fenomenos de transporte - Universidad Nacional de Colombia

FENOMENOS
DE TRANSPORTE
UN CURSO INTRODUCTORIO
RAMIRO
BETANCOURT
GRAJALES
ING. QUMCO UTS
ESP. PETROLEO IPGG BUCAREST
PROFESOR ASOCIADO UN
F A C U L T A D DE INGENIERIA Y A R Q U I T E C T U R A
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SECCIONAL MANIZALES
© FENOMENOS DE TRANSPORTE
Autor: Ramiro Betancourt Grajales
Universidad Nacional de Colombia
Seccional Manizales
1a. Edición
Noviembre de 1991
300 Ejemplares
Derechos reservados
ISBN Obra Completa 958 - 95323 - 4 - 9
Antanas Mockus Sivickas
Rector
Carlos Enrique Ruiz
Vicerrector Seccional
Luz Stella Cortés G.
Jefe Centro de Publicaciones
Impreso en los talleres del
Centro de Publicaciones de la
Universidad Nacional Seccional Manizales
Fax No. (968) 863220
Apartado Aéreo No. 127
Manizales Colombia.
A DON JOAQUIN Y DOÑA CLOTILDEMIS PADRES.
TARTA DE CONTENIDOLI STA DK SIMBOLOS
i
PREFACIO
1
PROLOGO.
4
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
7
1.1
INTRODUCCION A LA TRANSFERENCIA DE CALOR . . . .
7
1.2
LEY DE FOURIER
9
1.3
INTRODUCCION AL TRANSPORTE DE CANTIDAD DE
MOVIMIENTO Y DINAMICA DE FLUIDOS
12
1.4 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ENTRE
PLACAS. FLUJO DE COUETTE
15
1.5
LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON
16
1.6
FLUIDOS NO NEWTONIANOS
18
1.7
INTRODUCCION A LA TRANSFERENCIA DE MASA
18
1.8 DEFINICIONES BASICAS
19
1.9
23
PRIMERA LEY DE FICK
1.10 ANALOGIAS ENTRE LOS TRES FENOMENOS DE TRANSPORTE
CAPITULO 2. PROPIEDADES I» TRANSPORTE
2.1
. .
24
26
PROPIEDADES DE TRANSPORTE A PARTIR DE LA
TEORIA CINETICA DE LOS GASES SIMPLIFICADA.
. .
26
2.2 TRANSFERENCIA DE MASA EN GASES A BAJA PRESION. .
26
2.3 TEORIA RIGUROSA DE CHAH4AN - ENSKOG PARA
GASES DILUIDOS
31
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
ECUACIONES RECOMENDADAS PARA PREDECIR
PROPIEDADES DE TRANSPORTE
32
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES I» CONSERVACION. . 43
TRATAMIENTO DE UNA CORRIENTE RESIDUAL
46
3.1 APLICACIONES DE LOS BALANCES DIFERENCIALES
A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION . . .
47
TRANSPORTE DE ENERGIA CON GENERACION INTERNA
GEOMETRIA CILINDRICA
3.2 MANANTIALES CALORIFICOS
50
53
ECUACION DE NAVIER STORES
62
ECUACION DIFERENCIAL DE ENERGIA CALORIFICA
69
CONTINUIDAD PARA UNA MEZCIA BINARIA
70
CAPITUL04. APLICACIONES DE 1AS ECUACIONES I» VARIACION. . . 73
4.1
CONDUCCION DE CALOR EN ESTADO ESTABLE UNIDIMENSIONAL .. 73
LA PARED PLANA
73
PARED CON CAPAS MULTIPLES
74
SISTEMAS RADIALES
75
EL TUBO COMPUESTO
77
COEFICIENTES GLOBALES
77
LA ESFERA
78
ESPESOR CRITICO DE AISLAMIENTO
79
SISTEMAS CONDUCCION - CONVECCION
79
SUPERFICIES ALABEADAS O CON ALETAS
84
EFICIENCIA DE LAS ALETAS
86
ALETAS DE PERFIL TRIANGULAR
87
TABLA DE CONTENIDO
SISTEMAS COK PUENTES DE CALOR
89
4.2 TRANSFERENCIA DE MASA POR DIFUSION
WIDIRECCIONAL
ESTACIONARIA
TRANSPORTE DE MASA CON GENERACION INTERNA.
92
. . . 98
4.3 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
UNIDIRECCIONAL ESTACIONARIO. FLUJO DE COUETTE. .
102
(»ORDENADAS CURVILINEAS
103
TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN UN ANILLO
103
TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO CON
GENERACION INTERNA
105
ECUACION DE HAGEN - POISEUILLE
111
TRANSPORTE EN UN ANILLO CON GENERACION INTERNA .
113
TRANSPORTE DE CALOR
114
VELOCIDAD NETA DE PERDIDA DE CALOR
115
TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
115
CAIDA DE PRESION EN UN ANILLO
117
APENDICE A.4.1.
118
APENDICE A.4.2
120
APENDICE A.4.3. DEFINICION DE UN VALOR MEDIO
127
APENDICE A.4.4. DETERMINACION DE LA TEMPERATURA
MEDIA GLOBAL O PROMEDIO DE BLOQUE . .
129
CAPITULO 5. ÜOEFICIKÜTKS DE TEáMSFEEMCIA Y
glSBtfáS MULTXIáSE
131
(DEFICIENTES DE TRANSFERENCIA
132
TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO : FACTOR
DE FRICCION
132
III
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
FLUJO EN CONDUCTOS
134
APLICACIONES A SECCIONES TRANSVERSALES ARBITRARIAS. . . 135
COEFICIENTES I® TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA. .
137
TEORIA PELICULAR
138
CONDICIONES GENERALES EN UNA INTERFASE
139
OTRAS CONDICIONES LIMITE EN LA INTERFASE . . . .
141
APENDICE A.5.1. ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD
HIDRAULICA
143
METODO DE BUCKINGHAM
147
METODO DE RAYLEIGH
150
ECUACIONES DIFERENCIALES
152
CAPITULO 6. TRANSPORTE TURBULENTO
154
. FLUCTUACIONES DE LA TEMPERATURA Y CONCENTRACION.
LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL
156
158
MODELO DE LAS TRES REGIONES PARA EL TRANSPORTE
DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN UN TUBO
162
PERFIL UNIVERSAL PARA FLUJO TURBULENTO
EN TUBOS LISOS
165
SUPERFICIES RUGOSAS
165
CORRELACIONES PARA EL FACTOR DE FRICCION . . . .
167
PAREDES RUGOSAS. (ECUACION DE CHURCHILL) . . . .
169
MODELO PELICULAR
170
MODELO DE LAS TRES REGIONES PARA TRANSFERENCIA
DE CALOR Y MASA
174
ANALOGIA DE VON KARMAN
176
TABLA DE CONTENIDO III
APENDICE A.6.1. PROMEDIO CON EL TIEMPO
180
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
183
ECUACION INTEGRAL DE VON KARMAN
185
FUERZA VISCOSA EN LA SUPERFICIE
188
ANALISIS EXACTO DE LA CAPA LIMITE LAMINAR. . . .
189
FLUJO SOBRE UNA PLACA PLANA
189
CAPA LIMITE TURBULENTA : VELOCIDADES
193
COEFICIENTE DE ARRASTRE
197
COEFICIENTE DE FORMA
198
ECUACIONES PARA EL MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL
Di UNA PARTICULA A TRAVES DE UN FLUIDO
198
FLUJO EN LA REGION DE ENTRADA A UN CONDUCTO. . .
201
* PBRFIL DE VELOCIDAD EN LA CAPA LIMITE
204
ECUACION INTEGRAL DE VON KARMAN
205
LONGITUD DE ENTRADA EN TUBOS
209
CONVECCION NATURAL.
209
TRANSFERENCIA DE MASA BN CONVECCION NATURAL
TURBULENTA SOBRE UNA PLACA VERTICAL
216
TRANSFERENCIA DE CALOR - FLUJO CONVECTIVO SOBRE
UNA PLACA PLANA
220
TRANSFERENCIA DE CALOR EN LA CAPA LIMITE
LAMINAR. ANALISIS EXACTO
225
TRANSFERENCIA DE MASA EN LA CAPA LIMITE
TURBULENTA SOBRE UNA PLACA PLANA
228
VI
FENOMENOS DE TRANSPORTE
1,1
1 1
1
•* ••
1 1
1
i
ANALISIS APROXIMADO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR
EN METALES LIQUIDOS PARA FLUJO LAMINAR SOBRE
PLACAS PLANAS
230
CAPITULO 8. COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA
Hi CONDICIONES DIVERSAS
233
PERFIL DE VELOCIDAD PARABOLICO CON TEMPERATURA
UNIFORME DE PARED
233
PERFIL DE VELOCIDAD PLANO
234
FLUJO UNIFORME DE CALOR
234
TRANSFERENCIA DE MASA CON FLUJO LAMINAR EN
TUBOS CIRCULARES. SOLUCION DE LEVEQUE
235
APLICACION DE ANALOGIAS
241
ECUACION DE PIERCE
241
TRANSFERENCIA DE MASA EN UNA PELICULA LIQUIDA
DESCENDENTE
242
TRANSFERENCIA DE MASA EN UNA PLACA PLANA
INCLINADA Y UNA PELICULA DESCENDENTE
242
TRANSFERENCIA DE MASA ENTRE UNA FASE GASEOSA
9.
Y UNA PELICULA LIQUIDA DESCENDENTE
247
CORTOS TIEMPOS DE EXPOSICION
249
TRANSFERENCIA SIMULTANEA DE CALOR Y MASA . . .
253
TEORIA DEL TERMOMETRO DE BULBO HUMEDO
257
TRANSPORTE KN ESTADO TRANSITORIO
258
TRANSPORTE DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO EN
UNA PLACA PLANA
258
TABLA DE CONTENIDO
TRANSPORTE DE MASA Y/O CANTIDAD DE MOVIMIENTO. .
264
TRANSPORTE INESTABLE CON RESISTENCIA EXTERNA . .
265
DIFUSION TRANSITORIA EN UNA PLACA
266
DIFUSION A TRAVES DE UNA SOLA SUPERFICIE DE UNA PLACA. .272
DIFUSION EN ESTADO TRANSITORIO EN UN CILINDRO. .
INTERDI FUS ION DE DOS GASES
ESFERA CON TEMPERATURA INICIAL CONSTANTE . . . .
272
274
277
SISTEMAS CON BAJA RESISTENCIA INTERNA Y ALTA
RESISTENCIA EXTERNA. . . .
279
CONDICIONES LIMITE EN FUNCION DEL TIEMPO . . . .
281
CILINDROS Y PLACAS FINITAS
283
TRANSPORTE AL INTERIOR DE UN MEDIO SEMIINFINITO.
287
SOLUCION GRAFICA PARA EL TRASNPORTE INESTABLE
UNIDIRECCIONAL : GRAFICO DE SCHMIDT
291
CONDUCCION DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO
METODOS APROXIMADOS
296
SOLIDO SEMIINFINITO CON PROPIEDADES FISICAS CONSTANTES 298
SOLIDO SEMIINFINITO CON TEMPERATURA DE
SUPERFICIE VARIABLE CON EL TIEMPO
299
SOLIDO SEMIINFINITO CON PERDIDAS CONVECTIVAS
DE CALOR EN LA SUPERFICIE
301
APENDICE A.9.1. LA FUNCION ERROR Y OTRAS FUNCIONES
RELACIONADAS
BIBLIOGRAFIA
303
308
III
usui m
iTfwi»
A : ATM; especie química,
a", a : Aceleración.
B : Constant«; «specie química,
b : Constant«; eapeaor.
DG
: Derivada sustancial de Q.
Dfc
Or : Calor especifico a volumen constante.
et : Concentración de la especie i.
Cp : Capacidad calorifica a presión constante.
Oto : Difusividad nàsica.
dir : Operador divergencia.
d : Diàmetro ; diferencial.
K : Potencial eléctrico.
e:Energia interna; espesor; base de los logaritaos neperianos.
exp(x) : exponencial de x ( = e> ).
F : fuerza.
E(x) : 10«
G : Potencial químico.
g : Aceleración de la gravedad; grano.
h : Constante de Planck; coeficiente de transferencia de calor.
I :Corriente eléctrica,
i :Vector unitario en la dirección x.
J :Densidad de flujo difusivo molar.
i :Vector
másico.
unitario en
la dirección
y; Densidad
de flujo
difusivo
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
k : Vector unitario
térmica.
en la
dirección
z;
constante;
conductividad
k», kf : Coeficiente convectivo de transferencia de masa;
I:constante de Boltzman.
K :Coeficiente de proporcionalidad; grados Kelvin.
m' :Caudal m&sico.
Mi :Peso molecular de la especie i.
M : Masa
m :Masa; caudal molar.
N :Número de Avogadro.
Ni :Densidad de flujo molar de la especie i.
m
:Densidad de flujo másico de la especie i.
P :Perímetro; presión dinámica.
Q : Flujo de calor ( energía sobre tiempo ); caudal volumétrico,
q rDensidad de flujo de calor ( flujo de calor sobre área).
Re :Número de Reynolds.
R :Radio.
Ri : Velocidad
homogénea.
molar de
generación de
materia por reacción química
r : Separación intermolecular; radio (variable)
ri rVelocidad de
volúmen.
generación másica
de la
especie i
Si :Area perpendicular a la dirección i.
T :Temperatura,
t :Tiempo.
U :Momento dipolar; energía interna; parámetro.
V rVelocidad constante; volúmen.
vi rVelocidad en la dirección i.
W rPeso; relación en peso.
por unidad
de
LISTA DE SIMBOLOS
iii
wt ¡Fracción en peso de la especie i.
x :Eje coordenado; fracción molar,
y : Eje coordenado; fracción molar,
z : Eje coordenado.
Los vectores se representan en el texto con letras en negrilla.
LETRAS GRIEGAS T OIROS SIMBOLOS.
a
: Angulo; Difusividad térmica; Coeficiente de proporcionalidad.
0
:Angulo; Coeficiente de expansión volumétrico.
:Viscosidad cinemática;
r
por unidad de longitud.
ó
coeficiente de
actividad; caudal másico
:Derivada parcial; espesor; momento dipolar adimensional.
A. : Diferencia finita.
€
:Parámetro de Lennard Jonnes de energía; rugosidad relativa.
Y
: Cp/Cv
1 :Energía potencial de interacción molecular; término de generación
o manantial ; energía potencial; función adimensional
9
:Angulo; variable adimensional.
J:Trayectoria libre media
latente de vaporización.
U
:Viscosidad.
0
: Angulo.
Q
: Integral de colisión.
n
: Productoria; número pi.
molecular;
rugoidad
relativa;
calor
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
f
: Resistividad eléctrica; densidad.
[i : Concentración másica volumétrica de la especie i.
2
: Si amatoria.
T
: Esfuerzo cortante.
o
:Conductividad eléctrica; distancia
(Lenard Jonnes); Tensión Superficial.
fl : Distancia adimensional; parámetro
de
interacción
molecular
PREFACIO
PORQUE ENSEBAR FENOMENOS DE TRANSPORTE.
Esta disciplina se refiere a las leyes naturales. Por esto algunos la
miran como ciencia más que Ingeniería. Más bien pertenecería a las
ciencias ingenieriles.
Desde el punto de vista del ingeniero orientado hacia el diseño
económico y operación de plantas y equipos, la pregunta es ¿cuál es
el valor práctico de los fenómenos de transporte? . Se puede
responder en dos formas. Primero, es claro que la transferencia de
calor, masa e impulso ocurren en muchos tipos de equipos de
Ingeniería (intercambiadores
de calor,
compresores,
reactores
químicos y
nucleares, humidificadores,
enfriadores
de
aire,
secadores, fraccionadores y absorbedores).
fi
Es importante que el Ingeniero comprenda las leyes físicas que
gobiernan estos procesos de transporte si desea entender qué ocurre
en el equipo y tomar las desiciones adecuadas para su mejor y más
económica operación.
Desde otro punto de vista, cuando el Ingeniero diseña equipos de
procesos debe predecir las cantidades de calor, masa o impulso a
transferir. Esta velocidad de transferencia depende de un parámetro
denominado coeficiente de transferencia, que a la vez depende de las
dimensiones del equipo, caudal de flujo, propiedades del fluido, etc.
Tradicionalmente estos coeficientes se obtienen luego de mediciones
lentas y
costosas a nivel de laboratorio o planta piloto y
correlacionadas a través de ecuaciones empíricas adimensionales.
Estas ecuaciones empíricas proveen resultados sobre un determinado
rango; no están basadas en teorías y no pueden usarse confiablemente
fuera del rango en el cual se realizó la experimentación.
El método usado en los fenómenos de transferencia es una forma menos
costosa y generalmente más confiable de obtener estos coeficientes
que consiste en predecirlos a partir de ecuaciones basadas en las
leyes de la naturaleza, confirmando esta predicción a través de
investigación ayudada de computador.
Desde el punto de vista del diseñador es indiferente como hayan sido
obtenidos los coeficientes. Por esta razón el curso de fenómenos de
transporte podría hacer énfasis solo en la determinación de los
coeficientes de transferencia y dejar el procedimiento de diseño a
los cursos de operaciones unitarias. Como es un caso práctico el
obtener los parámetros (coeficientes de transferencia) que se usarán
en el diseño, el curso de "Fenómenos de Transferencia" puede
considerarse tanto un curso en Ingeniería como en ciencia.
Adicionalmente existen casos en los cuales el diseñador deberá usar
métodos y ecuaciones de Fenómenos de Transporte directamente en el
diseño
de un equipo. Un ejemplo puede ser un reactor tubular en el
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
cual ocurre
una reacción química homogénea. El fluido entra con
cierta concentración
de reactivos
y deja
el tubo
con una
concentración menor de éstos pero mayor concentración de productos.
Si la reacción es exotérmica, el calor generado deberá removerse por
la pared del tubo y tendremos gradientes radiales de temperatura.
Como además la velocidad de reacción aumenta con la temperatura, que
será mayor en el eje de simetría, los productos de la reacción
tenderán a acumularse en esta linea central mientras los reactivos lo
harán hacia la pared del reactor. 0 sea que tanto temperatura como
concentración variarán axial y radialmente. Para diseñar un reactor
de estos
necesitamos
conocer,
para
cualquier
longitud
la
concentración promedia en productos. Como esta se obtiene de valores
puntuales promediados sobre la sección transversal, debemos conocer
la concentración en cualquier punto del reactor ( axial y radial ).
Pero para calcular la concentración en cada punto necesitamos conocer
la velocidad de reacción en cada punto y para calcular la velocidad
de reacción en cada punto es necesario cbnocer tanto la temperatura
como la concentración en cada punto. Además, para calcular la
temperatura debemos conocer el caudal y la velocidad del fluido en
cada punto.
Tenemos así
un sistema complicado de ecuaciones
diferenciales parciales que se resolverán por métodos sofisticados de
cálculo y equipos de alta
velocidad ( computador ). Es claro que
esté problema no se puede manejar empíricamente, y que son esenciales
los procedimientos
matemáticos y
la teoría
de fenómenos de
transferencia, a no ser que se gaste tiempo y dinero construyendo
plantas piloto de tamaños crecientes, determinando las conversiones
en cada una. Aún así, el escalado final es precario e incierto.
Obviamente, no todos los problemas actuales pueden resolverse por los
métodos de
los fenómenos de transporte. Sin embargo, con el
desarrollo del computador, más y más podrán resolverse.
Si se les desea dar a los estudiantes de Ingeniería Química, una
educación que no sea obsolescente, debemos prepararlos con la
comprensión de los métodos de los fenómenos de transporte, para que
hagan uso de los métodos de cálculo que aparecen día a día.
Tanto por su uso potencial como por su utilidad actual, un curso en
Fenómenos de Transporte deberá en últimas ser el más útil y práctico
en una carrera de pregrado.
Si las características físicas de un problema conducen a relaciones
matemáticas ( ecuaciones diferenciales, leyes de flujo y condiciones
límite ) similares para transferencia de calor y transferencia de
masa, se dice que hay una analogía entre los problemas de calor y
masa. Intercambiando cantidades análogas ( tales como difusividades )
podemos usar la solución conocida de un problema en transferencia de
calor para obtener la solución de un problema en transferencia de
masa o al contrario. Lo mismo puede hacerse si hablamos de transporte
de impulso y calor o transporte de impulso y masa.
PREFACIO
El uso de analogías hace el proceso de aprendizaje más sencillo y
debido a estas similitudes podemos estudiar tres temas (transferencia
de calor y de masa y dinámica de fluidos) como si fuesen uno.
En la práctica posibilita tomar medidas experimentales en un sistema
(digamos calor) para obtener información sobre otro (masa o impulso).
Ramiro Betancourt Grajales.
Manizalea, 1987.
PROLOGO.
Las Industrias Químicas existían mucho antes de que la profesión de
Ingeniero Químico fuera reconocida. La tecnología de cada industria
se miraba como una rama especial del conocimiento, y las personas que
realizaban el trabajo que hoy hace el Ingeniero Químico eran
entrenadas como Químicos, Ingenieros Mecánicos y Técnicos. Los
primeros cursos de Ingeniería Química se orientaron al estudio de la
tecnología industrial. Estos cursos se modificaron rápidamente con la
introducción del concepto de Operación Unitaria. Estos surgieron de
la observación de la similitud en los cambios físicos que ocurrían en
industrias químicas, bastante diferentes. Así, se reconoció que la
evaporación de un líquido desde una solución seguía los mismos
principios independientemente de si el proceso era fabricar azúcar o
un fertilizante. De esta manera la evaporación se convirtió en una de
las primeras operaciones unitarias en reconocerse. Muchas otras
etapas alcanzaron el grado de operación unitaria, tales fueron: flujo
de fluidos,
transferencia de
calor,
humidificación,
secado,
destilación, absorción gaseosa, extracción, molienda y tamizado,
cristalización, filtración, mezclado, etc.
Cuando se comprendieron mejor las operaciones unitarias, se evidenció
que no eran entes diferentes. La filtración era claramente un caso de
flujo de fluidos, la evaporación una forma de transferencia de calor,
la extracción y la absorción gaseosa involucraban transferencia de
masa. El secado y la destilación se reconocieron como operaciones en
las cuales, tanto la transferencia de masa como la de calor
presentaban importancia. Se puede entonces considerar las operaciones
unitarias como casos especiales o combinaciones de transferencia de
calor, transferencia de masa y flujo de fluidos. Los ingenieros se
refieren a estos tres últimos eventos como Fenómenos de Transporte y
son la base de las operaciones unitarias.
Fenósanoe de transporte, es pues el nombre colectivo que se da al
estudio sistemático e integrado de tres áreas clásicas de la ciencia
de la Ingeniería : 1) Transporte de Energía o Calor, 2) Transporte de
Masa o Difusión, y 3) Transporte de Cantidad de Movimiento o Impulso
(Momentum en Ingles), o Dinámica de Fluidos.
Debido a que con frecuencia el transporte de masa y de calor ocurren
en un fluido, algunos planes de estudio incluyen estos procesos en su
tratamiento de la mecánica de fluidos. Pero el tema es de un mayor
alcance dado que también hay conducción y difusión en sólidos.
También se diferencia de la mecánica de fluidos en que el estudio de
fenómenos de transporte utiliza las similitudes entre las ecuaciones
usadas para describir el proceso de transferencia de calor, masa e
impulso. Estas analogías, como suelen llamarse, pueden ser relativas
a similitudes en los mecanismos físicos gracias a los cuales el
transporte se verifica. Cano consecuencia, la comprensión de un
proceso de transferencia puede facilitar la comprensión de otros
procesos. Es más, si las ecuaciones diferenciales y las condiciones
límites son las mismas, es necesario obtener la solución para uno
PROLOGO
5
solo de los procesos pues al cambiar la nomenclatura de esa solución,
se puede obtener la solución para cualquiera de los otros procesos de
transporte.
Debe enfatizarse sin embargo, que aunque existen similitudes en los
procesos de transferencia, también hay diferencias importantes,
especialmente entre el transporte de impulso ( un vector ) y el de
calor o masa ( escalares ). De todas formas, un estudio sistemático
de las similitudes entre los procesos de transferencia, facilita
identificar y entender las diferencias entre ellos.
El estudio
de los
fenómenos de
transporte se ha realizado
tradicionalmente comenzando
por el
transporte de cantidad de
movimiento, luego el transporte de energía y finalmente el transporte
de masa. Para cada proceso de transporte, tópicos como el transporte
molecular, los balances en límites planos o curvos y el transporte
multidimensional se discuten en forma tal que las similitudes y
analogías entre los procesos de transporte pueden inferirse. Se
derivan entonces las ecuaciones diferenciales generalizadas del
cambio, generalmente expresadas en notación vector-tensorial. Luego
el estudiante aprende como simplificar estas ecuaciones para casos
físicos específicos.
Una organización alternativa es tomar los tópicos similares para los
tres fenómenos en forma simultánea. Esta alternativa presenta las
siguientes ventajas:
1)
Las
analogías
Be
pueden
explotar
completamente reduciendo la repetición, 2) Las limitaciones de, y las
excepciones a, las analogías, pueden relievarse; 3) los tópicos más
elementales, tales como transporte unidimensional, pueden abordarse
inicialmente; 4) El significado físico de términos tales como
difusión, convección, generación y acumulación en las ecuaciones de
los balances generales pueden ilustrarse inicialmente por medio de
ejemplos físicos
simples, sin
la complicación
de ecuaciones
generalizadas; 5) Las ecuaciones multidimensionales generalizadas
pueden derivarse
como una
extensión
lógica
del
transporte
unidimensional y como la incorporación en forma general de los
términos previamente
ilustrados; 6)
La simplificación de las
ecuaciones multidimensionales
puede verificarse así para casos
específicos con una completa apreciación de su significado. Como
consecuencia de este orden, el difícil tema de transporte laminar de
cantidad de movimiento puede tratarse después del más familiar e
intuitivo ( para el estudiante ) de la conducción de calor. De esta
forma el transporte molecular unidimensional de la cantidad de
movimiento en el flujo de Couette se demuestra como análogo a la
conducción de calor unidimensional. Luego a través de la ley de
Newton del movimiento, se demuestra la relación entre flujo de
cantidad de movimiento y esfuerzo viscoso y se discute el significado
físico del mismo.
Asi pues, para demostrar las analogías entre los procesos de
transporte, se propone estudiar cada proceso en paralelo, en lugar
del transporte de impulso primero, luego el transporte de energía, y
finalmente el transporte de masa. Colateral a mejorar la comprensión,
existen otras razones pedagógicas para no usar el estudio en serie
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
tradicional: de loo tres procesos, el concepto y las ecuaciones
involucradas en el estudio del transporte de cantidad de movimiento
son las más difíciles de entender y usar por parte del principiante.
Debido a que es imposible cubrir completamente el transporte de calor
y masa sin un previo conocimiento del transporte de impulso, en el
método en serie se fuerza a tomar el tema más difícil ( transporte de
impulso ) primero. De otra parte, si los temas se estudian en
paralelo, el transporte de cantidad de movimiento se hace más
comprensible haciendo
referencia
al
tema
más
familiar
de
transferencia de calor. Además, el tratamiento en paralelo permite
estudiar los conceptos más sencillos primero y avanzar más tarde a
las ideas más difíciles y abstractas.
CAPITULO 1. LKYES BASICAS.
1.1
INTRODUCCION A LA TRANSFERENCIA DE CALOR.
De loe tres procesos de transporte a estudiar, el transporte de calor
es probablemente el más familiar dado que ee parte de nuestra
experiencia diaria, por ejemplo cuando se noe enfria la sopa o el
café.
Procesos
que
emplean
transporte
de
oalor
aparecen
frecuentemente en la industria química: Calentamiento del petróleo
crudo (u otra mezcla liquida) hasta su punto de ebullición para
separarlo en fracciones en una columna de destilación o la remoción
del calor generado en una reacción química. En cualquier caso
necesitamos hallar la velocidad a la cual ocurre la transferencia de
calor para calcular el tamaño del equipo requerido o pera mejorar el
ya existente.
De otra parte debemos recordar que el calor es solo una de las formas
de la energía y que es esta y no el calor la que se conserva de
acuerdo a la primera ley de la termodinámica. La energía como
propiedad se utiliza en termodinámica para ayudar a especificar el
estado de un sistema. De otra parte la energía se transfiere a través
de los límites de un sistema termodinàmico en forma de trabajo o de
calor. Transferencia de calor es la expresión usada pera indicar el
transporte de energía originado en una diferencia de temperatura. La
"Velocidad
de Transferencia
de Calor" es la expresión de la energía
térmica transportada por unidad de tiempo, y "Flujo de Calor" es la
velocidad de transferencia de calor por unidad de área. El cálculo de
las velocidades locales de transferencia de calor requieren conocer
las distribuciones locales de temperatura, las cuales proveen el
potencial para la transferencia de calor.
Existen tres mecanismos diferentes por los cuales ocurre esta
transferencia de calor:
i) Conducción, en el que el calor pasa a través de la substancia
misma del cuerpo,
ii) Convección, en el cual el calor es transferido por el movimiento
relativo de partes del cuerpo calentado, y
iii) Radiación,
mecanismo
directamente entre
partes
electromagnética.
por el que el calor
distantes
del cuerpo
se transfiere
por radiación
En gases y líquidos la convección y la radiación tienen importancia
destacada, pero en los sólidos la convección puede considerarse
ausente y la radiación generalmente es despreciable.
TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION.
L? teoría matemática de la conducción del calor puede basarse en una
hipótesis sugerida por el siguiente experimento:
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
Tomemos una placa de algún sólido limitada por dos superficies planas
paralelas de una extensión tal que, desde el punto de vista de los
puntos entre los dos planos, puedan suponerse infinitos. En la
práctica esta condición puede acercarse usando una placa plana de
dimensiones finitas donde sus caras menores han sido aisladas
térmicamente de forma tal que solo existan gradientes de temperatura
en la dirección perpendicular a las caras mayores. En este caso la
diferencia de temperatura ocurre entre planos perpendiculares al eje
z causando transporte en la dirección z. El hecho de que la placa es
muy delgada en la dirección z y muy ancha en las direcciones x e y
indica que hay pérdidas despreciables en los extremos perpendiculares
a los ejes «X e y. De esta forma q* y qy son cero. En general la
velocidad de conducción de calor en cualquier punto en un material se
caracteriza por un vector de flujo de calor q. el cual puede
resolverse en componentes a lo largo de los tres ejes coordenados.
Podemos ignorar la naturaleza vectorial de q y considerar solo su
componente escalar z para un simple caso de conducción unidimensional
de calor.
Los dos planos se mantienen a temperaturas diferentes sin que esta
diferencia de temperaturas sea tan grande como para causar un cambio
sensible en las propiedades del sólido. Por ejemplo, mientras la
superficie superior se mantiene a la temperatura de una mezcla hielo
agua, la inferior se mantiene a la temperatura de una corriente de
agua caliente que fluye constantemente por allí. Después de mantener
estas condiciones durante suficiente tiempo, las temperaturas de los
diferentes puntos
del sólido
alcanzaran valores estables, la
temperatura siendo igual para planos paralelos a la superficie de la
placa (despreciando los efectos terminales).(ver figura 1.1)
Supongamos que la temperatura de la superficieinferior es Ti y la de
la superficie superior es T2 (Ti > T2), y consideremos que el sólido
está inicialmente a temperatura uniforme Tz- La placa tiene un
espesor b. Los resultados de los experimentos sugieren que, cuando se
ha alcanzado el estado estable, la cantidad de calor que fluye a
través de la placa en un tiempo t a través de un área S es igual a:
b
( 1.1)
La constante de proporcionalidad k es la conductividad térmica.
Estrictamente hablando la conductividad térmica no es una constante
sino que, de hecho, es una función de la temperatura para todas las
fases y
en líquidos y gases depende también de la presión,
especialmente cerca al estado critico. La conductividad térmica en la
madera y
cristales varía también en forma ostensible con la
dirección. Esta es una de las Propiedades de Transporte de los
materiales.
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
figura l.to
9
«•»
FIGURA 1.1
La dependencia de la conductividad térmica con la temperatura para
rangos
de temperatura pequeños puede expresarse en forma aceptable
como k = ko(l + ¿ff), donde ko es el valor de la conductividad térmica
en alguna condición de referencia y a es el coeficiente de la
temperatura que es positivo o negativo dependiendo del material en
cuestión. La figura 1.2 muestra el efecto en el gradiente de
temperatura (para estado estable) en una placa plana como resultado
de que sea positivo o negativo. Se resalta el que el gradiente de
temperatura seré lineal solo cuando la conductividad térmica es
constante.
1.2 LEY DE FOURIER.
En la sección anterior se considera el caso especial de conducción de
calor unidimensional en estado estable en una geometría rectangular.
La ecuación ( 1.1 ) es válida sólo para este caso especial y no puede
usarse en otraB situaciones tales como geometrías cilindricas o
estado transitorio. Tampoco puede usarse para predecir la variación
de la temperatura con la posición dentro del medio. Por esta razón es
necesario desarrollar una ecuación más general que sea aplicable en
cualquier punto, en cualquier geometría y para condiciones estables o
inestables (cuando el estado físico de un sistema no cambia con el
tiempo, se dice que el sistema se encuentra en estado estable). Con
este propósito retomamos del gráfico 1.1b una línea de temperatura
contra posición en cualquier momento arbitrario (ver figura 1.3).
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
FIGURA 1.2
FIGURA 1.3
Podemos relacionar la velocidad de flujo de calor Q* en cualquier
posición arbitraria z al flujo de calor en la misma posición usando
la definición Q* = q«S*. Comencemos por reconocer que la velocidad de
flujo de calor puede escribirse a partir de la ecuación (1.1) como :
(Qz/S) = (k/b)(Ti-Ta) = q»
Si aplicamos
(1.2) a un pequeño
(1.2)
incremento /\z, b será reemplazado
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
11
por A z y (T1-T2) por - A I - El signo menos es necesario de acuerdo
a la definición del operador diferencia :
AI
=
) - T»
Entonces el flujo promedio de calor a través de una distancia A z es:
AT
T(z+Az,t) -T(z,t)
Az
Az
De la figura 1.3 se observa que A X / A z representa la pendiente
promedio sobre la región A z de la curva T vs z. También observamos
que si hacemos A z cada vez más pequeño obtenemos una mejor
aproximación de la pendiente en z. En el limite cuando /\z tiende a
cero,obtenemos la derivada parcial de T respecto a z según el teorema
fundamental del cálculo. Asi, para estado transitorio, podemos
escribir en cualquier localización:
q» = - k(6T/6z)
( 1.3 )
La cual es llamada ley de Fourier para conducción de calor en una
dimensión, en honor al matemático francés Jean Baptiste Fourier a
quien se le atribuye. En el caso de tratarse de estado estable en una
dimensión, T seria solo función de z y la derivada sería total.
En el caso general, donde hay flujo de calor en las tres direcciones
coordenadas, T es función de más de una variable independiente y :
qx = -k(6T/óx) ; qy = -k(6T/6y) ; q. = -k(ÓT/6z)
serán las componentes del vector flujo de calor...
«X = iq* +
jqy + kqy
que puede escribirse en forma de operador con notación abreviada:
q
=
Donde div es el operador
cartesianas como :
div
=
-kdlv(T)
divergencia,
( 1.4 )
definido
en
coordenadas
i (6 /6x) + j (Ó /Óy) + k (Ó /óz)
La ecuación (1.4 ) es
notación vectorial Gibbs
sistema iaotrópico,
o
independientemente de la
calor solo se transfiere
temperatura.
una ecuación para la ley de Fourier en
o forma vectorial. Es válida para cualquier
sea
que la conductividad es la misma
dirección. El signo menos indica que el
en la dirección en la que decrece la
Es interesante hacer notar que la ecuación de Fourier para conducción
unidireccional de calor es exactamente análoga a la ley de Ohm para
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
un
conductor eléctrico, la cual puede expresarse como :
ÓE
=
I
- oS
( 1.5 )
ón
En esta ecuación la corriente eléctrica I corresponde al flujo de
calor Q; el potencial eléctrico E corresponde al potencial térmico T,
y la conductividad eléctrica a (o =l/f, donde f es la resistividad
eléctrica)
corresponde a la conductividad térmica k. Como las
ecuaciones (1.3) y (1.5) tienen la misma forma, el campo de
temperatura dentro del cuerpo calentado, y el campo de potencial
eléctrico en un cuerpo de la misma forma, corresponden uno al otro
siempre que
la distribución
de temperatura en la superficie
corresponda a la distribución superficial del potencial eléctrico.
Esta analogía nos capacita para estudiar problemas de conducción de
calor en detalle a través de modelos eléctricos similares.
1.3 INTBODUCCION
DE FLUIDOS
AL TRANSPORTE
DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y DINAMICA
Ahora que se han visto algunos ejemplos elementales de transporte de
calor nos encontramos en mejores condiciones para comprender el tema
de transporte de impulso.
Dado que el impulso o la ^cantidad de movimiento de un cuerpo, se
define como el producto de su masa y velocidad, se puede pensar que
la velocidad de un fluido en un punto dado como su impulso por unidad
de masa. 0 sea que, los cambios en la velocidad de un fluido pueden
originar transporte de cantidad de movimiento, así como los cambios
de temperatura originan transporte de calor.
[ja descripción
matemática de este transporte forma una parte
importante de la ciencia de la mecánica de fluidos. Como el concepto
de transporte de cantidad de movimiento generalmente no se enfatiza,
debemos revisar algunas definiciones básicas.
1.3.1 SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON.
La segunda ley del movimiento de Newton establece que la fuerza F
actuando sobre un cuerpo de masa m es proporcional a la velocidad de
cambio de su cantidad de movimiento asi:
d(mv)
F
=
K
=
K (ma)
( 1.6 )
dt
Donde a
=
dv/dt es la aceleración del cuerpo y K es una constante
de proporcionalidad que se determina según las unidades que se usen.
Las
unidades de masa son arbitrarias, por ejemplo la masa puede
delinirse en relación a una pieza estándar de una aleación de platino
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
13
e iridio a la que se le asigna la masa de 1 Kg. Luego la masa de un
segundo cuerpo puede ser determinada por comparación.
Existen diferentes
sistemas de
unidades
asi:
los
alaternas
gravitad
anal es de unidades son aquellos en los cuales las unidades
de fuerza y de masa se definen en forma tal que el peso de un cuerpo
al nivel del mar es numéricamente igual a la masa del cuerpo. En el
alterna gravitacional inglés,la unidad de masa es la libra masa (lbm)
y la unidad de fuerza, llamada la libra fuerza (lbf), se define en
forma tal que el peso en libras fuerza de un objeto al nivel del mar
sea numéricamente igual a su masa en libras masa. Como la aceleración
de la gravedad al nivel del mar se toma como g=32.2 pie/s2, podemos
hallar la magnitud de la constante K permitiendo que el peso en
libras fuerza y la masa en libras masa tengan el mismo valor
numérico. Así F = W ( el peso ) y a = g = 32.2 pie/s® y la ecuación
(1.6) se transforma:
W = K (mg) o
W lbf = K (m lb)(32.2pie/s2)
para W = m, esto implica
1 lbf
1
32.2 Ib pie/s}
go
donde go es un factor de conversión igual a 32.2(Ib.pie/s2)/lbf.
Debemos ser claros en que aunque go tiene la magnitud de g al nivel
del mar, sus unidades no son las mismas y no es la aceleración debida
a la
gravedad ni ninguna aceleración. Es simplemente un factor de
conversión requerido por la selección de unidades. Mientras que go es
una constante,la aceleración de la gravedad varía con la distancia
desde la tierra.
TABLA 1.1
Sistema
Fuerza
CGS
SI
Inglés
Dina(din)
Newton(N)
Poundal
Masa x Aceleración.
g.cm/s2
Kg.m/s2
Ib.pie/s2
Un alaterna
absoluto de unidades es un sistema en el cual go vale 1.0
y es adimensional. Como ejemplo tenemos el sistema CGS (centímetro
gramo segundo), el sistema internacional de unidades (SI) y el
sistema inglés (libra poundal pie segundo). En estos sistemas las
unidades para la ecuación (1.6) son como se muestran en la tabla 1.1
En un sistema absoluto de unidades la unidad de fuerza se define
específicamente en términos de las unidades de masa y aceleración,
asi:
1 dina = 1 g.cm/s2; 1 N=10® dinas = 1 Kg.m/s2; 1Poundal = 1 Ib.pie/s2
También se conoce un sistema absoluto de unidades en el cual la
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
unidad de
fuerza se toma como 1 lbf y la unidad de masa se define
como 1 lbf/(pie/s2) denominada slug.
EJEMPLO 1 . 1
Se establece
una colonia
en la
luna donde
la aceleración
gravitacional es la sexta parte de la de la tierra. Desean adoptar un
sistema gravitacional lunar de unidades. Cuál será? Cuál seria un
sistema absoluto allí? Use unidades estandar terrestres para la masa
en kilogramos.
i) Sistema Gravitacional.
Primero definamos una nueva unidad, el "kilogramo fuerza
La ecuación (1.6) se transforma en
lunar"
kgfL.
F kgft, = (Kl m kg)(a m/s 2 )
para que el peso y la masa sean numéricamente iguales al nivel de la
superficie lunar requerimos que F = W = m. Como a, la aceleración
gravitacional de la luna es 9 . 8 0 / 6 = 1 . 6 3 m/s2
KL = ( 1 k g f L ) /
( k g ) ( 1 . 6 3 m / s * ) = 1 / GOL
goL = 1 . 6 3 ( k g . m / s 2 ) /
kgfL
Aquí goL es la constante gravitacional lunar.
ii) El sistema absoluto serla el mismo de la tierra, debido a que sus
unidades son independientes del campo gravitacional.
TABLA 1.2
VARIACION DE g CON LA LATITUD AL NIVEL DEL MAR.
Latitud
pie/s2
0O
10»
20°
30*
40*
50°
60°
70°
80°
90®
32.0878
32.0929
32.1076
32.1302
32.1578
32.1873
32.2151
32.2377
32.2525
32.2577
m/s2
9.78039
9.781915
9.78641
9.79329
9.80171
9.81071
9.81918
9.82608
9.83059
9.83217
Es conveniente tener presente que la aceleración de la gravedad
terrestre al nivel del mar varía con la latitud debido a que la
tierra no es completamente esférica sino elipsoidal, y también
gracias a la rotación sobre si misma.
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
29
Observamos pues que el valor generalmente usado en los textos para la
aceleración de la gravedad corresponde a una latitud bastante
diferente de la nuestra.
1.4 TRABSPGKFE DB CASTIDAD DB K O T M I E m O ENTRE FLACAS PARALKIAS.
FLUJO CB OOUETTX.
Consideremos un fluido contenido entre dos grandes placas paralelas
(figura 1.4 a ). La distancia entre las placas es b, que es pequeña
comparada con las otras dimensiones de las placas. En el tiempo t=0
la placa inferior se pone en movimiento con velocidad constante v*i=V
aplicando una fuerza F en la dirección x mientras la placa superior
se deja estacionaria (vx=0). Al moverse la placa inferior arrastra
consigo la capa de fluido inmediatamente adyacente, la que se mueve a
la
misma velocidad de la superficie. Esta es la condición de
frontera denominada de no deslizamiento fundamentada experimental y
teóricamente. Como la placa superior está estacionaria, la velocidad
del fluido allí es cero. Pero la capa de fluido vecina a la placa
respecto a la capa de fluido inmediatamente
inferior se mueve con
superior que inicialmente se encontraba en reposo y a su vez le
imprime movimiento. De esta manera el movimiento de la placa inferior
hace aparecer un campo de velocidades en el liquido, con la velocidad
decreciendo continuamente desde V en la placa inferior hasta cero en
la placa superior.
El movimiento de la placa inferior por tanto causa un aumento en v x ,
la
velocidad del fluido en la dirección x, desde cero hasta algún
valor
positivo. Cono la cantidad de movimiento es proporcional a la
velocidad, habrá un correspondiente aumento en la cantidad de
movimiento x. En otras palabras, cantidad de movierato x se transporta
en la dirección z
desde la placa hasta el fluido y allí desde una
capa de fluido a la siguiente.
Placó «uportor MtadoMrta
Z
Z
b
X
T
V
Pioto Morlof M nwt con
««oeWad V debido o lo fimo Fi
FIGURA 1.4 a
FIGURA 1.4
FIGURA I 4b
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
En la figura 1.4 b se grafican los perfiles de velocidad para varios
tiempos. Para t=0 hay un cambio brusco en z=0 desde vx=V hasta v*=0.
En t=tila velocidad aumentó cerca del plano inferior, pero el impulso
todavía no ha penetrado en el fluido cercano al plano superior. En
t=t2, la placa superior comienza a percibir el movimiento de la placa
inferior. Finalmente en t=® se obtiene estado estable en el cual la
velocidad no vuelve a cambiar con el tiempo. El concepto de tiempo
infinito es claramente una abstracción matemática. Para fluidos muy
viscosos se puede requerir solo una fracción de segundo para alcanzar
el 99 % de la condición de estado estable.
1.5 LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON.
Continuemos considerando el flujo entre dos placas. Luego de un
cierto periodo
de tiempo
el perfil alcanza su estado final
estacionario (figura
1.4b). Una
vez alcanzado
dicho
estado
estacionario de movimiento es preciso aplicar una fuerza ¥ x constante
para conservar el movimiento de la lámina inferior. Esta fuerza
claramente depende de la velocidad V, de la naturaleza del fluido, de
la distancia b entre las placas y del área de contacto S de las
mismas con el liquido. Para este caso especial viene dada por:
Fx
V
=
S
u
( 0 - V )
=
.b
- u
( 1.7 )
(b - 0 )
Es decir, que la fuerza por unidad de área es proporcional a
disminución de la velocidad con la distancia z. La constante
proporcionalidad m se denomina viscosidad del fluido.
FIGURA 1.5
FIGURA 1.6
la
de
Q^/iz)
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
17
Para desarrollar una expresión más general consideremos una de las
curvas de la figura 1.4 b antes de alcanzar el estado estacionario y
la grafleamos
como v x contra z a t constante (figura 1.5).
Considerando una región de espesor A z en la cual la velocidad cambia
ea
una cantidad Ay*» la cual, usando la definición del operador
diferencia se escribe como:
V * • VX(«-*V¿XB,-t) -
Vx(»,t)
Una ecuación consistènte con la ( 1.7 ) seré:
Fx
S
Ay*
M
Az *
Donde la pendiente de la curva v x contra z es A y * / A z - Al tomar el
limité cuando A z tiende a 0 nos aproximamos a la verdadera pendiente
en
», la que está dada por la derivada parcial 6v /5z. La ecuación
bésicax resultante para el transporte de impulso unidireccional
inestable es:
t.x = - m ( © W Ó z )
(1.8)
Llamada ley de Newton de la viscosidad en una dimensión. t«x es el
esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x sobre la superficie
de un fluido situada a una distancia z, por el fluido existente en la
región donde z es menor. Los fluidos que obedecen la ecuación (1.8)
se denominan newtonianos.
Muchos fluidos de importancia industrial y biológica no obedecen esta
ley y se llaman no newtonianos. Algunos ds ellos son la pasta dental
plásticos fundidos y soluciones poliméricas. Todos los gases y la
mayoría de los líquidos simples, entre ellos el aire y el agua son
fluidos newtonianos.
Según las
consideraciones
del
numeral
anterior
T«
puede
interpretarse también como la densidad de flujo viscoso de cantidad
de movimiento x (densidad de flujo es velocidad de flujo por unidad
de área, o sea que son unidades de cantidad de movimiento por unidad
de tiempo y unidad de área) en la dirección z. Según la ecuación
(1.7) se deduce que la densidad de flujo viscoso de cantidad de
movimiento sigue la dirección del gradiente negativo de velocidad, es
decir, la dirección de velocidad decreciente, tal cono ocurre con la
densidad de flujo de calor que ee proporcional al gradiente negativo
de temperatura. Examinando la ecuación también vemos que u tiene las
dimensiones de masa por unidad de longitud y unidad de tiempo.
Anteriormente se expresó en g/cm.s. o poise (P), o en unidades de
0.01P, conocidas como centipoises (cP). En el sistema internacional
ds unidades (SI) la viscosidad está dada en pascalsegundo (Pa.s)
donde 1 Pa.s = 10 P = 10® cP = 1 Kg/m.s
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
1.6 FLUIDOS NO NEWTONIANOS.
Un fluido newtoniano se describió como uno en el cual el esfuerzo
cortante es directamente proporcional a la velocidad de deformación,
o sea la viscosidad es constante e independiente de la velocidad de
deformación. Una gráfica de T«X contra -óv^/óz nos dará una linea
recta para un fluido newtoniano pero se desviará de la línea recta
para un fluido no newtoniano (figura 1.6). Para estos casos se usa
frecuentemente la ecuación de la ley de la potencia n, donde n=l para
fluidos newtonianos, n>l para un fluido dilatante o que aumenta la
viscosidad con el esfuerzo, y n<l para fluidos pseudoplásticos o sea
que el coeficiente disminuye al aumentar el gradiente.
T«X - - a |óvx/óz|i(dvx/6z)
Esta ecuación es llamada también modelo de Ostwald de Waele. Para
otros modelos ver el texto "Fenómenos de Transporte" de Bird, Stewart
y Lighfoot.
1.7 INTRODUCCION A IA TRANSFERENCIA DI MASA.
Existen numerosos ejemplos cotidianos de transporte de materia: la
difusión de
humo y
otros contaminantes
en la atmósera; la
transferencia de soluto entre las fases de un absorbedor de gas, un
extractor o en una torre de enfriamiento; la mezcla del azúcar en un
pocilio de tinto; el
secado de la ropa (difusión del vapor de agua
en el aire); el intercambio de oxigeno - gas carbónco en los
pulmones.
Supongamos un cristal de permanganato de potasio en un vaso con agua.
Las
moléculas disueltas del cristal difunden lentamente desde la
región de alta concentración en el fondo, tendiendo a convertir
uniforme la concentración (Proporcional a la intensidad del color)
con el tiempo. Este tipo de difusión se debe al movimiento errático
de las moléculas y se denomina difusión molecular. De otra parte, la
corriente de humo que sale desde una chimenea en un dia con macho
viento,el himo se dispersa en la atmósfera debido a las fluctuaciones
de velocidad y dirección del viento: se llama Dispersión o Difusión
Turbulenta.
Ahora, asi como en el transporte de calor, el transporte de masa
puede ocurrir tanto por difusión como por convección, esta última
representa el transporte de masa que resulta del movimiento global
del fluido y la primera el transporte debido a gradientes de
concentración.
De nuevo, como en transporte de calor, el transporte convectivo de
masa consiste de dos tipos: convección forzada, en la que el
movimiento es generado por una fuerza externa, y conveción libre, un
efecto de flotación en el cual el movimiento global se desarrolla
naturalmente costo consecuencia de cambios de densidad originados en
las diferencias de concentración del medio.
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
19
1.8 DEFINICIONES BASICAS.
La difusión es más compleja que el flujo viscoso o la transmisión de
calor debido a la inovación de tener que operar con mezclas. En una
mezcla que difunde las velocidades de los componentes individuales
son distintas y existen varios métodos adecuados para promediar las
velocidades de los componentes con el fin de obtener la velocidad
local de la mezcla. La elección de esta velocidad local es necesaria
para poder definir las velocidades de difusión. Por lo tanto debemos
estudiar con detalle las definiciones de concentraciones, velocidades
y densidades de flujo ( no se exponen conceptos físicos nuevos pero
se trata de familiarizarnos con estas definiciones).
Adoptamos una regla de notación: cuando se consideran sistemas de dos
componentes se especifican las especies A y B. En sistemas de varios
componentes se especifican las especies 1, 2, 3, etc., o bien en las
discusiones generales se utiliza un subíndice supuesto tal como i, j,
k para referir las diferentes especies. Las formulas cuya validez se
limita a
sistemas binarios
se identifican
fácilmente porque
intervienen los subíndices A y B.
CONCENTRACIONES
La concentración de las especies en un sitema de varios componentes
puede expresarse de diversas formas pero nosotros consideramos sólo
las cuatro sguientes:
Concentración de masa (densidad) pi que
por i unidad de volumen de solución.
es la masa de la especie i
Concentración molar ci=pi/Mi (densidad molar) que es el
moles de la especie i por unidad de volumen de solución.
número de
Fracción másica w i = P i / t es la concentración de masa de la especie
dividida por la densidad total de la solución.
i
Fracción molar xi=ci/c que es la concentración molar de la especie i
dividida por la concentración molar de la solución. Frecuentemente
usaremos yi en el caso de gases.
Mediante la palabra solución se designa una mezcla gaseosa, liquida o
sólida que forma una sola fase.
Para el caso de sistemas binarios la mutua relación de estas unidades
de concentración es
p=pA+pB= densidad de la solución (g/cm3)
g de A
PA=CA.MA
cm® de solución
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
WA=
fA
= fracción de masa
P
C=CA+CB
CA= PA/MA
M = p/c
XA=CA/C= (A/MAC
peso molecular medio de la mezcla
XA+ XB = 1
WA+ WB = 1
XAMA + XBMB = M
WA/MA + WB/MB = 1 / M = ( p A / p M A ) + ( p B / p M B )
XA »
(WA/MA)/(WA/MA+WB/MB)
WA = (XAMA)/(XAMA+XBMB)
DENSIDADES DE
de A.
dWdwA
= (CA+CB)/p =
C/F
=(MAMB(WA/MA+WBMB)2)_1
d w A / d x A = MAMB (XAMA+XBMB)~ 2
FLUJO.
Supongamos un fluido puro que es transportado por un conducto
.circular. Su caudal puede expresarse como
Q = vA en unidades de
a al cubo por unidad de tiempo, donde v es la velocidad m&sica
> promedio y A es el área seccional del conducto.El caudal másico se
expresa como m'= fQ con dimensiones de masa por unidad de tiempo.
Podemos definir entonces la densidad de flujo másico referida a ejes
estacionarios como :
n = m/A = fv
[masa/tiempo.área]
Si pensamos ahora que el fluido está constituido por dos especies A y
B, la densidad de flujo másico de la mezcla podría definirse
simplememte como
n = HA + nB .
La velocidad de un objeto único es intuitivamente clara. La velocidad
de un conjunto de partículas que se mueven pero mantiene la misma
posición relativa entre ellas es la misma de cualquier partícula
individual. Pero la velocidad de este conjunto se vuelve confusa si
las partículas se mueven con velocidades diferentes , que es lo que
ocurre en una mezcla que presenta gradientes de concentración o sea
que difunde. Si llamamos
v
a la velocidad de la especie A con
respecto a ejes coordenados estacionarios (la palabra velocidad no
expresa aquí la velocidad de una molécula individual de la especie A
sino la suma de las velocidades de las moléculas de esta especie
comprendidas en un pequeño elemento de volumen, dividido por el
número de dichas moléculas). Por lo tanto, la velocidad méaica media
para una especie de la mezcla de dos componentes podría definirse
como:
VA = NA / [ A
= NA /
CA
donde NA = NA / MA es la densidad
de flujo
molar de la especie A.
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
21
En resumen:
n = nA +NA = fAVA + (BVB = fv
y también:
v = n/f
= (nA + n B ) / ( F A +
fe)
= (fAV +
fnv)/f
= WAVA + WBVB
Si consideraros el flujo de las moles más bien que el de la masa
podemos
definir similamiente vina velocidad molar media para la
mezcla:
V * = N/c = (NA + N B ) / ( C A + C B ) = (CAV A + CBV<)/C = XAVA + XBVB
otras lalaciones son:
(v - v * ) = WA(VA (v* -
V)
v * ) + WB(VB -
v*)
= XA(VA - v ) + XB(VB - v )
Observamos pues
que las
densidades de
flujo son magnitudes
vectoriales que representan la masa (o los moles) de una especie que
cruzan la unidad de área por unidad de tiempo. El movimiento puede
estar referido a unas coordenadas estacionarias, pero también puede
estar referido a un plano que avance a la velocidad media local molar
v* o másica v. Estas últimas pueden definirse como densidades de
flujo superpuestas
al flujo
global o
densidades
de
flujo
difusionales:
J A = CA (VA -
que es la densidad de flujo
difusión ordinaria, y
JA =
V*)
molar relativa
a la
v», muy usada en
("A(VA - v )
conocida como la densidad de flujo de masa del componente A con
respecto a unos ejes que se mueven a la velocidad v, muy usado en la
difusión térmica.
También podemos definir
J A ' = JaMa
o densidad de flujo másico referida a la v*, y
JA'
= J A /MA
denominada densidad de flujo molar referido a la v.
EJEMPLQ1.2
Cómo están relacionados JA y NA ?
NA = CAVA
J A = CAVA -
J A = CA(VA -
V*)
( C A / C ) ( C A V A + CBVB) = NA -
V * = XA VA+ XB VB
XA(NA + N B )
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
O sea :
NA = J A + XAN
Esto implica que el flujo molar de A con respecto a los ejes fijos es
el flujo con respecto a la velocidad molar promedio m&s el flujo de A
causado por el flujo global relacionado a v* o sea N. Podemos
observar también que :
Ja = Na - xaN;
JB = NB - XBN
Ja + Jb = N - (xa + xb)N = 0
JA = - JB
es decir
lo que nos indica que la suma de las densidades molares de difusión
relativas a la velocidad media molar en cualquier mezcla es cero.
En general:
£ ni = fv = n ;
2 ji = 0 ;
ji - ni - wiEnu
E Ni = cv* = N ;
Z Ji = 0 ;
Ji = Ni - xi£Nk
EJEMPLO 1.3
Estudiemos
un
comportamiento
velocidades:
sifcema
concreto
para asi comprender
siguiendo
gráficamente
su
mejor las distintas clases de
Un liquido A se evapora y difunde hacia arriba a través de un tubo
largo que inicialmente está lleno de vapor B. Analicemos los
distintos vectores velocidad para un punto en el cual XA=1/6; v*=12;
(VA-V*)=3; MA=6MB;calcular VA, VB, V ,
(VB-V*),
(VA-V) y (VB-V)
Solución: al evaporarse A, empuja el vapor B hacia arriba. Sin
embargo, no existe una linea recta de separación de los dos vapores,
sino que el desplazamiento del vapor B va acompañado de una mezcla
mutua de los dos vapores. Por tanto debido a la difusión, en un punto
cualquiera del tubo, A se mueve hacia arriba más rápidamente de lo
que corresponde al movimiento medio global, y en cambio B se mueve
más lentamente.
XA=1/6
(VA
XB=5/6
- v*) = 3
v * = (CAVA + CBVB)/C = XAVA + XBVB = 12
va = 15
VB = (12 - 15/6)(6/5) = (72 - 15)/5 =57/5 = 11 2/5
(VB
- v*) = 11 2/5 - 12 = - 3/5
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
MA=5Mb:
WA= xaMa/(XAMa + xbME< - C5/6)MB/(5/6MB + 5/6Mb) - i/2
WB = 1/2;
IVA-V!
=
23
15
v - WAVA+ WBVB = 1/2(15+11 2/5) - 13 1/5
-
13
1/5
T
1 4/5
IVB-Vl
:
11
2/5
-
13
1/5
=
-
1
4/5
1.9 PRIMERA LEY DE FIOK
Para definir algunos de ios términos usados en ei estudio de la
difusión consideremos un ejemplo simple y de geometría similar al
usado en las otras formas de transporte
Dos placas grandes se
colocan a una distancia b, pequeña en comparación con las :>tras
dimensiones de la placa El aire entre ambas está inicialmente seco y
permanece libre de corrientes. En el momento t = 0 la placa inferior
se humedece completamente en un líquido (digamos agua) y así se
mantiene para asegurar que la película de fluido adyacente a la misma
conserve una concentración uniforme de vapor el líquido e igual al de
saturación a la temperatura y presión ambientes. La placa superior
está constituida de un material fuerte mente adsorbente (sílica-gel
si el vapor es de agua ) que garantice que la película de fluido
vecina a la placa superior permanece a concentración cero. A medida
que transcurre el tiempo la humedad penetra en la película gaseosa
hasta que alcanza la placa superior y eventualmente pasado un espacio
de tiempo suficientemente grande alcanza el estado estacionario donde
el perfil de concentraciones no cambiará más con el tiempo (ver
figura 1.7).
Superficie d*Mconte
-a2
t=00
estado estable
Superficie húmeda
FIGURA 1.7a
FIGURA 1.7b
FIGURA 1.7.
A nosotros nos interesaría saber cuanta substancia se transporta
entre las dos superficies en un cierto tiempo* Para hacer tal cálculo
necesitamos una expresión que relacione la velocidad de difusión con
las concentraciones y la distancia entre las placas, y alguna otra
variable.
Sabemos que la densidad de flujo molar es la velocidad de flujo
dividida por el área perpendicular a la dirección del transporte.
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
ya especificamos, en general, el transporte de la especia A
puede ocurrir por difusión y convección. 0 sea que la densidad de
flujo total es la suma del flujo difusivo y el convectivo. B1 flujo
convectivo está dado por C A V » S donde v« es la velocidad de la
corriente en la dirección z. La densidad de flujo molar total seria
NA«=JAJB+CAV* donde JA« ea
la densidad de flujo molar difusivo de A .
En el
experimento que
nos ocupa
para la
película gaseosa
completamente estancada se ha encontrado que J A » • - D A B ( Ó C A / Ó Z ) .
COBO
Aquí DAB, la propiedad de transporte es la difusividad másica de la
especie A a través de la especie B. Esta ecuación es una forma
simplificada de la primera ley de Fick de la difusión, que mantiene
su validsz para soIliciones binarias diluidas de densidad constante.
Un análisis riguroso basado en la termodinámica de los procesos
irreversibles muestra que el gradiente de potencial correcto no es el
gradiente de concentraciones sino el gradiente de potencial químico y
que, para mezclas multicomponentes, deben incluirse los gradientes de
las otras especies en la ecuación. Sin embargo se acostumbra asumir
para mezclas multicomponentes que la especie B representa todos los
componentes diferentes de A.
1.10 ANALOGIAS ENTRE LOS TRES FENOMENOS DE TRANSPORTE.
Hasta ahora se han usado los mismos modelos básicos para desarrollar
las siguientes leyes de flujo (ecuaciones constitutivas o expresiones
fenomenológicas) para el transporte de energía, masa y cantidad de
movimiento:
Energía
q* = - k (ÓT/ óz)
Ley de Fourier.
Materia
JA« = - DAB (ÓCA / óz)
Ley de Fick
Cantidad de
movimiento
unidireccional
T«X = - M (ÓV* / ÓZ)
Ley de Newton de la
viscocidad.
En cada caso las ecuaciones toman la forma :
Densidad de Flujo=(Propiedad de Transporte)x(Gradiente de Potencial)
Donde k, DAB y u se llaman las propiedades de transporte moleculares,
y T, CA y v* son los potenciales.
Aunque estas ecuaciones son similares ellas no son completamente
análogas debido a que las propiedades de transporte tienen unidades
diferentes. Notando que las dimensiones de la difusividad másica son
[longitud al cuadrado / tiempo], podemos definir difusividades para
calor y cantidad de movimiento como
Difusividad Térmica
presión constante.
= a
= k/ fCp donde Cp es capacidad calorífica a
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
Difusividad da cantidad de
viecocidad cinemática.
Suponiendo que
como:
movimiento =
r =
u/f
llamada
25
también
Cp y f eon constantes reescribimos las leyes de flujo
ô(fCpT)
Energía :
q« = - a
6z
6CA
Masa :
JA« = - DAB —
6z
Cantidad de
Movimiento
T.X = - T
8(fvx)
6z
Notemos que fCpT tiene unidades de energía por unidad de volumen o
concentración de energía por analogía con c (moles por unidad de
volumen). Además fv tiene dimensiones de cantidad de movimiento por
unidad de volumen y puede interpretarse como concentración de
cantidad de movimiento. Aguí las leyes de flujo están escritas en la
forma difusional:
Flujo = - Difuaividad x Gradiente de Concentración.
Como las difusividades poseen las miamas dimensiones, su relación nos
dará cantidades adimensionales:
Número de Prandtl :
Número de Schmidt :
Número de Lewis :
Pr = T/a
Sc = F / D A B
Le = O/DAB
Estas cantidades
aparecen en situaciones donde hay transporte
simultáneo de calor e impulso; masa e impulso; o calor y masa
respectivamente.
CAPITULO 2. PROPIEDADES DK TRANSPORTE.
2.1 PROPIEDADES DE TRANSPORTE
GASES SIMPLIFICADA.
A PARTIR DE IA TEORIA CINETICA DE LOS
Las teorías moleculares son útiles para mejorar la comprensión de los
varios procesos de transporte. También pueden 3er útiles para
predecir cualitativa y/o cuantitativamente la dependencia de los
coeficientes de transporte, n, DAB, y K de la temperatura y la
presión. Idealmente, una teoría molecular permitiría predecir estos
coeficientes para una substancia dada sin necesidad de recurrir a
mediciones experimentales. Sin embargo, este objetivo solo se ha
logrado para los gases.
2.2 TRANSPORTE DE MASA EN GASES A BAJA PRESION.
Para obtener una visión simplificada del mecanismo de transporte
difusional en gases, consideremos una mezcla de los gases A y B en
equilibrio, es
decir, a
temperatura, presión y concentración
uniformes.
Según la teoría cinética las moléculas estarán en movimiento caótico
colisionando unas con otras a razón de aproximadamente 10 21 choques
por segundo. En un momento y lugar dado cada molécula tendrá su
propia velocidad, y puede atravesar una cierta distancia antes de
chocar con otra. Habrá una distribución de velocidades que oscilará
entre 0 y 1. Conociendo esta distribución podemos calcular una
velocidad promedio V y una distancia media entre colisiones, -1-,
llamada la "Trayectoria libre media"
Como las condiciones son uniformes dentro del gas, V y
no variarán
con la posición, y dado que todas las direcciones son posibles para
el movimiento molecular V será el mismo para todas las direcciones y
orientaciones de los ejes coordenados, o sea, es un escalar.
Considerando un plano arbitrario en y = y, el número de moléculas que
lo atraviesan en la unidad de tiempo y que se originan por debajo del
plano, será igual al que lo atraviesa teniendo origen por encima del
mismo. No habrá un flujo neto o difusión molecular de A en la
dirección y.
Supongamos ahora que XA es la fracción molar de A en la mésela y que
existe un gradiente de A en la dirección y, dcA/dy o dxA/dy, pero no
en la dirección x o z? Si la concentración de A es mayor a menores
valores de y, o sea que dcA/dy es negativa, habrá más moléculas de A
que atraviesan el plano desde abajo que desde arriba simplemente
porque hay más moléculas de A por unidad de volumen en la región
inferior.