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Apellidos y nombre____________________________________________
TEORÍA
FORESTALES. CURSO 2010-2011. EXAMEN A2
MODELO A
Un disco de radio R gira en torno a su eje perpendicular fijo con aceleración angular α. Hallar las componentes
de la aceleración para un punto de su periferia en el instante en que su velocidad angular es ω.
PROBLEMA 1
Una esfera de radio R1 = 5 cm se encuentra en reposo en el
R2
R1
punto más alto de un plano inclinado de 10º cuya longitud es
L = 2 m. Otra esfera de radio R2 = 10 cm está situada
también en reposo justamente a la mitad del plano inclinado.
Si ambas esferas se liberan en el mismo instante y empiezan
a rodar sin deslizar desde el principio, se pide:
θ
(a) Razonar si la esfera pequeña llegará o no a alcanzar a la
esfera grande antes de que ésta llegue al final de la
pendiente.
(b) Calcular qué velocidad angular tendrá cada esfera cuando llegue al final de la pendiente..
(c) Calcular el momento angular respecto a su diámetro de cada esfera cuando llegue al final de la
pendiente. La masa de ambas esferas es la misma m = 250 g..
PROBLEMA 2
Una varilla delgada AB de 2 kg y longitud L = 250 mm está
C
θ
A
sujeta por un pasador en el punto A, de manera que forma un
L=
250
ángulo θ = 30º con la horizontal. El extremo B está sujeto
mm
mediante un cable vertical BC que pasa por la garganta de
B
una polea de la que cuelga un contrapeso m. Determinar:
(a) La masa m del contrapeso y las componentes de la reacción en A.
(b) Si el cable BC se parte, ¿cuál sería la aceleración angular inicial de la varilla?.
m
1
Apellidos y nombre____________________________________________
TEORÍA
FORESTALES. CURSO 2010-2011. EXAMEN A2
MODELO B
Un disco de radio R gira en torno a su eje perpendicular fijo con aceleración angular α. Hallar las componentes
de la aceleración para un punto de su periferia en el instante en que su velocidad angular es ω.
PROBLEMA 1
Una esfera de radio R1 = 4 cm se encuentra en reposo en el
R2
R1
punto más alto de un plano inclinado de 10º cuya longitud es
L = 2.5 m. Otra esfera de radio R2 = 8 cm está situada
también en reposo justamente a la mitad del plano inclinado.
Si ambas esferas se liberan en el mismo instante y empiezan
a rodar sin deslizar desde el principio, se pide:
θ
(a) Razonar si la esfera pequeña llegará o no a alcanzar a la
esfera grande antes de que ésta llegue al final de la
pendiente.
(b) Calcular qué velocidad angular tendrá cada esfera cuando llegue al final de la pendiente..
(c) Calcular el momento angular respecto a su diámetro de cada esfera cuando llegue al final de la
pendiente. La masa de ambas esferas es la misma m = 200 g.
PROBLEMA 2
Una varilla delgada AB de 1 kg y longitud L = 400 mm está
C
θ
A
sujeta por un pasador en el punto A, de manera que forma un
L=
400
ángulo θ = 30º con la horizontal. El extremo B está sujeto
mm
mediante un cable vertical BC que pasa por la garganta de
B
una polea de la que cuelga un contrapeso m. Determinar:
(a) La masa m del contrapeso y las componentes de la reacción en A.
(b) Si el cable BC se parte, ¿cuál sería la aceleración angular inicial de la varilla?.
m
2
PROBLEMA 1
Una esfera de radio R se encuentra en reposo en el punto
R2
R1
más alto de un plano inclinado de 10º cuya longitud es L.
Otra esfera de radio R2 está situada también en reposo
justamente a la mitad del plano inclinado. Si ambas esferas
se liberan en el mismo instante y empiezan a rodar sin
deslizar desde el principio, se pide:
θ
(a) Razonar si la esfera pequeña llegará o no a alcanzar a la
esfera grande antes de que ésta llegue al final de la
pendiente.
(b) Calcular qué velocidad angular tendrá cada esfera cuando llegue al final de la pendiente..
(c) Calcular el momento angular respecto a su diámetro de cada esfera cuando llegue al final de la
pendiente. La masa de ambas esferas es m.
a) Calculamos la aceleración de caída de un objeto que rueda sin deslizar en un plano inclinado
Traslación
F
O
α
R
d
a
θ
Punto
intermedio
cualquiera
Rotación
R ⋅ F = I 0 ⋅α
Rodadura
a =α ⋅R
θ
mg
mg ⋅ sin θ − F = m ⋅ a
El momento de inercia
puede escribirse como
mg ⋅ sin θ −
I0
⋅a = m⋅a
R2
I0 = C m R
2
F=
I 0 ⋅α I 0
= 2 ⋅a
R
R
a=
mg ⋅ sin θ
m + I0 / R2
C es el coeficiente de
inercia, que depende de
la simetría de la figura
3
PROBLEMA 1 (Cont.)
a) Continuación
a=
O
F
α
mg ⋅ sin θ g ⋅ sin θ
a=
=
1+ C
m + Cm
I0 = C m R2
R
d
mg ⋅ sin θ
m + I0 / R2
Para una esfera homogénea C = 2/5
a
θ
Es decir, la aceleración de caída
depende de la simetría del objeto
rodante, y no de masa ni radio.
Para las dos esferas de este problema a = g ⋅ sin θ = 5 g ⋅ sin θ
1+ 2 / 5 7
la aceleración de caída es la misma:
θ
mg
Puesto que las dos esferas parten del reposo y tienen la misma aceleración de
caída, la que se encuentra por delante llegará antes al final del plano inclinado.
b) Velocidad angular de cada esfera al final de la pendiente.
Las esferas caen partiendo del reposo
con la misma aceleración a; esto nos
permite calcular las velocidades de
sus CM al final del plano inclinado
R2
R1
v1 = 2 a L =
L/2
θ
10 L
g ⋅ sin θ
7
5L
v2 = 2 a ( L / 2 ) =
g ⋅ sin θ
7
Velocidades angulares al final del plano inclinado
ω1 =
v1
1 10 L
=
g ⋅ sin θ
R1 R1
7
ω2 =
v2
1
=
R2 R2
5L
g ⋅ sin θ
7
Resultados numéricos
A
9,8
0,05
B
9,8
0,04
0,10
2,00
10
0,4
0,1745
0,08
2,50
10
0,4
0,1745
a (m.s-2) =
1,22
1,22
v1 (m/s) =
2,21
2,47
v2 (m/s) =
1,56
1,74
ω1 (rad/s) =
44,10
ω2 (rad/s) =
15,59
-2
g (m.s ) =
R1 (m) =
R2 (m) =
L (m) =
θ (º) =
C (esfera) =
θ (rad) =
4
61,63
21,79
PROBLEMA 1 (Cont.)
c) Momento angular
2
m ⋅ R 12
5
2
I 2 = m ⋅ R 22
5
I1 =
⎛2
⎞
L1 = ⎜ m ⋅ R 12 ⎟ ω1
⎝5
⎠
⎛2
⎞
L2 = ⎜ m ⋅ R 22 ⎟ ω 2
⎝5
⎠
-2
g (m.s ) =
R1 (m) =
A
9,8
0,05
B
9,8
0,04
m (kg) =
I1 (kg.m2) =
2
A
0,25
B
0,20
2,50E-04
1,28E-04
5,12E-04
R2 (m) =
0,10
0,08
I2 (kg.m ) =
1,00E-03
L (m) =
θ (º) =
2,00
2,50
ω1 (rad/s) =
44,10
61,63
10
10
ω2 (rad/s) =
15,59
21,79
C (esfera) =
θ (rad) =
0,4
0,4
L1 (J.s) =
1,10E-02
7,89E-03
0,1745
0,1745
L2 (J.s) =
1,56E-02
1,12E-02
PROBLEMA 2
Una varilla delgada AB de masa M y longitud L está sujeta
A
por un pasador en el punto A, de manera que forma un
ángulo θ = 30º con la horizontal. El extremo B está sujeto
mediante un cable vertical BC que pasa por la garganta de
una polea de la que cuelga un contrapeso m. Determinar:
(a) La masa m del contrapeso y las componentes de la reacción en A.
θ
C
L
m
B
(b) Si el cable BC se parte, ¿cuál sería la aceleración angular inicial de la varilla?.
5
PROBLEMA 2
(a) Calcular la masa m del contrapeso y las componentes de la reacción en A.
DSL contrapeso
RAY
θ
A
C
DSL de la varilla
30º
A
L
L/2
B
m
Mg
Equilibrio de rotación
C
T
90º
60º
B
T
30º
Mg
L
T=
= mg
⋅ Mg ⋅ sin 60º − L ⋅ T ⋅ sin 120º = 0
2
2
Mg
No hay componente horizontal,
sin 120º = sin 60º
M
T=
todas las fuerzas son verticales
m=
2
2
Equilibrio de fuerzas en el eje vertical
∑ FY = RAY + T − Mg = 0
∑τ A =
M
⎛
RAY = Mg − T = ⎜ M −
2
⎝
M g
⎞
⎟g =
2
⎠
m
mg
L (m) =
g (m.s-2) =
M (kg) =
θ (º) =
A
0,25
9,8
2
30
B
0,4
9,8
1
30
T (N) =
m (kg) =
RAY (N) =
9,8
1
9,8
4,9
0,5
6
4,9
PROBLEMA 2 (Cont.)
(b) Si el cable BC se parte, ¿cuál sería la aceleración angular inicial de la varilla?.
Si se parte el cable, la varilla ya no estará en equilibrio porque la tensión T desaparece.
Entonces el momento del peso respecto al punto A hace girar la varilla.
A partir de la 2ª ley de Newton para la rotación
A
∑τ A =
L/2
60º
Mg
α=
L
⋅ Mg ⋅ sin 60º = I A α
2
L
⋅ Mg ⋅ sin 60º
2 IA
α=
donde I A =
3g
⋅ sin 60º
2L
IA (kg.m ) =
A
4,17E-02
B
5,33E-02
α (rad.s-2) =
50,92
18,38
2
1
M L2
3
7