¿Por qué no hay triple refracción?

Temas de Física
¿Por qué no hay triple refracción?
Alfredo Luis Aina
Why there is no triple refraction? The proper application of boundary conditions to the refraction of light in anisotropic media
seemingly implies the existence of three refracted waves instead of two. The anomalous third wave can only be discarded by energy
considerations.
1. Titular
3. ¿Cuántas ondas refractadas?
Las condiciones de contorno sugieren la existencia de
tres ondas refractadas en medios anisótropos, en lugar de las
dos ondas características de los medios birrefringentes.
Abordamos la refracción en un medio anisótropo aplicando las condiciones de contorno en la forma usual (Born y
Wolf 1975; Fowles 1968). Una onda armónica plana de frecuencia ω y vector de ondas k se propaga en un medio (al
que llamaremos primer medio) isótropo, homogéneo, lineal
y transparente con índice de refracción n. Dicha onda incide
sobre un medio anisótropo (al que llamaremos segundo
medio) también homogéneo, lineal y transparente. La superficie de separación entre los dos medios es el plano z = 0,
siendo la normal el eje Z y el plano de inciencia el y = 0.
En un problema típico de refracción la onda incidente y
los índices de refracción son datos, mientras que todo lo referente a las ondas reflejadas y refractadas (frecuencias, direcciones de propagación, polarización) es desconocido. Todas
estas incógnitas se resuelven imponiendo las condiciones de
contorno.
De acuerdo con este planteamiento debemos considerar
que la onda refractada es la más general posible propagándose en un medio anisótropo, expresada por ejemplo como
una superposición arbitraria de ondas armónicas planas,
2. Introducción
La doble refracción en medios anisótropos es un fenómeno óptico de gran interés al proporcionar una evidencia contundente de la naturaleza electromagnética de la luz. Además
da lugar a una gran variedad de aplicaciones prácticas relacionadas con la generación y manipulación de luz polarizada. Desde un punto de vista didáctico permite desarrollar la
idea de polarización e ilustrarla con sugerentes experiencias
de cátedra.
En la mayor parte de la bibliografía, la doble refracción
se explica como consecuencia de las condiciones de contorno que debe satisfacer el campo electromagnético a ambos
lados de una superficie de discontinuidad de la constante dieléctrica.
En este trabajo se muestra que la aplicación lógica y cuidadosa de las condiciones de contorno sugiere la existencia
potencial de tres ondas refractadas, en lugar de las dos
comúnmente supuestas en los análisis estándar. Sólo tras un
análisis cuidadoso puede descartarse a posteriori la tercera
onda.
Creo que la aparente existencia de una tercera onda
refractada no ha recibido la atención que merece. Hasta la
fecha sólo he encontrado una breve mención en un trabajo de
Lin y Wu (2000). No he encontrado mención alguna en los
libros de texto al uso. Sin embargo creo que el análisis de
este caso es suficientemente atractivo, especialmente en el
contexto de la enseñanza universitaria de óptica. Parece que
los alumnos deberían encontrar esta dificultad con relativa
frecuencia, aunque no la lleguen a formular explícitamente,
por lo que los profesores deberían conocerla para sacar el
mayor provecho didáctico posible de esta situación. En cualquier caso, el análisis del problema supone un ejercicio de
óptica con valor pedagógico en uno de los temas de mayor
dificultad para los alumnos.
Este trabajo desarrolla cuantitativamente la idea esbozada por Lin y Wu (2000). Para ello se determinan las condiciones concretas (índices de refracción, orientación del eje
óptico y ángulo de incidencia) para la existencia de tres
ondas en un medio anisótropo uniáxico que satisfagan las
condiciones de contorno. Finalmente se discuten las razones
que pudieran explicar la ausencia de la tercera onda en la
práctica.
E ′(r , t ) =
∑ E ′(k ′,ω ′) e
i ( k ′ ⋅ r − ω ′t )
,
(1)
k ′ ,ω ′
donde E′ (k′, ω′) son incógnitas. Una relación análoga debe
ser empleada para describir la onda reflejada E′′(r, t).
Las incógnitas E′ (k′, ω′) se determinan aplicando las condiciones de contorno en z = 0, que conducen a relaciones de la
forma:
Am e
i ( k x x + k y y −ω t )
+
∑
k ′′ ¨,ω ′′
=
′′
∑ A′ (k ′, ω ′) e
i ( k x′ x + k ÿ′ y −ω ′t )
k ′ ,ω ′
m
′′
′′ ¨t )
i ( k x + k y −ω
A′′m (k ′′, ω ′′) e x ÿ
=
,
(2)
donde Am, A′′m, y A′m son proporcionales a las correspondientes componentes de la onda incidente, E, reflejada E′′, y
refractada E′, respectivamente.
Al ser las exponenciales funciones linealmente independientes las relaciones anteriores pueden satisfacerse para
todo x, y, t si y sólo si (de aquí en adelante nos ocuparemos
sólo de la onda refractada)
ω′ = ω,
k x′ = k x = n ωc sin θ , k ′y = k y = 0,
(3)
donde θ es el ángulo de incidencia, de modo que
E ′(k ′, ω ′) = 0, para ω ′ ≠ ω , k x′ ≠ k x , k y′ ≠ k y .
(4)
El resultado es que los posibles vectores de onda k′ vienen determinados por la intersección entre la superficie de
vectores de onda y el plano de incidencia y = 0 (es decir
k′y = ky = 0), con la condición de tener la misma proyección
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sobre la superficie de separación que el vector de ondas de la
onda incidente (es decir k′x = kx).
Para medios anisótropos la superficie vectores de onda es
doble, por los que se suele concluir que hay dos ondas refractadas. Sin embargo, una inspección más detallada del problema sugiere la posible existencia de tres ondas refractadas.
Esta idea se ilustra en la Fig. 1 para medios uniáxicos, donde
se aprecian dos ondas extraordinarias cumpliendo las condiciones de contorno. No obstante la figura no puede considerarse una demostración puesto que podemos haber sido confundidos por un dibujo poco cuidadoso.
Con el fin de examinar esta posibilidad cuantitativamente consideramos por sencillez el caso de medios uniáxicos.
Para ello expresamos la condición k′x = kx en términos de los
ángulos de incidencia θ, refracción θ′, y el ángulo α entre el
eje óptico y la superficie de separación de medios como ilustra la Fig. 2.
Como puede verse en las ecuaciones (12-58) y (12-59) de
Cabrera, Agulló-López y López 2000 o también particularizando la ecuación (5.97) de Fowles 1968 al caso uniáxico,
las ondas extraordinarias cumplen que
2
k′2 k⊥′2
sin 2 φ  ω 2
2  cos φ
+ 2 = k′  2 + 2  = 2 ,
(5)
2
nor nex
nex  c
 nor
donde k′|| y k′⊥ son las componentes de k′ paralela y perpendicular al eje óptico, φ = π/2 – α – θ′ es el ángulo entre k′ y
el eje óptico, y nor, nex son los índices de refracción principales. La igualdad k′x = kx se puede expresar también como
|k′| sin θ′ = kx, o, análogamente,
nor nex
sin θ ′ = n sin θ . (6)
2
2
nor cos (α + θ ′) + nex2 sin 2 (α + θ ′)
Esta ecuación ya es útil para nuestros objetivos. En la Fig. 3
se representa el lado izquierdo de la ecuación como una función de θ′ para calcita (nor = 1,658, nex = 1,486) y α = π/4.
La figura demuestra que para valores adecuados de n sin θ la
igualdad puede satisfacerse con dos ángulos de refracción
distintos θ′.
Proseguimos determinando específicamente los valores
de θ′ que satisfacen la ecuación (6). Elevando al cuadrado
(6) tenemos que
A tan θ ′ + B tan θ ′ + C = 0,
2
(7)
siendo
A = n2 sin 2 θ ( nor2 sin 2 α + nex2 cos 2 α ) − nor2 nex2 ,
B = 2 n2 sin 2 θ ( nex2 − nor2 )sin α cos α ,
C = n 2 sin 2 θ ( nor2 cos 2 α + nex2 sin 2 α ).
(8)
Nótese que al elevar al cuadrado la ecuación (6) no se
introduce ninguna solución adicional ni ninguna ambigüedad puesto que sin θ, sin θ′ y todos los índices de refracción
son siempre cantidades positivas y así se tiene en cuenta
siempre en el resto del trabajo.
La ecuación (7) tiene dos soluciones tan θ′± siempre que
B2 > 4 AC, o, equivalentemente, siempre que
nor2 cos 2 α + nex2 sin 2 α > n 2 sin 2 θ .
(9)
Debemos imponer que las dos soluciones tan θ′± sean
positivas (θ′± no deben superar π/2) para asegurarnos de que
la fase de las dos ondas fluye desde la superficie de separaREF Enero-Marzo 2007
ción hacia el medio anisótropo. Esta condición implica que:
(i) AC >0 de forma que
| B |≥ B 2 − 4 AC
por lo que las dos soluciones tienen el mismo signo que
–B/A, con lo que (ii) B/A < 0 para que las dos soluciones sean
positivas. Podemos ver en (8) que C > 0 siempre, por lo que
(i) y (ii) se convierten en A > 0 y B < 0, respectivamente. A
su vez, la condición A >0 es equivalente a
n 2 sin 2 θ >
nor2 nex2
.
nex2 cos 2 α + nor2 sin 2 α
(10)
Por otro lado, la condición B < 0 se cumple siempre que nor
< nex cuando sin α < 0 o bien si nor > nex cuando sin α > 0.
Este último es el caso representado en la Fig. 1 puesto que
cuando nor > nex el eje óptico es el semieje mayor del elipsoide de vectores de onda, como se deduce de la ecuación (5)
anulando k′⊥.
En lo que sigue supondremos que el eje óptico ha sido
orientado para que B < 0 por lo que la existencia de dos soluciones positivas para (7) se reduce a la verificación simultánea de (9) y (10). Dichas condiciones (9) y (10) son compatibles siempre que
nor2 cos 2 α + nex2 sin 2 α >
nor2 nex2
.
nex2 cos 2 α + nor2 sin 2 α
(11)
Esto es equivalente a
 cos α sin α (nex2 − nor2 ) > 0,


2
(12)
de forma que (9) y (10) son compatibles siempre que α ≠ 0,
π/2 y nor ≠ nex.
El análisis cuantitativo ya está terminado. La conclusión
es que si el eje óptico no es ni paralelo ni perpendicular a la
superficie de separación podemos encontrar siempre índices
de refracción y ángulos de incidencia de forma que las condiciones de contorno admitan dos ondas refractadas extraordinarias.
Por ejemplo, una elección de n sin θ que siempre satisface (9) y (10) a la vez es

nor nex
1
n sin θ = 
+ nor2 cos2 α +nex2 sin2 α
2  nex2 cos 2 α +nor2 sin 2 α


(13)
En la Fig. 4 se representa esta elección en línea continua
junto con los dos ángulos de refracción extraordinarios θ′± en
línea discontinua como funciones de α para calcita. Puede
apreciarse que la mayor diferencia entre θ′+ y θ′– se da para
α ≅ π/4 rad, siendo θ′+ – θ′– ≅ 9º, θ′+ ≅ 88º y n sin θ ≅ 1,57.
Incidentalmente tanto en este ejemplo como en la situación ilustrada en la Fig. 1 se tiene que θ′± + α > π / 2 rad, por
lo que los dos vectores de onda extraordinarios están del
mismo lado del eje óptico. Esencialmente, este hecho es
debido a que la diferencia entre los índices nor y nex no es
muy elevada. Para birrefringencias mayores podría ocurrir
que las dos ondas extraordinarias estuvieran en lados opuestos del eje óptico. Para ilustrar esta posibilidad podemos
considerar el caso hipotético de nor = 3, nex = 1,5, n sin θ =
2,35 y α = 0,50 rad, en cuyo caso tenemos que en radianes
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Figura 1. Presunta triple refracción en un medio uniáxico. La figura
sugiere que puede haber dos ondas extraordinarias cumpliendo las
condiciones de contorno.
θ′+ + α = 2,05 > π/2 mientras que θ′– + α = 1,43 < π/2 por lo
que las ondas estarían en lados opuestos del eje óptico. Es
necesario precisar que aunque existen medios con índices de
refracción tan elevados como los considerados en este último ejemplo o incluso mayores (como por ejemplo rutilo con
n ≅ 3 y la mayor parte de los semiconductores con índices
entre 2,5 y 4), no conozco ningún medio anisótropo con una
birrefringencia tan alta, por lo que la situación más común
sería la ilustrada en la Fig. 1.
nes: tres para el caso transversal magnético y tres para el
transversal eléctrico.
La presunta anomalía que estamos investigando ocurre
para la onda transversal magnética ya que el campo eléctrico de la onda extraordinaria yace en el plano de incidencia.
Por lo tanto tenemos tres ecuaciones para determinar tres
cantidades: dos amplitudes refractadas y una reflejada, lo
que parece prometedor para nuestros objetivos. Sin embargo
dos de las ecuaciones son idénticas. Estas son las ecuaciones
para la componente tangencial de H y para la componente
normal de D.
Para ondas armónicas planas transversales magnéticas
tenemos que H apunta en la dirección del eje Y
0
H = H 1  ,
(14)
0
 
por lo que
 −k z H 
D ∝ k × H =  0 ,
(15)
 k H 
 x 
donde la constante de proporcionalidad no depende del
medio. Si tenemos en cuenta la continuidad de kx obtenemos
que la continuidad de la componente normal de D es equivalente a la continuidad de la componente tangencial de H. Por
lo tanto no tenemos ecuaciones suficientes para confirmar la
anulación de la amplitud de una de las ondas extraordinarias.
Un hecho conocido y peculiar de la propagación de la luz
en medios anisótropos es que la energía y la fase pueden propagarse en direccciones distintas. Esto podría explicar la
naturaleza de la onda anómala si ocurriera que su energía
fluyera desde el medio anisótropo hacia la superfecie de
separación de los medios, a pesar de que la fase lo haga en
sentido contrario.
El flujo de la energía viene especificado por el promedio
temporal del vector de Poynting, que para ondas armónicas
se expresa en la forma
S ∝ R {E × H*},
Figura 2. Definición de los ángulos usados en el análisis.
(16)
donde la constante de proporcionalidad es positiva. Para las
ondas extraordinarias tenemos que
4. ¿Por qué no hay triple refracción?
Nuestra experiencia nos sugiere que el resultado encontrado en el apartado anterior no puede ser el final, por lo que
se nos presenta como siguiente objetivo encontrar argumentos que prohiban la existencia de dos ondas refractadas extraordinarias. Para cumplir este objetivo podemos examinar
brevemente dos argumentos que podrían resolver esta duda.
Podríamos invocar que la solución del problema no está
completa todavía, puesto que no hemos resuelto las ecuaciones para las amplitudes. La esperanza es que tales ecuaciones pudieran implicar que la amplitud de una de las ondas
extraordinarias fuera siempre nula. Sin embargo, podemos
descartar esta posibilidad sin necesidad de resolver las ecuaciones.
Hay seis ecuaciones de contorno para las amplitudes:
cuatro para las componentes tangenciales de E y H, y dos
para las componentes normales de D y B. Las seis ecuaciones se dividen naturalmente en dos grupos de tres ecuacio-
S ′ z ∝ − k z′ cos α sin α (nor2 − nex2 )+
+ k z′ (nex2 sin 2 α + nor2 cos2 α ),
(17)
donde la constante de propocionalidad es positiva y hemos
tomado como positivo el flujo desde la frontera hacia el
medio anisótropo. De acuerdo con (17) la energía fluye
desde el medio anisótropo hacia la frontera (esto es ⟨S′⟩z < 0)
siempre que
n 2 sin 2 α + nor2 cos 2 α 2C
tan θ ′ > ex
=
.
(18)
cos α senα (nor2 − nex2 ) | B |
Podemos ver que la onda extraordinaria con el mayor
ángulo de refracción siempre cumple esta relación puesto
que
| B| 1
| B | 2C
tan θ +′ =
B 2 − 4 AC >
,
+
>
(19)
2A 2A
2A | B |
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excluir una de las dos ondas extraordinarias. La razón es que
para tal onda la energía fluye desde la superficie de separación hacia el primer medio, sentido opuesto al asociado a una
onda refractada. Por ello la tercera onda no puede considerarse como onda refractada, sino como una onda incidente
Figura 3. Representación del lado izquierdo de la ecuación (6) como
función de θ′ para calcita (nor = 1,658, nex = 1,486) y α = π/4. Se
aprecia que la igualdad (6) puede satisfacerse para dos ángulos de
refracción θ′.
donde las desigualdades se derivan de que A > 0 y B2 > 4AC,
ya que estamos admitiendo la existencia de dos ondas extraordinarias compatibles con las condiciones de contorno.
Esto demuestra que para una de las ondas extrordinarias
⟨S′⟩z < 0 y la energía fluye siempre desde el segundo medio
hacia la superficie de separación con el primer medio, mientras que la fase lo hace en sentido opuesto. Por lo tanto, esta
onda no puede ser generada cuando iluminamos la superficie
de separación exclusivamente desde el lado del primer
medio.
Por otro lado, para la otra onda extraordinaria el vector de
Poynting siempre fluye en la dirección correcta puesto que
tan θ −′ =
|B| 1
2C
B 2 − 4 AC <
.
−
2A 2A
|B|
(20)
Finalmente examinamos el caso en el que la componente
normal del vector de Poynting se anule, en cuyo caso la existencia de la tercera onda no vendría impedida por relaciones
energéticas que sólo involucran las componentes normales.
La condición ⟨S′⟩z = 0 significa que tan θ′+ = 2C/|B|, lo que a
su vez implica que B2 = 4AC por lo que sólo hay una onda
extraordinaria.
5. Conclusiones
Figura 4. Representación gráfica de n sin θ en (13) (línea continua)
junto con los dos ángulos de refracción extraordinarios θ′± (línea discontinua) en función de α para calcita.
desde el otro lado de la superficie. Su sorprendente aparición
como una onda aparentemente refractada se debe a que su
fase fluye desde la superficie de separación hacia el segundo
medio, contrariamente a lo que le ocurre a la energía.
6. Agradecimiento
Agradezco a la Profesora Isabel Gonzalo una lectura
atenta y crítica del manuscrito.
Referencias
[1] BORN M. Y WOLF E., Principles of Optics (Pergamon Press, Oxford,
1975).
[2] CABRERA J.M., AGULLÓ-LÓPEZ F. Y LÓPEZ F. J., Óptica Electromagnética Vol. II: Materiales y Aplicaciones, (Addison-Wesley/Universidad
Autónoma de Madrid, 2000).
[3] FOWLES G. R., Introduction to Modern Optics (Holt, Rinehart and
Winston, New York, 1968).
[4] LIN CH.-L. Y WU J.-J., “Abnormal total external reflection for waves
propagating from an isotropic medium to an anisotropic medium”,
Chin. J. Phys. 38, 24-35 (2000).
Hemos demostrado que bajo determinadas condicionesfácilmente verificables en la práctica [expresadas en las
ecuaciones (9) y (10)] las condiciones de contorno aplicadas
a la refracción en un medio anisótropo uniáxico sugieren la
existencia de tres ondas refractadas, dos de ellas extraordinarias. A la hora de determinar la realidad física de tales
ondas las relaciones energéticas han sido cruciales para
Alfredo Luis Aina
están en el Departamento de óptica, Facultad
de Ciencias Físicas, Universidad Complutense,
Madrid
ARTÍCULO EN ANALES DE QUÍMICA
En el vol. 103 (1), enero-marzo de 2007, de la revista
Anales de Química, que edita nuestra sociedad hermana,
Real Sociedad Española de Química, aparece un artículo de
D. Pascual Román Polo, titulado “Santiago Ramón y Cajal,
miembro honorario de la SEFQ”, que puede ser de interés
para nuestros lectores y cuyo resumen reproducimos a continuación.
RESUMEN: Entre los socios honorarios distinguidos que
formaron parte de la Sociedad Española de Física y Química
REF Enero-Marzo 2007
(SEFQ) destaca con luz propia por sus innegables méritos
científicos: Santiago Ramón y Cajal, médico e histólogo
español, y premio Nobel de Fisiología y Medicina de 1906.
En agradecimiento por su nombramiento como socio honorario, además de una fotografía dedicada a los miembros de
la Sociedad, dejó como legado el artículo titulado “Sobre la
policromía de los granos metálicos microscópicos”, aparecido en la revista Anales de la SEFQ en 1906. Por su indudable interés histórico y la dificultad de obtenerlo, se reproduce íntegramente.
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