Práctica 5: Método de Newton

Práctica 5:
Método de Newton
Se utiliza, entre otras cosas, para resolver ecuaciones de una variable de la forma
f x  0
siendo f una función derivable.
Supongamos que tenemos una raíz  de esta ecuación, es decir f   0. Entonces,
en líneas generales, se puede construir una sucesión de puntos
x0 , x1 , x2 , x3 ... ... ... ....
de manera que su límite es la raíz . El punto x0 puede elegirse con cierta libertad.
Deben darse una serie de condiciones teóricas para que esto se verifique,
condiciones que suelen darse si se toman ciertas medidas de precaución. No obstante no hay una
total seguridad del método. Aún cumpliéndose dichas condiciones no queda asegurada
la convergencia. La precaución que debemos tener es básicamente que la elección
del punto inicial x0 esté próxima a la raíz. Para cerciorarnos de ello podemos utilizar
el Teorema de Bolzano puede aplicarse porque f es continua para encontrar un intervalo
razonablemente pequeño cuyos extremos tomen signos contrarios en la función. Así :
Hallaremos a  b cercanos entre sí tales que f a y f b tengan signos contrarios.
Después elegiremos x0 en dicho intervalo.
La construcción de la sucesión se basa en la idea geométrica
de que cada xn se halla intersectando la recta tangente a la curva
y  f x en xn1 con el eje 0 X. La fórmula que se obtiene es la siguiente :
xn  xn1 
f xn1 
f ' xn1 
f x0 
Hallamos la intersección de la recta tangente en x0 a dicha curva con el eje OX y determinamos x1 .
x1  x0 
f ' x0 
Hallamos la intersección de la recta tangente en x1 a dicha curva con el eje OX y determinamos x2 .
f x1 
x2  x1 
f ' x1 
Hallamos la intersección de la recta tangente en x2 a dicha curva con el eje OX y determinamos x3 .
f x2 
x3  x2 
f ' x2 
Y así sucesivamente. Para hacer los cálculos lo más cómodo
es definir una función para realizar las iteraciones. Si escribimos
g x  x 
f x
f ' x
tendremos que para cada n se tiene que
xn  g xn1 
2
practica-newton.nb
Otra cuestión que puede condicionar la convergencia es que haya
una raíz de f ' cerca de  o que el propio  sea raíz también d e f '. Esto
se debe que el denominador puede ser próximo a 0.
Una gráfica de la función nos puede facilitar la visualización de
esta cuestión y saber si estamos ante una de éstas situaciones. La
gráfica sirve además para tener una aproximación visual de la raíz.
Ejemplo 1 :
Obtengamos, de modo aproximado, la raíz de la ecuación
x3  3 x  6  0
Definimos la función
fx_  x ^ 3  3 x  6
6  3 x  x3
En primer lugar vamos a representar la gráfica cada vez con un "zoom" mayor
Plotfx, x,  5, 5
150
100
50
-4
-2
2
4
-50
-100
 Graphics 
Plotfx, x,  3, 0
5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
-5
-10
-15
-20
-25
-30
 Graphics 
practica-newton.nb
Plotfx, x,  2,  1
2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-2
-4
-6
-8
 Graphics 
Y observamos que la raíz está entre  1.4 y  1.2
Definimos la función para realizar las iteraciones
gx_  x  fx  f 'x
x
6  3 x  x3
3  3 x2
Así, si elegimos, por ejemplo,
x0   1.4
 1.4
tendremos que
x1  gx0 
 1.29369
x2  gx1 
 1.28793
x3  gx2 
 1.28791
3
4
practica-newton.nb
x4  gx3 
 1.28791
Y vemos que ya a partir de este momento no varían con estos decimales las
iteraciones. Esto nos dice que éste es el valor aproximado de la raíz alfa.
El comando FindRoot
Dicho comando sirve para calcular directamente la
solución de una ecuación por el método de Newton. Su formulación es
FindRootecuacion, variable, valorinicial
En nuestro ejemplo anterior pondríamos así :
FindRootx ^ 3  3 x  6  0, x,  1.4
x   1.28791
Y, como vemos, nos sale nuestra raíz.
Nota :
No se ha probado pero del enunciado se desprende que estar raíz es la única de la ecuación,
lo cual puede verse de modo sencillo observando que la derivada de la función es 3 x2  3
y por tanto no se anula en ningún punto.
Ejemplo 2
Utilizando el método de Newton vamos a obtener la solución positiva de la ecuación
ex
En primer lugar definimos
f1x_  1  Cosx  E ^ x
1  x  Cosx
Y la representamos en el intervalo  5, 5
1  cosx 
practica-newton.nb
Plotf1x, x,  5, 5
-4
-2
2
4
-2
-4
-6
 Graphics 
para observar que tiene alguna raíz positiva. Si la representamos ahora en 0, 2
Plotf1x, x, 0, 2
0.5
1
1.5
2
-2
-4
-6
 Graphics 
Ahora buscamos ya la raíz
FindRootf1x  0, x, 0.5
x  0.601347
Ejemplo 3
Utilizando el método de Newton vamos a obtener la mayor solución de la ecuación
En primer lugar definimos
f2x_  Sinx  E ^ x
 x  Sinx
Para ello representamos la función
sinx  ex
5
6
practica-newton.nb
Plotf2x, x,  7, 7
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
-8
-10
 Graphics 
Como podemos ver entre  4 y 
2 figura dicha solución la mayor, o sea, la menos negativa y la representamos ahí.
Plotf2x, x,  4,  2
0.75
0.5
0.25
-3.5
-3
-2.5
-2
-0.25
-0.5
-0.75
-1
 Graphics 
Ahora aplicamos el método de Newton partiendo de  3, que se observa próximo a la solución
practica-newton.nb
FindRootSinx  E ^ x  0, x,  3
x   3.18306
Ejercicio 1
Obtén las raíces del polinomio
x 3  5 x2  3 x 
6. Utilizando el método de Newton observa qué solución sale partiendo de
a de x0   7
b de x0  0
c de x0  5
Ejercicio 2
Obtén las raíces del polinomio
 x4  7 x2  3 x 
6 . Utilizando el método de Newton observa qué solución sale partiendo de
a de x0   4
b de x0  0.5
c de x0  1
d de x0  5
Ejercicio 3
Obtén las soluciones de la ecuación
Sinhx  2 x
Ejercicio 4
Justifica que la ecuación
Logx   x
tiene una única solución y determínala.
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