´Area ´Areas barridas por el vector de posición

Área
Áreas barridas por el vector de
posición
Salvador Olivares Campillo
#
Índice General
1 Área
1
2 Área barrida
5
3 Superficie de la elipse
7
C B U
1
1
Área
Sea y = f (x) una función que toma valores finitos y positivos entre x0 y x1. Nos interesa el área S desde la gráfica
de la función hasta el eje de las x que queda entre las
abscisas x0 y x1.
Dividiendo x1 −x0 por un entero positivo n obtendremos
el paso
x1 − x0
∆x =
,
n
con el que podemos construir dos series de n rectángulos,
todos con la base ∆x en el eje OX. Consideremos uno de
los n rectángulos de la primera serie. Si su base comienza
en un punto del eje con una cierta x (las x son x0, x1 =
x0 + ∆x, x2 = x1 + ∆x, etcétera) acaba en el que tiene
x + ∆x, y su altura es f (x). La suma de las áreas de
estos n rectángulos (con k = 1, 2, · · · , n etiquetamos los
J
C B U
2
rectángulos),
S1 =
n
X
f (x)∆x,
k=1
(las n f (x) toman x = x0, x1, · · · , xn−1) nos dará una
aproximación de S si tomamos un n lo suficientemente
grande.
La segunda serie de rectángulos es igual que la primera,
salvo que la altura la tomamos como f (x + ∆x). La suma
S2 =
n
X
f (x + ∆x)∆x
(1)
k=1
es una aproximación de S algo diferente. Sin embargo,
como vamos a ver de un modo interesante, en el lı́mite
cuando el número de rectángulos tiende a infinito (y ∆x →
0), S1 y S2 coinciden, y es precisamente este lı́mite lo que
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C B U
3
entenderemos que es el área S:
S = lim S1 = lim S2.
n→∞
(2)
n→∞
El razonamiento que sigue nos será útil al plantear el
cálculo de áreas más complicadas. Podemos considerar
cualquiera de las alturas f (x + ∆x) como una función del
paso ∆x, y desarrollarla en serie de potencias (de ∆x):
f (x + ∆x) = f (x) +
df
∆x + · · ·
dx
(3)
Llevando (3) a (1) obtenemos
S2 = ∆x
n
X
k=1
n
X
df
+ ··· ,
f (x) + (∆x)
dx
n=1
2
y en el paso al lı́mite nos encontramos con que:
1. El primer término del segundo miembro se transforma
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4
en un lı́mite del tipo 0 · ∞, que es igual al
lim S1.
n→∞
2. El lı́mite del segundo término es cero, siempre que
P
lim ∆x df /dx sea finito:
!
n
X
lim ∆x lim ∆x
df /dx = 0.
∆x→0
n→∞
k=1
3. Los lı́mites de los restantes términos, con potencias
de ∆x todavı́a mayores, se anulan con mayor rapidez.
Por tanto, lim S2 = lim S1 = S. Como se sabe, este lı́mite
es la integral
Z
x1
S=
f (x)dx.
x0
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2
Área barrida
Consideremos el área barrida por el vector de posición, de
módulo
e+1
r = r0
,
e cos φ + 1
entre dos valores del ángulo, por ejemplo, entre el ángulo
cero y otro cualquiera φ1. Dividamos el ángulo φ1 por un
número entero n para obtener el paso
φ1
.
n
Entre cada dos radio vectores consecutivos,
∆φ =
r = r0
e+1
,
e cos φ
r 0 = r0
e+1
,
e cos(φ + ∆φ)
hay un triángulo distinto, pero todos con vértice en el foco.
El área de uno de estos n triángulos es la mitad de la base
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6
por la altura:
1 0
rr sen ∆φ.
2
Es evidente que si el número de estos triángulos es grande,
la suma de sus áreas nos dará una superficie próxima a la
barrida por el vector de posición de la partı́cula entre el
ángulo inicial y el final. En el lı́mite, cuando n → ∞, la
suma y el área S(φ) que buscamos coinciden.
Cuando n → ∞, ∆φ → 0. Omitiendo los términos que
no nos van a interesar (por los motivos expuestos al final
de la sección anterior), el desarrollo en serie de potencias
(de ∆φ) del sen ∆φ es
sen ∆φ = 0 + ∆φ + · · · ,
y el de r0,
r0 = r + · · · .
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Por tanto,
1 0
1
rr sen ∆φ = r2∆φ + · · ·
2
2
y
1
S(φ) =
2
3
Z
φ
r2dφ.
(4)
0
Superficie de la elipse
Integrando (4) con φ = 2π, resulta
q
1+e
2
πr0 1−e
S=
.
1−e
(5)
Pero los semiejes de la elipse son
r0
a=
1−e
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y
r
1+e
,
1−e
y (5) se simplica a la conocida fórmula del área de la elipse:
b = r0
S = πab.
(6)
Aunque (4) es válida para la elipse, la parábola o la rama
de hipérbola, la única curva que se mantiene finita en una
vuelta completa es la elipse. Por eso, p
el resultado de la
integración sólo es válido para ella: la (1 + e)/(1 − e)
en (5) exige que e < 1.
Es evidente que con a = b = R, (6) se reduce a la del
área del cı́rculo.
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