INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO TURBULENTO

INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO
TURBULENTO
1. INTRODUCCIÓN
En la lección sobre “Resolución de las Ecuaciones Generales de la Mecánica de Fluidos” se
señaló la existencia de soluciones inestables. Generalmente en la realidad cuando se dan estas
condiciones de inestabilidad el movimiento suele ser turbulento.
El interés del estudio de la turbulencia estriba en que los movimientos fluidos turbulentos
son muy comunes, tanto en la naturaleza (flujo en ríos, atmósfera, volcanes,...) como en aplicaciones
de ingeniería (cámaras de combustión, intercambiadores, turbomaquinaria, reactores químicos, flujo
en tuberías,...), hasta el punto que la mayoría de los flujos de interés tecnológico resultan ser
turbulentos. Dado que la turbulencia modifica significativamente parámetros tales como la
resistencia a la fricción, la transmisión de calor o la capacidad de mezcla, es necesario estudiarla y
caracterizarla.
La gran importancia de estos flujos se contrapone a su complejidad que hace muy difícil un
estudio tanto experimental como teórico. No existe una teoría completa del fenómeno ni parece que
por el momento vaya a ser posible establecer una (de hecho algunos autores afirman que la
turbulencia y, más aún la transición de flujo laminar a turbulento, constituye el único gran problema
de la física clásica sin resolver). A pesar de este gris panorama, durante la segunda mitad del siglo
XX se ha llegado a caracterizar la turbulencia mediante el uso de métodos de visualización de flujos,
el desarrollo de nuevos instrumentos de medida y la aplicación del ordenador a la solución de las
ecuaciones del movimiento. Con toda esta información se han llegado a perfeccionar modelos
teóricos parciales que permiten resolver problemas de flujos turbulentos de casos prácticos, incluso
con geometrías complejas, mediante el uso de códigos de cálculo numérico, aunque para ello se han
de incluir en los códigos algunos parámetros empíricos.
El objetivo de esta parte de la asignatura es proporcionar una breve introducción a la
naturaleza de la turbulencia y a su modelado o tratamiento en mecánica de fluidos.
2. NATURALEZA Y CARACTERÍSTICAS DE LA TURBULENCIA
2.1. Experimento de Reynolds
En 1883 Osborne Reynolds realizó su famoso experimento, que se va a utilizar aquí para
poner en evidencia las diferencias entre flujo laminar y turbulento. Este experimento consiste en
inyectar colorante en el seno de un líquido que circula por un tubo largo de sección constante. Para
este movimiento ya se obtuvo una solución analítica de la distribución de velocidad (Poiseuille).
Este movimiento se caracterizaba por ser permanente y por ser las líneas de corriente paralelas a las
paredes del tubo. Sin embargo Reynolds observó que dicho movimiento solo existe en la realidad si
la velocidad del fluido es suficientemente baja o el diámetro del tubo suficientemente pequeño para
un fluido dado. Bajo estas circunstancias el colorante forma una línea de corriente bien definida
cuyo contorno muestra que sólo existe una pequeña difusión en la dirección transversal debida al
transporte molecular (Figura 1a). Además cualquier perturbación que aparezca en el flujo es
amortiguada rápidamente. Es el denominado movimiento laminar. Sin embargo, si la velocidad del
fluido se hace suficientemente grande, el movimiento fluido se hace muy sensible a cualquier
perturbación y estas perturbaciones se amplifican rápidamente; el flujo se hace entonces muy
irregular y pierde su carácter estacionario. La anchura del filamento crece rápidamente, el contorno
se difumina y toma forma irregular hasta que aguas abajo se convierte en una nube de colorante
(Figura 1d). Es el movimiento turbulento.
Sin embargo la mayor contribución de Reynolds fue la puesta en evidencia de que la
existencia de uno u otro tipo de flujo dependía del valor que tomase un número adimensional que
posteriormente se denominó número de Reynolds1 Re=DV/, (donde D es el diámetro del tubo, V
la velocidad media del fluido y  la viscosidad cinemática del fluido). Existe un valor del número de
Reynolds para el cual se produce la transición de régimen laminar a turbulento, es el Reynolds
crítico. Sin embargo, un flujo con un número de Reynolds característico superior al crítico podría
ser laminar si se cuida suficientemente la no aparición de perturbaciones.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 1. Experimento de Reynolds
2.2. Características generales de los flujos turbulentos
No existe una definición exacta de la turbulencia sin embargo en general, todo el mundo
tiene una idea de lo que es un movimiento turbulento, cualquiera podría describirlo como un
movimiento fluctuante y desordenado y sabría, con poco margen de error, distinguirlo de un
movimiento laminar (de hecho el término “turbulento” forma parte del leguaje cotidiano, asociado a
desorden, no tanto el término “laminar”). Ante la carencia de una definición precisa de la
turbulencia se opta por describirla enumerando las propiedades más destacadas que poseen los
flujos turbulentos. Es lo que se conoce como “síndrome de la turbulencia”.
Irregularidad. Quizás sea la característica más evidente para cualquier observador. La
irregularidad se presenta tanto en el espacio como en el tiempo y de magnitudes
fluidodinámicas tales como la velocidad, la presión, la temperatura y la composición. Estas
irregularidades espaciales y temporales tienen características propias que no se corresponden
con las del ruido. A pasar de ser un fenómeno determinista, los flujos turbulentos parecen
irregulares, caóticos e impredecibles, lo que justifica el uso de métodos estadísticos para su
estudio.
Tienen lugar a altos Reynolds. La turbulencia aparece siempre cuando el número de
Reynolds característico del problema (Re=DV/) es muy grande. De hecho es uno de los
parámetros que se utilizan para distinguir entre flujo laminar y turbulento. La turbulencia
frecuentemente se origina como una inestabilidad de los flujos laminares. Del análisis de la
(1) Cómo ya se vio relaciona las fuerzas inercia con las viscosas.
1
estabilidad de soluciones de flujos laminares se evidencia que la solución se hace inestable a
partir de un cierto valor del número de Reynolds, denominado valor crítico. Los
experimentos confirman el análisis teórico. Sin embargo, como ya se ha mencionado, el valor
efectivo del número de Reynolds para el que aparece la transición a la turbulencia depende de
gran número de factores.
Los fenómenos de transporte se incrementan. Los fenómenos de transporte masa,
cantidad de movimiento y energía se ven notablemente amplificados por efecto de la
turbulencia. Esto se debe a las fluctuaciones del movimiento turbulento. Si bien estas
fluctuaciones tienen lugar a escalas mucho mayores que la escala molecular producen, sin
embargo, efectos difusivos semejantes a los moleculares (al menos cualitativamente) de ahí
que a esta propiedad se la conozca en alguna literatura como difusividad.
Disipación. Los flujos turbulentos siempre son disipativos. Una vez que el flujo se ha
constituido en turbulento la turbulencia esta tiende a mantenerse aunque para ello necesita de
un aporte continuo de energía. Esta energía la extrae de la energía cinética de movimiento
turbulento y la invierte en aumentar la energía interna mediante procesos de deformación a
los que se ven sometidas las partículas fluidas. La turbulencia necesita de una transferencia
continua de energía para reponer estas pérdidas viscosas. Si no existe suministro de energía la
turbulencia decae rápidamente.
Tridimensionalidad. Los movimientos turbulentos son siempre rotacionales y
tridimensionales. La turbulencia se caracteriza por los altos niveles de fluctuación de la
vorticidad. Las fluctuaciones aleatorias de la vorticidad no podrían mantenerse si las
fluctuaciones de la vorticidad fuesen bidimensionales, debido a que un mecanismo
importante para el mantenimiento de la vorticidad conocido como alargamiento de
torbellinos, no puede ocurrir en flujos bidimensionales. Pueden existir flujos turbulentos que
al ser promediados en el tiempo resulten ser planos. Incluso pueden existir movimientos
turbulentos en los que las escalas más grandes de la turbulencia sean fundamentalmente
bidimensionales, sin embargo a medida que se desciende en el tamaño de las escalas dentro
del amplio espectro que caracteriza a la turbulencia, se encuentra que el movimiento asociado
a estas escalas pequeñas es siempre tridimensional.
La turbulencia es un fenómeno continuo, gobernado por las ecuaciones de la mecánica de
fluidos. Incluso las escalas más pequeñas que aparecen en un flujo turbulento están muy lejos de las
escalas de longitud moleculares. La turbulencia no es una propiedad del fluido sino del flujo, un
fluido no es turbulento en sí mismo. La dinámica de la turbulencia es la misma en la mayoría de los
fluidos, bien sean líquidos o gases, si el número de Reynolds es suficientemente grande; las
características principales de los flujos turbulentos no vienen controladas por las propiedades
moleculares del fluido en el que tiene lugar la turbulencia. Debido a que las ecuaciones del
movimiento son no lineales, cada tipo flujo posee ciertas características singulares que van asociadas
a sus condiciones iniciales y de contorno. No se conoce una solución general de las ecuaciones de
Navier-Stokes; por lo tanto, no se dispone de soluciones generales para los problemas de flujos
turbulentos. Dado que cada flujo es diferente, cada flujo turbulento es diferente, aunque todos los
flujos turbulentos presenten algunas características comunes.
3. ORIGEN DE LA TURBULENCIA. INESTABILIDADES
Un fenómeno puede satisfacer todas las leyes de conservación de la naturaleza pero aún así es
posible que no suceda. Para que el fenómeno tenga existencia real debe de satisfacer una condición
más, que sea estable ante pequeñas perturbaciones. En otras palabras, que las perturbaciones
infinitesimales, que inevitablemente están presentes en cualquier sistema real, no se amplifiquen
espontáneamente. Una bola lisa puede apoyarse de manera estable sobre una superficie cóncava
(figura 1a), pero es inestable a pequeños desplazamientos si la superficie de apoyo es convexa
(figura 1b).
2
(a)
(c)
(b)
Figura 1
Un flujo laminar es estable ante pequeñas perturbaciones sólo cuando se satisfacen ciertas
condiciones. Por ejemplo, en flujos de fluidos viscosos y homogéneos en un conducto la condición
consiste en que el número de Reynolds debe de ser menor que un cierto valor crítico. Cuando esto
no se satisface, perturbaciones infinitesimales crecen espontáneamente. En ocasiones estas
perturbaciones pueden crecer hasta una amplitud infinita y alcanzar un nuevo estado estable. El
nuevo estado puede ser de nuevo inestable frente a otro tipo de perturbaciones y crecer hasta crecer
hasta alcanzar un nuevo estado estable. Finalmente el flujo se convierte en una superposición de
numerosas perturbaciones aleatorias y alcanza una condición caótica que se conoce como
turbulencia.
No se va abordar el problema de forma analítica pero el alumno debe conocer que se puede
introducir una perturbación sobre las ecuaciones que lo gobiernan y determinar si la perturbación
crece o decae con el tiempo. En el análisis el problema se puede linealizar despreciando los términos
de segundo orden de las variables perturbadas y de sus derivadas. Este método de análisis lineal sólo
es válido para estudiar el comportamiento inicial del flujo ante la perturbación. Si la perturbación
avanza los términos no lineales cobran importancia. La pérdida de estabilidad no constituye en sí
misma una transición hacia la turbulencia, por lo que la teoría lineal sólo es capaz de predecir los
comienzos hacia la transición a la turbulencia. Por otro lado un flujo real puede ser estable frente a
perturbaciones infinitesimales (linealmente estable) pero inestable frente a perturbaciones
suficientemente grandes (inestable no linealmente); esto se representa esquemáticamente en la figura
1c. Estas limitaciones de la teoría lineal deben de tenerse en cuenta a la hora de intentar explicar la
turbulencia.
A continuación se va a describir la inestabilidad de la capa de cortadura (caso
simplificado de la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz), una de las causas más frecuentes de
turbulencia. Una capa de cortadura es una región muy delgada con grandes gradientes de velocidad
tales como los que ocurren aguas abajo de un punto de desprendimiento. Las velocidades a ambos
lados de la superficie de separación son muy
U=(V1-V2)/2
V1
diferentes, dando lugar a una delgada región
donde la velocidad cambia muy rápidamente.
Estas capas de cortadura pueden ser
idealizadas
como
superficies
de
discontinuidad en velocidad (Figura 2).
Considérese tal discontinuidad en un
modelo de referencia en el cual las velocidades
sobre ambos lados de la discontinuidad son
iguales y opuestas. En tal modelo de
referencia introducimos una pequeña
perturbación que desarrolla una ligera
ondulación (figura 3). Esto incrementará
ligeramente la velocidad del fluido sobre las
partes convexas de la superficie (A, B’, C, D’
en la figura 3) mientras disminuirá ligeramente
sobre las cóncavas (A’, B, C’, D en la figura 3).
Si el flujo se considera estacionario, la
aplicación de las ecuaciones de Bernoulli
indicará que una fuerza neta de presión actúa
amplificando las perturbaciones, así que la
V2
-U=-(V1-V2)/2
Figura 2. Capa de cortadura.
A
A’
B
B’
C
C’
D
D’
Figura 3. Ligera perturbación en una capa de cortadura.
3
capa de cortadura es inestable y tiende a enrollarse. La onda se empieza a distorsionar más y más
con el tiempo, convirtiéndose finalmente en vórtices (Figura 5).
Figura 4. Evolución de la inestabilidad
e la capa de cortadura.
El proceso de formación de torbellinos aparece sólo a Reynolds altos, cuando los efectos
viscosos son despreciables. Para números de Reynolds bajos la acción de la viscosidad tiende a
disipar o estabilizar la discontinuidad.
Los torbellinos formados de esta forma son generalmente inestables en sí mismos, y tienden
a dividirse en pequeños torbellinos. Este proceso continúa hasta que la escala o dimensión de los
torbellinos es tan pequeña que el número de Reynolds representativo de los mismos2 no es bastante
alto para que la inestabilidad persista. En la figura 5 se observa la coexistencia de una zona de inicio
de la inestabilidad con otra de torbellinos claramente definidos y otra de turbulencia completamente
desarrollada.
4. LA CASCADA DE ENERGÍA Y LAS ESCALAS DE LA TURBULENCIA
Los torbellinos grandes para su creación extraen energía del flujo medio. El tamaño o escala
de estos torbellinos es comparable a la escala del flujo. Sin embargo, estos torbellinos son
generalmente inestables en sí mismos y por efecto de la cortadura o de la interacción entre ellos,
tienden a dividirse en torbellinos más pequeños que a su vez tienden a dividirse. Este proceso de
rompimiento se sigue produciendo en cascada, lo que lleva a que en un movimiento turbulento
coexistan una gran variedad de escalas correspondientes a distintos tamaños de torbellinos que
conforman la turbulencia. La turbulencia puede ser descrita como una maraña de torbellinos de
muy diversos tamaños que son arrastrados y estirados por la acción de los gradientes de velocdad
del flujo medio dominante y por su interacción con los demás torbellinos. Este proceso de división
continúa hasta que la escala de los torbellinos es tan pequeña que el número de Reynolds de los
mismos no es suficientemente alto como para que la inestabilidad persista. La disminución de
tamaño consigue aumentar suficientemente los gradientes de velocidad para permitir el paso de
energía cinética turbulenta a energía térmica por disipación viscosa.
(2)
Como se verá en el siguiente apartado el número de Reynolds representativo de los torbellinos más pequeños es:
Re  u 0  0  .
2
4
Figura 5. Coexistencia de diferentes regímenes en un flujo.
Esta variedad de torbellinos de diferentes tamaños que existen el cualquier flujo turbulento se
puede agrupar en tres escalas.
Sean U,L y T la velocidad, longitud y tiempo característicos asociados a los torbellinos más
grandes. Son las magnitudes macroscópicas que caracterizan el aspecto global del movimiento. A
esta escala se la denomina macroescala. El número de Reynolds asociado será el mismo que el del
flujo principal: Re=UL/. Dado que las características de estos torbellinos grandes van a depender
de las condiciones de contorno del flujo, estos torbellinos presentarán un marcado carácter
anisótropo.
Sean u,  y  las magnitudes correspondientes asociadas a las escalas intermedias. Estamos
ya en el detalle de la turbulencia pero todavía la disipación de energía es mínima.
Sean u0, 0 y 0 las correspondientes a la microescala, esto es, lo más fino. Es el sumidero de
energía en donde se transforma en calor toda la energía transportada desde la macroescala. Al
contrario que los de la macroescala, estos torbellinos presentan isotropía, es dedir el flujo ha
perdido la memoria de donde procede.
por:
La energía específica que sale de los torbellinos grandes por unidad de tiempo vendrá dada
eL 
U2 2
 e L  U 2 T 1  U 3L1
t
De nuevo, por análisis dimensional, la energía específica disipada por unidad de tiempo en la
escala grande vendrá dada por:
 U
 L   i
 x
 j
2
2

   L  U

L2

por tanto, el cociente entre energía transportada y disipada en la macroescala es:
eL
U 3L1
UL


 Re L 1
2 2
 L U L

de donde se deduce que en las escalas grandes la disipación de energía es despreciable. Por tanto
toda su energía se transfiere a los tornbellinos de las escalas intermedias:
eL  e 

U 3L1  u 3 1
En una escala intermedia el cociente entre energía transportada y disipada se evalúa
fácilmente mediante el número de Reynolds asociado a dicha escala, esto es:
5
e
u 3 1
u


2 2

  u 
4
UL
1
 L 3
u  L

  3
 Re L  
L
Como nos estamos moviendo en una escala intermedia el cociente de longitudes no es muy
pequeño, el número de Reynolds asociado a la escala es grande y la disipación de energía es
despreciable. Podemos plantear entonces que:
eL  e   e 0
U 3L1  u 3 1  u 0  0

3
1
expresión que representa la cascada de energía.
En la microescala la energía transportada es del orden de la energía disipa, luego los números
de Reynolds serán del orden de la unidad ya que 0 << L y en consecuencia da:
e0
0

u 30 01
u 02 02
 Re  0
 
 Re L  0 
 L 
4
3
Se define la microescala de Kolmogorov como aquella en la que el número de Reynolds
asociado vale la unidad y por ello toda la energía se disipa en esta escala. Se tiene:

1 
0
 
Re L  0 
 L 
4
3
1 
0
3
 Re 4
L
expresión que indica la relación entre las longitudes características de la microescala y la
macroescala. Se ve que a medida que aumenta el número de Reynolds, la diferencia entre la escala
de Kolmogorov y la escala macroscópica se hace cada vez mayor.
Para resaltar la importancia de esta última ecuación supongamos que queremos medir el
perfil de velocidades en una sección recta de un flujo en un conducto, en los casos de régimen
laminar y régimen turbulento. Para determinar el perfil laminar nos bastará con medir, por ejemplo,
la velocidad en 10 puntos de la sección. En régimen turbulento y asumiendo un Re  104 la relación
entre la escala pequeña y la grande es del orden de 10-3. Esto implica que para conseguir la misma
precisión que en el caso laminar deberemos tomar 10.000 medidas, y esto sólo para conseguir un
perfil unidimensional.
En el caso de aplicaciones aeronáuticas se alcanzan Reynolds del orden de 108 que se traduce,
en el caso más sencillo de estudios bidimensionales, en la necesidad de tomar un número de
medidas del orden del billón. Obviamente el caso tridimensional es impracticable. En definitiva,
determinar la escala de Kolmogorov equivale a resolver directamente las ecuaciones de NavierStokes.
Así pues la resolución experimental a escala fina es una labor imposible. Se emplean entonces
métodos estadísticos que permiten apreciar un par de órdenes de magnitud por debajo de la escala
grande.
En cuanto a las escalas de velocidad, según la expresión que representa la cascada de energía,
tenemos:
3

 u0 
  
L
U
y:
u0
 Re L1 4
U
6
es decir, bastante insensible al número de Reynolds. Las fluctuaciones de velocidad son muy
grandes para escalas muy pequeñas. Tomando como antes Re  104 tenemos (u0/U)  10 y esto
implica altos gradientes de velocidad. Es en las pequeñas escalas en donde hay gran agitación y se
disipa la energía cinética.
En cuanto a la escala temporal, la relación entre los tiempos característicos viene dada por:
0
 Re L1 2
T
5. MÉTODOS DE CÁLCULO Y ANÁLISIS DE FLUJOS TURBULENTOS
La tridimensionalidad y transitoriedad junto con el amplio rango de escalas espaciales y
temporales caracteriza a los flujos turbulentos. Pero incluso las escalas más pequeñas y con
fluctuaciones más rápidas, las escalas disipativas, son varios ordenes de magnitud superior a las
escalas moleculares. Se pueden aplicar por tanto las ecuaciones constitutivas de la viscosidad de
Stokes para flujos Newtonianos y de transferencia de calor por conducción de Fourier. Estas leyes
constitutivas junto con los principios de conservación de la masa, cantidad de movimiento y energía
dan lugar a las ecuaciones de Navier-Stokes, ecuaciones que gobiernan también los flujos
turbulentos. Actualmente no es posible la resolución exacta de estas ecuaciones, sin embargo, en los
últimos años y debido a la rápida evolución de los ordenadores y al desarrollo de algoritmos
específicos, ha habido un gran avance en su resolución numérica, es lo que se conoce como
mecánica de fluidos computacional, CFD (Computational Fluids Dynamics).
La resolución numérica directa de las ecuaciones de Navier-Stokes DNS (Direct Numerical
Simulation) es la manera más evidente y precisa de predecir un flujo turbulento. Se resuelven todas
las escalas espaciales y temporales del flujo turbulento sin promediados o aproximaciones, los
únicos errores proceden de las discretizaciones numéricas. La idea es tan sencilla como, por lo
desorbitando de su coste computacional, difícil de llevar a la práctica. Su utilización queda
restringida a flujos de geometría sencilla y números de Reynolds bajos3.
Los flujos turbulentos poseen un amplio rango de escalas espaciales y temporales.
Generalmente las escalas grandes son mucho más energéticas que las pequeñas y su tamaño e
intensidad hacen que sean las escalas más efectivas en el transporte. Por el contrario, las escalas
pequeñas son normalmente más débiles y su transporte es de menor magnitud. Basándose en esto,
pueden tener sentido simulaciones que traten las escalas grandes con más precisión que las
pequeñas. Esto es lo que se hace en una simulación de torbellinos grandes, LES (Large Eddy
Simulation). Debido a la mayor universalidad y homogeneidad de las escalas pequeñas cabe esperar
que los modelos para LES sean relativamente simples y que los ajustes necesarios cuando se
apliquen a flujos diferentes sean escasos. Una LES también requiere grandes cantidades de tiempo
de cálculo, los programas utilizados para realizar este tipo de simulaciones.
A pasar de ser un fenómeno determinista, los flujos turbulentos parecen irregulares, caóticos
e impredecibles, lo que justifica el uso de métodos estadísticos para su estudio. En esta idean se
basan los modelos que utilizan el promediado de Reynolds de las ecuaciones de Navier-Stokes,
RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes Equations). Estos modelos serán objeto de estudio en la
siguiente lección. Son el tipo de aproximación que con más frecuencia se usa en aplicaciones de
ingeniería para predecir flujos turbulentos.
(3) Como se ha visto, cuanto mayor sea el número de Reynolds del flujo más pequeños son los torbellinos donde se
produce la disipación y menores serán sus tiempos característicos.
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