Lógica II-6 Semántica.pptx

LÓGICA DE PREDICADOS
6. LA SEMÁNTICA DE PRIMER ORDEN
Juan Carlos León
Universidad de Murcia
Esquema del tema
6.1. Noción de interpretación de primer orden
  6.2. Las reglas de valoración semántica
 
1
Lógica de predicados
6. La semántica de primer orden
6.1. Noción de interpretación de primer orden
Interpretaciones intuitivas
 
Hasta ahora hemos interpretado las fbfs de forma
intuitiva. Por ejemplo, interpretando “Fxy” como “x
ama a y”, tendríamos
Fyx
  ∃x∀y Fxy
  ∀x∃y (Fyx ∧ ∀z Fyz)
  ∀x∃y
 
Todos son amados
Alguien ama a todos
Todos son amados por alguien
que ama a todos
Pero ahora hemos de plantearnos la teoría de las
posibles interpretaciones semánticas de una manera
más sistemática, más rigurosa y más formal
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Ejemplo
 
Para interpretar semánticamente las tres fbfs anteriores
tendremos que hacer dos cosas:
 
establecer un conjunto no vacío D como dominio (de individuos) al
cual remiten las variables “x”, “y” y “z” (al que se suele llamar
también el rango de las variables o el universo de discurso)
 
 
indicar el conjunto de pares ordenados de individuos del dominio
en que se supone que el primero ama al segundo
 
 
imaginemos que ese conjunto fuera {Ana, Juan, Pedro}
imaginemos que fuera {〈Juan, Ana〉, 〈Pedro, Ana〉, 〈Pedro, Juan〉, 〈Pedro,
Pedro〉}
Con esta interpretación las tres fbfs anteriores resultarían
verdaderas
¿Amor o números de DNI?
 
 
 
La cuestión crucial es que el valor de verdad de esas fbfs
complejas queda fijado en cuanto determinamos de qué pares
de individuos es verdadera la letra “F”; no importa nada qué es
lo que hace que “F” sea verdadera de ellos
Supongamos (como sería posible que ocurriera) que los pares de
individuos en los que el primer miembro amase al segundo
coincidieran con aquellos en los que el primero tuviese un número
de DNI que multiplicado por el del segundo diera como resultado
un número par
En tal caso, los valores de verdad de las tres fbfs anteriores
serían los mismos, sin importar cuál de esos dos modos de
identificar los pares hayamos usado
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Extensionalidad
Para determinar el valor de verdad de las fbfs en
que aparezcan símbolos como “F”, no necesitamos
saber en rigor cuál es el contenido significativo
exacto de “F” (la intensión del predicado)
  Es suficiente saber de qué pares de objetos resulta
ser verdadero “F” (la extensión del predicado)
  En lógica proposicional ocurría algo similar: para
determinar el valor de verdad de una fbf compleja,
sólo necesitábamos conocer el valor de verdad de las
letras proposicionales
 
Lógica y teoría del significado
 
 
 
La semántica de primer orden es radicalmente
extensional: no tiene en consideración los significados o
intensiones
Desde luego que amar a alguien es muy distinto del
hecho de tener un número de DNI que multiplicado por
el de la otra persona resultase ser par, pero eso es
irrelevante para determinar el valor de verdad de las
proposiciones expresables en lógica de primer orden
La lógica no puede agotar la explicación filosófica del
significado: es sólo una parte de ella
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Asignaciones básicas
 
 
En lógica proposicional, una interpretación semántica se limitaba
a asignar valores de verdad a las letras proposicionales
Una interpretación de primer orden es sensiblemente más
compleja. Las asignaciones básicas de que se compone son:
1)  Un dominio de objetos no vacío D, que se asigna como extensión a todos
los cuantificadores; o sea, D = I(∀x) = I(∃x) = I(∀y) = I(∃y) = …
2)  A las constantes k, les asignamos objetos I(k)
3)  A las letras predicativas n-ádicas P, conjuntos I(P) de n-tuplas de objetos
4)  A las letras funcionales n-ádicas f, funciones I(f) que asignen objetos
como valores de n-tuplas de objetos como argumentos
5)  A letras proposicionales p, valores de verdad I(p)
6)  I(=) es el conjunto de todos los pares 〈d, d〉, tales que d∈D
Aclaraciones: predicados y n-tuplas
 
Las 1-tuplas de objetos pueden considerarse sin más como esos
objetos. De esta forma, la extensión de las letras predicativas
monádicas será sencillamente el conjunto de los miembros de D
para los cuales la letra resulta verdadera
 
 
La interpretación no nos dice qué propiedad corresponde
(intensionalmente) a una letra monádica, sino cuál es el conjunto de
objetos que tienen esa propiedad
La extensión de una letra predicativa diádica (triádica, n-ádica)
será el conjunto de pares (triples, n-tuplas) de objetos para los
cuales la letra resulta verdadera
 
La interpretación no nos dice qué relación corresponde
(intensionalmente) a una letra diática (triádica, n-ádica), sino entre qué
conjunto de pares (triples, n-tuplas) de objetos se da la relación
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Aclaraciones: funciones n-ádicas
 
Una función monádica es una asignación de un objeto como valor
para cada uno de los posibles objetos que se tomen como
argumentos
 
 
En “fa”, por ejemplo, “a” designa el argumento de la función (el objeto
al que se aplica), y si “fa = b”, diremos que “b” (y también por supuesto
“fa”) designa el valor de la función (el objeto que resulta al aplicar la
función f al argumento a)
Una función diádica (triádica, n-ádica) es una asignación de un
objeto como valor para cada uno de los pares (triples, n-tuplas)
de objetos que tomemos como argumentos
 
En “fab”, por ejemplo, “a” y “b” designan los argumentos de la función
(los objetos a que se aplica), y si “fab = c”, diremos que “c” (y también
por supuesto “fab”) designa el valor de la función (el objeto que resulta
al aplicar la función f a los argumentos a y b, en ese orden)
La identidad y otras aclaraciones
 
El símbolo de identidad “=” se trata como un símbolo
predicativo especial, ya que su extensión queda
automáticamente determinada en cuanto se escoge un
dominio
 
 
La relación de identidad es la se da entre todos los pares de
objetos del dominio en los que el primero es el mismo que el
segundo
Por supuesto, si las fbfs cuyo valor de verdad nos interesa
determinar no contienen constantes, o letras predicativas, o
letras funcionales, o letras proposicionales, no necesitaremos
hacer algunas de las asignaciones (2), (3), (4) o (5) de las
que se compone una interpretación
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Lógica de predicados
6. La semántica de primer orden
6.2. Las reglas de valoración semántica
Términos compuestos
Regla (1): Si t es una letra funcional n-ádica f
seguida de los términos t1, …, tn, y si I(f) = φ,
entonces I(t) = φ(I(t1), …, I(tn))
  Los términos t1, …, tn pueden a su vez ser
compuestos; pero en tal caso tendrán
necesariamente un número de símbolos componentes
menor que el de t y finito. Luego, tras cierto número
finito de aplicaciones de esta regla, hemos de
llegar a un punto en el que los términos restantes
sean simples constantes
 
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Aclaraciones
La regla es difícil de enunciar con toda precisión y
generalidad
  Pero lo que dice en realidad es bien sencillo: para
calcular la extensión de un término compuesto
necesitamos saber cuál es la extensión del símbolo
funcional (que será una función), y cuáles son los
objetos que tienen como extensión los términos que
siguen a ese símbolo funcional
  Sólo hemos de aplicar entonces la función a esos
objetos para obtener su valor
 
Ejemplo de término compuesto
 
Calcular I(fagbfac) para la interpretación
  D
= {1, 2, 3, …} [los enteros positivos]
  I(a)=1; I(b)=2; I(c)=3
  I(f) = la función suma [x+y]
I(g) = la función producto [x·∙y]
I(fac)=1+3=4, aplicando la regla (1)
  I(gbfac)=2·∙4=8, por la regla (1)
  I(fagbfac)=1+8=9, por la regla (1)
 
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Fbfs atómicas compuestas
 
 
Regla (2): Si A es una fbf atómica compuesta de una letra
predicativa n-ádica P seguida de n términos t1, …, tn,
entonces I(A)=V sii la n-tupla 〈I(t1), …, I(tn)〉 ∈ I(P)
Aclaraciones:
1) 
2) 
La regla dice que para calcular si una fbf atómica compuesta
por una letra predicativa seguida de uno o más términos es
verdadera, necesitamos saber cuál es la extensión de cada uno
de esos términos y cuál es la extensión de la letra predicativa
Si la letra es monádica su extensión será un conjunto de objetos
(1-tuplas), y la fbf será verdadera sii el objeto correspondiente
al término que aparece tras la letra predicativa pertenece al
conjunto asignado como extensión a esa letra predicativa
Más aclaraciones
3) 
4) 
5) 
Si la letra es diádica, su extensión será un conjunto de
pares (2-tuplas), y la fbf será verdadera sii el par
correspondiente a los dos términos que figuran tras
esa letra predicativa pertenece a su extensión
Si la letra es triádica, su extensión será un conjunto
de tríos (3-tuplas), y la fbf será verdadera sii el trío
correspondiente a los tres términos que figuran tras
esa letra predicativa pertenece a su extensión
Y así sucesivamente
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Ejemplos de fbfs atómicas compuestas
 
Calcular I(Fab), I(Fba), y I(Fcb) para la interpretación
  D
= {Ana, Juan, Pedro}
  I(a) = Ana; I(b) = Juan; I(c) = Pedro
  I(F) = {〈Juan, Ana〉, 〈Pedro, Ana〉, 〈Pedro, Juan〉, 〈Pedro,
Pedro〉}
I(Fab)=F, por la regla (2) [ya que 〈Ana, Juan〉 ∉ I(F)]
  I(Fba)=V, por la regla (2) [ya que 〈Juan, Ana〉 ∈ I(F)]
  I(Fcb)=V, por la regla (2) [ya que 〈Pedro, Juan〉 ∈
I(F)]
 
Fbfs no atómicas
 
Podemos tener fbfs no atómicas compuestas de dos
maneras
  veritativo-funcionalmente
  cuantificacionalmente
Regla (3): si una fbf es de la forma ¬A, A ∧ B,
A ∨ B, A → B, o A ↔ B, se aplican las reglas de
la semántica veritativo-funcional
  Las reglas para fbfs cuantificadas requieren una
noción previa: la de variante nominal
 
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Variantes nominales
 
 
 
 
Una variante nominal Ik/d de una interpretación I es una
interpretación en todo igual a I excepto, si acaso, en que
asigna el objeto d∈D a la constante k (o sea, Ik/d(k)=d). Es
decir, difieren como máximo en lo asignado a un nombre
Aclaración: una variante nominal de una interpretación es la
misma interpretación original, cambiando tan sólo la extensión
de una constante (o sea, la referencia de un nombre)
Si ocurre que I(k)=d, entonces Ik/d(k)=d; o sea, toda
interpretación es una variante nominal de sí misma
Cuando una interpretación I no asigne nada a una constante k,
Ik/d extenderá la interpretación I asignando d a k
Fbfs cuantificadas universalmente
Regla (4): si A es una fbf en la que no aparece la
constante k, y es de la forma ∀v P(v), I(A)=V sii,
para toda variante nominal Ik/d de I, Ik/d(P(k))=V
(o sea, sii para todo objeto d∈D Ik/d(P(k))=V)
  Aclaración: para saber si es verdadera una fbf
universal, tomemos la fbf que sigue al cuantificador,
con una constante nueva en lugar de la variable. Si
cualquiera que sea el objeto asignado como
extensión a esa constante la fbf sin cuantificar es
verdadera, la fbf cuantificada también lo es
 
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Fbfs cuantificadas existencialmente
Regla (5): si A es una fbf en la que no aparece la
constante k, y es de la forma ∃v P(v), I(A)=V sii,
para alguna variante nominal Ik/d de I, Ik/d(P(k))=V (o
sea, sii para algún objeto d∈D Ik/d(P(k))=V)
  Aclaración: para saber si es verdadera una fbf
existencial, tomemos la fbf que sigue al cuantificador,
con una constante nueva en lugar de la variable. Si
con alguno de los objetos que podamos asignar como
extensión a esa constante la fbf sin cuantificar es
verdadera, la fbf cuantificada también lo es
 
Ejemplo de cuantificación universal
 
Calcular I(∀x(Fbx → x=a)) (Juan no ama a nadie más que a
Ana) para la interpretación
 
 
 
 
 
 
 
D = {Ana, Juan, Pedro}
I(a) = Ana; I(b) = Juan; I(c) = Pedro
I(F) = {〈Juan, Ana〉, 〈Pedro, Ana〉, 〈Pedro, Juan〉, 〈Pedro, Pedro〉}
Ic/Ana(Fbc)=V; Ic/Juan(Fbc)=F; Ic/Pedro(Fbc)=F; por la regla (2)
Ic/Ana(c=a)=V; Ic/Juan(c=a)=F; Ic/Pedro(c=a)=F; por la asignación
básica (6): en efecto, 〈Ana, Ana〉 ∈ I(=), pero 〈Juan, Ana〉 ∉ I(=)
y 〈Pedro, Ana〉 ∉ I(=)
Ic/Ana(Fbc → c=a)=V; Ic/Juan(Fbc → c=a)=V; Ic/Pedro(Fbc → c=a)=V;
por la regla (3)
I(∀x(Fbx → x=a))=V, por la regla (4)
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Ejemplo de cuantificación existencial
 
Calcular I(∃x fbc=gxfbc) para la interpretación
 
 
 
 
 
 
 
D = {1, 2, 3, …} [los enteros positivos]
I(a)=1; I(b)=2; I(c)=3
I(f) = la función suma [x+y]
I(g) = la función producto [x·∙y]
I(fbc)=2+3=5, por la regla (1)
Ia/1(gafbc)=1·∙5=5; Ia/2(gafbc)=2·∙5=10; Ia/3(gafbc)=3·∙5=15;
por la regla (1)
Ia/1(fbc=gafbc)=V; Ia/2(fbc=gafbc)=F; Ia/3(fbc=gafbc)=F; por
la asignación básica (6)
I(∃x fbc=gxfbc)=V, por la regla (5)
Variaciones de variaciones
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 
 
El proceso de variación nominal puede ser reiterado
Por ejemplo, Ik/d, j/e será una valoración igual a Ik/d excepto, si
acaso, en que Ik/d, j/e(j)=e (o sea, en que asigna el objeto e∈D
a la constante j). Por tanto, difiere de I como máximo en que
asigna d a k y e a j
La fbf “∃x∀y Fxy” será verdadera para una interpretación I
sii Ia/d(∀y Fay)=V para algún objeto d. Y esto, a su vez,
sucederá sii Ia/d, b/e(Fab)=V para algún d y para todo e
En nuestro ejemplo anterior, teníamos Ia/Pedro, b/Ana(Fab)=V,
Ia/Pedro, b/Juan(Fab)=V y Ia/Pedro, b/Pedro(Fab)=V. Luego, por la
regla (4), tenemos Ia/Pedro(∀y Fay)=V. Y entonces, por la regla
(5), se sigue que I(∃x∀y Fxy)=V
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