1 4. MODELOS DE LINEAS DE ESPERA Objetivo: El estudiante

Universidad Autónoma de Guadalajara
4. MODELOS DE LINEAS DE ESPERA
4.1. Características generales
lo que hace a las colas un área interesante y desafiante. En la figura
se muestra un sistema típico de colas.
Objetivo: El estudiante evaluará los criterios de decisión en las
líneas de espera, examinando el proceso de llegada para poblaciones
sencillas o múltiples de unidades finita, infinita o de volumen,
generados en procesos de espera determinísticos o probabilísticos,
dependientes o independientes; las disciplinas de las líneas de
espera
4.1. Características generales
Introducción.
Parte de nuestra vida diaria es esperara algún servicio. Esperamos
para entrar a un restaurante, “hacemos cola” para entrar a un
espectáculo y nos “formamos” para recibir un servicio.
Los clientes llegan a una o más instalaciones de servicio. Si otras
personas ya están esperando, según el tipo de servicio, los clientes
que acaban de llegar esperarían su turno para ser atendidos por el
siguiente servidor disponible y saldrían del sistema cuando terminen
sus operaciones.
Hacemos cola para esperar nuestro turno en bancos, supermercados,
estéticas, casetas de pago en autopistas, y restaurantes. La
programación de los aterrizajes de los aeroplanos en una pista
específica es un problema de colas: piense que los aeroplanos en el
aire son clientes que esperan ser atendidos, y la pista es el servidor.
Los sistemas de tráfico telefónico son ejemplos de redes complejas
de colas. Las llamadas telefónicas se en rutan a través de los
sistemas de distribución, donde hacen cola hasta que son desviados
ya sea a la siguiente estación de distribución o bien a su destino
final. En efecto, fue A. K. Erlang, un ingeniero de telefonía danés,
el responsable de muchos de los primeros desarrollos teóricos en el
área de las colas.
Los problemas de colas son comunes en la administración de las
operaciones. En el contexto de las manufacturas, el ambiente de
taller puede considerarse una compleja red interrelacionada de colas.
A medida que los trabajos terminan de realizarse en un centro, éstos
hacen cola para ser procesados en el centro siguiente. Si la
programación en un ambiente de taller se asume como un problema
dinámico en lugar de uno estático, deben hallarse las tasas de flujo y
otras medidas usando los resultados de la teoría de colas.
La teoría de colas es el estudio de los procesos de línea de espera.
Una cola (queue) es la versión británica de la línea de espera
norteamericana (waiting line). Virtualmente todos los resultados de
la teoría de colas suponen que tanto los procesos de llegada como
de servicio son aleatorios. Es la interacción entre estos dos procesos
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
Los problemas de colas se presentan con mucha frecuencia en los
sistemas de servicios. Cada uno de nosotros experimenta colas en los
sistemas de servicios todos los días. De hecho, según Michael
Fortino, de Priority Management en Pittsburgh, la mayoría de las
personas pasan aproximadamente cinco años de su vida haciendo
colas y seis meses esperando en los semáforos (Chicago Tribune, 21
de junio, 1988).
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¿Por qué estudiar líneas de espera?
Este estudio de las líneas de espera trata de cuantificar un fenómeno
de esperar, tomando medidas relevantes de eficiencia como longitud
promedio de la fila, tiempo de espera en la fila y uso promedio de
las instalaciones.
A continuación se muestra una gráfica de un modelo de decisión de
diseño de líneas de espera basado en costos.
4.1. Características generales
más de una llegada a la vez (lo que se conoce en las colas como
llegadas por lote).
La variable que consideraremos para las llegadas será la letra lamda:
λ = número promedio de llegadas al sistema/ unidad de tiempo
(velocidad de llegadas)
2.
Proceso del servicio. Se distingue por la distribución del
tiempo requerido para servir a un cliente. Nuevamente, el caso más
fácil de analizar se presenta cuando la distribución de los tiempos de
servicio es exponencial. Otras distribuciones dan lugar a modelos de
colas más complejos.
En el caso del proceso de servicio usaremos la variable miu:
µ = número promedio de entidades que se atienden en el sistema /
unidad de tiempo. (velocidad de atención del servidor).
Aspectos estructurales de modelos de colas
1.
Proceso de llegada. Describe las llegadas de los clientes al
sistema y se caracteriza por la distribución de los tiempos entre
llegadas. El caso más simple es cuando se trata de una sola llegada a
la vez, de manera completamente aleatoria. Esto da lugar a una
distribución exponencial para los tiempos entre llegadas. Otras
posibilidades incluyen las distribuciones generales entre llegadas o
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
3.
Disciplina de servicio. Ésta es la regla mediante la cual se
sirve a los clientes en la cola. La mayoría de los problemas de colas
que se presentan en los sistemas de servicio son del tipo primeras
llegadas, primeras salidas (FCFS). Generalmente consideramos a
esta regla como “justa”. Sin embargo, también son comunes otras
disciplinas de servicio. Cuando compramos leche, podemos verificar
las fechas en los envases de cartón y elegir la que tenga la fecha de
caducidad más lejana. Si consideramos que la leche es la cola, esto
significa que la disciplina de servicio es del tipo último en llegar,
primero en salir (LCFS). Las salas de emergencia de los hospitales
darán prioridad a los pacientes cuya vida está en peligro —tales
como los traumatismos ocasionados en un accidente
automovilístico— por sobre aquéllos con problemas menos graves.
Esto se denominaría una disciplina de servicio por prioridad.
4.
Capacidad de la cola. En algunos casos, el tamaño de la cola
puede estar limitado. Por ejemplo, los restaurantes y las salas de cine
pueden alojar solamente a un número determinado de clientes. Desde
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4.1. Características generales
un punto de vista matemático, la hipótesis más simple es que el
tamaño de la cola sea ilimitado. Aun si la capacidad es finita, es
razonable ignorar dicha restricción si es poco probable que la cola
se sature.
5.
Número de servidores. Las colas pueden ser atendidas por
un solo servidor o por servidores múltiples. Este último caso es
común en los bancos: los clientes forman una sola cola y son
atendidos por el siguiente servidor disponible. En contraste, el área
de despacho de un supermercado típico no es una cola con
servidores múltiples. Como un comprador debe formarse en una
sola cola específica, éste es un sistema paralelo de colas con un solo
servidor (posiblemente dependiente). Otro ejemplo de una cola con
servidores múltiples sería el área de aterrizaje del aeropuerto; los
aeroplanos pueden despegar o aterrizar en una de varias pistas.
6.
Estructura de la red. Se forma una red de colas cuando la
salida de una da pie a la entrada de otra cola. La mayoría de los
procesos de manufactura generalmente es un tipo de red de colas.
Los sistemas de carreteras y los sistemas de distribución telefónica
son otros ejemplos. Estas estructuras con frecuencia son demasiado
complejas como para analizarlas matemáticamente.
Sistema de un sólo canal con multifase
Llegadas
Salida
Servidor 1
Fila
Servidor 2
Fila
Sistema multicanal con una sola fase
Servidor 1
Llegadas
Salida
Fila
Servidor 2
Sistema multicanal, multifase
Llegadas
Salidas
Servidor
Servidor
Servidor
Servidor
Configuración: consiste en identificar la cantidad de servidores y el
número de etapas o fases de servicio por las que tiene que pasar una
entidad. En este tema se analizarán las configuraciones de un sólo
canal y multicanal (ambos con una sola fase). La configuración de
los mismos y otras configuraciones adicionales se representa
gráficamente de la siguiente manera:
Sistema de un sólo canal con una sola fase
Llegadas
Servidor
Salida
Fila
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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4.1. Características generales
Distribución de tiempos de servicio: al igual que las llegadas al
sistema, los tiempos en que las entidades son atendidas dentro del
sistema tienden a ser independientes una de la otra y aleatorias, por
lo que es común que se representen con una distribución de
probabilidad.
Para los modelos de líneas de espera a analizar en este tema la
notación Kendall será de la siguiente manera:
1. Modelo de un sólo canal (M / M / 1).
2. Modelo de canales múltiples (M / M / m).
3. Modelo de tiempo de servicio constante (M / D / 1).
Importante: en la teoría de colas también puede encontrarse que los
tiempos de servicio son constantes, los cuales se pueden encontrar
en procesos automatizados. Dicha variante la veremos como último
modelo de análisis en este tema.
Ejercicios: Para cada uno de los casos siguientes identifique:
a) El cliente.
b) El servidor.
c) Naturaleza de la fuente (finita o infinita)
d) Naturaleza de los clientes (individualmente o de grupo)
e) Tiempo entre llegadas (determinística o probabilística)
f) Tiempo de servicio (determinística o probabilística)
g) Capacidad de la cola (finita o infinita)
h) Disciplina de la cola.
Notación Kendall
Todos los sistemas de líneas de espera pueden ser representados de
manera más sencilla mediante el uso de la notación desarrollada por
A. G. Kendall, la cual tiene el propósito de representar mediante
tres caracteres el tipo de sistema a analizar.
La notación Kendall se representa de la siguiente manera:
Distribución de Llegadas / Distribución de tiempos de Servicio /
Número de servidores
Donde:
La Distribución de Llegadas puede ser:
M = distribución de llegadas de tipo Poisson
D = distribución de llegadas es constante
G = distribución de llegadas general con varianza y media
conocidas
La Distribución de tiempos de Servicio puede ser:
M = distribución de tiempos de servicio de tipo Exponencial
D = distribución de tiempos de servicio es constante
G = distribución de tiempos de servicio general con varianza y
media conocidas
CASOS:
1) Aviones que llegan a un aeropuerto
2) Bases de taxis donde éstos esperan a que lleguen pasajeros
3) Verificación de las herramientas en un almacén en un área de
maquinado
4) Cartas procesadas en una oficina de correos
5) Inscripción a las clases en una universidad
6) Juicios en una corte
7) Funcionamiento de las cajas en un supermercado
8) Funcionamiento de un estacionamiento
Puede resolver este ejercicio usando el siguiente archivo
de EXCEL:
http://marcelrzmuvm.webatu.com/TeoriaLineasEspera/EjercicioIdentificarCaracteristicas.xls
El Número de servidores puede tomar valores de 1, 2, 3,…m
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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Dentro de teoría de colas tenemos dos variables importantes: lamda
y miu tiene los siguientes significados:
λ = número promedio de llegadas al sistema/ unidad de tiempo
(velocidad de llegadas)
4.1. Características generales
3.
Inciso A) µ= 5 clientes/hora y 1/µ=0.2 horas/cliente
Inciso B) µ= 8 clientes/hora y 1/µ =0.125 horas/cliente
Inciso C) µ = 10 clientes/hora y 1/µ =0.1 horas/cliente
Inciso D) µ = 3.333 clientes/hora y 1/µ =0.3 horas/cliente
µ = número promedio de entidades que se atienden en el sistema /
unidad de tiempo. (velocidad de atención del servidor).
Cuestionario.
1.- Explique lo que se entiende por la frecuencia de llegadas λ y el
tiempo promedio entre llegadas. ¿Cuáles son las unidades de cada
variable?
2.- En cada caso siguiente determine la frecuencia promedio de
llegadas por hora λ y el tiempo promedio de llegadas en horas.
a) Una llegada cada 10 minutos
b) Dos llegadas cada 6 minutos
c) La cantidad de llegadas en un periodo de 30 minutos es 10.
d) El intervalo promedio entre dos llegadas sucesivas es de 0.5
horas.
3.- En cada uno de los casos determine la frecuencia promedio de
servicio por hora µ y el tiempo promedio de servicio en horas.
a) Se termina un servicio cada 12 minutos.
b) Hay dos salidas cada 15 minutos.
c) La cantidad de clientes atendidos en 30 minutos es de 5
d) El tiempo promedio de servicio es de 0.3 horas.
RESPUESTAS:
1.
λ representa cuantos clientes llegan sobre una unidad de tiempo; por ejemplo 4
clientes/ hora. Las unidades son precisamente clientes/hora. El inverso de
lambda 1/λ representa cuanto tiempo transcurre para que llegue un cliente.
2.
Inciso A) 1/λ= 0.1667 horas/cliente y λ=6 clientes/hora
Inciso B) 1/λ= 0.05 horas/cliente y λ=20 clientes/hora
Inciso C) 1/λ= 0.05 horas/cliente y λ=20 clientes/hora
Inciso D) 1/λ= 0.25 horas/cliente y λ=4 clientes/hora
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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Variables aleatorias
Variable. Cantidad que cambia su valor a lo largo de un problema.
Variable aleatoria. Cantidad que cambia su valor siguiendo las
reglas de la probabilidad.
Variable aleatoria continua. Las variables continuas pueden tomar
cualquier valor entre dos valores cualesquiera; por ejemplo el peso
de una persona 83.45kg o el tiempo de un servicio 4.67minutos; en
otras palabras pueden tomar valores fraccionarios.
Variable aleatoria discreta. Las variables discretas pueden tomar
solo valores enteros; ejemplo de una variable aleatoria discreta es el
resultado de lanzar un dado (1, 2, 3, 4, 5 y 6).
Uso de la distribución poisson (usado para las llegadas de los
clientes)
Las condiciones para usar la distribución poisson en las ecuaciones
de filas de espera son las siguientes.
1. Orden. En cualquier instante a lo más un cliente llegará a las
instalaciones de servicio.
2. Estacionalidad. Para un marco de tiempo dado la
probabilidad de que un cliente llegue dentro de cierto
intervalo de tiempo es igual para el resto de los intervalos de
la misma duración.
3. Independencia. Los clientes llegan independientemente uno
del otro, la llegada de uno no afecta la probabilidad de
llegada de otro cliente.
4.1. Características generales
Si estamos dispuestos a que nuestro modelo acepte estas
condiciones, podemos ocupar la siguiente ecuación para el proceso
de llegadas poisson:
λ x e −λ
p(x) =
x!
Dónde:
λ = Ritmo o velocidad promedio de llegadas por cada unidad
de tiempo.
e = constante (2.7182818… valor irracional)
x! = x*(x-1)*(x-2)* … (3)*(2)*(1)
x = cantidad de clientes; 0, 1, 2, etc.
En caso de que se requiera la probabilidad acumulada, la ecuación se
transforma en lo siguiente:
x
λ x e −λ
P(x) = ∑
x!
k =0
Las funciones anteriores están en EXCEL y en las versiones 2007 se
encuentra como POISSON.DIST y en 2010 solo como POISSON.
Considerando que:
λ = número promedio de llegadas al sistema/ unidad de tiempo
(velocidad de llegadas)
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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Ejercicio: Los clientes llegan a una ferretería Hanks de acuerdo con
la distribución poisson. La tienda abre a las 8:00am y los martes
llegan en promedio 6 clientes entre las 8:00am y 9:00am. Hank fue
a una fiesta el lunes por la noche y desea dormir media hora extra el
martes, y está preocupado porque si abre media hora tarde podría
perder demasiadas ventas. Por lo tanto desea conocer la
probabilidad de que 0, 1, 2, 3.. etc clientes lleguen entre 8:00 y
8:30am.
A continuación se muestra como se realiza en EXCEL
Puede abrir el objeto de EXCEL insertado a
continuación si tiene el archivo en WORD.
k
0
1
2
3
4
5
mas de 5
p(x=k)
5.0%
14.9%
22.4%
22.4%
16.8%
10.1%
8.4%
Uso de la distribución poisson.
http://www.youtube.com/watch?v=-miuOV0fdj0
Ejercicio: Realice un histograma para K con valores entre 0 y 11;
comente su comportamiento, tanto para la función de densidad
como la acumulada.
a) ¿La función de densidad es una distribución simétrica?
b) ¿Cuál es el valor más elevado en la función de densidad?
c) Revise donde queda el 50% de probabilidad de llegada en la
función de probabilidad acumulada y comente sus
conclusiones.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
4.1. Características generales
Uso de la distribución exponencial (usado para la velocidad del
servicio).
Puesto que se usa el mismo tiempo promedio de servicio para
despachar una taza de café, una máquina expendedora; el tiempo de
servicio puede modelarse con una distribución constante (si este
valor es prácticamente el mismo para todos los clientes). En caso de
que los tiempos de servicio sean aleatorios con una media conocida,
se puede usar la distribución exponencial.
Recordando que:
µ = número promedio de entidades que se atienden en el sistema /
unidad de tiempo. (Velocidad de atención del servidor).
La distribución exponencial está dada por la función acumulada F(t):
F(t) = 1 − e − µt
Indica la probabilidad de que el servicio esté
terminado en un tiempo determinado
Y la función de densidad está dada por:
f(t) = µe − µt
A esta ecuación se le llama distribución exponencial. Depende del
único parámetro µ, que representa una tasa de ocurrencia o de
atención al cliente.
Esta función se usa tanto en teoría de líneas de espera como en tasa
de fallas de componentes.
Ambas funciones se encuentran disponibles en EXCEL
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4.1. Características generales
Ejemplo: Hank estima que tarda un promedio de cuatro minutos en
atender a cada cliente, y los tiempos de servicio siguen una función
exponencial, Hank tiene una cita importante para comer, de modo
que desea hallar la probabilidad de que le tome menos de tres
minutos en atender al siguiente cliente.
A continuación se muestra la sintaxis usada por EXCEL para el
cálculo de la distribución exponencial.
A continuación se muestra como se realiza en EXCEL
Puede abrir el objeto de EXCEL insertado a
continuación (SOLO si tiene el archivo en WORD).
1/μ=
4 minutos/cliente
Tiempo que tarda un cliente en
llegar
μ=
0.25 clientes/minuto
Velocidad a la que llegan los clientes
P(t<
3 min) =
RESPUESTA
52.8%
Uso de la distribución exponencial.
http://www.youtube.com/watch?v=tRD0NN-iY8Q
Propiedad sin memoria de la distribución exponencial y
poisson.
Una de las propiedades de las distribuciones de probabilidad vistas
es que no tienen memoria, es decir, no se obtiene más información
de probabilidad si se espera más tiempo tanto las llegadas como el
servicio; dado que cada llegada y cada servicio atendido es
independiente de todos los anteriores.
Esta propiedad de las distribuciones sin memoria se les conoce
como MARKOVIANAS.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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