Corrimiento gravitacional hacia el rojo y medicin de la masa de una

Corrimiento gravitacional hacia el rojo y medición de la masa de una estrella.
(a) Un fotón de frecuencia f posee una masa inercial efectiva m cuyo valor queda
determinado por su energía. Se puede suponer que su masa gravitacional es igual a su masa
inercial. En consecuencia, un fotón emitido desde la superficie de una estrella perderá
energía a medida que se aleje de ella hasta escapar de su campo gravitacional. Demostrar
que el cambio Δf en la frecuencia de un fotón cuando escapa desde la superficie de una
estrella hasta el infinito queda determinado por:
Δf
GM
=− 2
f
Rc
cuando Δf << f; en esta ecuación,
G = constante de gravitación universal.
R = radio de la estrella.
c = velocidad de la luz.
M = masa de la estrella.
En consecuencia, el corrimiento hacia el rojo de una determinada línea espectral, medido a
una gran distancia de la estrella, se puede utilizar para medir el cociente M/R. El
conocimiento de R permitiría calcular la masa de la estrella.
hΔν = GMhν/c2R, ya que la masa aparente del fotón es hν/c2.
(b) Para realizar un experimento, se lanza una nave espacial no tripulada para medir tanto la
masa M como el radio R de una estrella de nuestra galaxia. Conforme la nave se aproxima
(radialmente) hacia la estrella, se van detectando los fotones emitidos por átomos de helio
ionizado He+ en la superficie de la estrella, mediante la absorción resonante de ésta
radiación por iones de helio He+ que se encuentran en una cámara dentro de la nave. La
absorción resonante sólo se produce si a los iones He+ se les imprime una velocidad hacia
la estrella tal que compense exactamente sus corrimientos hacia el rojo. La velocidad (v =
βc) de los iones He+ respecto a la estrella se mide como una función de la distancia d a la
superficie más cercana de la estrella. En la siguiente tabla se muestran los datos
experimentales. Utilice estos datos para dibujar una gráfica, mediante la cual determine la
masa M y el radio R de la estrella.
Datos para la condición de resonancia.
Parámetro de velocidad
Distancia a la superficie
de la estrella
β=v/c (10-5)
d (108 m)
3.352 3.279 3.195 3.077 2.955
38.90 19.98 13.32 8.99 6.67
El cambio fraccional en la frecuencia al pasar de R a R + d es
ν − ν 0 GM ⎛ 1
1⎞
GMd
= 2 ⎜
− ⎟=− 2
ν0
c ⎝R + d R⎠
c R (R + d )
El cambio fraccional en la frecuencia por efecto dopler es
ν − ν0 u
=
ν0
c
en donde u es la rapidez que se le imprime a los iones de He+ y c es la rapidez de la luz.
Igualando los inversos de estas dos expresiones se obtiene
1 cR 2 1 cR
=
+
u GM d GM
Haciendo y = 1/u y x = 1/d y llamando m =cR2/GM y b = cR/GM se obtiene
y = mx + b
y de su gráfica se pueden obtener los valores de R y M.
y = 1/u
B
DATA1B
0.30
0.25
0.00
0.05
0.10
0.15
X = 1/d
(c) En la determinación de R y de M en un experimento de este tipo, es común considerar la
corrección a la frecuencia debida al recule del átomo emisor.
(i) Sea E la diferencia de energía entre dos niveles atómicos. Suponga que el
átomo en reposo decae energéticamente emitiendo un fotón en una cierta dirección
por lo que el átomo retrocede en sentido contrario. Obtenga la expresión para la
energía hf del fotón emitido en términos de E y de la masa m0 del átomo.
E = E2 - E1 + m0v2/2 = hv (conservación de energía)
m0v = hν/c (conservación de ímpetu)
por lo tanto
v = hν/m0c
y entonces hν = E + h2ν2/2m0c2.
(ii) A partir del resultado anterior, calcule el corrimiento en frecuencia (Δf/f)retro.
para el caso de los iones de He+. La respuesta que obtenga debe ser mucho menor
que el corrimiento gravitacional hacia el rojo que se obtuvo en la parte (b).
Como hν = E + h2ν2/2m0c2 = hν0+ h2ν2/2m0c2, el resultado es inmediato
h(ν – ν0) = h2ν2/2m0c2
Datos:
Velocidad de la luz
c = 3.0 x 108 m/s.
Energía en reposo del helio
m0c2 = 4 x 938 MeV.
Energía de Bohr
En = -13.6 Z2/n2 en eV.
Constante de gravitación universal
G = 6.7 x 10-11 Nm2 kg-2.