Mecanica LeyesdeNewton

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA
ESCUELA DE FISICA
FÍSICA
(con orientación en las aplicaciones al Área de la Salud Pública)
UNIDAD III: DINAMICA Y SUS APLICACIONES.
3.1 Objeto de estudio de la dinámica
3.2 Fuerza: Concepto, Naturaleza vectorial.
3.2.1 Suma de fuerzas
3.3 Leyes del movimiento
3.3.1 1ª ley de Newton
3.3.2 2ª ley de Newton
3.3.2.1 Masa inercial y masa gravitatoria
3.3.2.2 Fuerza gravitatoria o peso
3.3.2.3 Fuerza de contacto.
3.3.3 3ª ley de Newton
3.4 Equilibrio
3.4.1 Equilibrio de traslación
3.4.2 Equilibrio de rotación: momento de una fuerza
3.5 Aplicaciones
3.5.1 La fuerza muscular
3.5.2 Los huesos como palancas accionadas por los músculos
3.5.3 El balistocardiógrafo
3.5.4 Fuerzas de fricción en las articulaciones
3.5.5 Ruptura de huesos en caídas o saltos
3.6 Elasticidad, Concepto
3.7 Propiedades mecánicas de los sólidos: Ley de Hooke
3.8 Módulos de Elasticidad
3.8.1 Módulo de Young
3.8.2 Módulo de Rigidez o de Torsión
3.8.3 Módulo de Compresión Volumétrica o Elasticidad Cúbica
3.9 Aplicaciones
3.9.1 Los Elastómeros
3.9.2 La ley de Hooke y los materiales biológicos
OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
Que el estudiante:
1- Explique cuál es el objeto de estudio de la dinámica considerando a los
cuerpos como partículas.
2- Defina los siguientes conceptos y los aplique para resolver problemas
numéricos;
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Facultad de Ciencias Naturales y Matemática
Escuela de Física
Fuerza
Elasticidad
Fatiga o Esfuerzo
Ley de Hooke
Límite elástico
Deformación Unitaria
Módulo de Young
Módulo de Rigidez
Módulo de Compresión Volumétrica
3- Dada una fuerza y un par de ejes coordenadas, encuentre las
componentes de la fuerza y viceversa.
4- Dada la representación vectorial de varias fuerzas que actúan sobre un
mismo cuerpo encuentre la resultante de ellas, usando el método gráfico,
el método analítico (usando las leyes de triángulos y por medio de sus
componentes rectangulares)
5- Enuncie y cite ejemplos en que se aplique la primera ley de Newton
6- Enuncie y explique la segunda ley de Newton y resuelva problemas que
involucren fuerza, masa y aceleración para un cuerpo o sistema de
cuerpos, auxiliándose de los diagramas de cuerpo libre.
7- Explique qué entiende por fuerza gravitatoria y su relación con el peso
de un cuerpo, así como los efectos que causa su aumento o ausencia sobre
los seres vivos; así como su relación con la masa de un cuerpo.
8- Exprese las características de la fuerza de fricción y aplique su
ecuación para resolver problemas sobre esas fuerzas.
9- Explique la tercera ley de Newton, citando ejemplos y resuelva
problemas que involucren dicha ley.
10- Explique en qué consiste el momento de una fuerza y las
condiciones de equilibrio de traslación y rotación para un
cuerpo rígido y resuelva problemas aplicando esos conceptos.
11 Explique qué entiende por fuerza muscular, cuál es el comportamiento
de dicha fuerza y su efecto.
12- Explique el principio físico en que basa su funcionamiento el
balistocardiógrafo.
13- Explique cómo se disminuye el rozamiento en las articulaciones de los
huesos.
14- Explique cómo se relaciona la altura de caída y la distancia de
desaceleración con la fuerza ejercida sobre los huesos de la pierna en un
salto o caída.
15- Dada la representación de fuerzas actuando sobre un cuerpo,
identifique las fuerza de torsión y /o compresión.
16- Explique el comportamiento de algunos materiales biológicos, de los
elastómeros, colágenos, etc.
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LEYES DEL MOVIMIENTO.
3.1
OBJETO DE ESTUDIO DE LA DINAMICA.
En esta unidad se estudiará la razón por la cual se modifica el
estado de reposo y el estado de movimiento uniforme; así mismo el factor
que se opone a esos cambios.
¿Por qué los cuerpos caen con aceleración constante?
¿Por qué es posible que los huesos que se juntan en las articulaciones de
los seres vivientes, varíen su posición?, ¿Por qué vibran los cuerpos
elásticos?, etc. Todas las interrogantes planteadas anteriormente, tienen
su respuesta en la parte de la física denominada DINAMICA.
3.2
FUERZA: Concepto, Naturaleza vectorial.
Por nuestra experiencia diaria se conoce o se tiene una idea de lo
que es una fuerza. Así se dice que es un “empujón”, o tirón que se le da a
un cuerpo produciéndole un cambio en su estado de movimiento, ya sea
en rapidez o en dirección. El conocimiento obtenido del trabajo de varios
investigadores, permite afirmar que el cambio del estado de movimiento de
los cuerpos es el resultado de interacciones con otros cuerpos que le
rodean, dichas interacciones se podrán describir con el concepto de
FUERZA.
Se definirá una fuerza como “una magnitud física vectorial que modifica el
estado de movimiento de un cuerpo”.
G
Simbólicamente una fuerza puede ser representada con: F , gráficamente
se representa con un segmento de recta dirigido o flecha.
El ángulo θ define la dirección y
sentido en que actúa la fuerza y la
longitud de la flecha es proporcional al
módulo o valor de la fuerza (a la
constante de proporcionalidad se le
llama escala de dibujo, por ejemplo 1
cm = 5 Newton).
θ
x
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Siendo las fuerzas magnitudes vectoriales, se les aplica las reglas de la
suma y resta vectorial; por ejemplo, cuando existen dos fuerzas actuando
simultáneamente y se desea conocer el valor de la fuerza única que
produciría el mismo efecto de las anteriores juntas, estas se suman
vectorialmente.
3.2.1 SUMA DE FUERZAS.
La operación suma de fuerzas se podrá realizar en la forma siguiente:
a) Método Gráfico
b) Método Analítico, Aplicando las Leyes del Triángulo.
c) Método Analítico, Aplicando Componentes Rectangulares.
a) METODO GRAFICO.
Para sumar fuerzas por el método gráfico, se procede primero a
representar dichas fuerzas mediante flechas dibujadas a escala, colocando
esas flechas una a continuación de otra, siendo el vector resultante el
representado por la flecha que se dirige del origen de la primera al extremo
de la última. Su valor se determina midiendo la longitud de la flecha que lo
representa y haciendo las conversiones con la escala del dibujo utilizada.
Su dirección se obtiene midiendo el ángulo que forma con respecto al
semieje positivo de las X (ángulo medido en el sentido antihorario).
Ejemplo: Efectúe la suma de las fuerzas dadas a continuación.
Escala: 1U = 10 Kgf
FR es la fuerza
resultante
de
módulo 58 Kgf. y
forma un ángulo de
189º con el semieje
positivo de las X.
F1=40K
FR=5.8
U 58K f
230o
160o
x
x
F2=30Kgf
189o
x
Fig. 2 Método gráfico para sumar vectores
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b) METODO ANALITICO, Aplicando las Leyes del Triángulo.
Dadas las fuerzas
G G
FA yFB
G
FB
G
FA
θ
Determinar su suma.
Se colocan las fuerzas una a continuación del otro (no a escala.) y se traza
la fuerza resultante de acuerdo al método anterior.
Para determinar la magnitud de la fuerza
resultante se aplica la ley del coseno:
G
β
FR
FR = FA + FB − 2FAFB cos(180−θ)
α
θ
G
FA
Para determinar la dirección se utiliza la ley del
seno
G
FB
Senα Sen(180º−θ) Senβ
=
=
FB
FR
FA
Despejándose α ó β según sea necesario.
c) METODO ANALITICO, Aplicando Componentes Rectangulares.
Para sumar fuerzas por medio de sus componentes rectangulares, se
necesita determinar las componentes de cada fuerza.
G
Se entenderá por componentes rectangulares de una fuerza F a dos
fuerzas perpendiculares entre sí, cuya suma vectorial es igual a dicha
fuerza
G
F
G
Fy
θ
G G
FX yFy
x
Son las componentes rectangulares de
G
G
G
F = Fx + F y ,
G
F
θ
G
Fx
G
F puesto que cumplen:
Por el teorema de Pitágoras:
F = Fx2 + Fy2
El módulo de cada componente puede calcularse así:
cos θ = Fx / F ⇒ Fx = F cos θ
sen θ = Fy / F ⇒ Fy = F sen θ
x
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A continuación se suman algebraicamente las componentes en X de las
fuerzas dadas; para obtener la componente en x de la resultante y luego se
suman algebraicamente las componentes en y de las fuerzas dadas, para
obtener la componente en y de la resultante.
Si:
G
G
G
G
G
F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = FR
entonces
F1x+F2x+F3x+...+Fnx = FRx
F1y+F2y+F3y+...+Fny = Fry
En las sumas anteriores se omite la notación vectorial, convirtiéndose así
en sumas algebraicas, como:
G G
G
FR = FRX + FRY
FR = FRx2 + FRy2
G
La dirección de FR se determina mediante el ángulo θ, que forma con el
semieje positivo de las x, de modo que:
θ = arc tan FRy / FRX
3.3
LAS LEYES DEL MOVIMIENTO
3.3.1 PRIMERA LEY DE NEWTON Una partícula libre es aquella
que no está sujeta a interacción alguna, o sus interacciones con otras
partículas son despreciables por encontrarse muy alejada de ellas.
La primera ley de Newton o la Ley de Inercia establece que : “Una
partícula libre (bajo la acción de varias fuerzas que suman cero) se mueve
siempre con velocidad constante o permanece en reposo” En ésta
condición, se dice que el cuerpo está en equilibrio de traslación:
Si
G
FR =
n
G
∑F
i
i=1
Reposo
= 0
Movimiento
rectilíneo
uniforme
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3.3.2 SEGUNDA LEY DE NEWTON: Fuerza y aceleración
Se dijo anteriormente que si sobre un cuerpo, la resultante de las fuerzas
que actúan es nula, entonces el cuerpo se encuentra en equilibrio de
traslación. Veamos ahora qué sucede si la resultante de esta fuerza no es
cero. Indudablemente que al existir una fuerza resultante, ésta le
provocará un cambio de velocidad, durante algún intervalo de tiempo Δt.
Esto significa que la fuerza resultante le comunica al cuerpo una
aceleración, que en todo instante, tiene la dirección y sentido de dicha
fuerza resultante, y sus módulos son proporcionales, es decir:
a ∝ FR
G G G
Si F1 , F2 , F3 son fuerzas netas que actúan por separado sobre una misma
masa m se tiene :
F
a1
F2
a
m
m
F3
m
a3
F1 F2 F3
=
=
=k=m
a1 a2 a3
Cumpliéndose que :
F1 / a1 = F2 / a2 = F3 / a3 = k
En donde k es una constante de proporcionalidad.
Entonces, para cualquier fuerza neta F : k = F /a o sea F = k a
Supóngase ahora que sobre la masa m se coloca 1, 2, 3, etc. masas
iguales. Al añadir los diversos cuerpos se dice que la masa que deberá
mover la fuerza, se ha hecho 2,3,..., veces mayor. Si se quiere mantener la
aceleración en un mismo valor “a”, será necesario aplicar una fuerza 2F,
3F, ... se concluye, pues, que la fuerza necesaria para producir cierta
aceleración es directamente proporcional a la masa del cuerpo:
F αm
Combinando los dos resultados anteriores se tiene que:
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F α (ma) ⇒ F= K(ma)
Haciendo la constante igual a la unidad, lo que siempre es posible
mediante una selección adecuada de unidades se obtiene:
F = ma
G
G
En forma vectorial FR = maR
La ecuación anterior es una expresión de la segunda ley de Newton, cuyo
enunciado es el siguiente:
“Siempre que una fuerza neta actúa sobre un cuerpo, le produce una
aceleración en su misma dirección y sentido, siendo el modulo de ésta
aceleración directamente proporcional al modulo de dicha fuerza”
Para cada cuerpo la razón entre la fuerza neta y la aceleración
experimentada es una constante a la cual se le da el nombre de masa (m)
del cuerpo. Esta magnitud es una medida de la resistencia que opone todo
cuerpo a que le cambie su velocidad.
Si una misma fuerza se aplica a distintos cuerpos la aceleración
observada es inversamente proporcional con la masa de los cuerpos, ésto,
en forma simbólica se expresa así:
a ∝ 1/m
Para un
a = F (1 / m)
sistema de fuerzas
G
G
F
cumple: ∑ = ma
3.3.2.1
G
G
Fx = max
que
actúan
sobre
G
G
Fy = may
un
cuerpo
se
MASA INERCIAL Y MASA GRAVITATORIA.
La masa es una propiedad de la materia; cuando se mide en condiciones
de equilibrio (con una balanza) se denomina masa gravitatoria y si se mide
en condiciones de movimiento se denomina masa inercial.
La masa de un cuerpo es la cantidad física que mide la propiedad llamada
INERCIA, la cual consiste en que todo cuerpo se opone a cualquier cambio
de velocidad; por lo tanto la masa es independiente del lugar donde esté el
cuerpo.
La masa de un cuerpo (mc) se puede medir por un método estático,
comparando en un mismo lugar, el peso (pc) del cuerpo con el peso (pp) de
una masa patrón (mp) :
mc / mp = pc / pp
Puesto que pc / mc = pp / mp = g
De lo que se obtiene: mc = mp ( pc / p`p )
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A este resultado le llamamos MASA GRAVITATORIA.
También se puede medir la masa, por un método dinámico, comparando
las aceleraciones que una misma fuerza les produce al cuerpo dado y a la
masa patrón, cumpliendo que:
mc / mp = ap / ac
Puesto que mcac = mpap = F
De lo anterior mc = mpap / ac = F / ac
A este resultado le llamaremos MASA INERCIAL
Los dos resultados son equivalentes: Masa gravitatoria es numéricamente
igual a la masa inercial
3.3.2.2
FUERZA GRAVITATORIA O PESO.
Se le da este nombre a la fuerza con que un cuerpo cualquiera atrae a
todos los demás: por ejemplo, la tierra atrae a todos los objetos que se
encuentran cerca de ella.
La dirección de esta fuerza apunta hacia el centro de la tierra. Mediciones
de la fuerza gravitatoria, ejercida sobre diferentes masas en un lugar
determinado, demuestran que cumple lo siguiente:
Donde:
G
Fg : Fuerza gravitatoria o peso del cuerpo.
G
G
Fg = mg
m: masa del cuerpo.
G
g : aceleración de la gravedad
En diferentes puntos sobre la superficie de la tierra o en el espacio
generalmente g varía en magnitud y dirección. Cerca de la superficie
G
terrestre g aproximadamente es 9.8 m/s2 ó 980cm/s2 con ligeras
variaciones de un punto a otro.
A medida que se aleja de la superficie del planeta, el valor de g disminuye;
así el peso de un cuerpo variará a medida que se tenga variaciones del
valor de la aceleración de la gravedad. Hay que hacer notar que la masa
”m” de un cuerpo no depende de su localización.
Centro de gravedad:
La fuerza gravitatoria actúa sobre las partes que constituyen un cuerpo.
Así, sobre un brazo extendido, por ejemplo, existen fuerzas gravitacionales
que actúan a lo largo de todo el brazo.
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cg
Fg
La suma de todas estas fuerzas gravitatorias es la fuerza total de la
gravedad Fg o peso del brazo, que se supone se encuentra concentrada en
un punto determinado, conocido como: CENTRO DE GRAVEDAD: Cg
Así para el caso del brazo extendido este punto esta localizado
aproximadamente a 28 cm de la articulación del hombro. En un objeto
flexible, como el cuerpo humano, la posición del centro de gravedad varía
cuando el objeto cambia de forma. El centro de gravedad de un hombre
que permanece de pie está localizado al nivel de la 2ª vértebra sacra, sobre
una línea vertical que toca el suelo a unos 3 cm por delante de la
articulación del tobillo. Si cambia de posición (el hombre), cambiará
también la posición del centro de gravedad. La capacidad para variar la
posición del Cg es de gran importancia para mantener el equilibrio de un
cuerpo.
3.3.2.3
FUERZA DE CONTACTO
Un cuerpo colocado sobre una superficie está en equilibrio; sobre él actúa
la fuerza gravitatoria y por la 1ª Ley de Newton, debe existir otra fuerza
que equilibre a Fg. Esta fuerza la ejerce la superficie sobre el cuerpo mismo
y es perpendicular a dicha superficie. Esta fuerza se conoce como: Fuerza
de Contacto o Fuerza Normal ( N o Fc ) las fuerzas de contacto las ejercen
los cuerpos sólidos sobre otros objetos en contacto con ellos.
Fuerza de Rozamiento o Fricción.
La fuerza de rozamiento aparece siempre que un objeto se desliza sobre
otro. En general, actúa oponiéndose al movimiento y es paralela a la
superficie de apoyo. Se ha determinado que la fuerza de fricción es
proporcional a la fuerza de contacto y para cuerpos móviles se cumple: Ff =
μFc
Siendo: μ = coeficiente de fricción o rozamiento cinético
Ff = Fuerza de fricción
Fc = fuerza de contacto o fuerza normal.
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El valor del coeficiente de rozamiento depende de la naturaleza de las
superficies, siendo mayor cuando las superficies son ásperas y menor si
son pulidas. La lubricación disminuye el valor de μ. Para el caso de que no
hay deslizamiento entre las superficies en contacto, pero hay fuerzas que
tienden a producirlo, se origina la llamada Fuerza de rozamiento estático y
su valor máximo cumple Ff = μs Fc ; siendo μs el coeficiente de rozamiento
estático, que siempre es un poco mayor que el cinético
3.3.3 TERCERA
reacción.
LEY
DE
NEWTON:
Principio
de
Acción
y
Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, son la expresión de las
interacciones de dicho cuerpo con otros. En toda interacción, un cuerpo
ejerce una fuerza sobre el otro y éste ejerce sobre el primero una fuerza de
igual modulo, dirección pero sentido contrario a la que recibió. Por lo
tanto, no se podrán tener fuerzas únicas o aisladas, éstas aparecerán en
parejas, pero actuando sobre cuerpos distintos.
Así, en la interacción de dos cuerpos aparecerán las llamadas
fuerzas de “acción” y “reacción”, cualquiera de dichas fuerzas se puede
considerar como acción o reacción ya
que no existe diferencia en la
FPE
FEP
naturaleza de dichas fuerzas. Esta
propiedad de las fuerzas se encuentra
enunciada en la 3ª ley de Newton, la
cual dice:
“Si un cuerpo E ejerce una fuerza
sobre un cuerpo P, éste ejercerá sobre
el primero una fuerza igual en
E
módulo y dirección pero en sentido
P
opuesto a la que recibió”.
En forma de ecuación y para el
ejemplo ilustrado en la figura 7 la
tercera ley se expresa así:
G
G
FEP = −FPE
Se debe tener presente que las fuerzas de acción y reacción no se
neutralizan porque actúan en cuerpos diferentes.
Ejemplo de pareja de fuerzas de acción y reacción se tiene cuando
una persona empuja con su mano hacia abajo la superficie de una mesa
G
F ; esta persona
G sentirá que la mesa empuja su mano
hacia arriba con una fuerza − F .
con una fuerza
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3.4
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EQUILIBRIO.
3.4.1 EQUILIBRIO DE TRASLACION.
Se ha visto que si la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es
nula (fuerza resultante cero) de acuerdo con la segunda ley de Newton, la
aceleración lineal del cuerpo es cero, o sea que puede estar en reposo o
trasladarse con velocidad constante, en ese caso se dice que el cuerpo esta
en equilibrio en la traslación.
Condición de equilibrio de traslación:
n G
ó bien
y
∑ Fi = 0
∑ Fx = 0
i =1
∑F
y
=0
Esta es denominada 1ª condición de equilibrio.
3.4.2 EQUILIBRIO DE ROTACION: MOMENTO DE UNA FUERZA
Cuando se analizan las fuerzas que actúan sobre un cuerpo
rígido para determinar si éste se encuentra en equilibrio, no
basta conocer si la suma de fuerzas actuando sobre él es
cero. Observe el siguiente caso.
Si las dos fuerzas que se muestran actuando
sobre el bloque de la figura anterior son paralelas y de igual
magnitud, no existirá fuerza resultante, por lo que el bloque no se
acelerará linealmente hacia ningún lado, pero comenzará a rotar, lo que
significa un cambio de velocidad angular. Este efecto o tendencia de las
fuerzas a iniciar una rotación alrededor de un punto determinado o a
modificar la que ya existía, físicamente constituye lo que se conoce con el
nombre de MOMENTO O TORQUE
Este depende del módulo (F) de la fuerza aplicada y de su distancia
(d) medida perpendicularmente, desde la línea de acción de la fuerza al eje
de rotación. Es una magnitud vectorial; cuyo módulo está dado por:
M = Fd
M: momento de la fuerza o torque
d : distancia perpendicular (brazo de
d = L sen θ
la fuerza)
En la figura mostrada, el momento que
producirá la fuerza F al rededor del punto
“0” será :
Entonces Mo = F L Sen θ
M0 = F x d
Siendo L senθ la distancia perpendicular
G
desde la línea de acción de F hasta el
punto “0” (articulación del hombro).
O
L
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Ahora se puede mencionar una segunda condición de equilibrio, la
que está relacionada con los momentos que producen varias fuerzas
aplicadas a un mismo cuerpo:
“Si la suma vectorial de los momentos con respecto a un mismo punto 0,
de todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo, es cero, entonces el cuerpo se
encuentra en equilibrio de rotación”.
n
∑M
0i
i =1
= 0 Condición de equilibrio de rotación
(Segunda condición de equilibrio)
Se asume la siguiente convención de signos para el sentido del vector
momento de una fuerza, sabiendo que su dirección es la del eje de rotación
: “Si la rotación que el momento tiende a producirle al cuerpo es en el
sentido antihorario, el momento será positivo; en caso contrario será
negativo”.
POSITIVO
NEGATIVO
3.5
APLICACIONES
3.5.1 LA FUERZA MUSCULAR
La postura y el movimiento de los seres vivientes están controlados
por fuerzas producidas por los músculos. Un músculo está constituido por
tejidos que es capaz de contraerse cuando recibe impulsos procedentes de
las fibras nerviosas. La contracción del músculo produce dos pares de
fuerzas que actúan sobre los huesos y el punto donde los músculos están
unidos a los tendones. Estas fuerzas son de acción y reacción entre cada
hueso y el músculo.
Triceps
La fuerza máxima que puede
ejercer un músculo depende de su
Húmero
sección transversal y en el hombre es
de unos 3 a 4 Kgf/cm2. Es decir, que
para producir una fuerza de 60 Kgf
Biceps
se necesita una sección transversal
Radio
de 15 a 20 cm2 aproximadamente.
El estudio de las fuerzas
musculares
para
producir
movimiento y equilibrio en el hombre
recibe el nombre de BIOMECÁNICA .
Cúbito
Fig. 10
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3.5.2 LOS
MUSCULOS.
HUESOS
Escuela de Física
COMO
PALANCAS
ACCIONADAS
POR
Suponga que a usted se le proporcionara un manojo de palos y
algunas bandas de hule y se le dijera que construyese un modelo mecánico
del hombre. Probablemente si se le diera suficiente tiempo podría hacer un
modelo bastante bueno, sin fuerza motriz, por supuesto. Al igual que las
bandas de hule los músculos trabajan sólo ejerciendo tensión, éste es el
principio básico del diseño de todos los animales con esqueleto.
Como los músculos únicamente ejercen tensión, se necesita como mínimo,
un músculo actuando en el codo para elevar el antebrazo, y otro para
bajarlo, como se muestra en la siguiente figura.
El músculo tríceps está conectado entre la escápula (hombro) y el
alecranon, apófisis del cúbito; Cuando se contrae, extiende el ante brazo.
El músculo bíceps está conectado entre la escápula y el radio, en el
antebrazo, frente al húmero; Cuando se contrae, flexiona el antebrazo. La
articulación entre el cúbito y el húmero es una articulación simple con
solo un grado de libertad. La figura es una versión incompleta de la
musculatura del brazo, en realidad hay 8 músculos principales
directamente asociados con la función del codo.
B
T
F
B
F
W
Fig. 11
Fig. 12
Una palanca es una barra rígida que puede girar sobre un punto fijo,
llamado apoyo o eje. Su utilidad está en que aumenta la efectividad de una
fuerza aplicada, permitiendo
que esta fuerza sea aplicada en un lugar más conveniente, o incrementar
la rapidez y alcance del movimiento de una parte de las máquinas simples,
son quizás las más antiguas y las más frecuentemente utilizadas.
Un ejemplo familiar sería el martillo de carpintero cuando es
utilizado para extraer clavos. Otros ejemplos menos familiares pero
también comunes son los músculos y huesos del cuerpo, pues los huesos
son palancas accionadas por los músculos. Dos diagramas de palanca se
muestran en la figura anterior ; Para el músculo tríceps , un diagrama de
palanca para su acción de extensión del antebrazo .
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La tensión T ejercida por el tríceps tiende a alargar el bíceps B; aquí
el punto de apoyo es el codo. El otro diagrama muestra la acción del
músculo bíceps al sostener el peso W del antebrazo, usando el codo como
apoyo.
Nótese que en el primer diagrama el apoyo está entre las dos fuerzas,
mientras que en el segundo diagrama está fuera de los puntos de
aplicación de las fuerzas, estos diagramas ilustran los dos tipos básicos de
palanca, aunque también se habla de un tercer tipo de palanca cuando las
direcciones de B y de W se invierten, como es el caso de una carretilla
cargada de arena.
3.5.3 BALISTOCARDIOGRAFO.
El balistocardiógrafo es un instrumento médico utilizado en
investigación, éste determina la fuerza ejercida por el corazón al contraerse
los ventrículos, los cuales bombean la sangre hacia la cabeza. Según la
tercera ley de Newton existirá entonces una fuerza hecha por la sangre
sobre los ventrículos, cuyo resultado es una pequeñísima aceleración de
todo el cuerpo hacia los pies.
Cuando la sangre llega al arco de la aorta, su dirección cambia hacia los
pies, y
según la tercera ley de Newton se origina también una fuerza sobre el resto
del cuerpo que sufre un impulso de retroceso hacia la cabeza.
Un dispositivo bastante sensible para medir estos ligeros movimientos
corporales debido al movimiento de la sangre fue construido en 1939. El
método consiste en inmovilizar rígidamente un paciente sobre una camilla
liviana suspendida del techo por medio de cables. La camilla se mueve con
el cuerpo siguiendo los impulsos de retroceso por el bombeo de la sangre.
Estos leves movimientos se registran por medios ópticos y el registro
obtenido se denomina BALISTOGRAMA, siendo su aspecto semejante al de
un electrocardiograma.
3.5.4 FUERZAS DE FRICCION EN LAS ARTICULACIONES.
Los estudios hechos sobre las articulaciones demuestran que las cargas
que tienden a soportar por ejemplo la cadera y la rodilla son mucho
mayores de lo que podría esperarse de tener en cuenta simplemente el
peso del cuerpo como factor principal. Realmente la mayor parte de las
fuerzas de compresión en una articulación se deben no sólo al cuerpo, sino
también a la acción de los músculos que a través de la articulación hacen
mover las partes de nuestro cuerpo, pudiendo ser las fuerzas musculares
3 ó 4 veces mayores que el peso del cuerpo.
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Por lo anterior, puede concluirse que existen fuerzas de fricción muy
grandes en las articulaciones. Sin embargo, no nos percatamos de ese
rozamiento, por que las articulaciones son lubricadas por una sustancia
denominada liquido sinovial. Este proceso de lubricación es tan eficaz que
con una carga de 1800 N, la fuerza de fricción en una articulación puede
ser solo 9 N aproximadamente.
El coeficiente de fricción existente entre las superficies de los huesos que
forman una articulación puede determinarse, entonces, de la siguiente
forma:
Coeficiente de fricción = 9 N/ 1800 N = 0.005
3.5.5 RUPTURA DE HUESOS EN CAIDAS O SALTOS.
Una persona que salta y cae al suelo desde cierta altura, con una o
ambos pies y si la superficie es rígida, somete a un gran esfuerzo los
huesos largos de sus piernas. El hueso más vulnerable es la Tibia y el
esfuerzo sobre este hueso será máximo en el punto donde el área de la
sección transversal es mínima, justamente arriba del tobillo (Recordar la
relación área resistencia).
La tibia se fracturará si la fuerza de compresión (Tal como la ejercida
en una caída o salto) es mayor de 5 x 104 N. Si la caída se hace sobre los
dos pies, la fuerza máxima que los huesos de las dos piernas pueden
tolerar es el doble o sea 105 N.
Esta fuerza corresponde aproximadamente a 130 veces el peso de un ser
humano de 75 Kgf.
De acuerdo con la segunda ley de Newton, la
fuerza ejercida sobre los huesos de las piernas es igual al producto de la
masa de la persona por la aceleración promedio (a) en el movimiento que
va desde el instante que la persona hace contacto con el suelo hasta que
finalmente se detiene.
Así:
.
F= m a
Si una persona se deja caer con velocidad inicial cero desde una altura H y
utiliza una distancia h para detenerse luego de hacer contacto con el
suelo, entonces, la fuerza ejercida sobre los huesos de las piernas estará
dada por dichaa fuerza.
De las ecuaciones de cinemática se sabe que :
v2 = vo2 - 2ah
Donde: v = velocidad de la persona en el momento en que se detiene.
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vo = velocidad de la persona en el instante en que hace contacto con
el suelo.
De lo dicho anteriormente se establece que:
v=0
vo = 2 gH
Luego:
a = v2 - vo2 / 2h ⇒ a = -2gH / 2h ⇒
a = - gH /h.
El signo menos de la aceleración indica que la persona luego de hacer
contacto con el suelo disminuye ssu velocidad hasta llegar a cero.
Finalmente se obtiene que :
F = m a ⇒ F = m (-gH / h ) ; si mg = W = peso de la persona ⇒ F = -W H /
h
La relación H / h es la razón entre la altura de la caída y la distancia a
través de la cual ocurre la desaceleración hasta llegar al reposo.
Si una persona cae sobre ambos pies, rígidamente, sin doblar las rodillas,
la distancia “h” será aproximadamente de un cm.
Luego la altura límite será :
H=Fxh
W
H = 130 W x 0.01m
W
H = 1.3 m
Como puede deducirse, la caída desde una altura relativamente pequeña
1.3 m ó 4.3 pies puede resultar en la fractura de la tibia si la caída es
hecha en posición rígida aun sobre los dos pies (sobre un solo pie, la
fractura es inevitable).
Doblando las rodillas, la distancia en que ocurre la desaceleración puede
aumentarse. Si la persona cambia desde la posición erecta a la posición
curvada durante la caída, “h” será casi 0.6 m es decir 60 veces mayor que
el valor usado en el calculo anterior, lo que indica una altura de salto o
caída cuyo valor es:
H = 60 x 1.3m
H = 38 m
En este caso sin embargo la fuerza desaceleradora es ejercida casi
enteramente por los tendones y ligamentos en vez de los huesos de las
piernas y estos ligamentos son capaces de resistir solamente 1/20
aproximadamente de la fuerza de fractura de los huesos. Por esta razón la
máxima altura de caída se ve reducida aproximadamente a unos 4 m (13
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pies). Para caer con seguridad desde tal altura se requiere que el cambio
de posición sea hecha de manera uniforme de modo que la fuerza
instantánea ejercida sobre los músculos no exceda el nivel de ruptura; por
lo tanto saltar desde una altura de 4m (o caerse) es arriesgado.
Si la superficie no es dura sino que es algo blanda como arena, agua
o algún liquido se puede tolerar una velocidad de impacto mucho mayor.
3.6
ELASTICIDAD: CONCEPTO
Hasta el momento se ha analizado el hecho de que las fuerzas
aplicadas a un cuerpo pueden producirle traslación y/o rotación, en esta
parte se estudiará otro efecto de las fuerzas el cual es producir cambios de
forma en los cuerpos, es decir deformación llegándose incluso a que si las
fuerzas son muy grandes a la deformación permanente o bien a la ruptura
del objeto sobre el cual actúan.
Si un material se comporta de forma tal que al dejar de actuar la (o
las) fuerza(s) sobre el cuerpo, se recobra su tamaño y forma original, se
dice que el material es elástico. Si al dejar de actuar las fuerzas el objeto
no recupera por completo sus características originales el material es
inelástico y cuando no existe tendencia a retornar a las condiciones
originales el material es perfectamente inelástico (plástico).
Se denomina elasticidad a la capacidad de retornar a la forma y tamaño
inicial cuando han dejado de actuar las fuerzas deformantes.
3.7
PROPIEDADES MECANICAS DE LOS SOLIDOS.
LEY DE HOOKE
En un experimento sencillo, los extremos de una muestra cilíndrica de
cierto material a investigar se conectan a placas móviles, estas se separan
o se empujan una hacia la otra, sometiendo la muestra a deformación, ya
sea produciéndole aumento en su longitud (tensión) o reduciendo su
longitud (compresión). Ver figura.
ΔL
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TENSION
L
COMPRESION
ΔL
G
En los dos casos de la figura, las fuerzas ( F ) actuando en los extremos
tienen el mismo módulo y línea de acción por lo que su efecto no es
producir movimiento sino deformar el objeto.
Una importante observación experimental es que la deformación ΔL es
directamente proporcional a la fuerza aplicada (o fuerza deformante), el
primero en observar lo anterior fue Robert Hooke, de aquí que la
denominada ley de Hooke se exprese así:
F = kΔL
(6)
Siendo k la constante de proporcionalidad. La ley es valedera media vez no
se sobrepase el llamado límite elástico o de proporcionalidad considerando
esa limitante, la ecuación se cumple para casi cualquier material sólido
desde el acero hasta los huesos.
En la figura siguiente se muestra un gráfico típico de fuerza aplicada
(F) en función de la deformación o elongación (ΔL)
Hasta el límite elástico
Punto de ruptura
(punto A) el objeto regresa a
su forma y tamaño originales
A
F
cuando deja de aplicarse la
fuerza.
La
región
OA
Límite elástico constituye la región elástica.
Si
al
objeto
sigue
aplicándosele fuerzas más
allá del limite elástico este se
Región
deformara
permanentemente.
O
Para
la
mayoría
de
ΔL
materiales comunes la ley de
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Hooke se cumple con buena aproximación casi siempre y el gráfico
rectilíneo. Más allá del límite elástico el gráfico deja de ser rectilíneo y la
relación entre F y ΔL no es sencilla; si el objeto se deforma más allá del
límite elástico, se romperá.
La máxima fuerza que puede aplicársele sin romperlo se llama resistencia
última del material
3.8
MODULOS DE ELASTICIDAD.
La deformación ΔL que experimenta un objeto depende de la manera
en que se aplica la fuerza, del material del que está hecho el objeto y de su
forma y tamaño original, todo lo anterior se analiza en los llamados
módulos de elasticidad.
3.8.1 MODULO DE YOUNG
El cambio de longitud (ΔL) en la ecuación anterior depende no sólo
de la fuerza (F) sino del tamaño (L0) y la naturaleza del material sometido a
tensión o compresión. Así la constante “k” puede escribirse en términos de
los factores anteriores.
Si se comparan distintas barras hechas del mismo material pero de
longitudes distintas y diferente sección transversal, se encuentra que para
la misma fuerza aplicada, el estiramiento o acortamiento es directamente
proporcional a la longitud original e inversamente proporcional al área de
la sección transversal, Combinando lo anterior se tiene:
ΔL ∝ FL0 / A
O sea ΔL = (1 / Y) L0 / A F
(7)
Siendo Y una constante llamada modulo de Young, que depende sólo de la
naturaleza del material y no de su forma.
La ecuación anterior es conveniente escribirla en términos de los
parámetros siguientes: La deformación unitaria o normal (ε ) y el esfuerzo
normal (σ) . Se define la deformación unitaria o normal de la siguiente
forma:
Deformación unitaria = variación de longitud
o normal
longitud inicial
ε = ΔL / L0
(8)
El esfuerzo (σ) se define como la fuerza aplicada por unidad de área de la
sección transversal:
Esfuerzo =
Fuerza aplicada_
_
Área de la sección transversal
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σ=F/A
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(9)
Al esfuerzo se le denomina también Fatiga usando estos nuevos
parámetros, la ecuación (7) puede reescribirse así :
F / A = Y ΔL / L0
o sea
F/A
Y=
De modo que Y = σ/ ε0
ΔL / L0
Es decir, el módulo de Young =______esfuerzo
_
Deformación Unitaria o normal.
Obsérvese que la deformación normal es una cantidad adimensional
mientras que el esfuerzo tiene unidades de Fuerza / Area, siendo éstas las
unidades del módulo de Young.
3.8.2 MODULO DE RIGIDEZ O DE TORSION
La deformación debida a un esfuerzo de tensión o compresión son
ejemplos de esfuerzos a los que puede someterse un material, existe
también el esfuerzo cortante. Un objeto bajo esfuerzo cortante esta
sometido a fuerzas iguales y opuestas que actúan paralelamente a través
ΔL
F
A
-F
a)
A
b)
de superficies opuestas
Tal como puede apreciarse en la figura anterior (a) y (b) aun cuando las
dimensiones del objeto no cambian en forma apreciable, su forma si
experimenta variación de manera análoga a la ecuación 8 y 9 se tiene:
Deformación = Deformaciones
angular
longitud original
γ = ΔL / L0
Observándose de la figura anterior (a) que Tan θ = ΔL / L0 por lo tanto:
γ = tan θ
Así mismo el esfuerzo cortante o sizalladura (τ) se define como :
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esfuerzo cortante = ________Fuerza_______
área de la superficie
paralela a la fuerza aplicada
τ=F/A
Definiéndose al modulo de rigidez o de torsión como la relación entre el
esfuerzo cortante y la deformación angular
G = τ /γ
3.8.3 MODULO DE COMPRESION VOLUMETRICA O
DE ELASTICIDAD CUBICA.
Si un objeto es sometido a la acción de fuerzas en todas sus partes
experimentará una reducción en su volumen. Tal es
el caso de un objeto sólido inmerso en un liquido,
éste ejerce presión en todo el objeto tal como se
indica en la siguiente figura
Vo
De la misma forma que en los dos módulos
anteriores se tiene la relación entre el esfuerzo y la
deformación unitaria. Siendo el esfuerzo (F / A)
equivalente al cambio de presión (ΔP) a que se somete el objeto, podemos
escribir:
Esfuerzo = ΔP
La deformación unitaria es la relación entre le cambio de volumen y el
volumen inicial.
ε = ΔV / V0
De manera que el módulo de compresión volumétrica (B) se expresa como:
ΔP
B= −
ΔV / V0
El signo (-) indica que el volumen disminuye con un incremento de la
presión.
Este módulo se utiliza en el caso de líquidos y gases ya que no tiene forma
definida.
3.9
APLICACIONES
Los materiales de interés biológico como ejemplo huesos, cartílagos,
son estructuras compuestas de células vivas, nervios y vasos sanguíneos
inmersos en una armazón extra celular sólida.
Las propiedades mecánicas de los huesos y otros materiales biológicos se
ensayan con los mismos métodos usados para los materiales de ingeniería,
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sin embargo la principal dificultad es obtener muestras frescas y
preservarlas para su estudio.
3.9.1 ELASTÓMEROS
Los elastómeros son sustancias como el caucho que pueden ser
estiradas elásticamente hasta el doble o más de su longitud original. Un
elastómero esta compuesto de moléculas largas que están dispuestas al
azar y débilmente enlazadas unas con otras. Estas moléculas están
normalmente enrolladas, pero cuando se aplica a un elastómero una
tensión, las moléculas se desenrollan y esto hace aumentar enormemente
la longitud de la sustancia. Cuando se suprime la tensión, las moléculas
vuelven a su configuración original y la sustancia recobra su forma
primitiva.
La elasticidad del tejido conjuntivo blando del cuerpo es debida a la
presencia de fibras elastoméricas en el tejido. Estas fibras que están
compuestas de la proteína Elastina tienen unos 10-2 mm de diámetro y
llenan el espacio que queda entre las células, junto con otras fibras
(compuestos de colágeno) que dan al tejido su resistencia. La siguiente
figura presenta la curva esfuerzo-deformación del tejido elástico de la
aorta, la cual es semejante a la curva de un elastómetro puro como el
caucho. La curva no presenta una
σμ
ecuación recta y por consiguiente no se
cumple la ecuación (6) ni siquiera para
σo
esfuerzos pequeños. El límite elástico σ0 1.0
es el 95% de la resistencia a la tensión
σμ. Esto quiere decir que el tejido puede
estirarse hasta el limite de ruptura sin
producir
deformación
permanente.
(Obsérvese que una deformación unitaria 0.5
de 1.0 duplicará la longitud del tejido)
Curva esfuerzo-deformación unitaria de
tejido elástico de la aorta. Esta es la
curva esfuerzo-deformación típica de un
elastómero.
0.5
Deformació unitaria (ε)
3.9.2 LA LEY DE HOOKE Y LOS MATERIALES BIOLÓGICOS.
Todo lo anteriormente expresado respecto a la elasticidad de los materiales
es aplicable no sólo a los huesos sino también a las membranas por
1.0
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ejemplo: paredes arteriales, paredes del corazón, superficie de la córnea,
etc.
En los sistemas biológicos hay sistemas especiales, uno de ellos es que al
dejar de actuar la fuerza deformante el material puede no retornar
inmediatamente a su forma original sino que lo hace al transcurrir el
tiempo.
La fuerza deformante hace trabajo sobre el cuerpo y al dejar de actuar
debe gastarse energía
Carga aplicada
interna para completar
la restauración. Otro
fenómeno
es
la
F
aparición de fuerzas
internas por ejemplo: En
la vejiga, la que se llena
y
se
extiende
pasivamente,
luego
Carga
aparece
una
fuerza
interna
que
genera
tensión y la obliga a
ΔL
vaciarse (micción)
Debido
a
la
variedad
de
GRAFICO FUERZA DEFORMACIÓN
fenómenos que se producen, la ley
PARA MATERIALES BIOLOGICOS.
de Hooke es
obedecida dentro
de límites reducidos (ver figura)
Del gráfico puede deducirse que la aplicación de una fuerza implica
deformaciones proporcionales a la misma. Sin embargo, a medida que la
fuerza se remueve el material se contrae, pero la deformación es menor
que el estiramiento para una carga dada y existe una deformación residual
aún cuando toda la carga se allá removido. En algunos materiales
biológicos existirá un retorno a la longitud original dentro de cierto tiempo,
pero esto implica cierta energía. Sin embargo, a pesar de las discrepancias,
sin la perfecta elasticidad, puede aplicarse la ley de Hooke con resultados
satisfactorios.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.
•
•
Alvarenga, Máximo: Física General, Editorial Harla, México, 1975
Cromer, Alan H.: Física para las ciencias de la vida, Editorial Reverté,
México, 1978
Serway, R.A.: Física Tomo I.