TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
Sean X1 , X2 , ..., Xn variables aleatorias continuas
• independientes
• igualmente distribuidas
• con media y varianza finitas
Definamos la variable Yn =
n
X
Xj y sea Z =
j=1
Yn −my
2
σy , donde my = E[Yn ] y σy = V ar[Yn ].
Entonces, independientemente de la distribución de las variables Xj , se verifica que
2
1
lı́m fZ (z) = √ e−z /2 ,
n→∞
2π
−∞ < Z < ∞
Demostración
Obviamente, E[Z] = 0 y V ar[Z] = 1. Calculemos la función caracterı́stica, CZ (s) de la variable
aleatoria Z.
Y −m
CZ (s) = E[eisZ ] = E[e
Como Yn =
n
X
is
n
y
σy
]
(1)
Xj se verifica que E[Yn ] = nmx y, al ser las variables Xj independientes,
j=1
V ar[Yn ] = nV ar[X]. Operando en (1)
h
is
CZ (s) = E e
P¡
¢
Xj −mx
√
nσx
i
h √is
=E e n
P¡
Xj −mx
σx
¢
i
=E
n
hY
e
is Xj −mx
√
σx
n
i
=
j=1
n
Y
h √is Xj −mx i
E e n σx
j=1
ya que las variable Xj son independientes entre si. Como además todas las variables Xj tienen la
misma función de densidad,
n h √is Xj −mx ion n h √is ion
W
CZ (s) = E e n σx
= E e n
donde W =
X−mx
σx
siendo X una cualquiera de las variables Xj .
Desarrollemos ahora e
e
is
√
W
n
is
√
W
n
en serie de Taylor alrededor del punto Wo = 0.
is
W 2 i2 s2 W 3 i3 s3 √isn ξ
√ e
=1+W√ +
+
,
2 n
3! n n
n
ξ ∈ (−∞, ∞)
Tomando ahora esperanzas matemáticas y observando que E[W ] = 0 y V ar[W ] = 1 obtenemos
h √is i
1 h i3 s3 W 3 √isn ξ i
Rn
s2
s2
W
√
E e n
− E
−
=1−
e
=1−
2n n
2n
n
6 n
Por tanto
h
s2
Rn in
CZ (s) = 1 −
−
2n
n
Tomando ahora lı́mites, y recordando que lı́m Rn = 0,
n→∞
h
Rn in
s2
lı́m CZ (s) = lı́m 1 −
−
n→∞
n→∞
2n
n
Puede demostrarse (ver por ejemplo Loève, 1976) que
h i3 s3 W 3 √is i
ξ
√
lı́m Rn = lı́m E
e n =0
n→∞
n→∞
6 n
Y por consiguiente
h
h
s2
s2 in
s2 /2 in
lı́m CZ (s) = lı́m 1 −
= lı́m 1 −
= e− 2
n→∞
n→∞
n→∞
2n
n
A partir de aquı́, vamos a calcular la función de densidad de Z (en el lı́mite). Recordando que la
relación entre la función caracterı́stica y la función de densidad es
1
fX (x) =
2π
Z
∞
−∞
e−itx CX (t) dt
obtenemos
1
fZ (z) =
2π
Z
1
=
2π
∞
−isz
e
e
−∞
"Z
1
=
π
∞
2
− s2
e
2
− s2
1
ds =
2π
Z
∞
s2
e− 2 [cos(−sz) + isen(−sz)] ds =
−∞
Z
cos(sz) ds − i lı́m
s2
e− 2 cos(sz) ds =
0
#
a
a→∞ −a
−∞
Z
∞
e
2
− s2
sen(sz) ds =
−z 2
−z 2
1 1√
1
2π e 2 = √
e 2
π2
2π
Luego
−z 2
1
fZ (z) = √
e 2 ,
2π
Obsérvese que como Z =
lineal se obtiene
Yn −my
σy ,
en el lı́mite Z =
1
1
fY (y) = √
e− 2
σ 2π
Z ∈ (−∞, ∞)
Y −m
σ ,
¡ y−m ¢2
σ
,
c.q.d
y operando sencillamente en esta relación
Y ∈ (−∞, ∞)
que es la usualmente denominada distribución normal con media m y desviación tı́pica σ
REFERENCIA
Loève, M., Teorı́a de la Probabilidad, Editorial Tecnos, Madrid, 1976