1. Números. Inducción. Teorema del binomio. Divisibilidad.

TEORÍA DE NÚMEROS. HOJA 1.
NÚMEROS. INDUCCIÓN. TEOREMA DEL BINOMIO. DIVISIVILIDAD.
Se dice que un conjunto X, con una relación de orden ≤, está bien ordenado si todo subconjunto A no vacío de X posee un primer (o menor) elemento (es decir, existe a0 ∈ A tal que
a0 ≤ a para todo a ∈ A).
El conjunto N de los números naturales, con la relación de orden habitual, está bien ordenado.
Sin embargo, R (con la relación de orden habitual) no lo está (como tampoco lo están ni Z ni
Q).
1. Razonando por reducción al absurdo, probar el principio de inducción a partir de la suposición de que N está bien ordenado.
2. Demostrar por inducción las siguientes fórmulas:
a) 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)
2
b) 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2
2
c) 13 + 23 + ... + n3 = n(n+1)
.
2
3. Probar que el cubo de cualquier entero puede escribirse como diferencia de dos cuadrados
de números enteros.
4. Probar que 2 · 6 · 10 · 14 · ... · (4n − 2) =
(2n)!
.
n!
5. Probar que 2n (n!)2 ≤ (2n)!.
6. Probar que si 1 + a > 0 entonces (1 + a)n ≥ 1 + na (desigualdad de Bernouilli).
7. Probar que
(2n)!
2n n!
es un número natural para todo n ∈ N.
Recordemos la definición del número combinatorio
n
n!
=
k
k!(n − k)!
para cualesquiera n, k ∈ N.
8. Probar la regla de Pascal:
n
n+1
n
+
=
.
k
k−1
k
Indicación: partiendo de la igualdad
1
1
n+1
+
=
,
k n−k+1
k(n − k + 1)
multiplicar ambos miembros por
n!
(k−1)!(n−k)! .
9. Deducir que en el triángulo de Pascal el número
n-ésima fila.
n
k
aparece en el (k + 1)-ésimo lugar de la
10. Teorema del binomio. Probar que
n
(a + b) =
n X
n
k=0
k
an−k bk
para todo a, b ∈ R, n ∈ N.
Indicación: usar inducción.
11. Identidad de Newton. Probar que
n k
n n−r
=
k
r
r
k−r
para n ≥ k ≥ r ≥ 0.
Probar las siguientes fórmulas:
n
12. nk = n−k+1
si n ≥ k ≥ 1
k
k−1
13. n0 + n1 + ... + nn = 2n
14. n1 + 2 n2 + 3 n3 + ... + n nn = n2n−1
Indicación: aplicar el teorema del binomio a n(1 + b)n−1 , después poner b = 1 y observar que n
n
k+1
n−1
k
=
(k + 1)
.
n
15. nr = r+1
si y sólo si n es impar y r =
1·3·...·(2n−1) 2n
16. Probar que 2n
= 2·4·...·2n 2 .
n
17. 2n < 2n
< 22n para n ≥ 1.
n
n−1
.
2
Indicación: tomar x = 2 · 4 · ... · (2n), y = 1 · 3 · ... · (2n − 1), z = 1 · 2 · 3 · ... · n, ver que x > y > z y así
2
x > xy > xz.
18. Teorema (algoritmo de la división). Para todos a, b ∈ Z con b > 0, existen q, r ∈ Z
únicos números con las propiedades de que
a = qb + r, y 0 ≤ r < b.
A q se le llama cociente y a r resto de la división de a por b.
Indicación: Considerar el conjunto S = {a − xb : x ∈ Z, a − xb ≥ 0}. Probar que S es no vacío, aplicar
el principio de buena ordenación de N para encontrar r, su primer elemento . Después probar que r < b y
establecer la unicidad de r y q.
19. Demostrar que el resultado anterior sigue siendo válido para b ∈ Z con b 6= 0.
Indicación: Aplicar el teorema anterior con |b| en lugar de b.
20. Dar dos definiciones equivalentes de número par. Y lo mismo para impar.
21. Probar que el cuadrado de cualquier entero impar es de la forma 8k + 1, con k ∈ Z.
Indicación: por el teorema anterior, todo n ∈ Z puede escribirse en alguna de las formas 4q, 4q + 1, 4q + 2 o
4q + 3 para algún q ∈ Z. Elevar al cuadrado las expresiones impares.
Como se ve en el ejercicio anterior, una de las ventajas del algoritmo de la división es que
nos permite probar enunciados acerca de todos los números enteros considerando solamente un
número finito de casos (correspondientes, en general, a restos de la división por algún número
fijo).
22. Probar que todo cuadrado puede escribirse en la forma 3k o 3k + 1.
23. Probar que todo cubo puede escribirse en de la forma 9k, 9k + 1 o 9k + 8. Y también de la
forma 7k o 7k ± 1.
24. Probar que para todo n ∈ Z, n4 puede escribirse de la forma 5k o 5k + 1.
25. Probar que 3a2 − 1 nunca es un cuadrado perfecto.
26. Probar que ninguno de los números
11, 111, 1111, 11111, ...
es un cuadrado perfecto.
27. Definición. Sean a, b ∈ Z. Se dice que b es divisible por a 6= 0 si existe c ∈ Z tal que
b = ac. Es decir, si el resto de la división de b por a es cero. En este caso denotaremos a | b.
También diremos que b es múltiplo de a. En caso contrario denotaremos a | b.
28. Proposición. Para todos a, b, c ∈ Z, probar lo siguiente:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
a | 0, 1 | a, a | a.
a | 1 ⇐⇒ a = ±1.
a | b, c | d =⇒ ac | bd.
a | b, b | c =⇒ a | c.
a | b, b | a ⇐⇒ a = ±b.
a | b, b 6= 0 =⇒ |a| ≤ |b|.
a | b, a | c =⇒ a | (bx + cy) ∀x, y ∈ Z.
P
a | bi , 1 ≤ i ≤ n =⇒ a | ni=1 bi xi .