Tema 1

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.
Propiedades y clasificación de los grupos.
Todos los grupos matemáticos, dentro de los cuales se incluyen los
grupos puntuales, tienen las siguientes propiedades:
1.- Cada grupo debe contener la operación identidad que conmuta
con todos los otros miembros del grupo y los deja inalterados.
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2.- Cada operación debe tener una inversa, que combinada con la
operación, da la E.
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3.- El producto de dos operaciones también debe ser miembro del
grupo. Esto incluye el producto de una operación consigo misma.
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4.- Se debe cumplir la propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C.
Por convenio, la primera de las operaciones realizadas se escribe a la
derecha.
Se puede combinar B y C en el orden BC, y luego combinar su producto,
S, con A, en el orden AS; o por el contrario, que se puede combinar A con
B en el orden AB, obteniendo un producto R, que luego combina con C en
el orden RC, y resultando el mismo producto final por ambos caminos.
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4.- Se debe cumplir la propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C.
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5.- No tiene por que cumplirse siempre la propiedad conmutativa:
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Matrices.
La información importante de la simetría de los grupos puntuales esta
resumida en las tablas de caracteres. Para entender su construcción y
fundamento debemos considerar algunas propiedades del álgebra
matricial.
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La multiplicación de matrices requiere no solamente que sean cuadradas,
sino que además el número de columnas de la primera matríz debe ser
igual al número de filas de la segunda:
Cij   Aik xBkj
AQUÍ:
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Ejemplos:
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Representaciones de los grupos puntuales.
Operaciones de simetría y su representación matricial:
Ejemplo 1: agua, grupo puntual C2v:
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cada operación de simetría puede ser expresada por una matríz de
transformación, de la siguiente manera:
C2:
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sv(xz):
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sv’(yz):
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E:
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Las matrices se combinan de la misma forma que las operaciones
de simetría contenidas en el grupo C2v:
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Caracteres y representación reducible:
El carácter se define solo para una matríz cuadrada. Es la traza
de una matríz o la suma de los números de la diagonal desde la
parte superior izquierda hasta la parte inferior derecha.
Ejemplo 1: agua, grupo puntual C2v:
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Matrices diagonalizadas en bloque y representaciones irreducibles:
Ejemplo 1: agua, grupo puntual C2v:
Cada matríz de transformación anterior se pueden diagonalizar en
bloque. Esto significa construir matrices de menor tamaño a lo
largo de la diagonal con todos los otros elementos igual a cero:
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Cada set de cuatro elementos en la matríz forman una
representación irreducible del grupo:
MOSCA: notar que la matríz no es cuadrada aún….!.
La cuarta y última representación irreducible que falta
se puede deducir a partir de las propiedades de los caracteres.
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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreducibles
en los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):
Primero: el número total de operaciones de simetría en un grupo
se denomina orden (h).
h = 4 (4 operaciones de
simetría: E, C2, sv(xz), sv’(yz)
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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreducibles
en los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):
Segundo: las operaciones de simetría se arreglan en clases. Todas las
operaciones de una misma clase tienen los mismos caracteres para
sus matrices transformación.
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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreducibles
en los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):
Tercero: El número de representaciones irreducibles debe ser igual
al número de clases. Estos significa que la tabla de caracteres debe
ser cuadrada.
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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreducibles
en los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):
Cuarto: la suma del cuadrado de las dimensiones (caracteres
debajo E) para cada una de las representaciones irreducibles
debe ser igual al orden del grupo.
h    i ( E )
2
i
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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreducibles
en los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):
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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreducibles
en los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):
Quinto: para una representación irreducible en particular, la suma
de los cuadrados de los caracteres multiplicado por el número de
operaciones de una misma clase, es igual al orden del grupo.
h    i ( R)
2
R
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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreducibles
en los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):
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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreducibles
en los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):
Sexto: las representaciones irreducibles son ortogonales entre sí.
La suma de los productos de los caracteres, multiplicados por el
número de clase, de cualquier par de representaciones irreducibles
es igual a cero.
  i ( R)  j ( R)  0
R
para i ≠ j
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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreducibles
en los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):
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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreducibles
en los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):
Séptimo: todos los grupos tienen una representación irreducible
totalmente simétrica, que tiene todos los caracteres igual a 1
para todas las operaciones.
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Ahora podemos completar el resto de los caracteres para la
representación irreducible que nos faltaba:
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Finalmente queda:
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Ahora asignemos nombres a las rep. irred. encontradas:
con los siguientes significados:
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1.- Todas las representaciones unidimensionales se designan
mediante A o B. E (no me refiero a oper. ident.)es el símbolo
para las
representaciones bidimensionales.
Los
casos
tridimensionales se designan por medio de T (o a veces F).
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2.- Las representaciones unidimensionales que son simétricas con
respecto a la rotación por 2/n alrededor del eje principal Cn
(significa simétrico (Cn) = 1) se designan por A, mientras
que aquellas antisimétricas ((Cn) = -1) se designan por B.
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3.- Los subíndices 1 y 2 van unidos a los A y B para designar aquellos
que son, respectivamente, simétrico o antisimétrico con respecto a
un eje C2 perpendicular al eje principal, o bien si no existe ese eje, a
un plano vertical de simetría.
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4.- Las primas y dobles primas van unidas a todas las letras, cuando
sea conveniente, para indicar las que sean simétricas o asimétricas,
respectivamente, con respecto a
sh.
5.- En los grupos con un centro de inversión, el subíndice g (del
vocablo alemán gerade que significa par) se une a los símbolos de
las representaciones que son simétricas con respecto a la inversión,
y el subíndice u (ungerade en alemán, impar) se utiliza para aquellos
asimétricos a la inversión.
6.- En uso de los subíndices numéricos para E y T, también sigue
ciertas reglas, pero éstas no pueden establecerse fácilmente sin
un desarrollo matemático previo. Nos bastará considerarlos como
denominaciones arbitrarias.
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Recapitulando, la tabla de caracteres para el grupo C2v es la
siguiente:
zona 1
☜
zona 2
☜
zona 3
?
zona 4
?
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La zona 3:
En la zona 3 se encuentran siempre tres símbolos: x, y, z, Rx, Ry, Rz.
Los tres primeros representan las coordenadas x, y, z. Los símbolos
R establecen las rotaciones en torno a los ejes especificados con los
subíndices.
En las matrices de transformación se nota que x’ es solo función de
x, y’ de y. Además z’ de z. En ningún caso hay mezclas.
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La zona 3:
De modo que x, y, z constituyen por sí mismo representaciones
diferentes.
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La zona 3:
De modo que x, y, z constituyen por sí mismo representaciones
diferentes.
Para las propiedades de transformación de las rotaciones tenemos
lo siguiente:
se coloca una flecha curva en torno al eje elegido para la rotación.
Dicha flecha alrededor del eje z se transforma en sí misma mediante
E.
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La zona 3:
La flecha alrededor del eje z se transforma en sí misma mediante C2.
La flecha alrededor del eje z cambia su sentido con el plano xz.
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La zona 3:
Y finalmente la flecha alrededor del eje z cambia su sentido con el
plano yz.
Así se constituye la base para una representación irreducible con los
caracteres: 1 1
-1
-1, que corresponde a la A2. Esto se señala
entonces como Rz en la zona 3.
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La zona 3:
Hagamos lo mismo para el eje x.
Dicha flecha alrededor del eje z se transforma en sí misma mediante
E. Al aplicar C2 cambia su sentido:
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La zona 3:
La flecha alrededor del eje x cambia su sentido con el plano xz.
Y finalmente la flecha alrededor del eje x mantiene su sentido con el
plano yz.
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La zona 3:
Así se constituye la base para una representación irreducible con los
caracteres: 1 -1
-1
1, que corresponde a la B2. Esto se señala
entonces como Rx en la zona 3.
Hagamos lo mismo para el eje y.
Dicha flecha alrededor del eje y se transforma en sí misma mediante
E.
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La zona 3:
Al aplicar C2 cambia su sentido:
La flecha alrededor del eje y mantiene su sentido con el plano xz.
Tema 1: Simetría y teoría de grupos.
La zona 3:
Y finalmente la flecha alrededor del eje y cambia su sentido con el
plano yz.
Así se constituye la base para una representación irreducible con los
caracteres: 1 -1
1
-1, que corresponde a la B1. Esto se señala
entonces como Ry en la zona 3.
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Ahora sí…:
zona 1
☜
zona 3
☜
☜
zona 2
zona 4
?
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La zona 4:
En esta zona se colocan todos los cuadrados y productos binarios de
las coordenadas, según sus propiedades de transformación.
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La zona 4:
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Ahora sí es verdad que conozco el fundamento de las tablas…:
☜
zona 3
zona 4
☜
☜
zona 2
☜
zona 1