Teorıa atómica de Platón En Timaeus, escrito alrededor de 350

o
Bolet
n N.
20
Octubre, 1999.
Teorı́a atómica de Platón
En Timaeus, escrito alrededor de 350 antes de nuestra era, Platón expuso su teorı́a sobre los cuatro elementos que formaban el mundo: fuego, aire, agua
y tierra. Indicó que cada uno de estos elementos
eran pequeños sólidos pegados unos con otros y
agregó que como el mundo sólo podı́a estar formado de cuerpos perfectos, esos cuerpos deberı́an tener la forma de un sólido regular. El más ligero y
punzante de todos los elementos, el fuego, deberı́a
ser el tetraedro. Como el más estable de los elementos es la tierra, deberı́a estar formada de cubos. Al
ser el más móvil de todos y el más fluido, el agua
deberı́a tiene que ser un icosaedro, el sólido regular que rueda más fácilmente. Respecto al fuego,
Platón observó lo siguiente: “ : : : el aire es al agua
como el agua es a la tierra”, y concluye misteriosamente que el aire debe de estar formado de octaedros. Y finalmente, como hay un quinto sólido regular (son cinco los sólidos regulares), propuso que
el dodecaedro representarı́a la forma del universo.
Como se puede ver, toda esta teorı́a elaborada por
Platón es caprichosa y extravagante. Sin embargo
esta teorı́a se tomó en serio durante muchos años,
e incluso en los siglos XVI y XVII se seguı́a creyendo
parcialmente en esta teorı́a. Los siguientes dibujos
son ilustraciones de la teorı́a atómica de Platón que
hizo el mismo Kepler.
Carlos Bosch
Teorı́a planetaria de Kepler
2
o
Octubre de 1999
Bolet
n N.
20
De manera más cientı́fica que Platón, Kepler tam- lenguaje es el de las matemáticas)).
bién sugirió que los poliedros regulares jugaban
un papel importante en el Universo. En esa época habı́a seis planetas conocidos: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. Influenciado por la teorı́a del movimiento de los planetas de Copérnico, Kepler trató encontrar relaciones
numéricas que explicaran la razón por la que habı́a
exactamente seis planetas y por qué estaban a esas
distancias del sol. Eventualmente decidió que la explicación no era numérica sino geométrica. Eran
exactamente seis planetas pues la distancia entre
pares adyacentes debı́a estar conectada por un sólido regular, y éstos son cinco.
Después de cierta experimentación encontró un
arreglo de los sólidos regulares metiendo cada uno
dentro de una esfera, las esferas unas dentro de
otras y cada planeta tenı́a su órbita en cada una de
las esferas. La esfera exterior correspondı́a a Saturno y contenı́a un cubo inscrito, en ese cubo estaba la esfera donde se encontraba la órbita de Júpiter, dentro de la cual se encontraba un tetraedro reCarlos Bosch
gular. Dentro del tetraedro, una esfera que circunscribı́a a la órbita de Marte. Dentro de ésta, un dodecaedro, circunscrito a la esfera dentro de la cual
se encontraba la órbita de la Tierra. Y ası́, dentro de
Las Olimpı́adas en el salón de clase
ésta, un icosaedro regular, otra esfera, la órbita de
Venus, y finalmente un octaedro regular y dentro Un aspecto importante en la resolución de probleuna esfera y dentro de ella la órbita de Mercurio.
mas es la identificación de las caracterı́sticas esKepler se sentı́a muy satisfecho de su explicación, tructurales del problema, que son esenciales para
sin embargo no tiene sentido alguno. Primero, la su resolución, y aquellas superficiales, que podrı́an
correspondencia entre las esferas y las órbitas de modificarse sin alterar la naturaleza del problema.
los planetas no es correcta, Kepler mismo reco- Consideremos el siguiente problema que aparelectó datos que hacı́an ver que la órbita de los pla- ció en la última Olimpı́ada de Mayo:
netas no eran cı́rculos, por lo que trató de ajustar En cada escalón de una escalera de 10 peldaños hay
su modelo haciendo que las esferas tuvieran cier- una rana. Cada una de ellas puede, de un salto, coto espesor. Por otro lado, después de Kepler se des- locarse en otro escalón, pero cuando lo hace, al miscubrieron otros planetas. Desde el punto de vista mo tiempo, otra rana saltará la misma cantidad de
moderno es difı́cil entender que dos gigantes, inte- escalones en sentido opuesto: una sube y otra baja.
lectualmente hablando, como Platón y Kepler, ha- ¿Conseguirán las ranas colocarse todas juntas en un
yan armado teorı́as tan poco sólidas para explicar mismo escalón?
el Universo. ¿Qué les llevó a buscar una relación con Solución: Puesto que lo que sube una rana lo balos sólidos regulares?
ja otra, la suma (de todos los escalones) del númeAmbos fueron a buscar esas relaciones ya que ro de cada escalón por el número de ranas que hay
tenı́an la misma creencia que los cientı́ficos actua- en ese escalón es invariante. Al inicio esta suma es
les: los patrones y el orden en el mundo se pue- 1 +
+ 10 = 55 y si las 10 ranas estuvieran en un
de describir con las matemáticas. En esa época, la mismo escalón la suma serı́a 10 el número del esgeometrı́a euclidiana era la rama de las matemáti- calón. Este producto tiene que ser diferente de 55,
cas más desarrollada y dentro de ésta los poliedros que no es múltiplo de 10, por lo que es imposible
o sólidos regulares ocupaban un lugar privilegiado. que se junten en un solo escalón.
Ası́ que aunque la teorı́a de Kepler no pueda ser sos- Se puede presentar la versión de este problema en
tenida, era una teorı́a en su concepción extremada- diversos contextos:
mente elegante y que iba en la lı́nea de su tiempo.
Basta citar aquı́ a Galileo: ((El gran libro de la natu- Tenemos 10 platos numerados del 1 al 10 y cada
raleza puede ser leı́do únicamente por aquellos que plato contiene una canica. Una jugada consiste en
conocen el lenguaje en el que ha sido escrito, y este seleccionar una canica y moverla a un plato con un
número mayor y, para completar la jugada se debe
o
Bolet
n N.
20
3
Octubre de 1999
mover otra canica de un plato de numeración mayor a otro de numeración menor de manera que la
diferencia en ambos casos sea la misma, por ejemplo una canica pasa del plato 2 al plato 5 (diferencia
de 5 2 = 3) y se completa la jugada pasando otra
canica del plato 10 al plato 7 (diferencia de 10 7).
¿Es posible, mediante una sucesión de jugadas, lograr que todas las canicas estén en un solo plato?
Una tercera versión del problema: tenemos los
números del 1 al 10. En una jugada se deben modificar dos números, a uno le sumamos un número
de modo que el resultado siga siendo un número
del 1 al 10 y al otro número le restamos la misma
cantidad de modo que el resultado sea también un
1+4 = 5y
número del 1 al 10, por ejemplo, 1
7
7
4 = 3. ¿Es posible, mediante una sucesión de jugadas, lograr que al final tengamos todos
los números iguales?
j j j j.
3.
Si a divide a b, entonces b
4.
El factorial de un número natural n denotado
por n! es igual al producto de todos los números naturales menores o iguales que n, es de(n
1)
n.
cir n! = 1 2 3
= 0
o
a
b
Teorema: El conjunto de los números primos es infinito.
La demostración de Euclides es la siguiente:
Supongamos que hay un número finito de primos,
digamos N y que éstos son p1 ; p2 ; : : : ; pN , esto es,
estamos suponiendo que estos son todos los números primos. Consideremos el número M = p1
p2
pN + 1. Por el segundo resultado sobre primos y enteros citado arriba, existe al menos
un n úmero primo p que divide a M . Como estamos
suponiendo que p1 ; p2 ; : : : ; pN , son todos los
La estructura de los tres problemas es idéntica,
n
úmeros
primos, entonces p debe ser igual a uno
cambian los contextos. La versión de las ranas impi , por comodidad y sin pérdida de generalide
los
plica un contexto diferente al problema de las canicas en los platos y no es fácil que un estudiante en- dad podemos pensar que p = p1 . Como p divide a
cuentre la analogı́a entre ambos. La tercera versión, M y p divide a cualquier múltiplo de p, debe divipN y por lo tanto a la diferencia
con un contexto más abstracto (los números del 1 dir a p p2
M
p1
p2
pN con lo cual llegamos a que
al 10) es posible que evoque en los estudiantes el
p divide a uno, lo cual es una contradicción; por lo
concepto de promedio (media aritmética) debido
a la compensación que se opera en la transforma- tanto p debe ser un nuevo número primo distinto
ción de los números y que busque el invariante en de los demás, lo que contradice nuestra suposición
de que p1 ; p2 ; : : : ; pN eran todos, de aquı́ que hay
la media de los números.
un número infinito de primos.
Iñaqui de Olaizola Si analizamos esta demostración, encontramos un
algoritmo para, dado un conjunto de primos, encontrar al menos un nuevo primo. Este algoritmo
dice que multipliquemos todos los números priPrimos Primoriales
mos que tenemos y le sumemos uno: p1 p2
Una de las más conocidas demostraciones de que el pN + 1. Este nuevo número tiene otro primo distinnúmero de primos es infinito es la de Euclides. En to de p1 ; p2 ; : : : ; pN que lo divide. Si empezamos
esta demostración no sólo se demuestra la infinitud con los primeros números primos y hacemos una
de los primos sino que además se desarrolla un al- tabla, obtenemos:
!
!
goritmo para encontrar nuevos primos a partir de
un conjunto de primos dado. Aquı́ revisaremos esta demostración y además veremos nuevos tipos de
números, los llamados primos primoriales, denotados por p# + 1 y los primos factoriales p! + 1.
Para entender la demostración de Euclides, recordemos algunos resultados sobre números enteros y
números primos.
1.
2
2
3
2+1 = 3
(que es primo)
(que es primo)
2
3+1 = 7
2
3
5 + 1 = 31
3
5
7 + 1 = 211
5
7
(que es primo)
(que es primo)
11 + 1 = 2311
(que es primo)
Hasta aquı́ podrı́amos pensar que este procediUn número natural p mayor que uno es pri- miento nos va a dar siempre números primos pero
mo si y sólo si sus únicos divisores positivos si analizamos el siguiente paso, tenemos:
son 1 y p; o equivalentemente, si p = a b,
a; b
p, entonces a = p o a = 1,
con 1
2
3
5
7
11
13 + 1 = 30 031 = 59
509
es decir p es irreducible.
2. Dado cualquier número natural a > 1, existe
al menos un número primo p tal que p divide
a a.
Este número ya no es primo ya que 59 y 509 lo dividen, pero obtenemos 59 y 509 que son dos primos que no estaban en el conjunto de primos que
4
o
Octubre de 1999
f
g
tenı́amos: 2; 3; 5; 7; 11; 13 . Es muy común que
los alumnos piensen que este algoritmo siempre
produce números primos (ver los primeros 5 casos), lo cual no siempre es cierto y de hecho muy
pocas veces es cierto.
Si denotamos por p# + 1 al producto de todos los
números primos menores o iguales que p más 1, tenemos que hasta la fecha se sabe que:
p#+1 es primo para p = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019,
2657, 3229, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029
y 42209.
También se pueden analizar los números de la forma p# 1, de los que se sabe:
p#
1 es primo para p = 3, 5, 11, 13, 41, 89, 317,
991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033
y 15877.
Si ahora copiamos esta idea de multiplicar todos los
primos menores o iguales que un número y consideramos el producto de todos los números menores o iguales que el número dado (el factorial del
nú mero), hasta la fecha se sabe que n! + 1 es primo para n =1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116,154,
1 es primo para
320, 340, 1477 y 6380 y que n!
n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 38, 94, 166, 324, 379,
469, 546, 974, 1963, 3507, 3610 y 6917.
Bolet
n N.
20
mismo pentágono. Demostrar que
b
a
a
b
= 1
Q
a
b
P
T
R
S
Otro problema, de la ronda final de una competencia de secundarias canadienses (British Columbia Colleges Jr. High School Mathematics Contest,
1998):
Cuatro enteros positivos suman 125. Si el primero
de estos números es aumentado en 4, el segundo
disminuido en 4, el tercero es multiplicado por 4
Por último, si lo que queremos es encontar nuevos y el cuarto es dividido entre 4, se obtienen cuatro
primos siguiendo estrictamente el algoritmo de ir números iguales. ¿Cuáles eran los números originaconstruyendo nuevos primos a partir de un primer les?
primo y de los nuevos que vayamos encontrando,
iniciando con el 2, tendrı́amos que:
El Boletn del Concurso de Primavera para Maestros es
con obtenemos a
una publicación mensual de la Academia Mexica2 3
na de Ciencias, A.C. para maestros de Matemáticas.
2y3 7
El objetivo de este Boletn es publicar artı́culos so2,3, y 7 43
bre distintos temas que sean útiles para promover
2,3,7, y 43 13 y 139
el interés por las Matemáticas en el salón de clase
2,3,7,43,13 y 139 3 263 443
y, sobre todo, difundir entre los maestros materiaComo podemos observar, crece muy rápido por lo les y textos que sirvan de apoyo para la preparación
que podemos concluir que no es una buena técnica de los alumnos interesados en participar en el Concurso de Primavera y de aquellos seleccionados papara encontar nuevos primos.
ra participar en la Olimpiada de Mayo.
Javier Alfaro
Para suscribirte a este Bolet
n, que se distribuye de
manera gratuita, env
a tus datos a la Academia Mexi-
Problemas
Un problema, tomado de la revista Crux Mathematicorum :
Sea a la longitud de un lado del pentágono regular P QRST , y sea b la longitud de una diagonal del
cana de Ciencias al fax n
umero 55 50 03 89, con atenci
on a la Srita. Carmen Quintanar, o llama al tel
efono
55 50 62 78.
Esperamos tus comentarios y sugerencias por fax al
55 50 03 89 o por correo electrónico a la dirección:
[email protected]