reglas de inferencia

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS
RESUMEN DE LAS LEYES DE INFERENCIA
9. Simplificación disyuntiva (SD)
p
p
q
1. Modus Ponendo Ponens (PP)
p
p
q
p
p
q
~q
~p
~p
~q
q
q
OTRAS LEYES LOGICAS DE APOYO
2. Modus tollendo tollens (TT)
p
q
~q
~p
p
q
10. Prueba del condicional
p
p
q
p
p
p q
~q
p
q
( q p)
p
o
p q
~p
q
p
7. ley de la adición (LA)
( premisa)
p q
8. Silogismo disyuntivo (DS)
q
r
s
r s
q
[(p q)
p
p q
r] [p
(q
r)]
15. Leyes de Morgan (DM)
(p q)
(p q)
6. Adjunción y simplificación
( premisa)
( premisa)
p q
q
14. Ley de exportación (LE)
( p)
p
Adjunción (A)
q
13. Ley del condicional
5. Doble negación (DN)
p
p
q
q
12. Ley de contraposición (contraria)
4. Tollendo ponens (TP)
p
(se anexa)
11. Ley de absorción (abs.)
q
r
r
p
q
q
se debe concluir
p
3. Silogismo hipotético (SH)
p
q
p
q
r
r
r
Simplificación (S)
p q
p
o
p q
q
p
q
q
p
16. Leyes conmutativas (LC)
(p
q)
(q
p)
(p
q)
(q
p)
17. Leyes asociativas (LA)
(p
q)
r
p
(q
r)
(p
q)
r
p
(q
r)
18. Leyes distributivas (LD)
p (q r) (p q) (p r)
p (q r) (p q) (p r)
Compilado por: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 1
DEDUCCIÓN PROPOSICIONAL
Con el manejo de unas pocas reglas empezamos a aprender el método de las deducciones formales. Es decir se
ha aprendido el camino preciso de demostrar que los razonamientos son válidos. Un razonamiento es
simplemente un conjunto de proposiciones dadas como premisas y una conclusión deducida de estas premisas.
Cuando se habla de válido se entiende que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas. Una deducción
formal es una serie de proposiciones o pasos en la cual cada paso es una premisa o está deducida directamente
de los pasos que la preceden por medio de una determinada regla.
Según lo Manifiesta Tinoco (2008) podemos comparar el proceso de deducción o inferencia con un juego
El conjunto de premisas constituye la posición inicial del juego
Las jugadas están dadas por las reglas de deducción que veremos seguidamente
La meta del juego consiste en llegar a la conclusión deseada
Al mismo tiempo Tinoco resalta las siguientes reglas
LAS CUATRO REGLAS DE LA DEDUCCION PROPOSICIONAL
1. REGLA P ( Regla de utilización de las premisas): Podemos utilizar una premisa en cualquier punto de
una deducción. En otras palabras podemos hacer uso de una premisa (de las dadas inicialmente) en el
momento en que la necesitemos
2. REGLA I (Regla de introducción de proposiciones). Podemos introducir una proposición en una
deducción, si ya esa proposición ha sido deducida lógicamente. Dicho de otra manera, una proposición
que ya haya sido deducida lógicamente, puede utilizarse como si fuera una premisa.
3. REGLA PC (Regla de prueba condicional): Si una conclusión es de la forma p→q, entonces podemos
anexar p al conjunto de premisas y concluir q
4. REGLA RAA (Regla de prueba por reducción al absurdo): Para demostrar que un conjunto de premisas
conduce lógicamente a una conclusión, podemos agregar la negación de la conclusión al conjunto de
premisas y obtener alguna contradicción
La deducción proposicionales hace apoyándose en las leyes de inferencia lógica, puede hacerse teniendo un
argumento en forma simbólica o en forma oracional. Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1: Dado el
1) e
2)
siguiente argumento simbólico deducir t
s
s
t
3) e
j
j
Demostración
1) e
2)
s
t
3) e
4) e
5) s
6) j
7) t
8) t
j
j
s
3.S
1,4PP
3.S
2 ,6TT
5 ,7 A
Compilado por: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 2
Ejemplo 2: Deducir t
1) ( p
2)
q)
(q
r
r)
3) s
p
4 )s
t
________
5) p
(q
r ) 1. Exp
6) p
2 ,5 TT
7) s
3,6 TP
8) t
4 ,7 PP
Ejemplo 3:
Si la ballena es un mamífero, entonces toma oxigeno del aire. Si toma su oxigeno del aire, entonces no
necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el océano. Por lo tanto no necesita branquias.
Lo primero que hay que hacer es identificar cada una de las proposiciones simples
p: La ballena es un mamífero
q: La ballena toma su oxigeno del aire
r: La ballena necesita branquias
s: La ballena habita en el océano
Se simboliza ahora el argumento
(Primera premisa)
p q
q
p
r
(Segunda premisa)
s
(Tercera premisa)
------------
r
(Conclusión)
Pero veamos el procedimiento lógico para llegar a esta conclusión, es decir, la deducción proposicional
q
1) p
2) q
r
3)
p
s
_______
4) P
5) q
6)
r
3.S
1,4 PP
2,5 PP
Ejemplo 3:
Si sigue lloviendo, entonces el río se crece.. Si sigue lloviendo y el río se crece, entonces el puente será
arrastrado por las aguas. Si la continuación de la lluvia hace que el puente sea arrastrado por las aguas, entonces
no será suficiente un solo camino para toda la ciudad. O bien un solo camino es suficiente para toda la ciudad o
bien los ingenieros han cometido un error. Por tanto, los ingenieros han cometido un error.
Simbolizando las proposiciones
c: continúa lloviendo
r: el río crece
p: el puente es arrastrado por las aguas
s: un solo camino es suficiente para toda la ciudad
Compilado por: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 3
e: los ingenieros han cometido un error
La prueba formal de validez es:
(Primera premisa)
c
r
2) (c r )
(segunda premisa)
p
3) (c
(Tercera premisa)
p)
s
4) s e
(cuarta premisa)
_________________
∴e
(conclusión)
Veamos como se llega a la conclusión
1) c
r
2) (c r )
p
3) (c
p)
s
4) s e
_____________
5) c → (c ∧ r)
1, Abs.
6) c → p
5,2, S.H.
7) ∼ s
8) e
3,6, P P.
4,7, TP.
Compilado por: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 4