MODELO DEPREDADOR-PRESA (Lotka-volterra)

UNIVERSIDAD DE ORIENTE
UNIDAD DE CURSOS BASICOS
AREA DE MATEMATICA
MODELO DEPREDADOR-PRESA
(Lotka-volterra)
PROF.CRISTIAN CASTILLO
MATEMATICAS IV
INTEGRANTES:
*ESCOBAR, LUISANA
*RAMOS, ANA TERESA
*SALAZAR, MARIA
*SANCHEZ, CARMINE
MODELO DEPREDADOR-PRESA
(Lotka-volterra)
EL PROBLEMA DEPREDADOR-PRESA: UN PROBLEMA EN ECOLOGÍA
Hay muchas situaciones en la naturaleza donde una especie animal se alimenta
de otra, la cual a su vez se alimenta de otras cosas, ejemplo:
Los zorros se alimentan de conejos, los cuales a su vez se alimentan de
zanahorias. En este caso los zorros se denominan depredadores y los conejos serán
las presas.
Teóricamente, el depredador puede destruir toda la presa, de modo que esta
última llegue a extinguirse. Sin embargo, si esto ocurre esta también se extinguirá,
puesto que depende de la presa para su existencia.
De esta forma se desarrolla un ciclo en el cual la presa puede ser abundante y los
depredadores pocos, y luego, debido a la abundancia de presa, la población de
depredadores aumenta, disminuyendo la primera, y el ciclo continua.
GRAFICA DEL MODELO
Un problema importante en la ecología es investigar la cuestión de
coexistencia de las dos especies, y decidir lo que debería hacer la
humanidad, si algo puede, para preservar el balance ecológico.
Para responder esto y otras cuestiones relacionadas, es natural buscar
una formulación matemática de este problema DEPREDADORPRESA.
FORMULACIÓN MATEMÁTICA
Asumamos la siguiente notación:
X = Número de presas en cualquier tiempo t.
Y = Número de depredadores en cualquier tiempo t.
Si no hubieran depredadores:
Similarmente, si no hubiera presa:
Ambas ecuaciones deben modificarse de manera de que exista
interacción entre las especies y para ello se incluye un término de
interacción que dependa de x y y, quedando:
Ecuación para el número de presas:
Ecuación para el número de depredadores:
Este sistema no se puede resolver en términos de funciones
elementales, puesto que, para la solución del mismo es necesario
emplear METODOS NUMERICOS o programas matemáticos.
Sin embargo esta afirmación no es válida cuando X(t)=0 y Y(t)=0.
EJEMPLO
Suponga que el sistema de ecuaciones diferenciales describen un
modelo particular del depredador (y) y de la presa(x).Determinar la
solución y la gráfica:
Debido a que solo podemos resolver las ecuaciones cuando x=0 y
y=0, se desprecian los segundos términos de las ecuaciones, quedando
las mismas:
Acomodando las ecuaciones nos quedan dos ecuaciones
homogéneas:
Soluciones