Problemas de continuidad de funciones de varias variables

Capítulo 1
Funciones de varias variables
Problema 1 Sea f : IR2 −→ IR definida por:
 2
2
 x −y
x+y
e
−1
f (x, y) =

2x
x > −y,
x ≤ −y.
(i) Estudiar la continuidad de f en IR2 .
(ii) Definimos g : IR −→ IR como g(x) = f (x, 1). Analizar la derivabilidad de g en IR y, en su
caso, calcular g 0 .
•
Solución:
(i) f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : x = −y} por ser composición de funciones elementales. Falta examinar que ocurre en puntos de la recta x = −y, es decir, (a, −a), a ∈ IR.
Para el cálculo de
lı́m
f (x, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función
(x,y)→(a,−a)
está definida a trozos.
lı́m
(x,y)→(a,−a)
x>−y
lı́m
x2 − y 2
=
ex+y − 1
lı́m
(x − y)
(x,y)→(a,−a)
x>−y
(x + y)
= 2a
ex+y − 1
2x = 2a.
(x,y)→(a,−a)
x≤−y
Por tanto, el límite existe y vale 2a = f (a, −a), es decir, f es continua en estos puntos.
(ii) La función g está definida como
x2 − 1
ex+1 − 1
g(x) = f (x, 1) =

2x


1
x > −1,
x ≤ −1.
2
Problemas
Por el apartado anterior sabemos que g es continua en IR. Además g es derivable en IR − {−1}
por ser composición de funciones elementales que son derivables. Sólo falta por analizar qué
ocurre con x = −1. Procedemos mediante la definición de derivada.
lı́m
x→−1
g(x) − g(−1)
= ...
x+1
Para calcular este límite tenemos que calcular los límites laterales.
• lı́m +
x2 − 1
+2
x2 − 3 + 2ex+1
2x + 2ex+1
−1
= lı́m
=
lı́m
x→−1+ (ex+1 − 1)(x + 1)
x→−1+ ex+1 (x + 1) + (ex+1 − 1)
x+1
ex+1
x→−1
=
• lı́m
x→−1−
lı́m
x→−1+
2 + 2ex+1
=2
ex+1 (x + 1) + 2ex+1
2x + 2
= lı́m 2 = 2.
x+1
x→−1−
En los cálculos anteriores se ha aplicado la regla de L’Hopital.
Por tanto g es derivable en x = −1. Para finalizar calculamos g 0 .
 x+1
(2x − x2 + 1) − 2x
 e
(ex+1 − 1)2
g 0 (x) =

2
x > −1,
x ≤ −1.
Problema 2 Estudiar de la continuidad de la función f : IR2 −→ IR definida por:

1
 2
x cos
+y
x 6= 0,
f (x, y) =
x

y
x = 0.
•
Solución:
La función f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : (0, y)} por ser producto, cociente, suma y
composición de funciones elementales que lo son y no anularse el denominador. Falta estudiar
los puntos de la forma (0, b) con b ∈ IR. Para ello debemos calcular el límite ya que en un
entorno de estos puntos la función cambia de definición.
1
+ y = [0 × acotada ] = b = f (0, b).
lı́m
x cos
x
(x,y)→(0,b)
2
Por tanto, f también es continua en los puntos (0, b).
Varias variables
3
Problema 3 Estudiar de la continuidad de la función f : IR2 −→ IR definida por:

1
 2
y 6= 0,
y sin( ) + x
f (x, y) =
y
 x
y = 0.
•
Solución:
La función f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : (x, 0)} por ser producto, cociente, suma y
composición de funciones elementales que lo son y no anularse el denominador. Falta estudiar
los puntos de la forma (a, 0) con a ∈ IR. Para ello debemos calcular el límite ya que en un
entorno de estos puntos la función cambia de definición.
1
2
lı́m
y sin
+ x = [0 × acotada ] = a = f (a, 0).
y
(x,y)→(a,0)
Por tanto, f también es continua en los puntos (a, 0).
Problema 4 Sea f : IR2 −→ IR definida por:

1


p 2
xy

e
−
1

x + y2


1+
(x2 + y 2 )


xy


(1 + y 2 )1/|y|
f (x, y) =





(1 + x2 )1/|x|





1
xy 6= 0,
x = 0 e y 6= 0,
y = 0 y x 6= 0,
(x, y) = (0, 0).
(i) Estudiar la continuidad de f en IR2 .
|x|
(ii) Definimos g : IR −→ IR como g(x) = f ( √12 x, √12 x)
. Analizar la derivabilidad de g y, en
su caso, calcular la ecuación de la recta tangente a g en el punto x = 0.
•
Solución: (i) f es continua en IR2 −{(x, y) ∈ IR2 : xy = 0} por ser composición de funciones
elementales. Falta examinar qué ocurre en puntos de las rectas x = 0, es decir, (0, a), a ∈ IR e
y = 0, es decir, (b, 0), b ∈ IR; y el límite en el punto (0, 0).
lı́m
Para el cálculo de
f (x, y), a 6= 0 tenemos que distinguir dos regiones, ya que la
(x,y)→(0,a)
función está definida a trozos.
lı́m
(x,y)→(0,a)
x6=0
lı́m
(x,y)→(0,a)
x=0
1
p 2
exy − 1 2
2
x
+ y 2 =∗ (1 + a2 )1/|a|
1+
(x + y )
xy
(1 + y 2 )1/|y| = (1 + a2 )1/|a|
4
Problemas
Para ∗ utilizamos el infinitésimo
lı́m
(x,y)→(0,a)
x6=0
el
exy −1
xy
= 1 y, en ambos límites, que a 6= 0.
Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (0, a), a 6= 0. Calculamos ahora
lı́m
f (x, y), b 6= 0 :
(x,y)→(b,0)
lı́m
(x,y)→(b,0)
y6=0
1
p 2
exy − 1 2
x + y 2 = (1 + b2 )1/|b|
1+
(x + y 2 )
xy
(1 + x2 )1/|x| = (1 + b2 )1/|b|
lı́m
(x,y)→(b,0)
y=0
Luego la función también es continua en estos puntos. Finalmente analizamos la continuidad
de la función en el origen de coordenadas:
•
lı́m
(x,y)→(0,0)
xy6=0
lı́m
e
(x,y)→(0,0)
xy6=0
lı́m
e
1
p 2
exy − 1 2
2
x
+ y 2 = [1∞ ] =
(x + y )
1+
xy
exy − 1
1
p
(x2 + y 2 )
xy
x2 + y 2
=
(x,y)→(0,0)
xy6=0
exy − 1 p 2
x + y2
xy
= [ infinitésimo ] = e0 = 1
lı́m
•
lı́m
(1 + y 2 )1/|y| = [1∞ ] = e
(x,y)→(0,0)
x=0
y2
|y|
y
lı́m
=e
(x,y)→(0,0)
x=0
y
|y|
= e0 = 1
(x,y)→(0,0)
x=0
lı́m
•
lı́m
(1 + x2 )1/|x| = [1∞ ] = e
(x,y)→(0,0)
y=0
x2
|x|
lı́m
=e
(x,y)→(0,0)
y=0
x
x
|x|
= e0 = 1
(x,y)→(0,0)
y=0
Así pues la función es continua en todo IR2 .
(ii) La función g está definida como
 2
 2ex /2 − 1
|x|
1
1
g(x) = f ( √ x, √ x)
=

2
2
1
x 6= 0,
x = 0.
Puesto que f es continua en IR2 , su restricción g es continua en IR. Además, g es derivable en
IR−{0} por ser composición de funciones elementales que son derivables. Sólo falta por analizar
qué ocurre con x = 0. Procedemos mediante la definición de derivada.
2
2
g(x) − g(0)
2ex /2 − 2
ex /2 − 1
= lı́m
= lı́m
x = 0.
x→0
x→0
x→0
x
x
x2 /2
lı́m
Varias variables
5
Por tanto g es derivable en x = 0 y g 0 (0) = 0.
La ecuación de la recta tangente en x = 0 es y − g(0) = g 0 (0)(x − 0) =⇒ y = 1.
Problema 5 Estudiar la continuidad de f : IR2 −→ IR
 2
x − y2



 ex+y − 1



2x
f (x, y) =




sin(x2 − y 2 )



x+y
definida por:
x > −y,
x = −y,
x < −y.
•
Solución:
(i) f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : x + y = 0} por ser composición de funciones
elementales. Falta examinar qué ocurre en puntos de las rectas: x + y = 0, es decir, (a, −a), a ∈
IR.
lı́m
Para el cálculo de
f (x, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función
(x,y)→(a,−a)
está definida a trozos.
lı́m
(x,y)→(a,−a)
x>−y
lı́m
(x,y)→(a,−a)
x<−y
x2 − y 2
=
ex+y − 1
lı́m
(x,y)→(a,−a)
x>−y
sin(x2 − y 2 )
=
x+y
x+y
(x − y) = 2a
ex+y − 1
lı́m
(x,y)→(a,−a)
x<−y
x2 − y 2
=
x+y
lı́m
(x − y) = 2a
(x,y)→(a,−a)
x<−y
Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (a, −a).
Problema 6 Estudiar de la continuidad de la función f : IR2 −→ IR definida por:

x sin(xy)
 p
(x, y) 6= (0, 0),
f (x, y) =
x2 + y 2

0
(x, y) = (0, 0).
•
Solución:
La función f es continua en IR2 − {(0, 0)} por ser producto, composición y cociente de
elementales y no anularse el denominador. Para estudiar la continuidad en el (0, 0), debemos
estudiar el límite de la función.
x sin(xy)
x2 y
p
p
=
lı́m
= [0 × acotada ] = 0.
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
x2 + y 2
lı́m
6
Problemas
Por tanto,
lı́m
f (x, y) = 0 = f (0, 0) y f es continua en este punto.
(x,y)→(0,0)
Problema 7 Sea f : IR2 −→ IR definida por:
 x+y
−1
 e
f (x, y) =
x+y

1
y 6= −x,
y = −x.
Estudiar la continuidad de f en IR2 .
•
Solución: La función es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : (x, −x)} por ser cociente de elementales y no anularse el denominador. Estudiamos que ocurre en los puntos de la forma (a, −a),
a ∈ IR.
ex+y − 1
= [ infinitésimos equivalente] = 1 = f (a, −a).
(x,y)→(a,−a) x + y
lı́m
Por tanto, f es continua en estos puntos.
Problema 8 Estudiar la continuidad de la función f : IR2 −→ IR definida por:

sin(xy)


x > 0,


x


0
x = 0,
f (x, y) =



2


 x −y
x < 0.
x
•
Solución: (i) f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : x = 0} por ser composición de funciones
elementales y no anularse el denominador. Falta examinar qué ocurre en puntos de la recta:
x = 0, es decir, (0, b), b ∈ IR.
lı́m
Para el cálculo de
f (x, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función
(x,y)→(0,b)
está definida a trozos.
lı́m
(x,y)→(0,b)
x>0
lı́m
(x,y)→(0,b)
x<0
∗∗
Si b = 0, el límite es
0
0
sin(xy)
=
x
lı́m
(x,y)→(0,b)
x>0
xy
=b
x
x2 − y ∗∗ −b
=
=∞
x
0
que es indeterminado, es el caso que nos falta por analizar.
Varias variables
7
Por tanto, la función no es continua en los puntos de la forma (0, b), b 6= 0. Para calcular el
x2 − y
límite
lı́m
tenemos que calcular los límites direccionales: y = mx.
(x,y)→(0,0)
x
x<0
lı́m
x→0
x<0
x2 − mx
= x→0
lı́m x − m = −m.
x
x<0
Como los límites direccionales dependen de la dirección,
lı́m
(x,y)→(0,0)
x<0
x2 − y
no existe. Por tanto,
x
f no es continua en (0, 0).
Problema 9 (i) Estudiar la continuidad de la función f : IR2 −→ IR definida por:

x2 −y 2

−1
 e
f (x, y) =
x+y

 2x
x 6= −y,
x = −y.
2
(ii) Sea g(x) = ex − 1. Hallar el desarrollo de Taylor de orden cuatro de la función g(x) en el
punto x = 0.
•
Solución:
(i) La función es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : (x, −x)} por se cociente de elementales
y no anularse el denominador. A continuación estudiamos que pasa con los puntos de la forma
(a, −a), a ∈ IR.
2
lı́m
(x,y)→(a,−a)
ex
−y 2
−1
x2 − y 2
=
lı́m
=
lı́m
(x − y) = 2a = f (a, 0).
x+y
(x,y)→(a,−a) x + y
(x,y)→(a,−a)
Por tanto f es continua en (a, −a), a ∈ IR.
(ii) Para calcular el desarrollo de Taylor de 4 orden de la función g(x) en el punto x = 0 podemos proceder de dos formas. La primera de ellas consiste en calcular las derivadas directamente
y construir el polinomio:
g(x) = g(0) + g 0 (0)x +
2
g 0 (x) = 2xex ,
2
g 00 (0) 2 g 000 (x) 3 g iv) (x) 4
x +
x +
x .
2
6
24
g 00 (x) = ex (2 + 4x2 ),
2
g 000 (x) = ex (4x + 8x + 8x3 ),
8
Problemas
Problema 10 Sea f : IR2 −→ IR definida por:

sen(x) sen(y)




exy − 1





sen(x)

x
f (x, y) =


sen(y)





y



1
xy 6= 0,
x 6= 0, y = 0,
x = 0, y 6= 0,
x = y = 0.
(i) Estudiar la continuidad de f en IR2 .
2
(ii) Sea g(x) = ex − 1 f (x, x). Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 de g en un entorno
del punto x = 0.
•
Solución:
(i) f es continua en IR2 −{(x, y) ∈ IR2 : xy = 0} por ser composición y producto de funciones
elementales y no anularse el denominador. Falta examinar qué ocurre en puntos de las rectas
x 6= 0, y = 0, es decir, (a, 0), a 6= 0 y x = 0, y 6= 0, es decir, (0, b), b 6= 0 y en el punto (0, 0).
• (a, 0), a 6= 0.
lı́m
(x,y)→(a,0)
xy6=0
sen(x) sen(y)
=
exy − 1
lı́m
(x,y)→(a,0)
xy6=0
sen(x)y
sen(a)
=
= f (a, 0).
xy
a
Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (a, 0), a 6= 0.
• (0, b), b 6= 0.
lı́m
(x,y)→(0,b)
xy6=0
sen(x) sen(y)
=
exy − 1
lı́m
(x,y)→(0,b)
xy6=0
x sen(y)
sen(b)
=
= f (0, b).
xy
b
Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (0, b), b 6= 0.
• Calculamos ahora el límite en el (0, 0).
lı́m
(x,y)→(0,0)
xy6=0
sen(x) sen(y)
=
exy − 1
lı́m
1 = f (0, 0)
(x,y)→(0,0)
xy6=0
La función es continua en (0, 0).
2
(ii) Calculamos g(x) = ex − 1 f (x, x) = sen2 (x). El polinomio de Taylor de orden 4 de g
en un entorno del punto x = 0 es:
P4,0 (g)(x) = g(0) + g 0 (0)x +
g 00 (0) 2 g 000 (0) 3 g iv) (0) 4
x +
x +
x .
2!
3!
4!
Varias variables
9
Calculamos en primer lugar las derivadas y las evaluamos en x = 0.
g(x) = sen2 (x)
g(0) = 0
0
g (x) = 2 sen(x) cos(x)
g 0 (0) = 0
g 00 (x) = 2(cos2 (x) − sen2 (x))
g 00 (0) = 2
g 000 (x) = 2(−2 cos(x) sen(x) − 2 sen(x) cos(x)) = −8 sen(x) cos(x)
g 000 (0) = 0
g iv) (x) = −8(cos2 (x) − sen2 (x))
g iv) (0) = −8
Por tanto,
P4,0 (g)(x) = x2 −
Problema 11 Sea f : IR2 −→ IR definida por:

 senh(xy)
x
f (x, y) =

y
x4
.
3
x 6= 0,
x = 0.
(i) Estudiar la continuidad de f en IR2 .
(ii) Sea g(x) = f (x, x). Demostrar que g es C 1 (IR) y hallar el polinomio de Taylor de orden 1
de g en un entorno del punto x = 0.
(Indicación: Si lı́m k(x) = 0 entonces senh(k(x)) es un infinitésimo equivalente a k(x), x ∈ IRn .)
x→a
•
Solución:
(i) f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : x = 0} por ser cociente de funciones elementales y
no anularse el denominador. Falta examinar qué ocurre en puntos de la recta: x = 0, es decir,
puntos de la forma (0, b).
lı́m
(x,y)→(0,b)
x6=0
senh(xy)
=
x
lı́m
(x,y)→(0,b)
x6=0
xy
= b = f (0, b)
x
Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (0, b).
(ii) Calculamos g(x) = f (x, x).

 senh(x2 )
,
g(x) =
 0, x
x 6= 0
x = 0.
Para demostrar que g ∈ C 1 (IR) tenemos que probar que g es continua y derivable con
continuidad en IR.
10
Problemas
La función g es continua en IR por ser la restricción de una función continua. Por otro lado,
para cualquier punto x 6= 0 tenemos que
g 0 (x) = 2 cosh(x2 ) −
senh(x2 )
,
x2
que es continua por ser composición de funciones elementales y no anularse el denominador.
Para calcular la derivada en x = 0 aplicamos la definición.
g(x) − g(0)
senh(x2 )
= 1.
= lı́m
x→0
x→0
x−0
x2
g 0 (0) = lı́m
Por tanto, g es derivable en x = 0 y g 0 (0) = 1. Además,
lı́m g 0 (x) = lı́m 2 cosh(x2 ) −
x→0
x→0
senh(x2 )
= 2 − 1 = 1 = g 0 (0).
x2
Por tanto g ∈ C 1 (IR).
El polinomio de Taylor de orden 1 de g en un entorno del punto x = 0 es:
P1,0 (g)(x) = g(0) + g 0 (0)x = x.
Problema 12 Sea f : IR2 −→ IR la función definida por

3
x−y
− 1)
 (y − x)(e
si x2 − y 2 =
6 0
2
2
.
f (x, y) =
x −y
 x2 −1
2
2
si
x
−
y
=
0
2
(i) Estudiar la continuidad de f en IR2 .
(ii) Sea g : IR −→ IR definida como g(x) = f (x, 1). Estudiar la derivabilidad de g en IR y en su
caso calcular la función g 0 .
•
Solución:
(1) La función f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : x2 − y 2 6= 0} por ser composición de
funciones elementales que son continuas. Debemos estudiar sólo la continuidad en los puntos de
las rectas x − y = 0 y x + y = 0, ya que entorno de estos puntos la función cambia de definición.
• x − y = 0, los puntos son de la forma (a, a), a ∈ IR.
y 3 − x ex−y − 1
y 3 − x x−y
(e
−
1)
=
lı́m
=
x−y
(x,y)→(a,a) x2 − y 2
(x,y)→(a,a) x + y

a2 − 1
 a3 − a
=
= f (a, a) si a 6= 0
2a
2
 indeterminado
si a = 0
lı́m
Varias variables
11
Para resolver la indeterminación debemos calcular el límite mediante los límites por rectas:
m3 x3 − x
m3 x2 − 1
−1
= lı́m
=
.
x→0 x + mx
x→0 1 + m
1+m
y = mx =⇒ lı́m
Como este último límite depende de las rectas, la función no es continua en el (0, 0), pero sí
lo es en los puntos de la forma (a, a), a 6= 0.
• x + y = 0, los puntos son de la forma (a, −a), a ∈ IR. Podemos suponer a 6= 0, ya que del
apartado anterior sabemos que no será continua en este caso.
y 3 − x ex−y − 1
y 3 − x x−y
(e
−
1)
=
lı́m
=
x−y
(x,y)→(a,−a) x + y
(x,y)→(a,−a) x2 − y 2
lı́m
(−a3 − a)(e2a − 1)
= ∞,
0
Luego f no es continua en los puntos de la forma (a, −a).
(ii) La función g(x) = f (x, 1) está dada por:


 −(ex−1 − 1)
 (1 − x)(ex−1 − 1)
si
x
6
=
1,
−1
=
g(x) =
x2 − 1
 0 x+1
 0
si x = 1, −1
si x 6= 1, −1
si x = 1, −1
La función g es continua en IR − {−1}, ya que la función f no era continua en (−1, 1). Por tanto
también sabemos que g no será derivable en x = −1. Por otro lado g es derivable en IR−{1, −1}
por ser composición de funciones derivables y no anularse el denominador. Luego sólo nos falta
por estudiar la derivabilidad en el punto x = 1, que debemos efectuar mediante la definición.
ex−1 −1
− x+1
g(x) − g(1)
= lı́m
g (1) = lı́m
x→1
x→1
x−1
x−1
0
= lı́m −
x→1
ex−1 − 1 1
1
=− ,
x−1 x+1
2
lo que implica que g es derivable en x = 1.
Por último la función derivada es:
(
0
g (x) =
x−1
x+1
− e(x+1)
2
si x 6= 1
− 12
si x = 1