AT/K v

Pub . Mat . UAB
Nó 19 Maig 1980
Actas II Congreso de Ecuaciones Diferenciales y
Aplicaciones-Valldoreix, Mayo 1979 .
INESTABILIDAD HIDRODINAMICA Y TEORIA
DE LANDAU DE LAS TRANSICIONES DE FASE
FUERA DE EQUILIBRIO
J .C . ANTORANZ( + )y M .G. VEIA RDE( x)
+~ Departamento de Física Fundamental,
UNED, Ciudad Universitaria, Madrid
(x) Departamento de Física de Fluidos,
UAM, Cantoblanco, Madrid
Una capa de fluido calentada por abajo permanecerá
en reposo si el gradiente de temperatura impuesto entre
las placas que contienen dicho fluido es menor que un cier
to valor critico, /l/usualmente expresado en función del
número de Rayleigh, definido por :
R
= C. q d3 AT/ K
v
donde g es la aceleración de la gravedad, pi es el coeficiente de expansión térmica volumétrica, d es la distancia
entre placas,
eT
es la diferencia de temperatura entre pla
cas, K es la difusividad (o conductividad termométrica y -1
es la viscosidad cinemática .
Cuando se excede del gradiente critico de temperatura,
puede ser observado un movimiento espontáneo aunque ordena do, de forma que se pueden distinguir distintos modelos de
estructuras convectivas 6 celdas regulares . Estas estructu
ras dependen por un lado de la forma del contenedor, y por
otro de propiedades del fluido ..
La inestabilidad puede ser explicada por medio de ra
zonamientos cualitativos . Cuando el sistema es monocomponente, y calentamos por abajo, se producirá primero un gradiente lineal de temperatura, siendo mayor la temperatura en la
placa inferior que en la superior ; ello da lugar a que la
densidad junto a la placa superior sea mayor que en la infe
rior, lo que es mecánicamente inestable y de ahi la tenden.
cia hacia el movimiento para establecer un estado estable
Esta tendencia al movimiento es frenada por la viscosidad
del sistema ; asi pues, hasta que el gradiente de temperatura no alcanza un valor crítico, las fuerzas viscosas recupe
radoras acabarán con cualquier intento de convección . Por
otro lado la difusividad térmica es asimismo un mecanismo de
igua.laci6n de las temperaturas y por tanto estabilizador del
régimen de reposo inicial, ayudando a la viscosidad en su
"frenado" de la convección .
Cuando el sistema es bicomponente, un sencillo análisis permite notar la importancia de un nuevo parámetro
llamado coeficiente de Soret,
S
/2,3/, que es por un lado
el cociente adimensional entre la termodifusi6n y la difusividad térmica ; y por otro,y más importante .,la .razón entre la expansión volumétrica por variación de la fracción
másica de la mezcla y la expansión volumétrica térmica . Es
te coeficiente de Soret,
cuando es
positivo indicará por
convenio que la componente más densa migra hacia la pared
más fría ; siendo negativo en caso contrario .
1
Asi,
cuando S > O, y calentamos por abajo,
el sis
tema tenderá a comportarse como en el caso monocomponente,
pero como la
componente más densa del sistema tiende a ir
a la placa superior, aumentando así aparentemente el gradien
te de densidad media entre las placas, el sistema tendrá ten
dencia a ser mecánicamente inestable para un valor menor del
número de Rayleigh critico que en elcaso de un fluido puro .
Cuando, por el contrario, S <0 existirá oposición
entre el efecto Soret (componente más densa marcha hacia la
pared inferior y el efecto de la flotación (debido a la expansi6n térmica) : los dos distintos componentes del gradien
te de densidad no van en el mismo sentido . Y de ahí -la pos¡
bilidad que cabe esperar de sobreestabilidad (overshooting)
7
del estado de "equilibrio" (reposo) ; vense para mayores detalles . /3/.
Las ecuaciones que nos dan la evolución del sistema son las ecuaciones de continuidad y las del balance de
la energía, .momento y fracción másica, junto con las ecuacio
nes de estado térmico y mecánico :
1
N +~! .N= Dv N1 +N NzD1 pT(1 .a)
2
-at
9 ~ X~
~ ~-
~`
óx~
iT+Y~ T- Kv 2 T
S
_><A -T+ó ANí)
S (,i
donde v j es la j-componente del campo de velocidad, D' es
él coeficiente de difusión térmica, D es el coeficiente de
difusión, Niy N2 son las fracciones másicas de los componentes ¡yy # 2 /1 ( e10 111 lo tomaremos como el más denso) . T es la
temperatura, pK es la densidad evaluada .a una temperatura T
y una fracción másica Ni ; F i es la fuerza exterior (Fi= - g
~,= ( 0 , 0 ,l))e
gradiente, c~
y
es el operador
ti
son respectivamente los coeficientes de
p
es la presión,
expansión térmica y másica,
Nos limitaremos a estudiar un modelo bidimensional (x,z),
es decir reemplazando la capa horizontal por una
sóla lámina, lo que es razonablemente una buena primera apro
ximacidn porque sabemos por los experimentos que si hay conveccidn ésta suele empezar como anillos paralelos a uno de
los ejes ( esto no seria válido si hubiese exágonos) . Así
el estudio de perturbaciones
( arbitrarias) sobre el estado
1
de reposo,. después de adimensionalizar el conjunto de ecuaciones /3/,
e introduciendo '1' como la función de corriente
/4/ definida por :
se reduce a :
T
n V 2W-1 -V 2 ]
(3 .b)
donde P es el número de Prandtl, S es el coeficiente de Soret, r p es el niímero de Lewis y J (f,g) denota el . Jacobiano
definido como :
Para simplificar consideraremos que las condiciones de
contorno para el sistema son paredes libres, conductoras y per
meables ; esto es :
El mínimo esquema, para una descripción relevante
del problema en una geometría bidimensional, se reduce a la
siguiente aproximación en cinco modos 9 / lb,
~. Aí
iT kT = A3
2
lo
= A5
Sen,-w
1L
C4STT'kx
caS-W
kx
41
sea -ir-¿
sen~n -a-
42
A,
S e% -21Tg
Ser%
2 Tf a
donde k es el número de onda para el
comienzo de la
inestabilidad convectiva,'
Teniendo en cuenta las condiciones de contorno
y substituyendo en las ecuaciones obtenemos el siguiente
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias/5/ .
.0
P
-(
Az=zA,
Rk(A3+S,)-~1Trk
~)
A3
-
4
As
A2
-n-z (1 + kz)A 3 -
A3 - -Wk A1
'
4w
_
~. ~---
± A A5
=~T2(1+k'),rp
(7)
A1 A2
(A .Z - A
4/
(A3 -A,)- AsA4 --TrkA,
Resulta que (6) y (7) extienden el modelo de Lorenz al
problema de Bénard de dos componentes (Véase por ejemplo
Aparte de la solución trivial Ai - 0 los estados es
>
tacionarios convectivos de (7) vienen dados por las soluciones de la siguiente ecuaci6n cuártica
Á1+
Az
1
- 4 (1+ pA)
2~ rr
4
R
9
(8>
64
~a,
-T ®
%-+ TT
L4
-
R S +1 + S/~- ) = o
C
D
Asimismo, dichas soluciones . Al, pueden ser con
consideradas como los puntos extremos (máximos y mínimos)
de la siguiente función potencial de Landau /l .b, 6/
_
ro
/(o
, ,
4
~ A~
2~
¢ pa~
4 C1
9
-¢- 3 2-T
3
'JD
A1-2
~IT4 --
~S
-R
1+
(9)
5
/S)
Para (8) y (9) se predice la existencia de una
linea de transición
de primer orden (o de inestabilidad
subcritica) en la región donde es de esperar según el aná
lisis lineal de las ecuaciones (1) un estado de sobreesta
bilidad /3/ . Como esta linea de primer orden está por debajo de la rama de sobrestabilidad /1,4/, la capa de
fluido saldr :ra de un estado sin movimiento bien vía una
excitaci6n de amplitud finita (modo duro ) 6 bien vía un
modo de oscilación transitorio cuya amplitud crece expo
nencialmente hasta alcanzar la amplitud finita del esta
do estacionario convectivo final . Es de esperar que la
transición presente fenómenos de históresis y de metaestabilidad, De hecho estas predicciones ya enunciadas en
/2,a/ están en buen acuerdo con algunos datos experimen
12
tales /2/ y no necesariamente en desacuerdo con las observaciones hechas en /7/ . Parece difícil de aceptar,
sin embargo, que oscilaciones lineales (sobreestabilidad)
puedan ser mantenidas largo tiempo en un experimento de
Rayleigh-Bén .ard ya que deben pertenecer a una rama metaes
table .
Por otro lado y de acuerdo con
Pes /2,3/ hay,
por supuesto, ramas de
estudios anterio
tr-ansici6n continua
(bifurcación ordinaria 6 transición de segundo orden con
modo blando y el empal.me de una rama de primer orden con
otra de segundo orden es precisamente un punto tricrítico
(véase figura l) . La acción de un campo externo suplementario ( por ejemplo magnético si las partículas de la com
ponente "1" fuesen magnetizables permitirla visualizar
las superficies de coexistencia de dos fases . El punto
tricrítico es aquel en tres diferentes fases coexisten y
se hacen "iguales" .
Transiciones
de primer orden pueden asimismo con-
seguirse si la capa fluida se
pone en rotación (por ejem
plo alrededor de un eje vertical, véase 181)6 bien intro
duciendo efectos tales como la dependencia del coeficiente de difusión en la fracción másicay/9/ .
Fenómenos análogos .a los anteriores han sido descritos en metaimanes y mezclas de He4y He 3 /10,11/ y en
el funcionamiento del láser /12/, En estos últimos casos
un potencial del tipo (9) describe bien el problema .
Hemos visto, pues, como las inestabilidades hidródina=
micas pueden ser descritas mediante la teoría de Landau /1/,
cuya formulación coincide con la de catástrofes .
Este trabajo se ha beneficiado de la ayuda económica
del Instituto de Estudios Nucleares, por lo que estamos
muy agradecidos a dicho organismo .
v
O O
v
c0
REFERENCIAS
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