EL ANÁLISIS DE TAREAS: COMO UTILIZARLO EN LA

EL ANÁLISIS DE TAREAS: COMO UTILIZARLO EN LA
ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA EN PRESCOLAR
Mariela Orozco Hormaza
Centro de Investigaciones en
Psicología, Cognición y Cultura
Universidad del Valle
Cali, Colombia
El modelo de análisis de tareas que proponemos es una adaptación
del análisis metasubjetivo de tareas propuesto por Pascual-Leone
(1991). Como su nombre lo indica, el método permite analizar
cualquier tarea y como resultado de su análisis, especificar un modelo
de los procesos ideales que permiten solucionarla. “Estos modelos
siempre son relativos a una estrategia específica en una situación
específica.” (Pascual-Leone, J., Johnson, J., 1991, p. 163). En el
modelo original, el método propone cuatro niveles diferenciados de
análisis: objetivo, subjetivo, ultrasubjetivo y metasubjetivo. Por
razones de la dificultad que el método entraña y de los
requerimientos de la enseñanza, en este texto solamente incluimos
los dos primeros niveles de análisis: el objetivo y el subjetivo.
El nivel objetivo, exige una descripción detallada de la tarea y el
análisis de su estructura. El nivel subjetivo, exige el análisis del
proceso de solución ideal de la tarea y el análisis de las producciones
de los alumnos al resolverla. La utilización del análisis de tareas como
instrumento de trabajo exige que el maestro asuma como mínimo las
siguientes acciones: describa la tarea; la analice, desde la doble
perspectiva de su estructura y de las exigencias que su solución crea
y analice el carácter de las producciones efectivas de los alumnos al
resolverla.
Análisis objetivo: la tarea
Como su nombre lo indica, el análisis objetivo consiste en describir la
tarea y especificar las características estructurales y sustantivas de la
misma, con el propósito de objetivarla y entender su complejidad.
Para adelantar el análisis objetivo, el primer paso que el maestro
debe asumir es la descripción más completa posible de la tarea: las
instrucciones, su formato, los materiales y medios que utiliza para
presentarla. Por ejemplo, en el caso de un problema, no es suficiente
describir su enunciado, o en el de un ejercicio de suma, los
sumandos; en uno y otro caso, el maestro debe especificar las
instrucciones que da a sus alumnos, así sea, “resuelvan este
problema” o instrucciones más complejas, como: “recuerden que ayer
trabajamos la resta, hoy vamos a resolver algunos ejercicios relativos
a este tema”. Igualmente, debe describir las modalidades de
presentación que utiliza, por ejemplo, si utiliza un texto escrito y
como lo presenta: en un texto, en el tablero o en una hoja
1
fotocopiada. Por supuesto, se necesita describir el conjunto de
elementos que la configuran, la composición de los mismos y si
facilita a los alumnos objetos concretos para trabajar con ellos.
Cualquier cambio en los elementos que constituyen la tarea puede
generar procesos de solución diferenciados. Los maestros saben que
para los alumnos no es lo mismo resolver una suma que se ha
ordenado verticalmente, a resolverla, cuando los sumandos se
presentan horizontalmente. No es lo mismo, resolver una suma cuyos
términos el maestro dicta, a resolver una suma que se escribe en el
tablero. Cada variación en la presentación genera en el estudiante
nuevos tipos de demandas y por supuesto, procesos diferenciados de
solución.
Una buena estrategia para describir la tarea es tratar de contársela a
otro maestro, para que el la pueda utilizar de la misma manera. Otra
estrategia que puede servir es tratar de contestar de la manera más
completa posible, las siguientes preguntas:
•
•
•
•
•
Qué material debe utilizar?
En que consiste la tarea?
Cómo la va a presentar?
Qué instrucciones va utilizar?
Qué preguntas se formulan?
A continuación se incluye la descripción de una tarea que se trabaja
con niños de preescolar
Los materiales:
1. 9 panes o figuras de cartón que representen los panes
2. 2 canastas con sus respectivas tapas o telas para cubrir los panes
3. Un muñeco que se llamará José
En que consiste la tarea:
Al niño se le presentan dos canastas, uno con cuatro panes y otro con
cinco panes y se le presenta un muñeco que se llama José sobre la
mesa. Se le pide que ayude a José (el muñeco) a saber cuántos
panes hay guardados en las canastas. Para esto se le se le presenta
al niño el muñeco y se le cuenta la siguiente historia:
“Mira, este es mi amigo José. La mama de José se levantó muy
temprano esta mañana a preparar el pan. Al terminar de hornear
depositó los panes en estas dos canastas, y pidió a José que llevara
una canasta a su tío Juan y otra a su tía María. Antes de llevarlas le
pidió que contara los panes para saber cuantos había horneado, pero
como José no sabe contar necesita que tu le ayudes a saber cuántos
panes horneo su mamá. Vas a ayudarle a José?”
2
Luego se le pregunta al niño:
“Cuántos panes hay en esta canasta que se va a llevar al tío Juan?
(Se le señala la canasta 1)”
“Y cuántos panes hay en esta otra canasta que se va llevar a la tía
María? (Se le señala la canasta 2)”
Una vez que el niño establece estas cantidades se tapan ambas
canastas y se le pregunta al niño:
"Si la mamá de José puso en esta canasta 4 panes (señalando la
canasta 1) y puso 5 panes en esta otra (señalando la canasta 2),
cuántos panes en total guardó la mamá de José?"
Si el niño no logra resolver la tarea con las canastas tapadas se
destapa solo una de ellas, y se le permite que cuente los panes de
esta canasta pero no los de la otra que está tapada. Si aún no logra
resolver el problema se le destapa la otra canasta y se permite que
cuente todos los panes.
Como se presenta la tarea:
La tarea se presenta verbalmente y se utilizan materiales concretos
como el muñeco, los panes y las canastas.
Las instrucciones:
“Mira, este es mi amigo José. La mama de José se levantó muy
temprano esta mañana a preparar el pan. Al terminar de hornear
depositó los panes en estas dos canastas, y pidió a José que llevara
una canasta a su tío Juan y otra a su tía María. Antes de llevarlas le
pidió que contara los panes para saber cuantos había horneado, pero
como José no sabe contar necesita que tu le ayudes a saber cuántos
panes horneó su mamá. ¿Vas a ayudarle a José?”
Las preguntas:
1. Cuántos panes hay en esta canasta que se va a llevar al tío
Juan? (Se le señala la canasta 1)
2. Y cuántos panes hay en esta otra canasta que se va llevar a la
tía María? (Se le señala la canasta 2)
Después de que los panes están tapados...
3. Si la mamá de José puso en esta canasta 4 panes (señalando la
canasta 1) y puso 5 panes en esta otra (señalando la canasta
2), cuántos panes en total guardó la mamá de José?
Una vez descrita la tarea, el maestro debe asumir el análisis objetivo
propiamente dicho, que consiste en delimitar los elementos más
significativos de la tarea, las relaciones existentes entre ellos,
estableciendo la estructura matemática de la misma, en función del
contenido que intenta enseñar. Como más adelante ejemplificaremos,
3
el análisis objetivo permite al maestro establecer los elementos más
significativos y relevantes de la tarea y delimitar las exigencias que
su solución genera.
Para llevar a cabo este primer nivel de análisis, el maestro se puede
preguntar:
•
A qué tipo de contenidos matemáticos está referida la tarea?
• Cuáles son los elementos de la tarea y cual es la relación existente
entre estos elementos?
El análisis objetivo de la tarea permite al maestro entender la
complejidad de las tareas que propone a sus alumnos y su
adecuación al contenido que trabaja. Para asumir este nivel de
análisis, el maestro debe utilizar una teoría que efectivamente
permita describir la estructura de la tarea. A continuación incluyo un
análisis de la tarea previamente descrita.
Contenido matemático:
Desde el punto de vista de las habilidades numéricas la tarea trabaja
dos contenidos diferenciados: el conteo y la operación aditiva.
Veamos en que momentos se trabajan cada uno de los contenidos:
Pregunta
Cuántos panes hay en esta canasta que
se va a llevar al tío Juan?
Contenido
Conteo:
Pregunta por la cantidad
de elementos en la
colección 1
Y cuántos panes hay en esta otra canasta Conteo:
que se va llevar a la tía María?
Pregunta por la cantidad
de elementos en la
colección 2
Si la mamá de José puso en esta canasta Adición:
4 panes (señalando la canasta 1) y puso Pregunta por la cantidad
total de elementos de la
5 panes en esta otra (señalando la
canasta 2), cuántos panes en total
colección 1 y la
colección 2
guardó la mamá de José?
Para trabajar el contenido del conteo correspondiente a las dos
primeras preguntas se necesitan tres elementos básicos: una
colección a ser contada, en este caso los panes, una secuencia de
palabras numéricas y un rango numérico correspondiente a la
totalidad de la colección a contar. En este caso para la pregunta 1 las
palabras numéricas son uno, dos, tres, cuatro y el rango numérico es
de 0-4 y para la pregunta 2 las palabras numéricas son uno, dos,
tres, cuatro, cinco y el rango numérico es de 0-5.
Para trabajar el contenido de la adición son necesarios tres elementos
básicos: dos números a ser adicionados, en este caso el 4 y el 5, una
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operación directa de composición de un nuevo número, el 9 y un
rango numérico en el cual se resuelva la composición, en este caso el
rango numérico es de 0-9.
Análisis subjetivo: los procedimientos de los alumnos
Como su nombre lo indica, el análisis subjetivo permite la descripción
de la tarea desde la perspectiva de las exigencias que su solución
crea a quien la resuelve. En el análisis subjetivo se pueden distinguir
dos momentos: la identificación y descripción del proceso de solución
ideal de la tarea y el análisis de los procesos que efectivamente
posibilitan las soluciones variadas y diferenciadas que los alumnos
dan a la tarea. El análisis subjetivo permite al maestro reconocer las
demandas que la tarea genera a cualquiera que la resuelva y el
desfase existente entre los procedimientos de los alumnos y los
procedimientos expertos y algorítmicos, propios de la matemática.
Es necesario señalar, que el análisis incluye las soluciones correctas e
incorrectas de los alumnos y que a pesar de las variaciones que estas
pueden presentar, raras veces se encuentra en un grupo, más de
cinco tipos de respuestas1; de otra manera, la utilización del análisis
de tareas en la enseñanza no resulta viable.
La identificación del proceso de solución ideal, permite al maestro
establecer la secuencia de pasos que cualquiera debe realizar para
resolver la tarea, de manera óptima. Los pasos identificados, que
describen el proceso de solución ideal, se convierten en los criterios
que permiten a los maestros analizar los procedimientos que sus
alumnos utilizan para resolver la tarea en cuestión. En otras palabras,
el proceso de solución previamente identificado se utiliza como
modelo para analizar las producciones de los alumnos.
Para efectuar este segundo nivel de análisis, inicialmente se utiliza la
introspección, un método que generalmente el maestro emplea de
manera intuitiva, pero que el análisis de tareas exige manejar de
manera rigurosa y explícita. Para hacer introspección se puede
preguntar:
•
Qué tipo de pasos debo dar para resolver esta tarea?
Explicitar los pasos necesarios para resolver la tarea, permite
describir el proceso de solución que un sujeto experto -el maestrodebe realizar para llegar a la respuesta correcta. Sin embargo, la
introspección, el método utilizado, resulta excesivamente subjetivo e
individual e impone restricciones, que es necesario superar. Para que
la descripción del proceso de solución sobrepase el plano individual e
1
Así, para resolver una adición, en una clase con 40 o 50 alumnos, el/la maestro/a
no va a encontrar más de tres o cuatros tipos de producciones que llevan a
soluciones correctas e incorrectas.
5
incluya una mayor generalización, es necesario que el maestro se
pregunte:
•
Qué haría un sujeto
eficientemente la tarea?
cualquiera
para
resolver
correcta
y
Para responder esta pregunta, el maestro puede confrontar los pasos
identificados a partir de la introspección inicial, con la estructura de la
tarea, previamente analizada y completar los pasos que permitan
describir en toda su extensión el proceso que posibilita su solución,
teniendo en cuenta la totalidad de las exigencias que se generan a
partir del análisis exhaustivo de su complejidad.
Si la tarea se analiza teniendo en cuenta las características del
contenido que se enseña y las relaciones entre ellos, entonces, el
proceso de solución que se propone debe regirse por los cánones del
conocimiento que la tarea ejemplifica y establecer los pasos
necesarios para abarcar todos y cada unos de los elementos
significativos de la misma y sus correspondientes relaciones. Se trata
de describir, en la mejor forma posible, cada uno de los pasos que
especifican el proceso óptimo. Examinemos inicialmente una posible
solución ideal a la tarea previamente analizada:
Para que un sujeto cualquiera pueda resolver la tarea necesita:
•
•
•
Establecer por medio del conteo la cantidad de elementos de la
primera colección. En este caso establecer por medio del conteo la
cantidad de panes de la canasta 1. Para que este conteo sea
correcto se necesita poner en correspondencia uno a uno cada pan
con una y solo una palabra de la secuencia numérica, respetar el
orden de las primeras cuatro palabras de esta secuencia y
comprender que la última palabra dicha representa la totalidad de
la colección.
Establecer por medio del conteo la cantidad de elementos de la
segunda colección. En este caso establecer por medio del conteo la
cantidad de panes de la canasta 2. Se deben tener en cuenta los
mismos tres aspectos nombrados anteriormente para que el
conteo sea correcto.
Adicionar el número total de elementos de la primera colección con
el número total de elementos de la segunda colección así
establecer el número total de elementos existentes entre ambas
colecciones. En nuestro ejemplo entonces se debe adicionar el
número total de panes de la canasta 1 con el número total de
panes de la canasta 2 y así establecer el número total de panes
entre ambas canastas. Para adicionar correctamente se deben
manejar los cardinales 4 y 5 y hacer la composición aditiva del 9.
Es necesario tener en cuenta, que la mayoría de las veces los niños
resuelven la tarea por medio de procedimientos diferentes al ideal.
Por ejemplo, a medida que se varían las condiciones de presentación
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de la tarea, también varían los procedimientos, así aparecen otros
que al igual que el ideal los llevan a una respuesta correcta. Por
ejemplo, cuando ambos canastos están destapados un sujeto
cualquiera con un procedimiento de conteo puede establecer la
totalidad de los panes y resolver la tarea sin necesidad de hacer la
composición aditiva.
Para asumir el análisis de las producciones efectivas de los alumnos
al resolver la tarea, es necesario que el maestro establezca una
unidad de análisis. Los procedimientos que los alumnos utilizan para
resolver la tarea, constituyen la unidad que se propone adoptar. La
descripción de las producciones de los alumnos, en términos de
procedimientos, intenta captar las regularidades y los pasos que
describen el proceso que les permite obtener o llegar a la respuesta,
cualquiera que esta sea.
Para inferir los procedimientos diferenciados que los alumnos utilizan
para resolver la tarea que analizamos, el maestro debe registrar lo
que los alumnos hacen para resolverla. A continuación presento
ejemplos de los registros de las producciones de niños preescolares:
M2: Cuántos panes hay en esta canasta que se va a llevar al tío Juan?
J3: Mira uno a uno los panes al tiempo que dice: uno, dos, tres, y
cuatro
M: Cuantos hay ?
J: hay cuatro.
M: Cuántos panes hay en esta canasta que se va a llevar a la tía
María?
J: Mira uno a uno los panes al tiempo que dice: uno, dos, tres, cuatro
y cinco. Hay cinco.
M: (Tapa ambas canastas) Si la mamá de José puso en esta canasta
4 panes (señalando la canasta 1) y puso 5 panes en esta otra
(señalando la canasta 2), cuántos panes en total guardó la mamá de
José?
J: extiende los cinco dedos de su mano izquierda y cuatro dedos de
su mano derecha, luego dice cinco (mostrando su mano izquierda),
seis, siete, ocho y nueve (señalando uno a uno los dedos de su mano
derecha). Debe entregar nueve panes.
Las preguntas que permiten avanzar en el análisis se formulan en
función de los pasos propuestos, así:
•
•
•
Qué características presenta la actividad del alumno en relación
con los pasos identificados en el proceso de solución ideal?
En cuál/es paso/s presenta dificultades?
En qué consiste la dificultad que ese tipo de procedimiento revela?
Examinemos como podemos interpretar o analizar la producción de
esta niña. Inicialmente, Juana realiza dos conteos adecuados, que le
2
3
M: Maestra
J: Juana
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permiten establecer correctamente la cantidad de elementos en cada
una de las canastas. Esto quiere decir que para establecer ambas
cantidades hace una correcta correspondencia uno a uno entre los
panes y las palabras de la secuencia numérica, respeta el orden de la
secuencia hasta cuatro y hasta cinco respectivamente y comprende
que la última palabra dicha en cada uno de los dos conteos
representa la totalidad de cada una de las colecciones.
Hasta el momento el procedimiento de Juana no se aleja de la
solución ideal descrita para esta actividad. Sin embargo, cuando la
niña debe establecer el número total de panes que la mamá de José
ha guardado para repartir, utiliza un procedimiento que, aunque es
diferente del ideal, le permite contestar adecuadamente la pregunta.
Examinemos dicho procedimiento: Juana utiliza sus dedos para
representar el número de panes oculto en cada una de las canastas y
establece la cantidad total de estos contando a partir de cinco los
dedos de su mano derecha. El hecho de que Juana no necesite contar
los dedos de su mano izquierda indica que considera que al decir
cinco ya ha contado esos dedos y no necesita comenzar de uno. Este
tipo de conteo es mucho más económico en tiempo que un conteo
desde uno.
Juana no hace la composición aditiva entre 4 y 5 que sería el
procedimiento ideal. Es importante señalar que aunque Juana da la
respuesta correcta a un problema aditivo su procedimiento es de
conteo. Después de este análisis, la maestra sabrá que necesita
trabajar sobre problemas aditivos para que la niña pueda a través de
ellos modificar los procedimientos de conteo hasta llegar a los
aditivos propiamente dichos, es decir, a la solución ideal.
A continuación se presenta el procedimiento empleado por otro niño
frente a la misma tarea:
M: Cuántos panes hay en esta canasta que se va a llevar al tío Juan?
A4: toca con su dedo uno a uno los panes al tiempo que dice: uno,
dos, tres, y cuatro
M: Cuantos hay ?
A: cuatro.
M: Cuántos panes hay en esta canasta que se va a llevar a la tía
María?
A: toca uno a uno los panes al tiempo que dice: uno, dos, tres,
cuatro y cinco. M: Cuantos hay ?
A: cinco.
M: (Tapa ambas canastas) Si la mamá de José puso en esta canasta
4 panes (señalando la canasta 1) y puso 5 panes en esta otra
(señalando la canasta 2), cuántos panes en total guardó la mamá de
José?
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Andrés.
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A: cuenta los dedos de su mano derecha y dice cinco (con su mano
extendida) luego cuenta cuatro dedos de su mano izquierda ( y los
deja extendidos) luego dice: uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete,
ocho y nueve (moviendo uno a uno los dedos extendidos).
M: Cuantos panes debe entregar?
A: Nueve.
Al igual que Juana, Andrés establece el número de panes en cada
canasta por medio del conteo y lo hace con todas las condiciones
para que el conteo sea correcto. Sin embargo, existe una diferencia
entre ambos niños, mientras Juana es capaz de contar correctamente
los panes sin necesidad de tocarlos, separando en un nivel mental los
contados de los no contados, Andrés necesita tocarlos para poder
tener un registro físico o concreto de este proceso (haberlos tocado).
A pesar de esta diferencia Andrés también logra mantener los
números que representan ambas cantidades.
De igual forma se presentan diferencias en los procedimientos
empleados por ambos niños al establecer el número total de panes,
aunque ambos utilizan nuevamente el conteo, Andrés a diferencia de
Juana necesita contar todos los dedos, mostrando que para el ese
cinco o ese cuatro aun no incluyen el conteo de uno hasta ellos
mismos, viéndose en la necesidad de contar uno a uno los dedos.
Finalmente, la maestra sabrá que al trabajar con Andrés problemas
aditivos, debe llevarlo a reflexionar sobre esas palabras numéricas
empleadas en el conteo, para que él comprenda que la última que
menciona no solo designa el último objeto sino que representa la
totalidad de elementos contados y logre pasar a procedimientos más
eficientes y avanzados.
El análisis de esta tarea me ha permitido mostrar la manera en que
cualquier maestro puede utilizar el análisis objetivo y subjetivo de
tareas y así, realizar un análisis exhaustivo del tipo de contenido que
trabaja y que la tarea ejemplifica, establecer su estructura y las
exigencias que su solución genera, creando, de esta manera, un
modelo que permite analizar las producciones efectivas de los
alumnos al resolverla. En otras palabras, la resolución del conjunto de
preguntas y acciones generan un modelo que el maestro utiliza para
diagnosticar el estado del conocimiento de sus alumnos.
Igualmente, el maestro puede diferenciar los procedimientos óptimos
de solución, de aquellos que los alumnos utilizan. En otras palabras,
el análisis provee un diagnóstico sobre el tipo de procedimientos que
los alumnos utilizan para resolver la tarea y por lo tanto, sobre la
comprensión y el significado que los alumnos tienen sobre el
contenido con el cual se trabaja.
La reflexión sobre la estructura del contenido permite al maestro
entender la complejidad del conocimiento matemático que enseña y
hacia donde debe orientar su enseñanza. El análisis sobre las
9
exigencias de solución le permite
conocimiento de sus alumnos.
entender
los
límites
del
Finalmente, la descripción y análisis de la tarea y de la producción de
los alumnos, solamente arroja datos sobre el punto de partida y de
llegada del proceso de enseñanza, pero no sobre el camino a seguir.
El análisis de tarea da luces sobre el punto de llegada en la medida
en que se analiza la estructura del contenido y las exigencias que el
mismo crea a quien la soluciona. Igualmente, aporta información
sobre el punto de partida porque permite diagnosticar las dificultades
y logros de los estudiantes. Sin embargo, poco aporta y poco se sabe
aún sobre como se puede apoyar la transformación de estas
dificultades para lograr que cualquiera acceda al conocimiento
matemático socialmente convenido, fin último de la enseñanza.
Los criterios que de este análisis deriva, permiten al maestro adaptar
los contenidos a enseñar pero no a definir las estrategias a
implementar para lograr que el conocimiento matemático de sus
alumnos se transforme en un conocimiento más abstracto. Solamente
la comparación y balance de los procedimientos variados que
encuentra le permite intuir el camino a seguir y proponer o adoptar y
probar estrategias de enseñanza novedosas que permitan resolver la
pregunta pedagógica fundamental: Cómo intervenir para que el
alumno avance en la construcción del conocimiento matemático?
Bibliografía
BERH, M. J., HAREL, G., POST, T., LESH, R. (1992) Units of
quantity:
A conceptual basis common to additive and
multiplicative structures. In G. Harel, J. Confrey
The
Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of
Mathematics. Albany: State University of New York Press. La
traducción de este texto se incluye como anexo a este informe.
PASCUAL-LEONE, J., JOHNSON, J. (1991) The Psychological Unit and
its Role in Task Analysis: A reinterpretation of Object
Permanence. In Chandler, M. & Chapman, M. (Eds.) Criteria for
Competence: Controversies in the Conceptualization and
Assessment of Children’s Abilities. Hillsdale, N. J.: Lawrence
Erlbaum Associates, 151-187.
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