RESONANCIA 1) Introducción Definimos como resonancia al

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Date: 2000.09.17 03:05:13
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Buenos Aires
RESONANCIA
1) Introducción
Definimos como resonancia al comportamiento de un circuito con elementos
inductivos y capacitivos, para el cual se verifica que la tensión aplicada en los terminales del mismo
circuito, y la corriente absorbida, están en fase. La resonancia puede aparecer en todo circuito que tenga
elementos L y C.
Por lo tanto existirá una resonancia serie y otra resonancia paralelo.
El fenómeno de resonancia se manifiesta para una o varias frecuencias, dependiendo del circuito, pero
nunca para cualquier frecuencia. Es por ello que existe una fuerte dependencia del comportamiento
respecto de la frecuencia. Deviene de ello la gran importancia de los circuitos sintonizados,
especialmente en el campo de las comunicaciones, en lo que hace a la sintonización de señales de
frecuencias definidas o al "filtrado" de señales de frecuencias no deseadas.
2) Resonancia serie
Para un circuito serie como el dibujado, la impedancia será la sig.
1 

Z = R + j ωL −
.
ωC 

Si trazamos el diagrama de tensiones y corrientes del circuito, se verificará que la tensión adelantará,
atrasará
o estará en fase con la corriente. Esto resulta evidente de la expresión anterior, en la cual, para algunas
1
1
frecuencias se cumplirá que ωL >
, para otras frecuencias será ωL <
. En el primer caso, se
ωC
ωC
comporta el circuito en forma inductiva, en el segundo , en forma capacitiva y, además, para alguna
1
frecuencia, se cumplirá que ωL =
. Para este caso, el circuito se encontrará en resonancia, ya que la
ωC
impedancia será resistiva pura.( tensión en fase con la corriente).
Los diagramas fasoriales son los que dibujamos en el primer apunte sobre corriente alterna.
Circuito R-L-C
VL
V
VL
φ VR
I
V=VR
I
I
VR
φ
φ=0
VC
R-L
R
V
R-C
VL
1
Debe observarse que cuándo j( ωL −
) = 0, el circuito estará en resonancia, el circuito se comportará
ωC
en forma resistiva pura, mientras la impedancia será sólo la resistencia del circuito, y, por consiguiente,
la corriente será máxima.
2.1) Frecuencia de resonancia
Se obtiene muy fácilmente, ya que la componente imaginaria de la impedancia deberá ser nula, para que el circuito se comporte como resistivo puro. Para este caso simple,
será:
1
1
1
1
ω 0L =
. Se ve en esta
⇒ ω 02 =
⇒ ω0 =
, finalmente, como ω 0 = 2π f 0 ⇒ f 0 =
ω 0L
CL
2π LC
LC
última expresión, que la frecuencia de resonancia, será siempre la misma en la medida que no cambie el
producto LC.
2.2) Comportamiento del circuito según la frecuencia
Representaremos gráficamente las distintas
componentes de la impedancia en función de la frecuencia.
La reactancia inductiva, XL = ωL , será pues una recta con origen en cero.
1
La reactancia capacitiva, por su parte, XL =
, será una hipérbola equilátera, es decir tendrá como
ωL
asíntota horizontal al eje de las frecuencias.
1
.
También graficamos en la fig. sig., la componente imaginaria de la impedancia del circuito, ωL −
ωC
Finalmente representamos el módulo de la impedancia, es decir Z = R 2 + X2 .
componentes de la impedancia
XL-Xc
500
400
XL
|Z|
300
200
R
100
0
-100
-Xc
-200
-300
-400
-500
frec. (Hz)
2.3) Sobretensión y factor de mérito
En los circuitos R-L-C serie, puede ocurrir que la tensión en los
elementos reactivos sea mayor que la tensión de alimentación. Este fenómeno se aprecia especialmente
en frecuencias cercanas a la de resonancia cuando la resistencia total es mucho menor que la reactancia
del circuito.
En resonancia se cumple que VC = VL . tomemos pues para el análisis cualquiera de ellas.
VL = ωL I , pero I =
V
, pues, en resonancia se cumple que el circuito se comporta en forma resistiva
R
pura, es decir Z = R . Por lo tanto, reemplazando, resulta:
2
ω 0L
ω 0L
V , donde llamaremos a Q 0 =
, factor de mérito o simplemente Q del circuito.
R
R
1
1 V
I =
= Q 0 V , por lo
Mediante un desarrollo análogo se llega, para el capacitor a VC =
ω 0C
ω 0C R
1
tanto, Q 0 =
.
ω 0 CR
Cualquiera sea la forma de calcular Q, en resonancia el valor será idéntico, ya que XL = XC , para
ω = ω 0 . El factor de mérito, nos indica cuánto más grande es el valor de la reactancia que el de la resistencia. Es conveniente que los circuitos resonantes, en general, tengan un Q elevado, pues su comportamiento será mucho más dependiente de la frecuencia en la vecindad de la resonancia. Esto sucederá
cuando la resistencia sea pequeña.
Los circuitos prácticos usados en sintonía en el campo de las radio frecuencias (RF), tienen valores de
Q superiores a 100 en la mayoría de los casos. El factor Q0 se suele llamar también factor de
sobretensión. Más adelante daremos una definición del Q basada en conceptos energéticos.
VL =
2.4)Energía almacenada en un inductor y en un capacitor.
a) Inductor.
Sabemos que la potencia es la
variación, consumo, transmisión, almacenamiento, etc., de energía por unidad de tiempo, es decir:
dE( t )
p( t ) =
, por lo tanto, un elemento diferencial de energía podrá escribirse como: dE = p ( t ) dt .
dt
Además conocemos que la potencia eléctrica es p ( t ) = i ( t ) v ( t ) ; para el caso del inductor se cumple la
di
ley de Faraday, por lo que v ( t ) = L , la que reemplazada en la expresión anterior resulta
dt
di
di
p ( t ) = i ( t ) L , y, para el elemento de energía queda: dE = iL dt , admitiendo implícitamente la
dt
dt
dependencia respecto del tiempo.
Finalmente, dE = Lidi . Para hallar la energía total almacenada por un inductor, simplemente
integramos entre 0 y el valor de la corriente máxima, al que llamaremos I. Esto es:
I
i2 
E = ∫ Lidi = L ∫ idi = L  . Finalizando:
0
0
2 0
1
EL = LI2
2
I
I
b) Capacitor
En forma análoga, para el
dq
dv
capacitor, será:C =
⇒ dq = Cdv ⇒ idt = Cdv ⇒ i = C , expresión que hemos deducido antedt
dt
V
dv
1
riormente. Reemplazando, dE = Cv
dt = Cvdv , finalmente Ec = C∫ vdv ⇒ Ec = CV 2 .
0
dt
2
2.5) Otra definición de Q
Otra definición más sustanciosa, puede dársele al factor de mérito, analizándolo
desde el punto de vista energético.
Suponiendo el caso ideal de un circuito L - C, es decir con resistencia nula, podríamos excitarlo
mediante un generador de tensión y este circuito comenzaría a "oscilar", manteniendo la oscilación
indefinidamente. ¿Cuál es el significado del término oscilar, desde el punto de vista energético. Bueno,
en algún momento del ciclo, el inductor estará cargado con su máxima energía almacenada, mientras
que el capacitor está con potencial cero, es decir sin energía almacenada, luego, un cuarto de ciclo
después, estará la situación inversa, es decir, el inductor estará descargado y el capacitor con su máxima
energía almacenada. Esto es sencillo de verificar en virtud del desfasaje de 90° entre tensión y
corriente. El sistema permanecerá eternamente transfiriendo energía del inductor al capacitor y
viceversa, sin que se pierda energía alguna. Sin embargo, la realidad, es que los circuitos poseen
resistencia, de manera que habrá pérdidas de energía , es decir no sólo se producirá intercambio de
energía entre el capacitor y el inductor, sino que también, parte de esa energía se perderá en forma de
calor en la resistencia del circuito en cada ciclo. En virtud de las consideraciones anteriores, se podrá
definir el factor de mérito del sig. modo:
Q=2π
π Energía almacenada / Energía perdida por ciclo
Nos da pues, una medida de cuánta energía almacena el circuito respecto de la que pierde o disipa por
ciclo.
3
1 $2
1
I L , además la potencia disipada por una resistencia vale P = I$2R . Para
2
2
obtener la energía perdida por ciclo, como P es la potencia promediada en dicho ciclo, bastará multipliP
carla por el período: por lo tanto Ed / ciclo = PT = . Reemplazando en la ecuación de definición del Q,
f
1 2
LÎ
ωL
2π L
2π
queda: Q = 2π 2
=
, y como ω 0 =
en el caso general y para el impor, resulta Q =
1 2
T
R
R
T
Î RT
2
ω 0L
tante caso de estar en resonancia, queda finalmente: Q 0 =
, expresión idéntica a la deducida anteR
riormente, con lo cual verificamos la validez de la definición del Q desde el punto de vista energético.
Realizando el mismo análisis, considerando la energía almacenada por el capacitor, se obtiene también
la verificación
Ya dedujimos que EL =
3.1) Admitancia cerca de la resonancia
Prácticamente, la información más útil sobre el comportamiento del circuito a frecuencias cercanas a la de resonancia, se encuentra en la parte inferior (en forma
de "V"), de la curva de la impedancia en función de la frecuencia. Por lo tanto, resulta útil representar
1
la función inversa, es decir la admitancia Y = . Además esta curva tendrá la misma forma que la de
Z
la corriente, si excitamos al circuito con tensión constante, ya que I = VY .
También, la parte más importante se encuentra dentro de un intervalo comprendido en ± 10%f 0 , donde
f0 es la frecuencia de resonancia, ya que a frecuencias mayores, las variaciones son muy pequeñas.
Por último, conviene explicar también que en la gráfica se toma la frecuencia en coordenadas
logarítmicas, lo cual es muy común cuando se grafican funciones de la frecuencia, ya que el espectro de
los valores es muy amplio. Además aquí se tiene la ventaja adicional que el uso de coordenadas
logarítmicas simetriza la curva respecto de la frecuencia de resonancia. En las figuras siguientes,
observamos las curvas correspondientes al módulo y a la fase de la admitancia en la vecindad de la
resonancia. Vemos en ellas que para frecuencias bajas, el comportamiento es capacitivo (fase 90°).
Luego, el comportamiento capacitivo persiste pero en forma menos intensa ( circuito R-C ), hasta la
frecuencia de resonancia, don de el comportamiento es resistivo ( fase 0°). Luego, el comportamiento
se torna levemente inductivo, a medida que crece la frecuencia respecto de la de resonancia ( circuito
R-L ), hasta que a frecuencias muy altas se torna fuertemente inductivo , circuito inductivo puro ( fase 90°)
Refiriéndonos ahora a la curva del módulo de la admitancia, se observa que a frecuencias muy bajas,
resulta que dicho módulo es muy bajo, ya que la reactancia capacitiva es muy alta. En resonancia, el
circuito presenta la impedancia mínima e igual a la resistencia, por lo que la admitancia será máxima e
1
igual a la conductancia Y = Y 0 = G = . Por último, para frecuencias muy superiores a la de resonanR
cia, la admitancia reduce su módulo, ya que la reactancia inductiva es muy alta, con lo cual la
impedancia es también alta.
Es interesante observar que si el circuito tiene una resistencia muy pequeña, la admitancia en
resonancia tiende a infinito, lo mismo que la corriente. Si las pérdidas suben, sube R y,
consecuentemente se reduce el módulo de admitancia en resonancia, por lo que la curva se aplasta.
Resumiendo, si el Q del circuito es elevado, la curva es más aguda, mientra que si Q es reducido, la
curva resulta menos aguda. En lo que se refiere a la fase, la variación de la misma es mucho más rápida
a valores de Q altos. Si el factor de mérito tiende a infinito, la fase varía bruscamente, pasando de 90° a
-90°. Todo esto pone de manifiesto que a valores de Q elevados, el fenómeno de resonancia se hace
mucho más notorio que a valores bajos.
4
Los gráficos anteriores son correspondientes al circuito dibujado y con sus valores. Veamos también
qué sucede si en el mismo circuito anterior, adoptamos una resistencia R1= 5Ω
Ω, es decir 10 veces
menor que la ya usada.
5
Y con la fase, vemos que varía mucho más bruscamente como lo habíamos anticipado.
3.2) Puntos de potencia mitad
Veamos qué sucede si la componente reactiva total es igual a la
resistencia del circuito.
1
1
1
1
Y= =
, si ωL −
=R⇒Y=
, de manera que el módulo de la admitanZ R + j( ω L − 1 )
ωC
R ± jR
ωC
Y
1
1
1
cia valdrá: Y =
=
⇒
=
, mientras que el ángulo de fase adoptará el sig. valor:
Y0
2R
2
R2 + R2
R
ϕ = arctg ( ± ) = arctg ( ± 1) = ± 45° . El doble signo, deviene por el hecho que tendremos el mismo
R
valor para el comportamiento capacitivo (frecuencias inferiores a la de resonancia) y para el comportamiento inductivo (frecuencias superiores a la de resonancia).
La potencia disipada en el circuito será en resonancia P 0 = I2 0 R = U2Y2 0 R .
Para los puntos en los cuales la componente reactiva es idéntica a la resistencia del circuito, tendremos:
2
U 2 Y 2 0R
 Y0 
. Vemos que la potencia vale la mitad que la correspondiente a
P12 = U 
 R=
2
 2
P0
resonancia, es decir P 12 =
. De estas consideraciones deviene el nombre de puntos de potencia mitad.
2
El intervalo de frecuencias comprendido entre los puntos de potencia mitad, define lo que se conoce
como ancho de banda de 3dB, o simplemente ancho de banda. Este último valor es muy importante, ya
que define la selectividad del circuito resonante, parámetro muy importante fundamentalmente en Comunicaciones cuando se estudian los circuitos sintonizados, ya que , en gran parte, dependerá de la
selectividad, la calidad de la recepción. El concepto de ancho de banda de 3dB, surge el hecho que la
potencia en los puntos de potencia mitad, cae justamente 3dB, lo cual puede demostrarse muy fácilP12 1
P12
(dB) = 10 log 1 = −3dB . Gráficamente resulta
= ⇒
mente, como sigue
P0 2
P0
2
2
6
A continuación observamos el diagrama de fase.
Vemos que el ancho de banda del circuito es:∆
∆ f = f 2 − f 1 = 3. 1kHz − 2. 7kHz = 0 . 4 kHz, observándose
que el circuito es bastante selectivo, ya que el ancho de banda es sólo de 400 Hz. Como veremos en el
párrafo sig., la selectividad está íntimamente relacionada con el valor del Q.
3.3) Relación entre el factor de mérito en resonancia y el ancho de banda
Determinemos la frecuencia
correspondiente a cada uno de los punto de potencia mitad. Para f=f1, resulta :
1
1 − ω 2 1LC
− ω 1L = R ⇒
=R⇒
ω 1C
ω 1C
1 − ω 2 1LC = ω 1CR ⇒ ω 2 1LC + ω 1CR − 1 = 0 ⇒
R
1
ω21 + ω 1 −
=0
L LC
Se trata pues de una ecuación de segundo grado con una incógnita, de muy fácil resolución mediante la
R
R2
1
fórmula resolvente, es decir: ω 1 = −
±
+
. En forma análoga podemos determinar la frecu2
2L
4 L LC
encia
7
1
R
R2
1
= R ⇒ ω2 =
+
. Por lo tanto, el ancho de banda en término
±
2
ω 2C
2L
4 L LC
ω 0 ω 0 ω 0L
R
R
R
+
= ⇒
=
=
= Q 0 . Por lo tanto, podede la pulsación, resulta: ∆ ω = ω 2 − ω 1 =
∆ω R
2L 2L L
R
L
mos escribir
f0
Q0 =
. Aquí se observa que cuanto mayor es el factor de mérito del circuito, menor es el ancho de
∆f
banda, con lo que aumenta la selectividad.
Es interesante observar que la relación anterior provee un método sencillo para la medición del Q del
circuito, ya que bastará determinar la frecuencia de resonancia y las frecuencias para las cuales el
ángulo de fase vale ±45°.
El concepto de selectividad define la mayor o menor aptitud que tiene un circuito para separar el resto
de las frecuencias respecto de la de resonancia.
f=f2, haciendo: ω 2 L −
4) Resonancia paralelo
El circuito dual al dibujado anteriormente es el sig.
1
) , ecuación que desde el punto de
ωL
vista formal, es totalmente análoga a la de la impedancia de un circuito serie. Por lo tanto todas las
consideraciones matemáticas ( deducciones ) hechas para el circuito serie serán válidas para el circuito
paralelo. Por lo tanto, las curvas serán también válidas reemplazando admitancia por impedancia. Es
1
.
decir Z =
1
G + j( ω C −
)
ωL
Los diagramas fasoriales correspondientes son:
IC
IC
La admitancia equivalente del circuito será: Y = G + j( ωC −
Ic
I
IR
φ
V
φ
V
IR
I
φ =0
V
IR=I
IL
IL
IL
El primer gráfico corresponde a una frecuencia menor que la de resonancia, el segundo a una mayor y el
tercero a la frecuencia de resonancia.
Vemos que en el primer caso, como la impedancia del inductor es más baja que la del capacitor, la
mayor parte de la corriente se derivará por él, de manera que el comportamiento del conjunto será del
tipo R-L.
Para el segundo caso, la impedancia del capacitor es menor que la del inductor, de manera que la mayor
parte de la corriente se derivará por él, siendo entonces el comportamiento del tipo R-C.
Finalmente, para la frecuencia de resonancia, ambas impedancias tienen el mismo valor, por lo que el
circuito se comportará en forma resistiva pura.
Es necesario observar que en resonancia, la admitancia será mínima, con lo cual la impedancia será máxima y, consecuentemente, la corriente será mínima si es que excitamos con un generador de tensión, y,
si excitamos al circuito con un generador de corriente la tensión será máxima.
8
También es necesario ver que, en resonancia, los módulos de la corrientes, pueden ser mucho mayores
que la corriente total, fenómeno llamado sobrecorriente.
R
V
R
IL =
= I
= I Q 0 , donde Q 0 =
. si se analizara el capacitor, obtendríamos la expresión
ω 0L
ω 0L
ω 0L
correspondiente, IC = V ω 0 C = I Rω 0 C = I Q 0 , donde Q 0 = ω 0 RC . Vemos, en ambos casos que
1
, es decir que los factores de mérito para circuitos paralelo y serie son recíprocos.
Q 0p =
Q0s
En términos de las componentes de la admitancia, el Q, puede escribirse del sig.
BC
BL
modo:Q 0 =
; Q0 =
.
G
G
También para el caso del circuito paralelo, puede aplicarse la definición energética del factor de
mérito.
Los gráficos correspondientes al circuito paralelo, con los mismos datos que para el circuito serie son
los sig.
4.1) Circuito tanque
Un circuito interesante por su aplicación práctica en RF, es el llamado "Circuito
tanque", donde se considera un capacitor sin pérdidas y un inductor en el cual se pone de manifiesto la
resistencia serie. El diagrama correspondiente es el sig.
9
1
+ jω C . Racionalicemos el primer término de la
R + jω L
Determinemos la admitancia del circuito: Y =
expresión anterior y operemos.
R − jωL
Y=
+ jωC . Agrupando en parte imaginaria y real, resulta:
( R + jωL )( R − jωL )
R
ωL
Y= 2
−j 2
+ jωC ⇒
2 2
R +ω L
R + ω 2L2
. Tratemos de obtener la frecuencia de resonancia. Para ello es
R
ωL
Y= 2
+ j( ωC − 2
)
R + ω 2L2
R + ω 2L2
necesario y suficiente que se anule la componente imaginaria de la admitancia (o de la impedancia). Por
ω 0L
ω 0 C( R 2 + ω 2 0 L2 ) − ω 0 L
lo tanto, deberá cumplirse que: ω 0 C − 2
=0⇒
= 0 . Como
R + ω 2 0 L2
R 2 + ω 2 0 L2
R 2 + ω 2 0 L2 nunca se anula, bastará que se anule el numerador (nunca habrá indeterminación matemática). Entonces: ω 0 C R 2 + ω 2 0 L2 − L = 0 , para que el primer miembro de se anule, será necesario que
d
i
= 0 . El primer caso es trivial, por lo tanto, resolveremos para
Li
d
ω0=0 o C R 2 + ω 2 0 2
CR 2 + ω2 0 L2C − L = 0 ⇒ ω2 0L2C = L − CR 2 ⇒
L − CR 2
1 R
ω 0=
− 
=
2
LC
LC  L 
. Recordando que ω 2 0 =
2
2
2
2
1
,
LC
2
1 R
R
R
queda: ω r = ω 0 −   ⇒ ω2r = ω2 0 −   . Finalmente, ωr =
−   . Vemos que la frecuLC  L 
L
L
encia de resonancia del circuito tanque es menor que la frecuencia natural, es decir la del circuito R-LC paralelo. Una expresión que pone más en evidencia la reducción de la frecuencia de resonancia,
respecto de ω0, se obtiene sacando común denominador el radicando, queda:

R 2C  1
1
R 2C

ωr =  1 −
=
1−
⇒
L  LC
L
LC

.
2
RC
ωr = ω0 1 −
L
Es interesante observar que sólo será posible la resonancia, siempre y cuando se cumpla la desigualdad
sig.
R 2C
1−
≥ 0 , pues, en caso contrario, la raíz sería imaginaria pura. Es decir que para el caso límite
L
R 2C
L
L
1−
= 0 ⇒ R2 = ⇒ R =
. Finalmente, deberá cumplirse para que el circuito pueda oscilar
L
C
C
que:
L
R<
.
C
Es interesante calcular cuál será la impedancia en resonancia. Como se anula la componente imaginaria,
R
la expresión de la admitancia queda del sig. modo:Y 0 = 2
. Reemplazando por el valor de la
R + ω 02 L
R 2C
R 2C
frecuencia de resonancia que calculamos anteriormente, ωr = ω 0 1 −
⇒ ωr 2 = ω 02 ( 1 −
).
L
L
R
1
Yr =
ω 02 =
,
, pero, recordando que la pulsación natural del circuito es :ω
1
LC
R 2 + ω 02 L2 − ω 02 R 2 2
ω0
queda:
2
2
10
Yr =
R
R 2 + ω 02 L2 − ω 02 R 2
1
ω 02
=
R
R
C
⇒ Yr = 2 2 . Finalmente obtenemos:Yr = R . Por
2 2
2
ω0 L
R + ω0 L − R
L
2
L
.
CR
Energía − almacenada
Empleando la definición energética del Q, Q = 2π
π
, obteneEnergía − perdida − por − ciclo
1
CVm2
2π
π L ωrL
2
mos:Qr =
, ya que Yr es resistiva pura.. Queda finalmente, Qr =
=
.
1
2
TR
R
YrVm T
2
Aunque parezca raro, el Q en resonancia tiene el mismo valor que para el circuito serie, visto anteriormente.
L
Hagamos una última deduccción. Consideremos la impedancia en resonancia, Zr =
, por otra parte,
CR
QrR
ωrL
1
1
Qr =
⇒L=
. También Qr =
⇒C=
. Reemplazando estas dos últimas en la
CRωr
QrωrR
R
ωr
1
QrR
ωr = Qr 2R ⇒ Zr = Qr2R . Es interesante destacar en la
ecuación de la impedancia, resulta: Zr =
1
R
QrωrR
última expresión, que cuando más grande sea el Q el circuito, mayor será la impedancia en resonancia,
es decir más se acercará a un circuito resonante paralelo ideal (impedancia infinita).He insistido en este
circuito en virtud de su gran importancia debido a la aplicación que tiene en los transmisores y
receptores de radio, donde se los usa principalmente en circuitos sintonizados y osciladores. Ambos
permiten trabajar en la frecuencia de resonancia del tanque. Más adelante veremos un ejemplo de
circuito sintonizado.
Por otra parte, conviene agregar que el circuito resonante más general es el que tiene en cuenta también
las pérdidas en el capacitor. El análisis de este interesante circuito lo dejo como ejercicio para el
alumno interesado en el tema.
lo tanto, la impedancia del circuito tanque, en resonancia, valdrá:Zr =
5) Curva universal de resonancia
Es muy útil calcular todos los parámetros anteriores en función del
Q del circuito en resonancia y del desplazamiento respecto de la frecuencia de resonancia. Analicemos
en detalle el tema.
1
) , sabemos además que la
Como vimos, la impedancia de un circuito serie es: Z = R + j( ωL −
ωC
1
1
pulsación en resonancia vale: ω 02 =
⇒C=
. Reemplazando en la ec. de la impedancia queda:
LC
Lω 0 2
ω 02
1
Z = R + j( ωL −
) = R + j( ωL − L
) . Si multiplicamos y dividimos la componente imaginaria
ω
ω
ω 02 L
ωL
ω 02 L
ω ω0
ω 0L
por ω 0 L, resulta: Z = R + jω 0 L (
−
) = R + jω 0 L (
−
) . Recordando que Q 0 =
,
ω 0 L ω 0 Lω
ω0 ω
R0
ω0 L ω ω0 
R
Por lo tanto, podemos escribir lo sig. Z = R 0  + j
( − ) . Finalmente reR 0 ω0 ω 
 R0
ω ω0 
R
sulta: Z = R 0  + jQ0( − ) . Como cerca de resonancia ω , tiene un valor muy parecido al de
ω0 ω 
 R0
ω − ω0
,
ω 0 , conviene definir un nuevo parámetro que denominaremos "desintonía fraccional"; δ =
ω0
indica cuánto se aparta la frecuencia actual de la de resonancia en forma relativa. Operando con esta
11
ω ω0 ω
ω
−
=
−1⇒
= 1 + δ . Reemplazando en la ec. de la impedancia, queda:
ω0 ω0 ω0
ω0
( 1 + δ )2 − 1 1 + 2δ + δ 2 − 1
1
2+ δ
ω ω0
, y finalmente,
−
= 1+ δ −
=
=
=δ
1+ δ
1+ δ
1+ δ
1+ δ
ω0 ω
R
2+ δ
Z = R 0(
+ jQ 0 δ
).
R0
1+ δ
Esta expresión es absolutamente general, tanto como la inicial de este desarrollo.
Sí cabe apuntar que aquí hacemos diferencia entre R y R0, ya que la primera es la resistencia a una
frecuencia cualquiera, ω, mientras que la segunda es la resistencia a la frecuencia de resonancia, las
cuales no tienen por qué ser necesariamente iguales, ya que, en general, la resistencia varía con la
frecuencia, por efectos Que veremos más adelante.
Si la desintonía fraccional es muy pequeña comparada con 1, es decir para valores cercanos a la de
resonancia, (los más útiles desde el punto de vista práctico), puede despreciarse δ frente al "2" en el
numerador y frente al "1" en el denominador y, además como la frecuencia coincide casi con la de
resonancia, es lógico pensar que R se aparta muy poco de R0, por lo tanto R ≅ R 0 . Con estas
consideraciones llegamos a la útil expresión muy aproximada para la mayoría de los casos prácticos:
Z = R 0 ( 1 + j 2Q 0 δ ) .
Como nos interesa la admitancia, por los mismos argumentos expresados antes, será interesante
calcular:
Y
1
1
1
, y tomando
= Y 0 , queda finalmente:
=
. Para valores de Q 0 ≥ 20 ,
Y=
Y 0 1 + j 2Q 0 δ
R 0 ( 1 + j 2Q 0 δ )
R0
el error cometido con el uso de esta expresión es del orden del 1%. Valores de Q0 mucho mayores que
el indicado son muy comunes en radiofrecuencias.
expresión :δ
δ=
Según vimos en parágrafos anteriores para los circuitos serie y
Y
1
Z
1
;
=
=
, por lo tanto ambas ecuacioparalelo se obtienen las ecuaciones sig.:
Y 0 1 + j 2Q 0 δ Z 0 1 + j 2Q 0 δ
nes son análogas, por lo tanto para todos los circuitos resonantes, podemos establecer una única curva
de resonancia, que representará la admitancia normalizada para el circuito serie y la impedancia
normalizada para el circuito paralelo, ambas en función del producto Q 0δ . Por lo tanto, conociendo Q0
y ω0, podemos obtener el comportamiento del circuito a frecuencias cercanas a la de resonancia. La




1
1
1
ecuación anterior provee Re 
, e Im 
y el módulo de
.


1 + j 2Q 0 δ
 1 + j2Q0 δ 
 1 + j2Q0δ 
Las curvas son de la sig. forma:
12
curva universal de resonancia
1
módulo
comp. real
0.8
0.6
comp. imaginaria
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
fracción de desintonización relativa
6) Ejemplo de cálculo de un amplificador sintonizado.
Se tiene un amplificador sintonizado, cuyo
circuito tanque presenta los sigs. valores:
C=500pF
R=1Ω
L=50µF
La corriente de polarización de colector, es Icq=2mA.
Se desea saber cuánto valdrá la ganancia de tensión en resonancia y para una frecuencia de 800hz fuera
de sintonía. El circuito para analizar es el dibujado más abajo.
a) Cálculo de la frecuencia de resonancia.
Por ser un circuito tanque, la expresión correcta es :
2
RC
1
1
1
=
⇒ ω 0 = 6 . 324 × 106 , por lo tanto,
ωr = ω 0 1 −
;ω 0 =
− 12
−6
L
s
LC
500 × 10 × 50 × 10
1 × 500 × 10−12
= 0. 999 . En consecuencia, el término de corrección, es totalmente desprecia50 × 10−6
ble (lo que habitualmente sucede en la práctica), de manera que
1
ω0
ω r = ω 0 = 6 . 324 × 10−6 ⇒ f 0 =
= 1. 00658MHz
2π
s
ωr = 1 −
13
b) Cálculo de Q0
Q0 =
ω 0 L 6 . 23 × 106 × 50 × 10−6
=
= 316
R
1
c) Desintonía fraccional
f
ω − ω0 ω
=
−1= −1
ω0
ω0
f0
f = f 0 ± 800 Hz = 0 . 0008 MHz + 1. 00658 MHz
1. 00738
δ=
− 1 = 7. 9 × 10−4 ≅ 8 × 10−4
1. 00658
δ=
Observar qué pequeña es δ, lo que justifica la aproximación realizada en la deducción de la curva
universal.
d) Cálculo de Q0δ
Q 0 δ = 316 × 8 × 10−4 ≅ 0 . 25
Entrando en la curva universal de resonancia, y leyendo
Z
= 0. 9 .
Z0
e) Impedancia en resonancia
Z 0 = RQ 02 = 1 × 3162 = 9 . 98 kΩ ≅ 10kΩ
Observar que para una desintonía de valor δ = 8 × 10−4 = 0. 08% , la impedancia cae al 10%. Es decir
Z ( δ ) = 9kΩ .
f) Ganancia de tensión
Av = gm Z ⇒ Av 0 = 80
mA
× 10 kΩ = 800
V
. Si nos apartáramos 10kHz (ancho
mA
Avδ = 80
× 0 . 9 kΩ = 720
V
de banda normal de una emisora de A.M.), resulta:
0. 01
δ=
= . 0099 ≅ 1% ⇒ Q 0 δ = 0. 01 × 316 = 3. 16 .
1. 00658
Vemos que la curva universal de resonancia no provee valores para Q 0δ > 2, pues el valor de la
relación de impedancias o admitancias, es extremadamente baja. Para Q 0 δ = 2 , la impedancia cae al
25% del valor en resonancia.
No obstante, mediante la expresión de la impedancia deducida anteriormente, resulta:
Z0
Z0
Z =
=
= 0 . 15 Z 0 . La impedancia se reduce al 15% del valor en resonancia.
2 2
1 + 4Q 0 δ
1 + 4 × 3. 162
La ganancia de tensión será: Av = 120 .
14
Calculemos el ancho de banda del circuito: ∆ ω =
ω 0 1. 0065
=
≅ 3kHz . Si trabajamos en A.M., será
Q0
316
necesario tener al menos un ancho de banda de 10kHz. Necesitaríamos pues un Q más bajo.
6) Comportamiento de los distintos componentes de circuito con la frecuencia
a) Resistor
A medida que la frecuencia aumenta, comienzan a ser notorios los efectos debidos a:
I) Capacitancia entre casquillos de conexión.
II) Inductancia del espiralado
y conductores de conexión. El circuito completo será:
Como, en general domina el efecto capacitivo, es imposible lograr resistencias de alto valor a
frecuencias razonablemente altas.
b) Capacitor
Presenta una resistencia en paralelo que pone en evidencia las pérdidas dieléctricas, las cuales se
acentúan con la frecuencia y también inductancia y resistencia de los chicotes de conexión.
Puede ocurrir que para valores de frecuencias altas, el equivalente del capacitor tienda a resonar. A este
fenómeno se lo llama autorresonancia. Es decir, si se supera un valor de frecuencia ω auto , el capacitor
pasa a comportarse como un inductor, hecho que hay que tener muy en cuenta en el diseño de alta
frecuencia.
La impedancia del capacitor bajará al aumentar la frecuencia, por lo tanto presentará una capacitancia
efectiva que variará con la frecuencia. Todo ocurre como si la capacitancia aumentara con la frecuencia,
hasta la autorresonancia. La zona de trabajo útil es para f<f0.
15
c) Inductor
Además de la inductancia, presentará una resistencia serie debida a la resistencia que
presenta el devanado y una capacitancia distribuida que es producida por el capacitor que se forma
entre dos espiras y/o entre capas de espiras, si la bobina es multicapa. El circuito equivalente es el sig.:
También se presentará aquí también el fenómeno de autorresonancia, pero aquí será del tipo paralelo.
16
Al acercarnos a la frecuencia de autorresonancia, la impedancia aumenta, ya que se trata de una resonancia paralelo. En consecuencia es como si la inductancia efectiva, aumentara. La zona útil es hasta
valores cercanos a fa. Luego de fo, el inductor se comportará como un capacitor.
Efecto pelicular o "skin"
Es un proceso que se produce en los buenos conductores, por el cual la
corriente se desplaza por la periferia del conductor en la cara cercana al campo eléctrico.
Supongamos tener un conductor en el cual se aplica un campo eléctrico variable en la superficie del
conductor. Ese campo eléctrico dará origen al establecimiento de una corriente en el conductor. Esa
corriente, según el experimento de Oersted y de la ley de Ampere, dará origen a un cambio de
inducción B, también variable. Ese campo B, en virtud de la ley de Faraday, creará una fem inducida o
campo eléctrico interno, que por la ley de Lenz, deberá oponerse a la causa que le dio origen, siendo
quien la produjo el campo Eo, indicado en el dibujo, por lo tanto, observemos que en la superficie 1-23-4 será menor que el flujo concatenado por la superficie 1-2´-3´-4, por lo tanto el campo eléctrico
opuesto al Eo, (E´), será mayor para la segunda trayectoria, con lo cual el campo total Eo-E´ será
menor y, consecuentemente, también lo será la corriente en esa zona. por lo tanto, la corriente tiende a
disminuir a medida que se entra en el conductor. la disminución es exponencial.
La profundidad, a la cual penetra el campo, reduciéndose al valor e−1 , es decir al 36% de su valor en la
superficie, se denomina profundidad de penetración. Se la simboliza con la letra δ y es inversa con la
1
δ=
, donde f es la frecuencia, µ, la
frecuencia y la conductividad del metal. La expresión es:δ
πfµσ
permeabilidad magnética del metal, es decir µo y σ, es la conductividad del metal.
4
3
E´1
3´
E´2
Eo
I1
1
I2
2
2´
Φ 1234 < Φ 12 ′ 3 ′ 4
.
E′ 2 > E′ 1 ⇒ E − E′ 2 < E − E′ 1 ⇒ I 2 < I1
Por lo tanto, al aumentar la frecuencia, se reduce la sección útil del conductor, con lo cual aumentará la
resistencia. También, el efecto pelicular se transforma en algo útil cuando se desea construir blindajes a
los campos electromagnéticos.
Adrián Darío Rosa
Octubre 1994
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