~
campo eléctrico E
qE
+
p
+q
θ
_
−q
−qE
Figura 1: Fuerzas ejercidas por un campo eléctrico en una molécula polar diatómica.
~ mientras que la partı́cula
la partı́cula positiva en el final de la molécula siente una fuerza q E,
~
negativa siente −q E. La molécula girará y puede ser estirada por las fuerzas debidas al campo
eléctrico que actúa en cada extremo. Entonces, debido al campo, los átomos se mueven d~x− y
d~x+ , el trabajo hecho en esta molécula es
~ · d~x− )
~ · d~x+ ) + (q E
ðWe1 = (q E
~ · d(~x+ − ~x− )
= qE
(1)
si definimos p~ como
p~ = q(~x+ − ~x− )
donde el vector p~ apunta de la carga negativa a la positiva. En términos de p~, el trabajo es
~ · d~
ðWe1 = E
p
Este trabajo es de una molécula polar, para todo el gas sumamos sobre todas las moléculas
N en el gas
ðWe =
N
X
N
X
~ · d~
~ ·d
E
pn = E
n=1
!
p~n
(2)
n=1
Donde el término en paréntesis es el momento dipolar total. La ecuación (2) puede ser escrita
en términos de cantidades macroscópicas con la polarización P~ . Luego, (2) se transforma en
~ · dP~ .
ðWe = E
(3)
Ahora, sabemos que en el sistema de unidades MKS la corriente de desplazamiento se puede
escribir como
~ = ε0 E
~ + P~
D
(4)
Si calculamos el diferencial de P~ y lo reemplazamos en (3), obtenemos
~ · dD
~
ðWe = E
(5)
Hemos llegado a un poderoso resultado, ya que desde un análisis de fuerzas hemos intuido que
el campo eléctrico es un parámetro extensivo y la corriente de desplazamiento un parámetro
intensivo.
Con este resultado podemos postular las energı́a libre de Helmholtz, el potencial de Gibbs y
la entalpı́a, de la forma:
~ · dD
~ + µdN
dF = −SdT + E
~ · dE
~ + µdN
dH = T dS − D
(6)
~ · dE
~ + µdN
dG = −SdT − D
(8)
(7)
donde
F = U − TS
~ ·D
~
H =U −E
(10)
~ ·D
~
G = U − TS − E
(11)
(9)
y se pueden demostrar relaciones de Maxwell, por ejemplo
−
∂S
~
∂D
=
T,N
~
∂E
∂T
!
(12)
~
D,N
4.
Termodinámica del Campo Magnético
Los campos magnéticos pueden obrar recı́procamente con algunos materiales, haciendo trabajo sobre ellos. Aquı́ consideramos el caso más simple, cuando el trabajo magnético es el único
modo reversible posible del trabajo.
En general, una sustancia paramagnética, diamagnética, o ferromagnética puede tener otros
modos del trabajo. Por ejemplo, el gas del oxı́geno es paramagnético pero también es compresible. Una gotita del oxı́geno lı́quido tendrá una tensión superficial, ası́ que deformar la gotita es
otra forma de trabajo. Pero en la mayorı́a de los casos, los materiales magnéticos son sólidos, y
razonablemente incompresibles. En este caso, la unica forma importante de trabajo es trabajo
magnético, y podemos entonces tratar la sustancia como sustancia magnética simple. Éste es
el único caso que consideraremos aquı́. Cuando un campo magnético externo se aplica a una
muestra, la respuesta de la muestra (los dipolos que se dan vuelta) modifica el valor local del
campo dentro de la muestra. A continuación veremos dos formas de calcular el trabajo hecho
por un campo magnético.
Consideremos un solenoide, o bobina, como se muestra en la figura 2. Supongamos que el cable
con el cual está construida tiene resistividad eléctrica cero (superconductor). Una baterı́a es
conectada al solenoide, y la fuerza electromotriz (fem) de la baterı́a es ajustable a voluntad.
El sistema termodinámico está dentro del solenoide, y el solenoide está encerrado por paredes
adiabáticas.
Sistema termodinamico
en el solenoide
Solenoide
Pared
Adiabatica
+
−
Cable de
resistividad
cero
Bateria, o
FEM ajustable
Figura 2: Sistema a analizar.
Si no hay cambios en el sistema, y si la corriente I es constante, la baterı́a no necesita administrar fem por la perfecta conductividad del cable.
~ (~r). La corriente I
Sea I la corriente y sea la magnetización local del sistema termodinámico M
~
puede ser alterada a placer controlando la baterı́a. La magnetización M (~r) entonces cambiará.
Asumimos que la magnetización en cualquier posición ~r es una función uni-valuada de la
corriente
~ (~r) = M
~ (~r; I)
M
Si el sistema termodinámico no estuviera dentro de la bobina, la corriente I producirı́a un
~ e (I). Este “campo”
campo magnético (mas exactamente, una densidad magnética de flujo) B
externo puede ser una función de la posición dentro del selonoide, pero es lineal en I. Esto es
~ e = ~bI
B
donde ~b es un vector función de la posición.
Suponemos que la corriente es aumentada, por lo tanto hay un incremento del campo externo
~ e . En respuesta a este cambio, el momento magnético cambia. En orden de acompañar estos
B
cambios, la baterı́a debe entregar trabajo, y buscamos la relación entre el trabajo hecho y los
~e y M
~.
cambios en B
La taza de cambio del trabajo hecho por la baterı́a está dado por
ðWmag
= I × (voltaje)
dt
en la cual (voltaje) denota la fem inducida en las bobinas del selonoide por los cambios que
ocurren en la bobina.
La fem inducida en el selonoide se presenta desde dos fuentes. Una fuente es independiente
~ e . Quizás
del sistema termodinámico y sale de un cambio en el flujo asociado con el campo B
más que calcular este flujo y voltaje, podemos escribir la contribución restante al dWmag
directamente. Para un solenoide vacı́o el trabajo es el cambio de energı́a del campo magnético,
o
Z
1
2
ðWmag = d
Be dV
2µ0
donde µ0 = 4π × 10−7 [T·m/A], y la integral es tomada sobre todo el volumen del solenoide.
La segunda contribución al ðWmag resulta desde el sistema termodinámico en sı́ y consecuentemente es lo que nos interesa. Es evidente que el cambio de momento magnético de cada
elemento infinitesimal del sistema contribuye separadamente y aditivamente a la fem inducida
total, y más aún, que la fem inducida producida por cualquier carga en el momento dipolar
no depende de la naturaleza del dipolo sino que sólo de la taza de cambio de este momento y
de sus posiciones en el selonoide. Consideremos entonces un modelo particular de un dipolo
elemental en la posición ~r: un pequeño loop de corriente de área ~a y corriente i, con un momento magnético de m
~ = i~a. Si la corriente en el selonoide es I, el campo producido en el
~ e = ~b (~r) I. Este campo produce un acoplamiento de flujo a través del pequeño
punto ~r es B
loop de corriente de magnitud ~b (~r) · ~aI. Ası́ la mutua inductancia entre el selonoide y el loop
de corriente es ~b (~r) ·~a. Si la corriente en el loop de corriente cambia, consecuentemente induce
un voltaje en el selonoide, dado por
h
i di
(voltaje) = ~b (~r) · ~a
dt
d
m
~
= ~b (~r) ·
dt
~
1 ~ dm
= Be ·
I
dt
Ası́ el trabajo hecho por la baterı́a es
ðWmag
~
~ e · dm
=B
dt
dt
Aunque este resultado ha sido obtenido para un modelo particular de un dipolo elemental, se
~ (~r) es
sostiene para cualquier cambio en el momento del dipolo elemental. En particular, si M
la magnetización, o el momento dipolar por unidad de volumen en el sistema en el punto ~r,
ponemos
Z
~ (~r) dV
M
m
~ =
Para obtener el trabajo total, sumamos sobre todos los dipolos elementales, o integramos sobre
el volumen de la manera
ðWmag
=
dt
Z
~
~ e · dM dV
B
dt
Sumando las dos contribuciones al trabajo magnético, encontramos
Z Z
1
2
~
~ e · dM
~ dV
Be dV +
B
ðWmag = d
2µ0
Este es el resultado fundamental del cual la termodinámica de sistemas magnéticos está basada.
~ puede ser introducido en lugar del campo externo H
~e
De pasada notamos que el campo local H
~ −H
~ e es el campo producido por la magnetización M
~ (~r) actuando
notando que la diferencia H
como una fuente magnetoestática. En este sentido, V. Heine (3) mostró que
Z
~ · dB
~ dV
ðWmag = H
~ yB
~ son valores locales.
donde H
~ para representar el campo
Otra forma de calcular el trabajo es la suguiente: definimos el H
~
aplicado que existirı́a sin la muestra, y el B para representar el valor verdadero del campo
en la muestra y vemos que el torque ejercido por un campo magnético sobre un solo dipolo
magnético es:
~
~τ = m
~ ×H
~.
siendo m = µ0 M
Entonces el trabajo hecho por el campo magnético es:
~ · dm
dw = H
~
Sabiendo que el diferencial de energı́a normalizada y el dQ son:
du = dQ + dw
dQ = T ds
Podemos obtener que la energı́a normalizada para un sistema con campo magnético es:
~ · dm
du = T ds + H
~
con esta relación podemos hacer un análisis parecido al que hicimos antes para encontrar una
especie de funciı́on de Helmholz, entalpı́a y energı́a magnética de Gibbs, (teniendo en cuenta
~
que remplazamos el −v por m
~ y el p por el H).
~ ·m
h = u−H
~
f
= u − Ts
~ ·m
g = h − Ts = u − H
~ − Ts
Las ecuaciones de estado diferenciadas son:
~
dh = T ds − m
~ · dH
~ · dm
df = −sdT + H
~
~
dg = −sdT − m
~ · dH
Experimentalmente es mas fácil trabajar con la temperatura y el campo magnético como
~
variables independientes, ası́ que la ecuación que mas útil experimentalmente es g(T, H).
5.
Aplicaciones
Las aplicaciones en este campo son muchas. En este trabajo revisaremos dos: la desmagnetización adiabática y la sustancia de Curie.
5.1.
Sustancia de Curie
Para los materiales paramagnéticos, la tendencia de que los dipolos sean alineados con el campo es balanceada por los efectos de colisiones al azar (en un gas) o las vibraciones del enrejado
(en un sólido), que tienden a seleccionar al azar la dirección del dipolo.
~
Contamos con que la magnetización de un material paramagnético aumente con
H en T cons ~
~ constante. De hecho se encuentra que M
~ = f H . El f H~
tante, y disminuya con T en H
T
T
~
~
H
H
es una función lineal para T pequeño, y alcanza valor asintótico para T , puesto que en
~ no puede aumentar más lejos.
este lı́mite los dipolos se alinean perfectamente y por lo tanto M
Una sustancia de Curie se define como cualquier sustancia que obedezca:
~
~ = CH
M
T
Todas las sustancias paramagnéticas tienen este comportamiento para
~
H
T
pequeño.
En términos de m
~ tenemos que:
~
H
T
Ası́ como un gas ideal las sustancias de Curie tienen una energı́a interna que solo depende de
la temperatura, entonces veamos el diferencial de entropı́a:
m
~ = C0
ds =
Sustituyendo el
~
1
H
du − dm
~
T
T
~
H
T:
1
1
du − 0 md
~ m
~
T
C
Si comparamos las derivadas cruzadas tenemos que:
∂
~
1
1 ∂m
=− 0
∂m
~ T u
C
∂u m
ds =
Como el (∂ m/∂u)
~
= 0, se tiene que 1/T sólo depende de u y no de m,
~ por lo tanto tenemos
que T depende de u e invirtiendo esto tenemos que u depende de T .
Sabiendo que u = u(T ) podemos integrar la ecuación para obtener la entropı́a de una sustancia
de Curie
~
1
du
H
dT − dm.
~
ds =
T
dT
T
Como por definición tenemos que:
du(T )
dT
Siendo cm (T ) el calor especifico de magnetización constante, tenemos que el diferencial de
entropı́a es:
cm (T ) =
ds =
~
cm (T )
H
dT − dm
~
T
T
~
Usando que m
~ = C 0 H/T
:
cm (T )
m
~
dT − 0 dm
~
T
C
como no dependen unas de otras podemos integrar cada parte por separado, entonces obtenemos:
ds =
T1
Z
s(T1 , m
~ 1 ) − s(T0 , m
~ 0) =
T0
cm (T )
1
dt −
m
~ 21 − m
~ 20
0
T
2C
~ :
En términos de M
~ 1 ) − s(T0 , M
~ 0) =
s(T1 , M
Z
T1
T0
cm (T )
µ0 ~ 2
~ 02
dt −
M1 − M
T
2C
Observamos que la entropı́a disminuye si una sustancia de Curie se magnetiza isotérmicamente. Esto tiene sentido fı́sicamente porque los dipolos magnéticos individuales se alinean más
~ de aumento, es decir el material se ordena microscópicamente.
con el campo M
Esto también significa que el calor que se le debe quitar al material durante la magnetización
isotérmica. Si una muestra se magnetiza reversible en T partiendo de cero a una magnetización
~:
M
µ0 M 2
2C
Si de otra forma la muestra se magnetiza de forma adiabática, es la temperatura la que aumentara, de forma análoga si la muestra se desmagnetiza a temperatura constante el calor debe
ser provisto, si la desmagnetización se produce abiabaticamente la temperatura disminuirá.
Q=
Esta es la base de los refrigeradores magnéticos.
5.2.
Desmagnetización adiabática
La temperatura mı́nima a la que se ha llegado es de 20 nK. El proceso al que se llegan a
estas temperaturas fue creado en 1927 por William F. Giauque, quien durante sus estudios en
Berkley, estudió este tipo de trabajo.
Un dı́a en 1933, y después de 21 horas seguidas de trabajo, hizo su observación trascendental. Su máquina habı́a obtenido una temperatura dentro de un décimo de un grado del cero
absoluto. Este experimento confirmó la tercera ley de la termodinámica, la cual dice que la
entropı́a de un cristal puro y perfecto es cero a temperatura cero — los átomos están perfectamente alineados y no se mueven. En 1949, recibió el Premio Nobel en quı́mica por abrir
nuevas ventanas de investigación en quı́mica y en fı́sica.
Entropia, S
Ahora explicaremos el proceso. En circuntancias normales, en un material paramagnético los
“pequeños imanes” de los electrones se orientan al azar; sin embargo, la mayorı́a de ellos se
alinean ante la presencia de un campo magnético. En términos termodinámicos, la aplicación
de un campo magnético reduce la entropı́a del sistema paramagnético debido al orden que
induce. Por lo tanto, una sustancia presenta dos curvas entropı́a/temperatura (Figura 3).
No Magnetizado
Magnetizacion
Isotermica
A
C
B
Magnetizado
Desmagnetizacion
Adiabatica
Temperatura, T
Figura 3: La curva superior muestra la dependencia de la entropı́a del sistema en ausencia de
campo magnético, mientras que la inferior muestra la dependencia cuando existe un campo.
Una muestra de material paramagnético, como la sal de un metal en transición, se enfrı́a
hasta 1 K de la manera ya escrita. Lo más usado es sulfato de gadolonio, ya que cada ion de
gadolonio tiene muchos electrones, pero se encuentra separado de sus vecinos por una capa de
moléculas de agua de solvatación. Luego, se procede a magnetizar por medio de la aplicación
de un campo magnético. Durante este proceso, la muestra está rodeada de gas helio, que proporciona un contacto térmico con el recipiente frı́o. Por tanto, la magnetizacón es isotérmica,
emanando energı́a desde la muestra a medida que los de los electrones se alinean con el campo
aplicado. Esta etapa se representa en la figura 3 por la lı́nea AB. Posteriormente se elimina el
contacto térmico entre la muestra y sus alrededores, por lo que se procede a reducir el campo
magnético lentamente a cero. Como no existe flujo de calor en esta última etapa adiabática
reversible, la entropı́a de la muestra permanece constante, de forma que su estado cambia de
B a C en la figura 3. Ahora se encuentra en un estado con temperatura menor, con lo que la
etapa de magnetización adiabática enfrió la muestra.
Temperaturas menores pueden alcanzarse con este mismo proceso si en lugar de los momentos
magnéticos electrónicos se utilizan los momentos magnéticos de los núcleos. Este proceso de
desmagnetización nuclear adiabática opera sobre el mismo principio que el método electrónico
y se ha utilizado para lograr el récord mundial.
Temperatura, T
Temperatura, T
(a)
Magnetizado
Entropia, S
No Magnetizado
Magnetizado
Entropia, S
No Magnetizado
(b)
Figura 4: En esta ilustración se muestra la inalcanzabilidad del cero absoluto. En (a) suponemos que el teorema de Nerst está errado, mientras que en (b) vemos que las etapas se hacen
más pequeñas.
A partir del teorema de Nerst, sabemos que las curvas de entropı́a de las sustancias coinciden
cuando T se aproxima a cero. Se concluye que la desmagnetización adiabática no puede utilizarse para enfriar un objeto hasta el cero absoluto en un número finito de etapas. Si el teorema
fuese falso, entonces la entropı́a se comportarı́a de la forma que se muestra en la figura 4(a).
La última etapa indicada podrı́a enfriar el sistema a T = 0. Sin embargo, sabemos que las
curvas coinciden a T = 0 (figura 4(b)), con lo que no existe una secuencia finita de etapas que
pueda enfriar el sistema hasta T = 0. Por este método (y cualquier otro) el cero absoluto es
inalcanzable.
6.
Conclusiones
Es posible obtener, de manera clara y precisa, el trabajo realizado por un campo eléctrico
y por el campo magnético. El análisis termodinámico del sistema ha permitido encontrar la
siguiente relación para su energı́a
~ · dD
~ +H
~ · dM
~ + µdN
dU = T dS − pdV + E
Ahora, usando esta expresión, es posible realizar toda la termodinámica que disponemos luego
de este curso, para el cuerpo en un campo electromagnético.
Nos atrevemos a decir que dado cualquier fenómeno nuevo, bastará con determinar que
parámetro es intensivo y cual es el extensivo para poder hacerle un estudio termodinámico.
Desafortunadamente, determinar la condición de cada parámetro puede resultar dificultoso.
7.
7.1.
Bibliografı́a
Papers
(1) On magnetic and Electrostatic Energy, E. A. Guggenheim, Proc. Roy. Soc. 155A, 49,70
(1936).
(2) The Thermodynamics of Magnetization, E. A. Guggenheim, Proc. Roy. Soc. 155A,
70,101 (1936).
(3) The thermodynamics of bodies in static electromagnetic fields, V. Heine, Proc. Cambridge
Phil. Soc., 52, 546 (1956).
(4) The thermodynamics of the electric field with special reference to chemical equilibrium,
F. O. Koenig, J. Phys. Chem., 41, 597 (1937).
7.2.
Libros
(1) Thermodynamics and an introduction to thermostatics, Herbert B. Callen, Apéndice B.
(2) Thermodynamics, an advanced treatment for chemists and physicists, E. A. Guggenheim,
capı́tulo 13.
(3) Thermodynamics for chemist and biologists, Terrel Hill, capı́tulo 5.
(4) Physical chemistry, Peter William Atkins, capı́tulo 7.
(5) Fundamentos de la teorı́a electromagnética, John R. Reitz y Frederick J. Milford, capı́tulos 4,5,10 y 11.
(6) Electricidad y magnetismo, Edward Purcell, capı́tulos 10 y 11.