Postulados del Electromagnetismo

Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
1. Breve reseña histórica: Fenómenos eléctricos y magnéticos. Importancia del Electromagnetismo. La descripción mediante campos.
2. La carga eléctrica: Naturaleza. Propiedades. Distribuciones de carga. Densidades superficiales
y lineales.
3. Corriente eléctrica: Concepto de intensidad. Concepto de densidad de corriente. Corrientes
superficiales y filiformes. Ley de conservación de la carga.
4. Ecuaciones de Maxwell en el vacı́o: Campos Eléctrico y Magnético. Formulación local.
Compatibilidad de las ecuaciones.
5. Fuerza de Lorentz: Fuerza general sobre cargas. Fuerza sobre distribuciones. Transformación
galileana de los campos.
6. Forma integral de las Ecuaciones de Maxwell: Ley de Gauss. Ley de inexistencia de
monopolos. Ley de Faraday. Ley de Ampère-Maxwell.
7. Discontinuidades de los campos: Discontinuidad del campo eléctrico al atravesar una
distribución superficial de carga. Discontinuidad del campo magnético al atravesar una distribución
superficial de corriente. Balance de carga en una superficie.
8. Conservación de la energı́a: Trabajo de las fuerzas electromagnéticas. Teorema de Poynting.
Energı́as eléctrica y magnética. Vector de Poynting.
2.1.
Breve reseña histórica
• Fenómenos eléctricos y magnéticos
Las primeras noticias de lo que hoy conocemos como fenómenos electromagnéticos provienen
del mundo griego. Hacia el año 600 a.C. los filósofos helenos habı́an ya observado que al frotar
trozos de ámbar estos adquirı́an la capacidad de atraer pequeños fragmentos de papiro y paja. (La
palabra electrón proviene de la voz griega para ámbar) Asimismo, observaron que ciertas piedras
provenientes de la isla de Magnesia (la magnetita) eran capaces de atraer trozos de hierro.
Sin embargo, estos fenómenos no comenzaron a estudiarse intensivamente hasta el principio de
la edad moderna (aunque hay que señalar el descubrimiento de la brújula, fenómeno puramente
magnético, de importancia capital en la historia de la Humanidad). En su obra De magnete (1600),
William Gilbert establece por primera vez la distinción entre los dos fenómenos, electricidad y
magnetismo. A partir de este momento las investigaciones se intensifican, pero es sobre todo a
partir de la segunda mitad del siglo XVII cuando se empiezan a establecer las bases de lo que hoy
denominamos electromagnetismo clásico.
Hay que destacar los trabajos experimentales de Cavendish y Coulomb, que establecieron la ley
de atracción entre cargas eléctricas. En particular las experiencias de Coulomb consistieron en la
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medida de la fuerza, mediante una balanza de torsión, que sufre una esferilla conductora cargada
cuando se le acerca otra esferilla también cargada. El resultado de sus observaciones se resumieron
en la fórmula bien conocida análoga a la ley de atracción de masas de Newton:
F =k
qq ,
r2
donde intervienen las dos cargas q y q , la distancia entre ambas y una constante universal k, para
dar la fuerza medida F . Comprobó que dicha fuerza es atractiva o repulsiva dependiendo del tipo
de electrificación de las esferas, y que su dirección era según la recta que las unı́a.
La invención de la pila eléctrica por Volta (1800), permitió generar corrientes eléctricas permanentes, lo cual llevo al descubrimiento de nuevos fenómenos. En particular, en 1820 Oersted
descubrió la primera relación experimental entre electricidad y magnetismo, al observar que una
corriente eléctrica era capaz de desviar una aguja imantada (una brújula). En 1831, el fı́sico inglés
Michael Faraday realizó el descubrimiento inverso, un imán en movimiento era capaz de producir
una corriente eléctrica transitoria. Las ideas de Faraday sobre electricidad y magnetismo fueron
ampliadas y formuladas matemáticamente por James Clerk Maxwell, quién en 1872 presentó sus
famosas ecuaciones, donde se muestra que la electricidad y el magnetismo, junto con los fenómenos
de la óptica, obedecen un conjunto único de leyes. A partir de este momento, todos estos fenómenos
se engloban bajo el término electromagnetismo.
• Importancia del electromagnetismo
En la actualidad se considera que sólo existen cuatro interacciones fundamentales en la Naturaleza: gravitatoria, electromagnética, fuerza fuerte y fuerza débil. Las dos últimas sólo se dejan
sentir dentro de los núcleos atómicos (distancias del orden de 10−15 m) y son responsables de la
cohesión de los núcleos (la fuerza fuerte) y de los fenómenos radioactivos (la fuerza débil).
La fuerza gravitatoria y la electromagnética son fuerzas de largo alcance, es decir, sus efectos
se dejan sentir entre cuerpos separados por distancias muy grandes. La primera es únicamente
atractiva, mientras que la segunda puede ser atractiva o repulsiva. De las dos, la más intensa es
la electromagnética. Ası́, entre dos electrones en reposo la fuerza eléctrica es aproximadamente
1036 veces más intensa que la fuerza gravitatoria. La razón de que la interacción gravitatoria sea
dominante a escala astronómica es la casi perfecta neutralidad de los cuerpos macroscópicos.
En nuestra vida corriente la interacción electromagnética es de largo la más importante. De
hecho, puede decirse que salvo los fenómenos relacionados con el peso, todo lo que nos rodea es
electromagnetismo. La estructura de la materia esta formada por partı́culas (protones, electrones,
neutrones) que interaccionan por medio de la electricidad y el magnetismo, produciendo distintos
estados de agregación (sólidos, lı́quidos, gases). En última instancia, la impenetrabilidad de los
sólidos, poder pisar suelo firme, se debe a esta interacción. Todos los procesos quı́micos, desde el
motor de combustión hasta los procesos biológicos se basan en el electromagnetismo. Y toda la
energı́a que recibimos del Sol, gracias a la cual existe la vida sobre la Tierra, llega en forma de
ondas electromagnéticas.
Hablando ya en un nivel ligado a nuestra propia civilización, podemos argumentar que todo
lo relativo a telecomunicaciones, radio y televisión se apoya en la existencia de ondas electromagnéticas. Las instalaciones eléctricas de una casa o de una fábrica, o los circuitos integrados
que permiten la construcción de ordenadores se basan en el fenómeno de la corriente eléctrica. El
tipo de energı́a más utilizado en la vida cotidiana es la eléctrica.
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• Descripción mediante campos
Los fenómenos electromagnéticos se manifiestan como fuerzas que actúan entre partı́culas o
cuerpos materiales (cargas eléctricas, imanes, corrientes, etc). En principio se intentó explicar
estas interacciones basándose en el principio de acción a distancia: una partı́cula ejerce una fuerza
sobre otra situada a una cierta distancia, y la información se transmite instantáneamente. Ası́ es
como Newton trata la interacción gravitatoria en los Principia (1687).
Sin embargo, esta visión plantea algunos problemas conceptuales. En la vida real la información
sobre un acontecimiento tarda un cierto tiempo en llegar desde el lugar en que se produce (ya
sean los cotilleos en un bloque de vecinos o la publicación de las notas de un examen). Este
y otros problemas indujeron a Michael Faraday a introducir la idea de que la interacción entre
dos cuerpos cargados o magnetizados no ocurre directamente, sino que se produce a través de
un agente mediador, que es el campo electromagnético. Ası́, al colocar una carga eléctrica en un
punto, ésta crea una perturbación en el medio que la rodea (que hoy llamamos campo eléctrico).
Si otra partı́cula cargada se coloca en ese espacio, el campo en ese punto ejerce una fuerza sobre
ella. Si se modifica el valor de la primera carga, esta modificación se traslada al campo, que a su
vez la traslada a la segunda partı́cula, variando la fuerza ejercida sobre ella.
En un principio la introducción de este campo puede parecer un artificio destinado a facilitar
los cálculos, y ası́ se trató durante algún tiempo por gran parte de la comunidad cientı́fica. Sin
embargo, posteriormente se comprendió que el campo electromagnético posee realidad fı́sica en
sı́ mismo, entendiéndose como tal que es capaz de almacenar y transportar energı́a y momento
lineal y cinético.
2.2.
La carga eléctrica
La carga eléctrica es una cualidad de la materia responsable de la interacción electromagnética
entre distintas partı́culas.
La carga eléctrica posee las siguientes propiedades:
1. La carga es dual: existen dos tipos que se denominan positivo y negativo, discernible por el
comportamiento que partı́culas cargadas con cada tipo muestran en su interacción con otras dadas,
y por la propiedad de neutralizar en cierta medida su efecto cuando se combinan.
2. La carga está cuantizada: del conocimiento actual de las partı́culas elementales se admite
que existe una carga mı́nima, que es la del electrón para el tipo negativo y la del protón para el
positivo, ambas iguales en valor absoluto. Cualquier estado de agregación de la materia posee una
carga múltiplo de dicho valor.
3. La carga se conserva localmente: nunca se ha observado un fenómeno del cual resulte la
creación neta de carga en un punto del espacio. Siempre que aparece (o se destruye) una carga en
un punto, aparece (o se destruye) una carga opuesta en el mismo punto.
4. La carga es un invariante relativista: su medida da el mismo resultado en cualquier sistema
de referencia, sea cual sea su velocidad.
La carga se simboliza habitualmente por la letra q. Su medida y la adopción de la unidad debe
posponerse hasta que se describan la interacción electromagnética y las condiciones experimentales
adecuadas para ello. Baste adelantar que la unidad en el Sistema Internacional es el Coulombio
(C) y que la carga del electrón es qe = −1,6 · 10−19 C.
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Dado que la materia es discreta y la carga es una cualidad suya, la distribución de la carga en
el universo es discreta. Sin embargo, en la mayorı́a de las situaciones que nos interesan, el número
de partı́culas constituyentes es tan grande que es conveniente adoptar la hipótesis de medio
continuo. Según ésta, en cada punto r del espacio podemos definir una densidad volumétrica
de carga mediante la expresión
N
1 ρ(r, t) =
qi ,
dτ i=1
siendo N el número de partı́culas cargadas encerradas en un volumen dτ que contiene al punto r.
El volumen elegido debe ser pequeño en relación con las dimensiones caracterı́sticas del sistema
considerado, pero suficientemente grande para que las fluctuaciones en el valor de N sean pequeñas
en comparación con N. En la mayorı́a de las situaciones que estudiaremos es posible encontrar un
volumen dτ que cumpla ambas condiciones. Por tanto podremos considerar la carga asignada a un
volumen elemental dτ en el punto r por dq = ρ(r)dτ y aplicar el formalismo del cálculo diferencial
e integral desarrollado en el tema 1.
Si tenemos una sola especie cargada, con carga q y número de partı́culas por unidad de volumen
igual a n(r), la densidad resultará ser ρ(r) = qn(r). Si son s especies con cargas qi y densidades
ni tendremos en general
ρ(r, t) =
s
i=1
qi ni (r, t).
Ejemplo:
3
Teniendo en cuenta que la densidad másica del cobre es ρm = 8,95 g/cm , que cada átomo posee un electrón de
conducción y que el peso atómico del cobre es Pa = 63,55 g/mol, hállese el número de portadores de carga libres
(electrones) para 1 mm3 de este material.
Si un mol posee NA = 6,022 · 1023 átomos de cobre, que ocupan un volumen τmol , la densidad de portadores
(pasando todo a unidades del Sistema Internacional) es
n=
NA
NA
ρm N A
6,022 · 1023 · 8950
=
=
=
= 8,48 · 1028 m−3 .
τmol
Pa /ρm
Pa
63,55 · 10−3
donde hemos usado que la masa de cobre correspondiente a un mol es Pa y por tanto ρm = Pa /τmol . En 1 mm3 de
cobre se incluyen entonces
N = nτ = 8,48 · 1028 · 10−9 = 8,48 · 1019 electrones.
Si el volumen considerado es de una micra cúbica los electrones de conducción incluidos son todavı́a del orden
de 1011 , un número suficientemente elevado para justificar una aproximación de medio continuo.
En otras muchas ocasiones tendremos que tratar con distribuciones superficiales de carga (como
en el caso de conductores en equilibrio electrostático, o el bombardeo de materiales aislantes con
partı́culas cargadas que quedan depositadas en su superficie). Entonces se define análogamente
una densidad superficial de carga como
ρS (r) =
N
1 qi ,
ΔS i=1
con N las cargas encerradas en una porción de área ΔS, de una capa muy delgada definida en un
punto r de la superficie. La carga definida en una superficie elemental es dq = ρS (r)dS.
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También es útil, aunque de menor interés conceptual, la definición de una densidad lineal de carga
λ(r), de tal forma que la carga asociada a un elemento dl de una lı́nea cargada es dq = λ(r)dl.
El concepto de densidad volumétrica de carga permite representar distribuciones discretas usando
la función δ de Dirac. Un conjunto de n cargas qi localizadas en los puntos ri se describe con la
función
n
ρ(r) =
i=1
qi δ(r − ri ).
Ejemplo:
Una esfera de radio R posee una distribución volumétrica de carga con simetrı́a radial, descrita por la función
0 si 0 < r < R − d
ρ(r) =
ρ0 si R − d < r < R.
Se trata pues de una corteza uniformemente cargada de espesor d adyacente a la superficie de la esfera. Si el
espesor d es pequeño en comparación con R puede ser útil definir una densidad superficial de carga que sustituya
a la distribución en volumen. ¿Qué relación existe con la densidad volumétrica?
Para responder a esta cuestión debemos asignar a cada elemento de superficie dS una carga elemental dq. La
subtiende un ángulo sólido dΩ desde el centro
densidad superficial será entonces ρS = dq/dS. Si la superficie dS
2
de la esfera, podemos escribir dS = R dΩ y dq queda definida como la carga asociada a dicho ángulo sólido:
R
ρ0 3
2
dq =
R − (R − d)3 dΩ.
ρ0 r dr
senθdθdφ =
3
R−d
dΩ(θ,φ)
espesor
cargado
r(r)
dS
r0
R-d dW
R
R-d R
r
Extrayendo un factor R3 del corchete y teniendo en cuenta la relación entre dS y dΩ escribimos
dq =
ρ0 R 3 ρ0 R 1 − (1 − d/R)3 dΩ =
1 − (1 − d/R)3 dS,
3
3
y por tanto
ρ0 R 3 dq
=
1 − (1 − d/R)3 .
dS
3
Si, como se nos dice, d << R podemos simplificar el resultado desarrollando hasta el segundo término el paréntesis:
1 − (1 − d/R)3 1 − [1 − 3(d/R)] = 3d/R. Sustituyendo obtenemos
ρS = ρ0 d.
Es interesante notar que para que ρS tenga un valor apreciable desde el punto de vista macroscópico ρ0 debe ser
muy grande, dado que d, el espesor de la distribución, se dice que es muy pequeño. Si por ejemplo en una esfera
metálica de 1 cm de radio la carga se distribuye en una capa de 10−8 m y la carga total es de 10−7 C, tendremos
2
3
ρS = q/(4πR2 ) ∼ 10−4 C/m , y ρ0 resulta ρ0 = ρS /d ∼ 104 C/m .
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Podemos extrapolar el resultado del ejemplo anterior a situaciones en las que ya no hay simetrı́a
radial. En general si tenemos una densidad volumétrica ρ(r) restringida a una capa de espesor
e(rS ) adyacente a un punto rS de una superficie S, el elemento de carga asociado a un dS definido
en un punto de la superficie es
dq = ρdτ = ρedS = ρS dS
→ ρS = ρe.
Igualmente, si la distribución de carga es filiforme, podemos relacionar la densidad lineal de
carga λ(r) con la densidad volumétrica, esta vez tomando como volumen elemental un trozo de
hilo de longitud dl y sección S, en el cual se encierra una carga
dq = ρdτ = ρSdl = λdl
2.3.
→ λ = ρS.
Corriente eléctrica
Se define intensidad de corriente eléctrica que atraviesa una superficie dada, S, en un sentido
también especificado, como la carga neta que pasa en ese sentido por unidad de tiempo,
I=
dq
.
dt
Teniendo en cuenta la naturaleza discreta de los portadores de carga, para calcular la intensidad
habrı́a que hacer un recuento estadı́stico de portadores que en un intervalo Δt atraviesan la
superficie en uno y otro sentido, multiplicar por la carga de cada uno (teniendo en cuenta el signo)
y dividir por el intervalo temporal elegido. Según la definición, si en un determinado medio, donde
existen portadores de cargas positivas y negativas, fijamos una superficie horizontal y elegimos
como corriente positiva la que va de abajo hacia arriba, tendremos cuatro tipos de aportes: (1)
cargas positivas que atarviesan subiendo; (2) cargas cargas positivas que atraviesan bajando; (3)
cargas negativas que atarviesan subiendo, y (4) cargas cargas negativas que atraviesan bajando.
De los cuatro, los aportes (1) y (4) son positivos y los aportes (2) y (3) son negativos.
Dt
q1
v1
DS
vDt
El caso más simple e ideal es el de un sólo tipo de portador con carga q1 , con número de partı́culas
por unidad de volumen n1 , todas moviéndose con velocidad v1 ; la carga que pasarı́a a través de
y la intensidad serı́an (ver figura)
una superficie elemental ΔS
Δq = q1 n1 (v1 Δt) · ΔS
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
⇒
ΔI = q1 n1v1 · ΔS,
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puesto que sólo debemos considerar las cargas encerradas en un volumen cilı́ndrico contiguo a
la superficie, con directriz dada por el segmento v1 Δt. Si en una situación general tenemos s
especies distintas, cada una con una carga qi y consideramos la velocidad media vi de cada especie,
podremos obtener la intensidad mediante la fórmula
ΔI =
s
qi nivi · ΔS.
i=1
Observamos que podemos definir en cada punto del espacio un vector que denominaremos densidad de corriente, dado por
s
j =
i=1
qi nivi .
La intensidad que atraviesa una superficie S queda finalmente expresada como
I=
S
j · dS.
La unidad de intensidad de corriente en el S.I. es el amperio, simbolizado por .A”, cuya
definición operativa se verá en el próximo capı́tulo, y que se corresponde con el paso a través de
una superficie dada de un coulombio en un segundo.
Al igual que con las densidades de carga, en la práctica se utiliza también el concepto de densidad superficial de corriente que se simboliza con el vector jS . Esta magnitud es útil cuando
existe una región del espacio de espesor e pequeño comparado las dimensiones tı́picas de nuestro
sistema, en la cual está definida una corriente medible macroscópicamente. En tal caso tiene sentido interesarse por la intensidad de corriente que fluye a través de una lı́nea γ contenida en la
superficie S que soporta la corriente, puesto que dicha lı́nea y el espesor e constituyen una delgada
sección a través de la cual pasa la carga (ver figura).
S
e
g dl
jS
dl
La intensidad se relaciona con la densidad superficial de corriente mediante la fórmula
I=
γ
jS · dl⊥ ,
siendo dl⊥ un vector de módulo igual al segmento dl definido en γ y dirección contenida en
la superficie de corriente y perpendicular al segmento. Nótese que edl⊥ forma un elemento de
superficie adecuado para describir la delgada sección por la que fluye carga. Por tanto si queremos
relacionar la distribución superficial con una densidad volumétrica de corriente llegamos a la
conclusión de que existe una j para la cual jS = ej. Si el espesor es muy pequeño, la corriente
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
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volumétrica debe ser muy grande para que el producto dé una cantidad apreciable desde el punto
de vista macroscópico, y por ello se la considera como singularidad. Esta discusión es en todo
análoga a la que se hizo en el ejemplo del apartado 2.2 para relacionar las densidades de carga
superficial y de volumen.
Ejemplos prácticos de la modelización mediante corrientes superficiales nos los ofrecen los hilos
metálicos por los que pasan corrientes de muy alta frecuencia (véase el “efecto skin” en el tema
9), de forma que la corriente está restringida a una delgada capa adyacente a la superficie del hilo,
con un grosor tanto más pequeño cuanto mayor es la frecuencia.
Ejercicio:
Un cilindro de radio R posee una distribución volumétrica de corriente descrita por la función j = j0 uφ para
r − d < r < R, siendo d < R, y nula para cualquier otro valor de la coordenada radial. ¿Qué valor tendrı́a una
corriente superficial que sustituyera a la distribución volumétrica? Analı́cese el caso d << R.
Finalmente se introduce las distribuciones filiformes de corriente cuando por una sección
muy pequeña pasa una intensidad apreciable macroscópicamente. Es el caso habitual de hilos
metálicos usados en la confección de circuitos eléctricos. Para ellos la propia intensidad I, con un
sentido determinado por su signo, basta para caracterizar la distribución de corriente.
Ejemplo:
Un hilo de cobre de 1 mm2 de sección puede soportar sin fundirse una corriente de 18 A de intensidad. Hállese la
velocidad media de los electrones de conducción para dicha intensidad.
Si se admite que la corriente se distribuye uniformemente en toda la sección del hilo podemos calcular la densidad
de corriente de manera muy sencilla:
= j dS = jS → j = I/S.
I = j · dS
Por otra parte sólo hay un tipo de partı́cula cargada con velocidad no nula, que es el electrón de conducción cedido
por cada átomo de cobre. El ion positivo restante está en reposo, formando parte de la red propia del enlace
metálico, y no interviene en la conducción. Se tiene pues que j = qnv, siendo q = −1,9 · 10−19 C, n el número de
portadores por unidad de volumen y v la velocidad media que se nos pide.
El valor de n fue calculado en un ejemplo anterior (n = 8,48 · 1028 m−3 ). La velocidad media de los electrones de
conducción en el hilo es
v=
I
18
j
=
=
(m/s) = 1,33 mm/s.
−19
qn
qnS
1,6 · 10
· 8,48 · 1027 · 10−6
El resultado puede sorprender si por ejemplo pensamos en el tiempo que transcurre entre accionar un interruptor y
encenderse una bombilla; tiempo muy inferior al que necesitarı́a un electrón de la corriente establecida en recorrer
algunos metros de cable. La resolución de esta paradoja es simple si tenemos en cuenta que al establecer la corriente
ponemos casi instantáneamente en movimiento a todos los electrones de conducción del circuito a la vez. Lo que
se propaga muy rápidamente es la información de que en un punto del circuito los electrones están en movimiento.
Esta ”información”no es otra cosa que el campo electromagnético, que introduciremos en los siguientes apartados.
Un comentario importante que podemos hacer aprovechando el ejemplo anterior es que debemos
tener cuidado en la interpretación de la definición de intensidad, I = dq/dt, puesto que el diferencial
de carga hace referencia a la carga que está fluyendo en el intervalo dt, pero no se debe relacionar
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
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con una variación de la carga existente en una porción del hilo. De hecho el hilo es neutro en la
mayorı́a de las aplicaciones (ρ = 0); la carga está en tránsito y no hay carga que se acumule. Esto
se discute de forma general en el siguiente epı́grafe, dedicado a la ecuación de continuidad.
• Ecuación de continuidad
La conservación de la carga implica que la variación de la carga encerrada en un volumen τ en
la unidad de tiempo es debida exclusivamente a la que abandona dicho volumen a través de su
frontera Sτ . Dado que un flujo positivo (saliente del volumen según nuestro convenio) implica una
disminución de la carga en el interior, la formulación matemática de lo anterior es
dq j · dS,
− =
dt
Sτ
o bien, usando el concepto de densidad y el teorema de la divergencia,
∂ρ
· j dτ,
dτ = ∇
τ ∂t
τ
donde la derivada temporal se ha podido introducir en el integrando porque el volumen τ que
elegimos no varı́a con el tiempo, y como además es arbitrario, se debe cumplir
−
∂ρ + ∇ · j = 0,
∂t
que es la ecuación de continuidad y representa la formulación matemática de la conservación
· j = 0.
local de la carga neta. Si las distribuciones no varı́an con el tiempo se verificará ∇
Ejemplo:
En una región del espacio con forma esférica se tiene una densidad de carga uniforme que varı́a en el tiempo, ρ0 (t).
Esto implica necesariamente un flujo de carga en cada punto de dicha región. Admitiendo que el flujo tiene lugar
en dirección radial, hállese la densidad de corriente en cada punto y la intensidad que atraviesa los lı́mites de la
región considerada.
De la ecuación de continuidad en forma diferencial obtenemos
· j = − ∂ρ = − dρ0 .
∇
∂t
dt
Si la densidad de corriente es radial se puede expresar como j = j(r, t)ur . Su divergencia es
2
· j = 1 ∂(r j) .
∇
2
r
∂r
Sustituyendo en la expresión anterior se obtiene una ecuación en la variable r para la densidad pedida. Multiplicando
toda la ecuación por r2 e integrando se llega a
dρ0 r
dρ0 r 2
dρ0 r3
2
⇒ j(r, t) = −
.
r dr = −
r j(r, t) = −
dt 0
dt 3
dt 3
La segunda cuestión se obtiene, bien integrando esta densidad de corriente a través de la superficie esférica que
limita la región donde está definida la densidad de carga, bien aplicando la ecuación de continuidad en forma
integral. Según lo último,
dq
4
d
dρ0
I =−
ρ0 (t)dV = − πR3
=−
.
dt
dt
3
dt
esf
da el mismo resultado.
Puede comprobarse que I = S(R) j · dS
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
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2.4.
Las Ecuaciones de Maxwell
El Electromagnetismo postula que la presencia de cargas en una región del espacio da lugar en
r ) y un campo magnético B(
r) que satisfacen
general a la existencia de un campo eléctrico E(
las siguientes ecuaciones:
·E
= ρ,
∇
0
×E
= − ∂B ,
∇
∂t
·B
= 0,
∇
⎛
⎞
×B
= μ0 ⎝j + 0 ∂ E ⎠ ,
∇
∂t
donde ρ es la densidad volumétrica de carga, j la densidad de corriente y 0 y μ0 son la permitividad
y la permeabilidad del vacı́o respectivamente, es decir, dos constantes universales cuyos valores en
el Sistema Internacional son
0 = 8,85 · 10−12 C2 s2 /(kg · m3 );
μ0 = 4π · 10−7 kg · m/C2 .
Las ecuaciones de Maxwell que acabamos de escribir en forma local permiten determinar
de manera unı́voca los campos eléctrico y magnético en todo punto del espacio, siempre que
conozcamos las densidades de carga y de corriente. Esto es ası́ puesto que sabemos por el teorema
de Helmholtz que un campo vectorial puede ser reconstruido a partir de su divergencia y su
rotacional, que son los datos que nos aportan estas ecuaciones. El problema desde el punto de
vista matemático no tiene solución inmediata mediante la aplicación de dicho teorema, puesto que
yB
aparecen acoplados (uno interviene en las fuentes vectoriales del otro).
en las ecuaciones E
No obstante encontraremos en el capı́tulo 4 la solución general.
Ejemplo:
Las ecuaciones de Maxwell permiten, de manera inversa, obtener las fuentes (cargas y corrientes) a partir del
conocimiento de los campos. Dadas las expresiones
r , t) = E0 cos(ky − ωt)uz ,
E(
r , t) = B0 cos(ky − ωt)ux ,
B(
con E0 , B0 , k y ω constantes, comprobemos que efectivamente pueden ser campos eléctrico y magnético respectivamente y hallemos sus fuentes.
·E
= ρ/0 , obtenemos la densidad de carga, que en este caso es nula:
De la primera ecuación de Maxwell, ∇
ρ = 0 ∇ · E = ∂Ez /∂z = 0.
·B
= ∂Bx /∂x = 0.
La tercera ecuación se verifica trivialmente: ∇
Para ver si se verifica la segunda ecuación evaluamos cada miembro por separado:
×E
= ∂Ez ux = −E0 k sen(ky − ωt)ux ,
∇
∂y
∂B
−
= −B0 ω sen(ky − ωt)ux ,
∂t
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
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e igualando obtenemos la condición B0 ω = E0 k que debe cumplirse entre estos parámetros para que las expresiones
propuestas sean campos electromagnéticos.
La cuarta ecuación también debe verificarse, pero esto simplemente determina el valor que debe tener la densidad
de corriente j en cada punto del espacio:
B0 k
∂B
1 ∇ × B − 0
=
j =
− 0 E0 ω sen(ky − ωt)uz .
μ0
∂t
μ0
Si los valores de los parámetros son tales que el primer paréntesis es nulo, la densidad de corriente serı́a a su vez
nula en todo el espacio. En tal caso el ejemplo que estamos manejando corresponderı́a a una onda electromagnética
monocromática plana propagándose en el vacı́o. Esto ya se verá en el tema 4.
Una propiedad fundamental de las ecuaciones de Maxwell es que son lineales. Esto implica que si
consideramos los campos producidos por ciertas fuentes (cargas y corrientes) que denominaremos
por “1”, y, por otro lado, los campos producidos por otras fuentes “2”, entonces el problema
conjunto de encontrar los campos producidos por la combinación de ambos conjuntos de fuentes
tiene como solución la suma de los campos producidos por cada conjunto de fuentes. Esto se suele
denominar principio de superposición. Un ejemplo simple: el campo eléctrico que producen dos
cargas puntuales es la suma vectorial en cada punto de los campos producidos por cada carga. Hay
que prevenir sin embargo de que, desgraciadamente, en muchas aplicaciones prácticas la presencia
de una fuente modifica la otra, con lo que el principio anterior no puede ser aplicado.
Dado que en las ecuaciones de Maxwell aparecen las distribuciones de carga y de corriente, es
necesario comprobar que son compatibles con la ecuación de conservación local de la carga. Si
tomamos la divergencia de la cuarta ecuación se tiene
⎡
⎛
⎞⎤
· (∇
× B)
= μ0 ⎣∇
· j + 0 ∇
· ⎝ ∂ E ⎠⎦ .
∇
∂t
El primer miembro se anula, y si en el último término del segundo miembro permutamos las
operaciones de derivación temporal y divergencia, y utilizamos la primera ecuación, resulta
· j + ∂ρ ,
0=∇
∂t
es decir, la ecuación de continuidad está implı́citamente contenida en las ecuaciones de Maxwell.
No hay pues que añadirla como un postulado más.
2.5.
Fuerza de Lorentz
Para completar la descripción de la interacción electromagnética es necesario establecer la fuerza
sobre las partı́culas cargadas. Ésta viene dada por la fuerza de Lorentz:
+ v × B).
F = q(E
Si se trata de una distribución volumétrica de cargas y corrientes debemos sumar las fuerzas
ejercidas sobre cada una de las partı́culas encerradas en un volumen dτ , lo cual, usando un recuento
estadı́stico sobre cada una de las s especies, se expresa
dF =
s
i=1
+
qi ni dτ E
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
s
i=1
qi ni dτvi × B.
11
Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
Esta es la fuerza ejercida sobre el elemento de volumen considerado. Hemos tenido en cuenta
yB
son prácticamente los mismos para todas las partı́culas encerradas. Ahora
que los campos E
usando los conceptos de densidad volumétrica de carga y de corriente podemos escribir
+ j × B)dτ.
dF = (ρE
En el caso de distribuciones superficiales de carga y de corriente la expresión anterior se transforma en
+ jS × B)dS.
dF = (ρS E
Finalmente, para distribuciones en forma de hilo, la integración de la fuerza elemental sobre un
volumen dτ = S dl, siendo S la sección del hilo, se realiza del siguiente modo:
+ j × B)S
dl = λEdl
+ Idl × B,
dF = (ρE
siendo dl un segmento elemental de la lı́nea de corriente, orientado según el flujo positivo de carga.
Nótese que se ha definido λ = ρS, I = jS, y en el segundo término se ha aprovechado que j y dl
son colineales.
y B.
Para el
Las fórmulas anteriores permiten establecer las unidades en el S.I. de los campos E
campo eléctrico la unidad, que no tiene nombre especı́fico, es el newton dividido por coulombio
(N/C), mientras que para el campo magnético la unidad se denomina tesla (T), y equivale a un
newton dividido por amperio y por metro.
La fuerza de Lorentz es el último postulado necesario para establecer las bases del Electromagnetismo: las ecuaciones de Maxwell permiten conocer los campos eléctrico y magnético a partir de
sus fuentes (cargas y corrientes) y la fuerza de Lorentz nos dice cómo actúan estos campos sobre
la materia1 . Sin embargo en la práctica la situación en extremadamente compleja, puesto que las
partı́culas cargadas son a la vez agentes productores de los campos y receptores de su acción. En
muchas ocasiones no podemos caracterizar ρ y j antes de conocer los campos que actúan sobre
los portadores de carga, y por otra parte es claro que no podemos conocer los campos sin conocer
sus fuentes; hablamos entonces de un problema acoplado. El ejemplo más claro lo tenemos en
un conductor en equilibrio electrostático (que se estudiará en el tema 5): las cargas producen un
campo eléctrico que actúa sobre ellas mismas hasta alcanzar una distribución tal que la fuerza
total ejercida sobre cada parte de la distribución sea nula. Otro ejemplo es una antena emisora
de radiocomunicación: los electrones se mueven por el metal y producen ondas electromagnéticas,
pero estas ondas actúan a su vez sobre la propia antena, de manera que no sabemos a priori cuál
es la corriente que la alimenta.
Por este motivo, la organización de este curso introductorio tiene dos partes bien diferenciadas.
Hasta el tema 4, inclusive, desarrollamos una teorı́a del Electromagnetismo desde un punto de
vista idealizado, en el que las fuentes son conocidas y llegamos a soluciones de validez general. A
partir del tema 5 nos enfrentamos con la materia desde un punto de vista práctico, tratando de
1
La situación es más complicada en realidad ya que existen partı́culas que, independientemente de si tienen
carga o no, poseen un momento magnético asociado con un momento angular intrı́nseco o espı́n, sobre el cual un
campo magnético ejerce una acción no incluida en la fuerza de Lorentz. No obstante el conjunto de postulados
que proponemos es capaz de englobar este tipo de fenómenos si equiparamos el momento magnético intrı́nseco al
momento asociado a espiras de corriente. Estos conceptos, aún no definidos, se introducen en el siguiente tema.
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
12
Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
caracterizar su comportamiento en cuanto a distribución de fuentes y campos se refiere. Veremos
que se consiguen resultados valiosos pero restringidos a ciertos tipos de materiales de comportamiento sencillo (conductores óhmicos, dieléctricos simples, etc.). Para ello habremos de añadir a
los postulados ciertas leyes empı́ricas o basadas en un tratamiento estadı́stico de los constituyentes
de la materia.
A continuación vemos algunos ejemplos sencillos de movimiento de partı́culas cargadas en el
seno de campos eléctricos y magnéticos conocidos.
Ejemplo:
Descrı́base el movimiento de una partı́cula cargada en una región en la que existe: (a) un campo eléctrico constante
y uniforme; (b)un campo magnético constante y uniforme.
(a) Supongamos que la partı́cula posee masa m, carga q y velocidad inicial v0 , y que el campo eléctrico establecido
0 no es colineal con esta velocidad. La ecuación de movimiento es
E
m
dv
0.
= qE
dt
0 t/m. Integrando de nuevo con la condición
Esta ecuación vectorial se integra directamente para dar v (t) = v0 + q E
inicial r(0) = r0 se llega a las ecuación horaria r(t) = r0 + v0 t + q E0 t2 /(2m). La trayectoria es un movimiento
0 y v0 .
parabólico en el plano que forman E
(b) Para el caso de un campo magnético uniforme y constante elegimos un sistema de referencia con el eje Z en
= Buz . La velocidad inicial tendrá en general dos componentes: una
la dirección del campo, de manera que B
paralela a B y otra perpendicular, que denotaremos vz uz y v⊥ respectivamente. Podemos tratar convenientemente
la ecuación de movimiento con esta descomposición:
m
d
(vz uz + v⊥ ) = q(vz uz + v⊥ ) × (Buz ),
dt
o bien
dvz
dv⊥
uz + m
= qBv⊥ × uz .
dt
dt
El producto vectorial es evidentemente perpendicular al eje Z, mientras que en el primer miembro distinguimos
componentes paralelas y perpendiculares. Por tanto, teniendo en cuenta que uz · dv⊥ /dt = d/dt(uz ·v⊥ ) = 0, resulta
m
m
dv
= 0;
dt
m
dv⊥
= qv⊥ × B
dt
La primera de las dos nos dice que en la dirección del campo el movimiento es uniforme, con vz (t) = vz0 .
La segunda ecuación gobierna la proyección del movimiento en el plano XY , perpendicular al campo. Si multiplicamos escalarmente por v⊥ el segundo miembro será nulo y por tanto
mv⊥ ·
dv⊥
= 0.
dt
Pero v⊥ · dv⊥ /dt = d(v⊥ · v⊥ )/dt = d(|v⊥ |2 )/dt, por lo cual |v⊥ | es constante en el movimiento. También el módulo
de la fuerza de Lorentz es constante: |F | = q|v⊥ ||B|sen(π/2)
= qv⊥0 B. La fuerza es perpendicular a esa componente
de la velocidad y constante en módulo. Se trata pues de un movimiento circular uniforme. El radio de la proyección
de la trayectoria en el plano XY , R, se obtiene como es habitual igualando en módulo la fuerza de Lorentz a la
2
/R, con
masa por el módulo de la aceleración centrı́peta propia de este tipo de movimiento, es decir, qv⊥ B = mv⊥
lo cual
mv⊥0
.
R=
qB
La velocidad angular del movimiento será ω = v⊥0 /R = qB/m, y se denomina frecuencia de ciclotrón.
La combinación de los dos movimientos estudiados (traslación uniforme y rotación uniforme en el plano transversal) produce un movimiento helicoidal, cuyas ecuaciones horarias se dejan como ejercicio.
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
13
Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
• Transformación galileana de los campos
Los campos no son iguales medidos en sistemas de referencia en movimiento relativo. Para
encontrar una relación entre ellos usaremos el principio de relatividad galileana, según el cual
la fuerza debe ser la misma en cualquier sistema de referencia inercial.
Supongamos que en cierta región del espacio existen campos eléctrico y magnético. Consideremos
dos sistemas inerciales, Σ y Σ , el segundo con velocidad v0 respecto del primero. Una carga de
prueba q se mueve con velocidad v en Σ y con velocidad v en Σ . Ambas velocidades se relacionan
mediante
v = v − v0 .
Las fuerzas medidas en cada referencia son
+ v × B)
F = q(E
y
+ (v − v0 ) × B
+ v × B
) = q E
.
F = q(E
Hemos distinguido con primas los campos medidos según Σ (pero no la carga, que es invariante).
Igualando F a F y teniendo en cuenta que el resultado se debe cumplir para cualquier carga de
=B
y que E
=E
− v0 × B
, o,
prueba (q y v arbitrarias) necesariamente debemos exigir que B
equivalentemente,
= E
+ v0 × B,
E
= B,
B
que son conocidas como las leyes de transformación de los campos. En su deducción está implı́cita la hipótesis de que la velocidad v puede ser arbitrariamente grande. Si se impone que
la máxima velocidad alcanzable es la de la luz c (relatividad einsteniana) la ley de transformación se modifica, aunque la diferencia entre ambas sólo es apreciable para velocidades relativas
comparables con c.
Ejemplo:
y un
Descrı́base el movimiento de una partı́cula cargada en una región en la que existen un campo eléctrico E
campo magnético B constantes, uniformes y perpendiculares entre sı́, suponiendo que se parte del reposo en el
sistema de referencia del laboratorio, en el que los campos han sido medidos.
Este problema puede plantearse de dos formas diferentes: mediante integración de las ecuaciones del movimiento
en el sistema de referencia que se nos da, o bien tomando un sistema de referencia auxiliar para el cual el campo
eléctrico no existe. Optamos por lo segundo para ejemplificar el uso de las fórmulas de transformación de los campos
ante un cambio de sistema de referencia.
yB
son perpendiculares entre
es nulo debido a que E
Podemos encontrar un sistema de referencia para el cual E
sı́. Si llamamos va a la velocidad del sistema auxiliar respecto del sistema laboratorio, la ecuación que la determina
será
= E
+ va × B
= 0.
E
Esta condición no determina completamente el va (recordemos la analogı́a algebraica del teorema de Helmholtz
Esta indeterminación
vista en el tema anterior) puesto que necesitarı́amos conocer también el valor de va · B.
y que no sea
equivale a poder elegir la dirección de va con tal que esté contenida en el plano perpendicular a E
colineal a B (puesto que entonces el producto vectorial serı́a automáticamente cero). La opción más simple es tomar
= 0. Multiplicando vectorialmente
va perpendicular a los dos vectores, es decir, imponer la condición adicional va · B
por B escribimos
×E
+B
× (va × B)
= 0.
B
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
14
Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
Desarrollando el producto vectorial triple y usando la condición de perpendicularidad impuesta se llega a
va =
×B
E
.
B2
En el sistema de referencia que se mueve a esa velocidad no hay campo eléctrico y el campo magnético es el
mismo que en el sistema laboratorio. Por tanto el problema se ha reducido al de una partı́cula que se mueve en
un campo magnético uniforme, con velocidad inicial perpendicular al campo. El movimiento, como vimos en el
ejemplo anterior, es circular, con radio y velocidad angular conocidos, que en este caso resultan ser
R=
mE
mv⊥0
=
;
qB
qB 2
ω=
qB
.
m
Visto desde el sistema laboratorio el movimiento es la composición de un movimiento de traslación a velocidad
constante va y otro de giro a velocidad angular uniforme ω y radio R. La relación entre estas tres magnitudes son
propias de una curva plana especial llamada cicloide, que por cierto también describe el movimiento de un punto
de una circunferencia que rueda sin deslizar por una superficie plana.
z
E
x
2.6.
y
B
Forma integral de las ecuaciones de Maxwell
Hemos presentado ya las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial (puesto que intervienen
operadores diferenciales en su expresión) o también llamada en forma local (aludiendo a que se
trata de relaciones entre magnitudes que se cumplen en cada punto del espacio). En muchos casos
nos será de utilidad otra forma de expresar estas mismas ecuaciones, que denominaremos en forma
integral. Veamos cada una por separado y de paso aprenderemos el nombre particular que recibe
cada ley.
• Ley de Gauss
La primera de las ecuaciones de Maxwell recibe el nombre de Ley de Gauss:
·E
= ρ/
0 .
∇
Su forma integral se obtiene integrándola sobre un volumen τ arbitrario.
·E
dτ = 1
∇
0
τ
τ
ρ dτ.
Usando el teorema de la divergencia en el primer miembro y reconociendo la carga encerrada en
τ en la integral del segundo se llega a
Sτ
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
· dS
= q(τ ) ,
E
0
15
Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
es decir, el flujo de campo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es proporcional a la carga
neta que encierra dicha superficie.
• Ley de inexistencia de monopolos.
Otra de las ecuaciones de Maxwell es
·B
= 0,
∇
que establece que, al contrario de lo que ocurre con el campo eléctrico, no existen fuentes escalares
para el campo magnético (monopolos).
En forma integral se tiene
Sτ
· dS
= 0.
B
Por ser un campo solenoidal se aplican todas
las propiedades que se han estudiado en el tema 1;
· dS
para cualquier sección de un tubo de campo,
en particular la conservación del flujo Φ = S B
o para cualquier superficie que se apoye en un mismo contorno.
La unidad de flujo magnético es el weber (Wb). Se tiene que 1Wb = 1T.m2 .
• Ley de Faraday
La ecuación que recibe el nombre de Ley de Faraday es
×E
= − ∂B .
∇
∂t
Si se integra sobre una superficie arbitraria S resulta
S
×E
· dS
=−
∇
S
∂B
· dS.
∂t
Aplicamos el teorema de Stokes al primer miembro e intercambiamos el orden de derivación
temporal e integración en el segundo para obtener
· dr = − d
E
dt
γS
S
· dS,
B
que es la forma integral de dicha ley. Esta ecuación pone de manifiesto de manera muy intuitiva
cómo se genera el campo eléctrico a partir de sus fuentes vectoriales: las variaciones de flujo
magnético tienden a producir lı́neas de campo eléctrico en forma de circuitos contenidos en la
dirección perpendicular. Se trata de una contribución que hay que añadir al campo generado por
la existencia de fuentes escalares (cargas).
Nota avanzada:
Si el circuito de integración se mueve o se deforma la ley integral sigue siendo válida, siempre y cuando interpretemos que el campo eléctrico que se integra es el medido localmente, es decir, en sistemas solidarios con cada
elemento de corriente que compone el circuito. En efecto, si la superficie sobre la que realizamos la integración de
la ley de Faraday es variable en el tiempo (circuito móvil y/o deformable) se tendrá
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
16
Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
γS (t)
· dr = −
E
S(t)
∂B
· dS,
∂t
donde ahora la derivada parcial respecto del tiempo no se puede permutar con la integración espacial puesto que
la superficie varı́a en el tiempo. De hecho puede verse la relación entre ambas:
d
dt
1
Δt→0 Δt
S(t)
Si sumamos y restamos la cantidad
la derivada se pueda escribir como
S(t)
B(t) · dS .
· dS
= lı́m
B
+ Δt) · dS
−
B(t
S(t+Δt)
S(t)
dentro del corchete, podremos agrupar términos de forma que
S(t+Δt) B(t) · dS
∂B
+ lı́m 1
(t) · dS
Δt→0 Δt
∂t
−
B(t)
· dS
S(t+Δt)
· dS
.
B(t)
S(t)
El lı́mite no calculado aún es el término nuevo que hay que considerar. Vemos que se trata de la diferencia entre el
flujo magnético evaluado en S(t) y el evaluado en S(t + Δt). Ambas superficies están conectadas por una superficie
elemental ΔSL construida con los desplazamientos v (r)Δt de cada elemento dr del contorno de S(t) (ver figura).
Un elemento de esta superficie puede escribirse dr × v (r)Δt.
gS(t+Dt)
S(t)
gS(t)
v(r)Dt
r
dr
Por ser el campo magnético solenoidal el flujo a través de S(t) es el mismo que el flujo a través de ΔSL ∪S(t+Δt),
puesto que ambas superficies tienen el mismo contorno. De aquı́ se deduce que el lı́mite es
=−
.
−
[dr × v ] · B
dr · v × B
γS
γS
para dar (E
+v × B)·d
r.
Esta integral de lı́nea se puede pasar al primer miembro y agrupar con la circulación de E
medido en sistemas de referencia ligados
Pero la expresión entre paréntesis no es otra cosa que el campo eléctrico E
a cada elemento del contorno de integración. La conclusión es que la ley tiene validez incluso para contornos móviles.
• Ley de Ampère-Maxwell. Corriente de desplazamiento.
La última ecuación se conoce como Ley de Ampère-Maxwell, e indica cuáles son las fuentes
vectoriales del campo magnético (las únicas que posee):
⎛
⎞
×B
= μ0 ⎝j + 0 ∂ E ⎠ .
∇
∂t
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
17
Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
Junto a la corriente j existe un término relacionado con la variación del campo eléctrico, 0 ∂ E/∂t
que se suele denominar corriente de desplazamiento. El apelativo de corriente puede ser engañoso, puesto que no se trata de un flujo real de cargas; está más bien motivado por sus dimensiones fı́sicas, que coinciden con las de j.
La forma integral de la Ley de Ampère-Maxwell se obtiene considerando una superficie S arbitraria
γS
⎡
· dr = μ0 ⎣I(S) + 0
B
S
⎤
∂E
⎦ ,
· dS
∂t
donde, como en el caso de la Ley de Faraday, se ha aplicado el teorema de Stokes en el primer
miembro. En el segundo se ha identificado el flujo de corriente a través de la superficie con la
intensidad I(S) que la atraviesa. También esta presentación integral, al igual que la regla del
flujo para el campo eléctrico, nos da una idea cualitativa de la configuración de lı́neas de campo
magnético a partir de la de sus fuentes vectoriales.
Ejemplo:
= (A/r2 )ur en coordenadas esféricas, con A constante,
Si el campo eléctrico medido en el espacio resulta ser E
¿qué podemos decir de sus fuentes escalares y vectoriales?
Se trata de un campo central y su rotacional es nulo, según vimos en un ejemplo del tema anterior. No existen
pues fuentes vectoriales (es decir, campos magnéticos variables en el tiempo). En cuanto a las fuentes escalares
usamos la ley de Gauss:
·E
= 0 1 ∂ r2 A = 0.
ρ = 0 ∇
r2 ∂r
r2
La conclusión aparente es que no existe carga en ningún punto del espacio. Sin embargo el sentido común nos dice
que si el campo eléctrico no es nulo, debe haber carga en algún sitio. La única posibilidad es que esté situada en
el origen, donde el campo se hace singular y la evaluación anterior de la divergencia no es aplicable. En efecto, la
forma integral de la ley de Gauss nos permite confirmar esta sospecha. Tomando una superficie gaussiana esférica
centrada en el origen y de radio R obtenemos
A 2
E · dS =
R dΩ = 4πA,
2
R
S(R)
donde hemos expresado el elemento de superficie en función del ángulo sólido elemental. La ley integral implica
que 4πA = q/0 , y de aquı́ obtenemos el valor de la carga que ha creado el campo. Como además el radio elegido
puede ser tan pequeño como se quiera, llegamos a la conclusión de que la carga es puntual.
Recapitulando, por la importancia de la expresión hallada, el campo creado por una carga puntual q es
=
E
q
ur .
4π0 r2
Ejemplo:
= (A/r)uφ , ¿qué podemos
Si el campo magnético medido en todo el espacio resulta ser, en coordenadas cilı́ndricas, B
decir de sus fuentes?
En primer lugar, el campo propuesto es admisible puesto que es solenoidal. En efecto, la aplicación de la divergencia a esta expresión nos da cero y se cumple la ley de ausencia de monopolos.
En cuanto a las fuentes vectoriales, la aplicación del rotacional nos da
ur
ruφ
uz 1
×B
= ∂/∂r ∂/∂φ ∂/∂z = 0.
∇
r 0
r(A/r)
0 Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
18
Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
Nuevamente se nos presenta el resultado paradójico de un campo sin fuentes, ni escalares ni vectoriales. Y nuevamente la clave está en los puntos singulares del campo. Para r = 0 la evaluación anterior no es válida. Si usamos
la versión integral de la ley de Ampère-Maxwell aplicada a un circuito circular definido por r = R, y teniendo en
cuenta que no se nos habla de la existencia de un campo eléctrico variable en el tiempo,
2π
A
· dr =
B
Rdφ = 2πA = μ0 I.
R
0
γ(R)
Esto relaciona la constante A con la intensidad de corriente que crea el campo. Como esto es cierto para cualquier
valor de R elegido, la conclusión es que la corriente es filiforme. El campo magnético creado por un hilo recto es
pues
= μ0 I uφ .
B
2πr
Lo visto en estos dos ejemplos se volverá a estudiar en el siguiente tema, dedicado a las soluciones estáticas de
las ecuaciones de Maxwell.
2.7.
Discontinuidades de los campos
Esta sección muestra de manera general que la existencia de singularidades en las fuentes da
lugar a discontinuidades en el valor de los campos eléctrico y magnético, en forma análoga a lo
que sucede cuando una función de una variable f (x) sufre un salto en x = x0 y esto da lugar a
una singularidad de su derivada f (x0 ).
• Campo eléctrico:
Cuando existe una distribución superficial de carga, ρS (r) definida en una superficie S el campo
eléctrico sufre un salto, entendido como la diferencia entre su valor a un lado y a otro de S. Vamos
a establecer las ecuaciones que determinan la discontinuidad a partir de dos de las ecuaciones de
Maxwell en forma integral.
1
DS
E1
S1
n
E2
S2
2
e
rs
S
Aplicamos la ley de Gauss en forma integral utilizando un volumen de integración en forma
de pequeña caja de pastillas (cilindro aplastado) con generatriz perpendicular a la superficie S
en un punto dado (ver figura). Las dos bases del cilindro, de área ΔS, son por tanto paralelas
a la superficie cargada y están situadas de tal forma que el cilindro contiene una porción de la
distribución de carga. La altura e del cilindro puede tomarse tan pequeña como se quiera sin que
el requisito de contener parte de la distribución se deje de verificar. Con estas condiciones el flujo
a través de la superficie gaussiana que encierra el volumen cilı́ndrico se escribe
SG
· dS
=
E
SL
· dS
+
E
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
S1
· dS
+
E
S2
· dS,
E
19
Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
siendo SL la superficie lateral y S1 y S2 las dos bases, situadas respectivamente en las regiones
”1 ”2”, separadas por la superficie cargada. Si tomamos lı́mite e → 0 el flujo lateral también
tiende a cero, puesto que el campo debe mantenerse finito y el recinto de integración tiene área
cada vez más pequeña. Por otra parte los flujos a través de las bases se pueden aproximar por
los productos de campo por área si ésta es suficientemente pequeña para que el campo sea muy
aproximadamente constante. Con todas estas consideraciones podemos escribir
2
SG
1 + E
2 · ΔS
2 .
· dS
E
1 · ΔS
E
Podemos expresar las superficies en función del vector normal a la superficie cargada, n, que
1 = −ΔS
2 = ΔSn, mientras que por
tomamos dirigido de la región ”2.a la ”1”, escribiendo ΔS
otra parte la carga encerrada será ρS (r)ΔS. La ley de Gauss dará como resultado
1 · nΔS − E
2 · nΔS = ρS ΔS/
0 ,
E
y cancelando el factor común se llega a una condición sobre las componentes normales del campo
eléctrico:
= ρS /
0 ,
n · [E]
1 − E
2 evalque se cumple en cada punto de la superficie cargada. Los corchetes denotan el salto E
uando ambos campos en las inmediaciones de la superficie. Es importante notar que la definición
del corchete y el sentido elegido para n están relacionados: podemos tomar el sentido opuesto para
definir el vector normal a la superficie, pero en ese caso la demostración anterior nos obligarı́a a
como E
2 − E
1 . En definitiva , sea cual sea la elección, la fórmula se lee ”la proyecdefinir [E]
ción normal del campo evaluado en la región hacia donde apunta el vector normal a la superficie
de separación, menos la proyección normal del campo evaluado en la otra región, es igual a la
densidad superficial de carga en ese punto dividido por 0 ”.
1
rs
2
E1
tb
A
n
D
Dl
S
ta
B
E2
e
C
Una segunda condición da información sobre las componentes tangenciales del campo eléctrico y
se obtiene a partir de la ley de Faraday en forma integral. Tomamos una superficie de integración
rectangular, contenida en un plano perpendicular a la superficie S que contiene la distribución de
carga (ver la figura de arriba). El rectángulo se localiza de forma que corta la superficie cargada
sea cual sea la longitud e de los lados perpendiculares. Denotamos por ta al vector unitario perpendicular al rectángulo, que estará por tanto contenido en la superficie S. Su sentido nos determina
a su vez un sentido de circulación del contorno rectangular. Una base local ortonormal del espacio
se completa con el vector tb = n × ta , también tangente a la superficie cargada, y perpendicular a
ta . La circulación del campo eléctrico se puede descomponer en circulaciones sobre cuatro tramos
rectos:
· dr = ΓAB + ΓBC + ΓCD + ΓDA ,
Γ= E
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
20
Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
de las cuales ΓBC y ΓDA tienden a cero cuando e → 0. Nos queda, considerando los campos
aproximadamente constantes en cada tramo por ser éstos de pequeña longitud, Δl,
2 · tb Δl.
1 · tb Δl + E
Γ −E
Para aplicar la ley de Faraday debemos evaluar el flujo de ∂ B/∂t
a través del rectángulo. Es claro
que tampoco son fı́sicamente aceptables variaciones temporales infinitas del campo magnético, y
como el área sobre la cual evaluamos el flujo tiende a cero cuando e → 0, también lo hará el flujo.
1 − E
2 ) = 0, o bien,
En consecuencia
anterior
es Γ = 0 y podemos escribir −tb · (E
en la expresión
= ta · n × [E]
. Como el vector tangente ta puede ser elegido arbitrariamente
0 = (ta × n) · E
en la superficie, lo anterior no es más que una proyección de una ecuación vectorial que se debe
satisfacer:
= 0,
n × [E]
Aunque esta forma de expresar el resultado es la más elegante por involucrar vectores definidos
en cada punto de una superficie (y no vectores tangentes que pueden ser elegidos de infinitas
maneras), la ecuación establece simplemente que la componente tangencial del campo eléctrico es
continua al atravesar la distribución, lo cual también se suele expresar
E1t = E2t .
Ejemplo:
= (A/r2 )ur para r > R y cero si r < R,
Si el campo eléctrico medido en todo el espacio es, en esféricas, E
obténganse sus fuentes.
La aplicación de la divergencia y el rotacional a estas expresiones dan cero (véase un ejemplo anterior). No hay
pues fuentes distribuidas en volumen. Sin embargo el campo sufre una discontinuidad en r = R y por tanto en esa
superficie esférica debe haber una distribución superficial de carga. Su valor se obtiene aplicando la condición de
= ρS /0 . Esto da A/R2 − 0 = ρS /0 , o sea, ρS = A0 /R2 .
salto n · [E]
Además podemos observar que la continuidad de la componente tangencial se verifica, por ser nula a un lado y
a otro de la superficie r = R.
• Campo magnético:
Podemos realizar el mismo tipo de análisis con las otras dos ecuaciones de Maxwell que restan
por usar, lo cual nos dará otro par de condiciones, ahora referidas a las componentes del campo
magnético en la proximidad de una superficie sobre la que existe una distribución superficial de
corriente. La notación tiene en lo que sigue el mismo significado que anteriormente.
Usando la condición de ausencia de monopolos en forma integral se deduce sin dificultad la
condición
= 0,
n · [B]
puesto que la única diferencia con el caso eléctrico es que no existe algo análogo a una densidad
de carga, ni superficial ni volumétrica.
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
21
Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
B2
B2
n
B1
tb
ta
js
tb
B1
n
e
Dl
e
ta
js
Dl
Por el contrario una corriente superficial jS (r) constituye una fuente vectorial de campo magnético,
y la ley de Ampère-Maxwell en forma integral debe analizarse con más cuidado, siguiendo el
mismo procedimiento que con la ley de Faraday. Vamos a definir el vector ta como aquél que
es paralelo a jS en el punto r de la superficie considerado (ver dibujo de la izquierda en la
es análoga a la que se vio para el campo eléctrico. El flujo que
figura). La circulación de B
atraviesa el rectángulo se debe exclusivamente a la corriente superficial, puesto que el campo
∂ E/∂t
se mantiene finito y el área tiende a cero cuando e → 0. Podemos escribir directamente
1 − B
2 ) = μ0 I(S) = μ0 ta · jS Δl. Cancelando el factor común Δl y usando la definición
−Δl tb · (B
de tb se llega a la ecuación escalar
= μ0ta · jS .
ta · n × [B]
Si en lugar de un rectángulo perpendicular a la corriente superficial hubiéramos tomado uno
tangente a la misma (dibujo de la derecha) el resultado serı́a
= 0 = μ0tb · jS ,
tb · n × [B]
puesto que en tal caso la corriente no atraviesa el rectángulo.
La última igualdad, aunque cierta por tratarse de dos vectores perpendiculares, parece caprichosa, pero es ası́ como mejor se pone de manifiesto que las dos ecuaciones encontradas son
proyecciones en una base del plano tangente a la superficie de la ecuación vectorial
= μ0jS ,
n × [B]
que establece una relación entre la corriente superficial en cada punto y el salto en la componente
tangencial del campo magnético.
Ejemplo:
= (A/r)uφ para r > R y cero
Si el campo magnético medido en todo el espacio es, en coordenadas cilı́ndricas, B
si r < R, obténganse sus fuentes.
La aplicación de la divergencia y el rotacional a estas expresiones dan también cero en este caso y no hay fuentes
distribuidas en volumen. La discontinuidad en la superficie cilı́ndrica r = R evidencia la existencia de una corriente
= μ0jS da, teniendo en cuenta que n = ur , jS = A/(μ0 R)uz .
superficial. La condición de salto n × [B]
se verifica trivialmente, por ser nula a un lado y a otro de la
La continuidad de la componente normal de B
superficie r = R.
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
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Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
• Balance de carga en una superficie.
La conservación de la carga también se debe verificar en cualquier superficie. De especial relevancia es el caso de una superficie S en la que tenemos definidas singularidades de carga y corriente
dadas por la densidad ρS (r) y jS (r) respectivamente. A un lado y a otro podemos tener definidas
distribuciones volumétricas de carga y corriente, ρi (r) y ji (r), con i = 1, 2 (ver figura).
S1
DS
n
j1
gDS
j2
S2
e
js
rS
A partir de la ecuación de continuidad integrada para un volumen elemental ya habitual con
forma de caja de pastillas se tiene
0=
τ
· j + ∂ρ
∇
∂t
d =
j · dS +
ρdτ.
dt τ
Sτ
La integral de superficie representa el flujo de carga que escapa por la frontera del volumen. En
el lı́mite en que el grosor de la caja tiende a cero hay tres aportes: dos de ellos son análogos a los
y B;
otro es nuevo y
encontrados en este tipo de análisis aplicado anteriormente a los campos E
surge de la presencia de una singularidad superficial de corriente:
Sτ
= ΔS(
j · dS
j1 − j2 ) · n +
SL
j · dS.
En el flujo lateral no intervienen las distribuciones volumétricas puesto que el área lateral tiende
a cero, pero en este lı́mite sı́ puede haber flujo de carga debido a la corriente superficial definida
= δdr × n, siendo dr un vector
en una fina capa de espesor δ, jS = lı́mδ→0 δj. Escribiendo dS
elemental del contorno de S2 se tiene
SL
=
j · dS
γS2
jS · (dr × n).
Si dividimos esta expresión por ΔS y tomamos lı́mite ΔS → 0 encontramos una expresión que
definimos, por analogı́a con el caso tridimensional, como la divergencia superficial del vector jS
(se trata del flujo que escapa lateralmente por unidad de superficie):
1 dr · (jS × n).
ΔS→0 ΔS γS
S · jS = lı́m
∇
S · jS = n · ∇
×
Recordando la segunda definición intrı́nseca de rotacional podemos escribir ∇
(jS × n).
Por otra parte la integral de volumen no es otra cosa que la carga encerrada, que vale ρS ΔS. En
conclusión, la ecuación que resulta es
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
23
Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
S · jS + ∂ρS = 0
n · [j] + ∇
∂t
que es de validez general si la superficie no se deforma.
Ejemplo:
Si se bombardea la superficie plana de un material aislante con un haz de iones de intensidad I, y sección S, con
una inclinación α respecto de la normal, durante un tiempo T , hállese la densidad superficial de carga depositada.
Podemos distinguir dos medios: uno el material aislante, que no deja pasar a los portadores de carga y dentro del
cual podemos tomar j = 0; otro su exterior, del que proviene el haz, en el cual la densidad de corriente en módulo
es I/S si es uniforme. Si el medio es aislante tampoco tendrá lugar migración superficial de la carga, por lo que
admitimos que no hay corriente superficial. En un punto sobre el que incide el haz de iones se establece un balance
de carga expresado por la fórmula encontrada anteriormente, con jS = 0. Tomando el vector normal a la superficie
apuntando hacia el exterior escribimos
∂ρS
I
= 0,
− cos α +
S
∂t
El signo negativo proviene de que, al ser incidente, forma un ángulo mayor de π/2 con la normal a la superficie.
Esta ecuación define la derivada de la densidad de carga como una constante. Integrando en el tiempo,
ρS =
0
T
I
∂ρS
dt = T cos α.
∂t
S
Como hemos dicho, si la superficie que consideramos se deforma, la fórmula anterior no es válida.
Sirva como ejemplo lo que sigue.
Ejemplo:
Hállese la densidad superficial de carga de un globo de radio R1 , con carga q, que se infla hasta alcanzar un radio
R2 .
Suponiendo que la distribución es uniforme en toda la superficie del globo, la densidad superficial inicial es
ρS1 = q/S1 = q/(4πR12 ), y la final es ρS2 = q/S2 = q/(4πR22 ). Está claro que durante el proceso ∂ρS /∂t = 0 y sin
embargo la simetrı́a del problema impide la existencia de una corriente superficial ni tampoco podemos considerar
densidades de corriente a un lado y a otro de la superficie del globo. La ecuación de balance de carga no se cumple,
y ello es debido a que la superficie varı́a en el tiempo.
2.8.
Energı́a almacenada en los campos
En este capı́tulo pretendemos introducir todos los conceptos básicos que se deben manejar dentro de la teorı́a electromagnética. Hemos definido ya la carga y la corriente eléctrica, ası́ como
sus posibles distribuciones; hemos definido los campos eléctrico y magnético; hemos establecido
la relación entre todos ellos (ecuaciones de Maxwell), y hemos cerrado la descripción de la interacción electromagnética al definir la fuerza de Lorentz. Sin embargo, al igual que en Mecánica, es
de la máxima utilidad introducir magnitudes energéticas como herramientas para comprender y
analizar los fenómenos electromagnéticos. Veremos en breve que si en una región del espacio existen campos eléctrico y magnético, también existen asociados a ellos energı́as eléctrica y magnética,
respectivamente.
De cursos introductorios de Fı́sica estamos acostumbrados a analizar, por ejemplo, la caı́da
de objetos en la superficie terrestre mediante el cálculo de energı́as cinética y potencial, entre
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
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Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
las cuales pueden existir trasvases; también se tienen pérdidas debidas a rozamiento con el aire,
que pueden ser interpretadas como transformación de energı́a mecánica en energı́a de otro tipo
(calorı́fica). Todo esto puede servirnos, a modo de analogı́a, para entender los conceptos que ahora
siguen.
• Trabajo de las fuerzas electromagnéticas.
Consideremos una distribución volumétrica de carga y de corriente. Sobre cada portador de
carga, con carga q y velocidad v , la fuerza de Lorentz realiza un trabajo durante un intervalo dt
dado por
+ v × B)
· v dt,
dWq = F · dr = q(E
donde hemos tenido en cuenta que en ese intervalo de tiempo el desplazamiento sufrido por la
carga es dr = v dt. El segundo término dentro del paréntesis desaparece por ser la fuerza de origen
magnético perpendicular a la trayectoria del portador. Sólo la fuerza de origen eléctrico realiza
trabajo, que sumado para todos los portadores encerrados en un elemento de volumen dτ conduce
a
s
dτ dt = j · E
dτ dt.
dW =
qi nivi · E
i=1
En otras palabras, la potencia mecánica suministrada por unidad de volumen a la distribución es
dP
dW
=
= j · E.
dtdτ
dτ
• Teorema de Poynting
Acabamos de establecer que sobre una distribución de corriente el campo electromagnético realiza
Si
una fuerza que por unidad de volumen conduce a la ”inyección”de una potencia dada por j · E.
esta expresión es positiva se trata efectivamente de un aporte de energı́a por unidad de tiempo al
sistema de cargas en ese punto. Si es negativa es el sistema de cargas el que cede esa energı́a. La
cuestión que se nos plantea es de quién se extrae o a quién se cede, respectivamente.
Para contestar a esto vamos a presentar la potencia realizada por las fuerzas electromagnéticas
de otra forma. Usando la Ley de Ampère-Maxwell para expresar la corriente se tendrá
⎛
⎞
=⎝ 1∇
×B
− 0 ∂ E ⎠ · E
·∇
×B
− 0 E
· ∂E .
= 1E
j · E
μ0
∂t
μ0
∂t
Haciendo uso de la identidad
· (E
× B)
=B
·∇
×E
−E
·∇
×B
∇
×E
a partir de la Ley de Faraday queda
y sustituyendo ∇
=−1∇
· (E
× B)
− 0 E
· ∂E − 1 B
· ∂B .
j · E
μ0
∂t
μ0
∂t
Los términos con derivada temporal pueden relacionarse fácilmente con las derivadas de E 2 y B 2 ,
con lo cual llegamos a la expresión final
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
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Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
= ∂ (uE + uB ) + ∇
· P,
−j · E
∂t
donde se definen las cantidades
= 1E
× B,
P
μ0
0 2
E ,
2
uE =
uB =
1 2
B .
2μ0
La cantidad uE tiene dimensiones de energı́a por unidad de volumen, y es dependiente exclusivamente del campo eléctrico en ese punto. Por este motivo se le denomina densidad volumétrica
de energı́a eléctrica. Análogamente a uB se la denomina densidad volumétrica de energı́a
se le conoce como vector de Poynting, y su significado fı́sico es el de un
magnética. A P
flujo de energı́a por unidad de superficie transversal. Ya se verán en temas posteriores ejemplos
de cálculo de energı́as y flujos de energı́as.
La ecuación encontrada es el teorema de Poynting, que establece un balance local de energı́a
en cada instante. En lo que sigue vamos a tratar de interpretar el significado fı́sico de esta ecuación.
Quizás la mejor forma de entender la ecuación se consigue integrándola a un volumen arbitrario
τ . Si hacemos esto, aplicamos el teorema de la divergencia y reordenamos términos resulta
−
d
dt
τ
(uE + uB ) dτ =
τ
dτ +
j · E
Sτ
· dS,
P
que debe leerse: la disminución en la energı́a electromagnética almacenada en una región τ se
emplea en trabajo realizado por los campos sobre las cargas y energı́a que escapa por su frontera.
En otras palabras, parte se transforma en otro tipo de energı́a y parte se pierde. La transformación
consiste en que el sistema de cargas incluido en la región τ modifica su movimiento por efecto de
la fuerza de Lorentz, lo cual revierte en una variación de la energı́a mecánica.
Hay que tener en cuenta que en un proceso cualquiera cada uno de los términos del teorema
puede tener signo positivo o negativo. En efecto, la energı́a electromagnética puede aumentar
o disminuir; el flujo de energı́a a través de la frontera puede ser saliente (positivo) o entrante
(negativo); el trabajo realizado por la fuerza de Lorentz puede ser también positivo o negativo.
Si este último es negativo significa, en muchos casos, que existen fuerzas de otro origen que están
actuando en contra del campo electromagnético. Dichas fuerzas son responsables de que se gane
en energı́a electromagnética. Tal es el caso, por ejemplo, de una central hidroeléctrica, en la que
la energı́a gravitatoria del agua almacenada es responsable de la separación de carga que produce
la corriente eléctrica. La energı́a gravitatoria es fuente de energı́a eléctrica. Por tanto, si j · Edτ
es negativo, debemos entender que hay otro tipo de energı́a (térmica, nuclear, quı́mica, potencial,
etc.) que está actuando como fuente de energı́a electromagnética. Bajo este nuevo punto de vista
podemos reinterpretar el teorema de Poynting escribiendo
−
τ
dτ =
j · E
d
dt
τ
(uE + uB ) dτ +
Sτ
· dS,
P
que leemos ahora ası́: la potencia cedida por el conjunto de cargas de una región τ al campo
electromagnético se emplea en aumentar la energı́a almacenada en los campos en dicha región y
el resto escapa por su frontera.
Hay que hacer énfasis en la realidad independiente de los campos y las partı́culas. Estas últimas
constituyen un sistema mecánico dotado de energı́a mecánica (cinética y de interacción); por su
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
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Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
parte se acaba de postular que los campos eléctrico y magnético almacenan energı́a; el teorema
de Poynting establece cómo se intercambia la energı́a entre ambos sistemas.
Para clarificar más el significado del teorema de Poynting, veamos dos ejemplos:
Ejemplos:
1. El Sol constituye un excelente ejemplo de sistema formado por cargas. Su interior es lo que se denomina un
plasma, es decir, un gas de partı́culas cargadas positiva y negativamente. Las reacciones nucleares que tienen lugar
en él constituyen la fuente de energı́a electromagnética. Podemos suponer que posee una temperatura estable, al
menos en la escala humana de tiempos, y que por tanto el sistema está en un estado estacionario. Por tanto la
energı́a electromagnética almacenada es constante y la energı́a nuclear se transforma ı́ntegramente en radiación
electromagnética. De los tres términos involucrados en el teorema de Poynting, sólo dos son distintos de cero e
iguales entre sı́: la energı́a nuclear trabaja en contra de los campos electromagnéticos, pero no produce un aumento
de energı́a, sino un flujo hacia el exterior.
2. En un aparato de rayos X un haz de electrones es acelerado por campos eléctricos muy intensos en cierta región,
y luego se les hace chocar, con lo cual pierden su energı́a de manera brusca. En este proceso debemos considerar
dos etapas.
(i) En la primera los electrones adquieren velocidad por el campo eléctrico aplicado, sin emisión apreciable de
radiación, porque la aceleración de las cargas es relativamente lenta (en el tema 4 veremos que el fenómeno de
radiación requiere aceleración de cargas). El teorema de Poynting queda en este caso
dτ = d
(uE + uB ) dτ.
− j · E
dt τ
τ
La energı́a potencial eléctrica de las cargas disminuye (uB 0 y uE < 0) y se transforma ı́ntegramente en energı́a
> 0).
mecánica (potencia mecánica positiva, porque j · E
(ii) En la segunda etapa los electrones pierden su energı́a mecánica tras chocar, pero no ha habido variación de
energı́a electromagnética almacenada; debemos por tanto decir que toda esa energı́a escapa en forma de radiación
X. El teorema queda
· dS,
dτ =
P
− j · E
τ
Sτ
con ambos términos positivos (nótese que el choque con un material muy masivo es una interacción con un campo
< 0 en el proceso).
eléctrico opuesto a la corriente, y que por tanto j · E
j⋅E<0
-
+
e
j⋅E>0
Es instructivo comparar el teorema de Poynting con la ecuación de continuidad. Ambos son
teoremas de conservación: uno para la energı́a y otro para la carga. Estos teoremas siempre tienen
una misma estructura, a saber, un ”término fuente”, que caracteriza la creación o destrucción de
una magnitud (masa, carga, energı́a, cantidad de movimiento, etc.), que se iguala a un término
de tasa de crecimiento temporal de dicha magnitud y otro de flujo de la magnitud a través de la
mientras que
frontera. En el caso de la energı́a electromagnética existe un término fuente, −j · E,
en el de la carga neta no lo hay, puesto que se postula que se conserva localmente. Si en lugar de
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
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la carga neta se analiza un balance de densidad de portadores de cada especie por separado sı́ hay
en general un término fuente puesto que las interacciones entre portadores pueden conducir a su
creación o aniquilación. En el caso del teorema de Poynting la energı́a electromagnética surge de
una conversión de la energı́a mecánica de las partı́culas englobadas.
Insistiendo más en el significado de este tipo de teoremas, pongamos un sı́mil basado en el sistema
de calefacción de una casa. Los radiadores, estufas, o cualquier otro sistema empleado en el interior
de la casa constituyen las fuentes de energı́a térmica. La temperatura de la casa es un indicador
de la energı́a térmica almacenada en su interior. Por último, el calor escapa en cierta medida por
las paredes de la casa (dependiendo de su aislamiento), y en particular por las ventanas. Podemos
establecer el siguiente balance: la potencia calorı́fica suministrada por las fuentes es igual a la
variación de energı́a calorı́fica almacenada por unidad de tiempo más la potencia calorı́fica que
escapa por las paredes y ventanas.
Puede demostrarse que los campos electromagnéticos no sólo son portadores de energı́a, sino también de momentos lineal y angular. Los teoremas de conservación de estas magnitudes mecánicas
deben contar con los campos como realidades fı́sicas del mismo rango que las propias partı́culas.
Como último comentario, debemos tener en cuenta que si la descripción que nos interesa de
cierto sistema no es como conjunto de portadores sometidos a fuerzas bien definidas (entre ellas
la de Lorentz), sino como medios continuos sujetos a lo que se denominan ”leyes constitutivas”,
el teorema de Poynting, tal como se ha enunciado, sigue siendo válido pero deja de tener utilidad.
Debe en tales casos redefinirse lo que se entiende por energı́as eléctrica y/o magnética y vector de
Poynting, y la interpretación de los distintos términos que aparecen en la ecuación de balance se
hace más complicada. A partir del tema 5, cuando estudiemos el comportamiento electromagnético
de los medios materiales, entraremos en descripciones de este último tipo y veremos definiciones
de energı́as alternativas a las dadas en este apartado.
Tema 2: Postulados del Electromagnetismo
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