Estabilidad Longitudinal

AERODINAMICA GENERAL I
Estabilidad Estática
Considérese un avión en vuelo recto y nivelado, con el viento (producto del movimiento del
avión con respecto al aire) incidiendo frontalmente sobre el avión..
Considérese que en un dado instante ese avión es perturbado en su movimiento de tal forma
de comenzar por ejemplo una trayectoria ascendente.
Por inercia el avión continuará durante un tiempo (normalmente pequeño) con su trayectoria
original, pero debido a la perturbación de cabeceo ya no recibirá el movimiento en forma
frontal sino con un ángulo de ataque (impuesto por la perturbación) actuando sobre todo el
cuerpo de la aeronave: fuselaje, ala, motores, timones.
El análisis de estabilidad estudia la respuesta del avión a esas condiciones producidas
precisamente por una perturbación. Lo mismo ocurre para un guiño o un rolido.
Un avión es estable cuando después de haber experimentado una perturbación en su
movimiento retorna por si mismo a su estado original o al menos exhibe una tendencia a
retornar por si solo a ese estado de movimiento original previo a la perturbación. Este
comportamiento es el resultado de fuerzas restitutivas debidas a la acción aerodinámica sobre
el avión durante los instantes en que se encuentra embestido por un viento oblicuo debido al
cambio de actitud producido por la perturbación. La perturbación en el movimiento puede
deberse a causas externas como ráfagas y vórtices o a causas propias del avión como la
actuación de timones, de alerones, de potencia motriz, súbita pérdida de peso (avión
bombero, bombardero), etc.
De aquí puede deducirse que un avión muy estable no solo tratará de oponerse a los cambios
de actitud inducidos por solicitaciones atmosféricas sino también a los cambios que intenta
producir el piloto a través del accionamiento de comandos. Aviones muy estables responden
mucho más lentamente a los comandos.
Aviones de combate, y aviones acrobáticos se diseñan con estabilidades mínimas o hasta con
ciertas inestabilidades (por ejemplo diedro negativo) para asegurar muy rápidas respuestas a
la acción de comandos. Lógicamente esto los hace más difíciles de pilotear requiriendo
continuas correcciones. En modernas aplicaciones aeronáuticas militares una parte importante
de ese trabajo de pilotear un avión inestable es asumida por pilotos automáticos
computarizados. Existen aviones que solo son piloteables con este tipo de ayuda.
El ingeniero aeronáutico seleccionará el nivel de estabilidad adecuado al tipo de aeroplano y
al tipo de misión: un avión particular que puede ser piloteado por personas mayores con
reacciones mucho más lentas que un joven deberá ser bastante estable. Un avión
excesivamente estable puede ser peligroso.
Imaginemos un piloto fumigando un campo que por un descuido momentáneo se encuentra
sorpresivamente ante una barrera de altos eucaliptos y acciona velozmente el timón de
profundidad para pasar por encima de ellos. Una reacción demasiado lenta podría producir un
accidente.
Ahora en lugar de considerar al avión en vuelo recto y nivelado imaginemos dos situaciones
diferentes:
a) El aeroplano está ejecutando un viraje escarpado con velocidad y ángulo de
inclinación constante.
b) El avión se encuentra en un tirabuzón a velocidad constante.
1
Para esas dos condiciones también podríamos utilizar el concepto de estabilidad citado. El
avión es estable si después de experimentar una perturbación retorna por sí solo al estado
original.
Si por ejemplo un avión se enrosca en un tirabuzón resulta vital que esta actitud de vuelo no
sea tan estable como para que ninguna acción de comando lo pueda sacar de ella. Para vuelo
recto y nivelado deseamos frecuentemente un nivel de estabilidad, en plena maniobra o
actitud acrobática solemos desear otro nivel de estabilidad.
La estabilidad estática describe la tendencia de un avión en vuelo uniforme y estacionario a
retornar a una condición previa de trimado después de haber sido perturbado.
El concepto de estabilidad estática no considera la naturaleza de los movimientos que el avión
ejecuta luego de ser perturbado, sino esencialmente la tendencia inmediata a volver al estado
original previo a la perturbación.
Resulta muy probable que configuraciones aeronáuticas convencionales estáticamente
estables también demuestren una estabilidad dinámica aceptable para muchas actitudes de
vuelo, pero es altamente recomendable efectuar los correspondientes estudios y sobre todo
ensayos en vuelo.
Figura 1
2
Es también posible que un avión pueda llegar a tener un movimiento giratorio (de guiño por
ejemplo) tan intenso que no pueda ser controlado por ningún comando. Ello ocurre en algunos
maniobras extremas de aviones militares durante sus vuelos de prueba; los cuales para
recuperar el control en esas actitudes cuentan con un paracaídas balístico (inmediatamente
desechable) que frena toda la aeronave.
La naturaleza y características de los movimientos que el avión ejecuta y las actitudes que
adopta luego de ser perturbado son estudiadas por la estabilidad dinámica.
La estabilidad dinámica involucra el conocimiento de los estados y actitudes variables en el
tiempo por los que pasa un aeroplano luego de ser perturbado.
Así cuando las fuerzas restitutivas resultan excesivas el avión sobrepasará la posición correspondiente a su estado original, oscilando con una amplitud creciente configurando una actitud
difícil y hasta imposible de controlar.
En ese caso el avión a pesar de ser estáticamente estable resultará dinámicamente inestable.
De aquí puede deducirse que un avión estáticamente estable puede NO ser dinámicamente
estable.
Sin embargo un avión estáticamente inestable será asimismo dinámicamente inestable.
Estabilidad estática es por lo tanto una condición necesaria pero no suficiente para asegurar la
estabilidad dinámica.
La Figura 1 describe lo expuesto para un avión que recibió una perturbación en cabeceo.
(a) corresponde a un estado de equilibrio neutral: el avión en vuelo ascendente a un cierto
ángulo recibe una perturbación que incrementa su ángulo de ascenso. El avión no retorna al
estado previo a la perturbación; simplemente prosigue su movimiento al nuevo ángulo.
(b) corresponde a un avión estáticamente inestable. Las fuerzas y momentos que aparecen
luego de una perturbación que incrementa el ángulo de trepada lo incrementan aún más.
(c) corresponde aun avión estáticamente estable con gran amortiguamiento. Luego de la
perturbación el avión retorna gradualmente (lentamente) a su estado original sin sobrepasarlo
ni oscilar.
(d) se observa un estado más frecuente de respuesta: el retorno al estado original a través de
una oscilación convergente. Si el tiempo de convergencia es corto tal comportamiento puede
resultar aceptable. Es sin embargo preciso tener en cuenta los tiempos de reacción de un ser
humano a fin de que no suceda un fenómeno de realimentación positiva a través de la acción
de los comandos que convierta al avión en una aeronave difícil de pilotear.
(e) las fuerzas y momentos restitutivos actúan en la dirección correcta lo que implica
estabilidad estática. Sin embargo las fuerzas y momentos resultan excesivos o bien los efectos
amortiguantes son demasiado pequeños por lo que el avión sobrepasa su estado original en un
movimiento progresivamente divergente, que puede resultar extremadamente peligroso.
Obviamente el caso expuesto demuestra la existencia de estabilidad estática pero demuestra
asimismo la notoria inexistencia de estabilidad dinámica.
Cuanto mayor sea la estabilidad de un avión más tiempo y esfuerzo requerirá sacarlo de un
estado dado, por ejemplo vuelo recto y nivelado para comenzar una determinada maniobra:
viraje o vuelo ascendente o picada, etc.
Por lo expuesto el grado de estabilidad de un avión resulta de asumir un compromiso entre
los diferentes factores de diseño. Es interesante destacar que si una inestabilidad ocurre muy
3
lentamente puede resultar aceptable. Resulta inesperado para el estudiante enterarse de que la
mayoría de los aviones poseen una inestabilidad dinámica inherente conocida como
"divergencia espiral".
En vuelo recto uniforme y nivelado, si no se accionan los comandos, la mayoría de los
aviones comenzarán lenta y progresivamente a bajar un ala (elevando la otra) comenzando un
proceso progresivo de viraje cada vez más cerrado y escarpado.
Un piloto sin instrumentos que le indiquen la posición del horizonte, puede entrar en una
nube, en un vuelo sin visibilidad.
Al sentir aceleraciones actuantes en forma lateral, con la finalidad de limitar el deslizamiento
el piloto comenzará a virar sin darse cuenta cada vez más escarpado y cerrado terminando en
situaciones de vuelo acrobático: virajes escarpados que ya no ocurren en planos horizontales
sino en planos progresivamente inclinados que culminan en verdaderos loopings.
Las elevadas cargas aerodinámicas pueden exceder la capacidad estructural del avión
provocando su destrucción. Los pilotos noveles generalmente desconocen la existencia de esta
muy lenta "divergencia espiral" por cuanto introducen automáticamente las correcciones de
vuelo correspondientes al mismo tiempo de compensar los desvíos producidos por las ráfagas.
Sistemas de coordenadas.
La Figura 2 ilustra el sistema de coordenadas (directo) solidario al avión y por lo tanto
moviéndose con el avión, con origen en su centro de gravedad.
Figura 2
El eje x está dirigido hacía adelante, el eje y ubicado de tal modo que en vuelo nivelado a
través de una terna directa (al girar el eje "x" en la dirección de un tornillo que se ajusta hacia
el eje "y" resulta que "z" avanza hacia abajo en vuelo nivelado).
X, Y, Z, seran las fuerzas en la dirección de los respectivos ejes.
L, M, N, son habitualmente denominados los momentos con respecto a esos ejes.
P, Q, R son habitualmente denominadas las velocidades angulares alrededor de los ejes x, y,
z.
El movimiento alrededor del eje x es llamado de rolido (rolling).
El movimiento alrededor del eje y es llamado de cabeceo (pitching).
El movimiento alrededor del eje z es llamado de guiñada (yawing).
La mayoría de los aeroplanos son simétricos con respecto al plano x, z, que resulta entonces
un plano de simetría. Los movimientos en el plano de simetría pueden a veces ser
4
desacoplados de los movimientos del plano de simetría. El análisis de los movimientos en el
plano de simetría es llamado análisis de estabilidad longitudinal y comprenden los movimientos a lo largo de los ejes "x" y "z" además de las rotaciones alrededor del eje "y" (cabeceo).
El análisis de los movimientos del plano de simetría es llamado análisis del movimiento
lateral comprendiendo los movimientos a lo largo del eje "y" y las rotaciones angulares
alrededor de los ejes "x" y "z".
Estabilidad Estática Longitudinal con mandos bloqueados.
Mandos bloqueados implica mantener el bastón de mando y los pedales fijos, impidiendo el
movimiento de las correspondientes superficies de control. En realidad estas superficies:
alerones, partes móviles del timón de profundidad y de dirección pueden moverse algo, aún
con mandos bloqueados, debido a la elasticidad de las componentes del sistema de
transmisión de movimiento. Hay casos en que resulta necesario introducir en las ecuaciones
de estabilidad términos que consideren precisamente esos movimientos.
Las fuerzas y momentos actuantes en este caso están ilustrados en la Figura 3.
Figura 3
Se asume que el ala y su estabilizador se representan por sus cuerdas aerodinámicas medias,
sobre las que se encuentran el centro aerodinámico con respecto al cual el coeficiente de
momento de cabeceo del ala no varía con la variación de ángulos de ataque y el centro de
presión en donde están ubicadas las fuerzas de sustentación y la resistencia.
La sustentación positiva o negativa del estabilizador (timón de profundidad) actuando a una
apreciable distancia del centro de gravedad del avión genera los momentos para equilibrar y
controlar las rotaciones (cabeceos) alrededor del eje y, contrarrestando el momento de
cabeceo del ala, del fuselaje, de los motores, del tren de aterrizaje, etc.
El fuselaje y las nacellas de los motores producen momentos de cabeceo difíciles de estimar
teóricamente sin adecuados (e imprescindibles) datos experimentales de vuelo y túnel.
El aporte de todos estos momentos al momento total actuante en el centro de gravedad del
avión será:
M CG = M CG w + M CG M + M CG FN + M CGT
en donde:
MCGw : Momento respecto del CG del avión producido por la acción aerodinámica del ala.
5
MCGFN :Momento respecto del CG del avión producido por la acción aerodinámica del
fuselaje y nacellas.
MCGM : Momento respecto del CG del avión producido por la acción aerodinámica de
propulsión de los motores.
MCGT : Momento respecto del CG del avión producido por la acción aerodinámica del
empenaje horizontal (timón de profundidad).
Esta sumatoria debe ser cero para el estado de equilibrio estático. Resulta conveniente
adimensionalizar estas ecuaciones y trabajar en función de los correspondientes coeficientes.
Dividiendo la ecuación por
en donde:
q S wc
q: es la presión dinámica sobre el ala.
Sw: superficie alar.
c: cuerda media
Definiendo:
CM =
M
q SwC
Se obtiene
C M CG = C M w + C M FN + C M M + C M T
El avión estará en equilibrio estático longitudinal cuando la pendiente de la derivada de CMCG
sea negativa.
Figura 4
La Figura 4 indica dos posibles comportamientos radicalmente diferentes para la variación del
coeficiente de momento de cabeceo en función del ángulo de ataque.
6
Figura 5
Supongamos que un aeroplano está trimado (en equilibrio) en el punto A de la curva de la
Figura 5 cuando bruscamente es perturbado, por ejemplo por una ráfaga, de tal manera que su
ángulo de ataque aumenta hasta el punto A'.
Si la pendiente de la curva fuese positiva puede observarse que A' corresponde al punto B
sobre la curva que implica un coeficiente de momento positivo que tiende a levantar la nariz
del avión, aumentando aún más el ángulo de ataque. Esto configura obviamente una situación
inestable. Si la pendiente de la curva fuese negativa el incremento de ángulo de ataque
producido por la perturbación A' se corresponde con el punto C que a través de un coeficiente
de momentos de cabeceo negativo tiende a bajar la nariz, reduciendo el ángulo de ataque,
mostrando una tendencia de retorno al estado original A.
Se aprecia por lo tanto que el requerimiento de estabilidad impone una pendiente negativa.
Pero, ¿cuán grande? ¿un pequeño valor negativo o un gran valor negativo? (Recuérdese lo
expresado respecto a aviones demasiado estables que respondían muy lentamente a la acción
de los comandos y aviones poco estables que resultan muy fatigosos de pilotear, sin auxilio de
sistemas electrónicos de piloteado automático).
Estos momentos están influenciados por la conformación aerodinámica alrededor del ala (en
especial el upwash y el downwash) alteradas por la presencia del fuselaje, cargas externas,
etc. De acuerdo a su ubicación y orientación los motores pueden asimismo contribuir al
momento de cabeceo.
Consideraciones acerca del posicionamiento del empenaje vertical.
La configuración de la aeronave puede ser de diferentes tipos, como ser ala alta, ala baja, ala
media ó ala delta, y los empenajes de cola pueden ser del tipo en T, convencionales,
cruzados, en V, canard, etc.
El empenaje vertical resulta fundamental para poder salir de un tirabuzón. Una aeronave en
actitud de tirabuzón está realizando un movimiento de rotación alrededor de un eje vertical
con fuertes deslizamientos laterales, mientras cae verticalmente, en condiciones de flujo
totalmente separado sobre el ala.
Una salida del tirabuzón implica lograr nuevamente una condición de flujo adherido en el ala.
Para ello resulta en primer término reducir la rotación y el deslizamiento lateral del aeroplano.
Ello requiere que el timón de dirección sea efectivo aún durante los grandes ángulos de ataque
vigentes en un tirabuzón.
7
La Figura 6 ilustra el efecto de diversas disposiciones de la cola sobre el control del timón de
dirección a grandes ángulos de ataque.
Figura 6
A grandes ángulos de ataque el estabilizador horizontal presenta un flujo totalmente separado
cuya estela se extiende hacia arriba en un ángulo de aproximadamente 45º.
La primera imagen de la Figura 6 muestra que el empenaje vertical está casi totalmente en la
estela de flujo separado del estabilizador horizontal. El resultado será una apreciable falta de
control de dirección. La segunda imagen muestra el efecto de mover hacia la proa el
estabilizador con respecto al empenaje vertical. Una pequeña parte del timón de dirección
queda fuera de la estela permitiendo un mínimo control. La próxima imagen ilustra resultados
similares para un corrimiento hacia popa del estabilizador. Las siguientes dos imágenes
ilustran el efecto de elevar el sitio de implantación del estabilizador horizontal. La cola en T
libera totalmente al empenaje de la estela pero puede causar indeseables y peligrosos efectos
de cabeceo ascendente (nariz arriba).
La última imagen muestra los efectos de aletas ventrales y dorsales. La aleta dorsal superior
provoca durante el deslizamiento lateral un vórtice en la región de succión, el cual al
proyectarse sobre el timón de dirección energiza la capa límite readhiriendo parte del flujo y
logrando cierto nivel de control. La aleta ventral contribuye de igual modo con la ventaja
adicional de no encontrarse sumergida en estela alguna.
Consideraciones acerca de la geometría de la cola.
La superficie de cola de todos los aviones resulta proporcional a las respectivas superficies
alares.
Los alargamientos y ahusamientos normalmente empleados varían poco para tipos muy
diferentes de aeronaves. La tabla ilustrada puede tomarse como guía orientadora para trabajos
de diseño.
8
Tabla de valores para el
Alargamiento y ahusamiento de la cola
-------------------------------------------------------------------------------------------------Estabilizador
Deriva Vertical
-------------------------------------------------------------------------------------------------λ
A
λ
A
-------------------------------------------------------------------------------------------------Avión de caza
3-4
0,2-0,4
0,6-1,4
0,2-0,4
Planeador
6-10
0,3-0,5
1,5-2
0,4-0,6
Otros
3-5
0,3-0,6
1,3-2
0,3-0,6
-
-
0,7-1,2
0,6-1
Cola en T
Las colas en T presentan menores alargamientos en el empenaje vertical a fin de disminuir el
mayor peso estructural debido a la ubicación del estabilizador horizontal. Muchos aviones de
uso general utilizan estabilizadores horizontales rectangulares (sin ahusamiento) para reducir
costos de fabricación.
La flecha de los bordes de ataque de los estabilizadores horizontales es usualmente 5º mayor
que la del ala a fin de asegurar que el estabilizador entre en pérdida después del ala y lograr
un mayor Mach crítico para la cola.
La flecha de los empenajes verticales varía entre 35º y 55º.
Para aeronaves lentas no existen razones aerodinámicas para utilizar en el empenaje vertical
flechas mayores de 20º.
Figura 7
La relación de espesor de la cola suele ser similar a la del ala. Para aviones veloces se suele
preferir un empenaje vertical con una relación de espesores 10º menor que la del ala para
asegurar un mayor Mach crítico para la cola.
El empenaje vertical normalmente no es diseñado sobre la base de meras condiciones de
estabilidad estática direccional.
El mínimo tamaño admisible para el empenaje vertical surge a través de condicionamientos
de control como por ejemplo la parada de un motor en una configuración bimotor y/o
9
condicionamientos tales como la obtención de aceptables niveles de control bajo extremos
ángulos de ataque, o para "sacar" la aeronave de una condición de vuelo particular: tirabuzón,
viraje escarpado con pérdida asociada, etc.
Figura 8
La Estabilidad estará íntimamente ligada a la configuración que tenga la aeronave. Estas
configuraciones pueden ser: alas delta, configuraciones canard, configuraciones standard alas
bajas, alas altas, estabilizadores en T, convencionales, etc. (Figura 9)
Figura 9
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Estabilidad Estática Longitudinal a comandos bloqueados
Consideraciones para el Anteproyecto
La estabilidad estática del avión establece si los momentos y fuerzas que genera la
configuración del mismo, son los adecuados para producir la recuperación ante una
perturbación cualquiera que lo desplace de su posición de equilibrio, respecto del baricentro
del mismo.
Solo importan la dirección y sentido de dichas fuerzas y momentos, pero no su magnitud,
puesto que esto implicaría un análisis dinámico del problema. No nos interesa en este análisis
como se comporta ante una perturbación cualquiera, sino si estos momentos son los
adecuados para diferenciar lo que es la estabilidad estática de la dinámica.
Haremos hincapié en la estabilidad estática longitudinal, puesto que en una primera etapa de
análisis, es la más importante en el diseño, y su estudio implica el establecimiento de los
parámetros y elementos más importantes de la aeronave.
En lo que sigue consideraremos las distintas configuraciones posibles a analizar.
Lo que se busca, principalmente, es encontrar y diseñar los elementos necesarios para poder
realizar la compensación adecuada de los momentos que genera el ala respecto de C.G. del
avión para lograr mantener la condición de equilibrio en las distintas situaciones de vuelo.
Aparecen, por lo tanto, diferentes configuraciones posibles para salvar estos efectos a saber:
•
•
•
Ala – estabilizador posterior (configuración convencional)
Ala en delta
Ala – estabilizador anterior (configuración Canard)
Estas son las principales; existirán además de estas, variantes sobre las mismas (3 planos, 4
planos, etc.)
Tipos de Perfil.
Si analizamos en una primera etapa la configuración de un ala sola, deberemos considerar que
tipo de perfil emplearemos en ella para obtener la sustentación necesaria para soportar el peso
que consideramos en cada caso.
Respecto de los perfiles a emplear, sabemos que podremos clasificarlos según la curvatura de
la línea media:
1)_ Con curvatura
2)_ Sin curvatura
3)_ Con doble curvatura
Consideraciones acerca de la estabilidad estática para perfiles
El avión o aeronave en cuestión puede volar si en su trayectoria puede proveer un elemento
sustentador que por lo menos equilibre el peso del mismo. Contando como elemento
sustentador al ala, esta estará provista de un perfil. Los perfiles por sus configuraciones, en
sus líneas medias, pueden dividirse en tres. Las de una curvatura, sin curvatura y de dos
curvaturas en sus líneas medias. Este tipo de configuración cambia en forma notoria sus
características. Analizando cada uno de ellos se observa:
11
¾ Para el perfil de una curvatura en su línea media:
1)_ Valores de Cl aceptables
2)_ Valores de Cd bajos
3)_ Valores de CmC/4 que deberán compensarse
Debe proveerse un momento adicional ya que el perfil “buscará” por si sólo llegar al valor de
su α0.
¾ Para el perfil sin curvatura (simétrico) en su línea media:
1)_ Valores de Cl aceptables
2)_ Valores de Cd altos
3)_ CmC/4= 0 para 0º de incidencia. Debe proveerse algún momento adicional para que exista
sustentación. El perfil “buscara” siempre el α0= 0
12
¾ Para el perfil con doble curvatura en su línea media:
1)_ Valores aceptables de Cl
2)_ Valores de Cd algo mayores a los del perfil asimétrico
3)_ CmC/4 nulos en la zona de vuelo
No necesita adicionar otro elemento que anula el momento en el CmC/4
Por lo expuesto puede expresarse que:
• El perfil asimétrico es “inestable”
• El perfil simétrico es “indiferente”
• El perfil con doble curvatura es “estable” ó “autoestable”
13
Estabilidad estática Longitudinal para el Ala Sola.
Un primer análisis que se puede realizar es el de estudiar el comportamiento del ala sin
ningún otro elemento.
Para ello debemos realizar las siguientes consideraciones iniciales:
L = W (Sustentación = Peso)
D = T (Resistencia = Tracción / Empuje)
L = Cte. ⇒ Cl = Cte. ⇒ α = Cte.
D& = 0

D&& = 0
Todo ello leva a que:
..
M C .G . = I C .G . . α = 0
por consiguiente CMC.G. = 0 es la condición de equilibrio.
Se asume por convención que la variación del momento respecto del ángulo de ataque α sea
 ∂Cm C.G . 
negativo 
⟨ 0  , como condición de estabilidad. Esto surge del siguiente análisis:
 ∂α

(
)
M C.G. = M C.A. + L. X *C.G. − X *C.A. + D.Z * + T.Z**
Como D << L ⇒ D ≅ 0.
Además T ≅ 1/10 L
⇒ M C.G. = M C.A. + L.(X *C.G. − X *C.A. )
Considerando los coeficientes de sustentación y momentos nos queda:
1
1
1
ρ.V 2 .S.C.Cm C.G. = ρ.V 2 .S.C.Cm C.A. + ρ.V 2 S.CL.(X *C.G. − X *C.A. )
2
2
2
14
Dividiendo por
1
ρ.V 2 .S.C nos queda:
2
(
CmC .G. = CmC . A. + CL. X C .G. − X C . A.
Considerando que
)

X *C.G .
X C.G. =
C
donde 
*
X
X
= C. A .
 C.A.
C
∂CL
.α = CL
∂α
⇒ Cm C.G . = Cm C.A. +
∂CL
.α.(X C.G . − X C.A. )
∂α
Si derivamos respecto de α, nos queda:
∂Cm C.G . ∂Cm C.A. ∂CL
(X C.G. − X C.A. )
=
+
∂α
∂α
∂α
∂Cm C.A.
=0
∂α
⇒
(el momento respecto del C.A. es independiente del ángulo de ataque)
∂Cm C.G . ∂CL
(X C.G. − X C.A. )
=
∂α
∂α
Como sabemos que la condición de equilibrio estático implica que la
∂Cm C.G .
sea negativa,
∂α
∂CL
es positiva, deberá ser XC.G.- XC.A. < 0
∂α
Si XC.G.- XC.A. < 0 ⇒ XC.G.< XC.A.
entonces resulta que como
∴
Esta será la condición de equilibrio estático para el ala sola.
Es decir que para el equilibrio en esta condición se deberá dar la situación en la cual el C.G.
se encuentra delante del C.A.
15
Estabilidad estática longitudinal para el sistema ala-estabilizador
Obs. Zo = Z2
(
M C.G . = M C.A.AP + L. X *C.G . − X *C.A.
)
AP
± T.Z1 − D.Z 0 − L C .d
(
)
1
1
1
CM C .G .ρ.V 2 .S.C = CM C.A .ρ.V 2 .S.C + CL . X *C .G . − X *C .A . .ρ.V 2 .S ± T.Z1 +
2
2
2
1
1
− CD.ρ.V 2 .S.Z 0 − Cl c .ρ.V 2 .S C .d
2
2
CM C.G . = CM C.A. + CL.
(X
*
C .G .
−X
C
*
C. A .
1
2
 ρ.V 
) ± T.Z1 − CD Z0 − Cl  2  C .SC.d
c
1
S.C
C
1
2
ρ.V 2 .S.C
 ρ.V  {
VC
2
 24243
A
1
ηC
⇒ CM C .G . = CM C .A . + CL .(X C .G . − X C .A . ) ±
Sí Z1 ≅ 0 y Z0 ≅ 0
CL =
∂C L
∂D
.D
AP
T .Z 1
1
ρ.V 2 .S.C
2
C Lc =
∂C Lc
∂D
− CD
.D c
Z0
− Cl c .η C .VC
C
D c = D − H − ic
c
 ∂CLC 
 ∂CL 
CMC.G. = CMC.A. + 
 .ηC .(α − ε − i C ).VC
 .α.(XC.G. − XC.A. ) − 
∂
α
∂
α

 AP
C

16
Donde: ε = ε 0 +
∂ε
∂ε
CL = ε 0 +
α
∂CL
∂α
∂ε
 ∂CLC 


 ∂CL 
⇒ CMC.G. = CMC.A. + 
 .ηC . α − ε 0 − .α − i C .VC
 .α.(XC.G. − XC.A. ) − 
∂α

 ∂α  AP
 ∂α  C 
Derivando respecto de α:
∂CM C.G.  ∂CL 
 ∂CL C 
 ∂ε 
=
 .ηC .1 −
 .(X C.G. − X C.A. ) − 
.VC
∂α
 ∂α  AP
 ∂α 
 ∂α  C
− 0 , 01 ⟨
∂ CM C .G .
⟨− 0 , 02 (rango de valores considerado estable, con condiciones de
∂α
estabilidad dinámica aceptable)
2,5 C ≤ d ≤ 3,5 C (3 a 3,5)
0,2 < XCG < 0,4 (rango de valores convencionales para la posición del CG)
VC de 0,5 a 1,1 entre (0,45 y 0,55)
λC = 3 a 4
ηC = 0,9 a 1,1
Punto neutro : (equilibrio indiferente)
∂CM C.G .
=0
∂α
⇒ X C.G.Lím = N 0 = X C.A.
L = L AP + L C ⇒
valores aceptables del punto neutro N0 > 0,4
 ∂CL 


 ∂α  C
+
 ∂CL 


 ∂α  AP
L
1 ρ.V 2 .S
2
=
L AP
1 ρ.V 2 .S
2
∂ε 

.1 −
.η C .VC
∂
α


+
LC
1 ρ.V 2 .S
2
17
∂H
 ∂CL 
 ∂CL 
S

⇒ CL = CLAP + CLC = 
.D − iC . C
 .D + 
 .KC . D − H 0 −
∂D4443 S
 ∂D  AP
 ∂D C 14442
DC
Sistema:
(1)
∂ε


 ∂CL 
 ∂CL 
CMC.G. = CMC.A. AP + 
 .α.(XC.G. − XC.A. ) − 
 .ηC . α − ε 0 − .α − i C .VC
∂α
 ∂α  AP
 ∂α  C 

∂ε
 ∂CL 
 ∂CL 

S
CL = 
.α − i C . C
 .α + 
 .ηC . α − ε 0 −
(2)
∂α
 ∂α  AP
 ∂α  C

 S
Cálculo de los parámetros:
(1)
 ∂CL
 ∂CL

 ∂CL
 ∂CL
 ∂ε  
 .ηC.VC  = − CMC.A. AP − ε0 
 .ηC.VC
 (XC.G. − XC.A. ) − 
 .ηC.1− .VC .α + iC 

∂
α
∂
α
∂
α
∂
α
∂
α

C








AP
C
C




 ∂CL  ∂CL SC  ∂ε 
S
 ∂CL SC
 ∂CL
 +
 . ηC.1− .α − iC.
 . .ηC = CL + ε0
 .ηC. C
S
 ∂α C
 ∂α C S
 ∂α AP  ∂α C S  ∂α 
(2) 
 ∂CL  ∂CL
 ≅

 ∂α   ∂α AP
a) 
b)
X C.A.
b1)- Comenzar utilizando el XC.A. del perfil.
b2)- Si el fuselaje se prolonga en forma considerable sobre el ala se puede tomar un
corrimiento del XC.A. de un 4 a 6 % de C. Para góndolas motrices se considera de igual forma.
b3)La variación del momento estará dada por:
18
CM C.A.AP = CM C.A.ALA +
∂CM C.A.
.α
∂α
(Por considerar nula la sustentación del fuselaje o
góndolas motrices)
∂Cl
Cl
=
α
⇒
α
=
Cl
.
Como
∂Cl
∂α
∂α
⇒ CM C.A.AP = CM C.A.ALA +
∂CM C.A. Cl
.
∂Cl
∂α
∂α
∂CM C.A. Cl
.
∆CM C.A. = Cl.∆X C.A.
∂Cl y
∂α
∂α
∂CM C.A.
∂CM C.A.
∆CM C.A.
∂α
=
=
=
∂Cl
∂Cl
Cl
∂α
∆CM C.A. =
⇒ ∆X C.A.
b4)- Otra forma:
Estimación del XC.A. :
X C.A. AP = X C.A. ala + ∆1.X C.A. + ∆ 2 .X C.A.
ancho y alto máximos del fuselaje adelante
∆1. X C . A. = −
1,8
∂Cl
∂D ap
∆ 2 . X C . A. =
678
bf .hf
S .C
.l fn(lfn: Distancia desde nariz a B.A. de raíz, o
punto de contacto con el fuselaje)
0,273 bf .C.(b − bf )
. tg Λ1 / 4 (Para bf < 0,2)
2
1 + A C .(b + 2,15.bf )
b
()
 ∂Cl 

 ∂α  C
C) 
19
C1)_ ClD =
2.S .O.K
2K + E.O.
C2)_ De valores empíricos (NACA 0009)
C3)_ Report NACA 721
C4)_ Multhopp
λ = alargamiento
η = rendimiento del perfil
0,9<η<1
(Placa plana η ≅ 0,96)
β = 1− M2
D) - ε0 : Corresponde a la presencia del ala en el fluido con incidencia nula (sin sustentación),
de la interferencia ala-fuselaje, etc.
E) -
∂ε
Downwash
∂α
-2º ≤ ε0 ≤ 2º
(Cálculo de la variación del flujo sobre el plano horizontal de cola al
variar la incidencia)
E1)- Método expuesto en el “Perkins- Hage”
b = envergadura
bt = envergadura del plano horizontal
De los gráficos:
r
m
=
*
*
r
b
2
m
=
b
2
RR : (ahusamiento)
Como el valor de
∂ε
varia a lo largo de la envergadura del plano horizontal se utiliza la
∂α
siguiente gráfica:
20
S C .d
D.C
VC : Volumen de cola
d : 2,5C ≤ d ≤ 3,5C
0,4 ≤ VC ≤ 1
ηC : Rendimiento de cola
VC ≅ 0,5
0,9 ≤ ηC ≤ 1,1
21
En el punto “ A” Cm = 0
∂Cm
La
= 0 será el punto
∂α
“neutro”o de equilibrio
indiferente.
 ∂Cl
 ∂Cl  ∂ε 
  (XC.G. − Xcap. ) −   .1− .ηC.VC = 0
 ∂α AP
 ∂α C  ∂α 
 ∂Cl 


 ∂α  C  ∂ε 
(XC.G. − Xcap. ) =
.1 − .ηC .VC
 ∂Cl   ∂α 


 ∂α  AP
XC.G.lim = Xcap.
 ∂Cl 


 ∂α  C  ∂ε 
+
.1 − .ηC .VC
 ∂Cl   ∂α 


 ∂α  AP
Para interferencia ala-fuselaje, ver apéndice E Pág.. 477.- TOREMBEEK –
De la siguiente ecuación tenemos dos contribuciones:
∂CMC.G.
∂α
∂ε
 ∂Cl 
 ∂Cl
=   .(XC.G. − XC.A. ) −  C  .(1 − ).ηC .VC
∂α
 ∂α  C
AvionCompl
eto.ComandosBl
oqueados  ∂α  ap
Donde por el signo negativo es estabilizante. No depende de la incidencia, no depende del
ángulo de incidencia del plano horizontal. Es más negativo cuanto mayor es el valor de
 ∂ClC 
 ∂α  . O sea, cuanto más grande es el desplazamiento del plano horizontal (los valores de α

C
de cola ≅ 3-4).
De este modo cuando la estabilidad del avión se establece para una determinada condición,
principalmente lo fija la posición de baricentro, la estabilidad se asegura para otros valores de
α y de iC en otras condiciones de vuelo, dentro de limites lógicos. Esto ocurre porque en los
perfiles, los cambios de línea media no son tan perjudiciales en lo que se refiere al CMC.A. y
no producen efectos notables sobre la relación volumétrica de la cola.
22
∂ε
 ∂Cl 
 ∂Cl
CMC.G. = CMC.A. +   .α.(XC.G. − XC.A. ) −  C  .(α − ε 0 − .α − i C ).ηC .VC
∂α
 ∂α  ap
 ∂α  C
Los valores aceptables de iC son ± 3º. Por lo tanto una vez asegurado el centrado para el Cl
considerado, se necesita una segunda relación de iC y α.
La sustentación de la aeronave estará dada por:
∂ε
 ∂Cl 
 ∂Cl 

S
CL = CL AP + CL C = 
 .α + 
 .ηC . α − ε 0 − .α − i C . C (2)
∂α
 ∂α  AP
 ∂α  C

 S

1

L C =  ρ.V 2  .S C .CL C

2
C

∂
Cl
∂ε


Cl C =
. α − ε 0 −
.α − i C 

∂α C 
∂α

Cuando se divide por S y por
dos incógnitas (iC y α)
1
ρ.V 2 aparece SC/S y ηC. Tomando las ecuaciones tenemos
2

∂H
 ∂Cl  S
 ∂Cl 
CL =   D +  C  C .(D − H0 − .D − iC ).KC

∂D

 ∂D  ap  ∂D C S

CMC.G. = CMC. A. +  ∂Cl  .D. X C.G. − X C. A. −  ∂ClC  .(D − H0 − ∂H .D − iC ).KC .VC
 ∂D 
 ∂D 

∂D

C
ap
(
)
 ∂Cl   ∂ClC  SC

∂H
 ∂Cl  S
 ∂Cl  SC
D.
 . .(1 − ).KC  − iC . C  . C .KC = Cl + 
 +
 . .KC .H0
∂D
 ∂D C S
 ∂D C S
 ∂D ap  ∂D C S


 ∂Cl 
∂H
 ∂Cl 
 ∂Cl 
 ∂Cl 
D.
 .KC .VC .H0
 . X C.G. − X C. A. −  C  .(1 − ).KC .VC  + iC . C  .KC .VC = −CMC. A. − 
∂D
 ∂D C
 ∂D C
 ∂D C

 ∂D ap
(
)
Resolviendo el sistema de 2 × 2 se obtendrán iC y α:
 α[A ] + i C [B] = C
(5) 
*
*
*
α A − i C B = C
[ ]
[ ]
23
α=
C
B
C*
B*
A
A*
B
B*
iC =
A
A*
C
C*
A
A*
B
B*
CMC.A.(Av.Parcial) = CMC.A.(AlaSola) +
CMC.A.(Av.Parcial) = CMC.A.(AlaSola) +
∂CMC.A.
.α
∂α
∂CMC.A. Cl
.
∂Cl
∂α
∂α
Mejor condición de crucero. Cl de
diseño. Sobre esta base se pueden
trazar los diagramas para distintos
ángulos de incidencia iC y vale
para un valor asignado de XC.G.
(Por considerar nula la sustentación
del fuselaje o góndola motriz)
Cl
∂Cl (un solo valor de α). El ultimo valor se mantiene solo para un valor de Cl y por
∂α
consiguiente de α.
∂CMC.A. Cl
.
; ∆CMC.A. = Cl.∆X C.A.
∂Cl
∂α
∂α
∂CMC.A.
∆CMC.A.
∂CMC.A.
=
= ∂α =
∂Cl
Cl
∂Cl
∂α
∆CMC.A. =
∆X C.A.
Al ser
∂CM C.A.
positiva, se verifica una variación que hace cabrear al avión.
∂α
 ∂Cl 

 -Con la teoría linealizada de Glauert, no se obtienen resultados satisfactorios para las
 ∂α  C
pendientes, por lo que en alargamientos menores de “6” , hay que buscar otros
métodos.
a) Gráfico . Válido para el perfil NACA0009, en función del alargamiento.
24
b) Mediante el Método de Multhopp.
Gráfico CMC.G.Obtenidos los valores α - iC para un dado valor de Cl se pueden trazar estos diagramas para
distinto iC y para un valor dado de XC.G.:
 ∂C 
 ∂C   ∂H 
 ∂C 
CMCG =  L  X CG − X CA −  L  1− D + CMCA +  L  iCKCVC
 ∂D C  ∂D 
 ∂D C
 ∂D ap
(
)
∴CMCG = AD + B
Determinación del CMCA (AP)
(Shekel, “Stability and Control of Airplanes and Helicopters” Academic Press 1968)
Posición del BA de la CMA respecto al BA en la raíz:
25
b
X b.a CMA =
2
∫X
b .a
(Y).C(Y).dY
0
S
2
El incremento del momento longitudinal causado por el fuselaje o góndolas motrices se puede
expresar:
L
∂β
dM1
q
2
=
M1 .
Wf
(
x
).
.dx
dα 36,5 ∫0
∂α
Este gráfico es para un valor de
Para otros valores la
∂β
∂α
∂Cl
1
= 0,08
.
∂α ala
gra do
varia proporcionalmente y es función lineal de X/Cma
L
CM =
∂CM
M
=
;
q.S.CMA ∂α 1
∂β
.dx
∂α
36,5.S.CMA
2
∫ Wf (x).
0
26
dM 2 q (CMA ) 2
( Wba + 2.WCMA / 2 − 3.Wb )
=
dα
290
CMA.( Wba + 2.WCMA / 2 − 3.Wb )
∂CM
=
290.S
∂α 2
CM
AP
= CM ala


  ∂ CM 

 ∂ CM 
+ 
+ 
 .D


∂ D 1
∂D  2 

 142
4
3
142 4
3
 Por el largo del fuselaje Por el ancho del fuselaje 
Estabilidad longitudinal ala-estabilizador con tracción
La incorporación de la tracción se puede considerar en la ecuación del momento:
M C.G . = M C.A. AviónParcial + L.(X *C.G . − X *C.A. )AviónParcial ± T.Z ** − L C .d
( Fuselaje + Ala )
( Fuselaje + Ala )
27
Aquí hay que estimar una distancia Z** al C.G.:
Donde Z1 = Z**
1

L =  ρ.V 2 .S.CL

2
M C .G .
1
ρ.V 2 .S.C
2
=
M C. A .
1
ρ.V 2 .S.C
2
+
L
1
ρ.V 2 .S.C
2
(X
*
C .G .
− X *C.A. ) ±
T.Z **
1
ρ.V 2 .S.C
2
−
L C .d
1
ρ.V 2 .S.C
2
1
ClC .( U.V 2 )C .SC .d
T .Z
2
CMC.G. = CMC. A. + CL. X C.G. − X C. A. ±
−
1
1
U.V 2 .S.C
U.V 2 .S.C
2
2
**
T .Z
∂Cl
 ∂Cl 
CMC.G. = CMC. A. +
.D X C.G. − X C. A. ±
−
 .PC .VC (D − H − iC )
1
∂
∂D
D
2

C
U.V .S.C
2
)
(
**
)
(
Para vuelo recto y nivelado T = D = 1/2.ρ.V2.S. CD
CMC.G. = CMC. A. +
(
∂Cl
.D. X C.G. − X C. A.
∂D
)
1
U.V 2 .S.CD .Z **
 ∂Cl 
±2
−
 .PC .VC (D − H − iC )
1
∂
D
2

C
U.V .S.C
2
28
En el sistema de dos ecuaciones con 2 incógnitas, se incorpora:
  ∂ Cl 

∂H
 ∂ Cl C 
 ∂ Cl C 
).K C .V C  + iC .
D . 
 .(1 −
 .K C .V C =
 . X C .G . − X C . A . − 
∂D
 ∂D  C
 ∂D C
  ∂ D  ap

Z **
 ∂ Cl 
= − CM C . A . − 
CD
 .K C .V C .H 0 ±
 ∂D  C
12C
3
(
)
Coeficient e de diseño
D CLMax =
CLMax
+ D0 +
CLD
∆D.CLMax
1424
3
Ref. 3
Termino debido al flujo vorticoso
Bibliografía
1- Airplane Performance Stability and Control - C.D. Perkins, R.E. Hage. - 1949.
2- Aerodynamics, Aeronautics, and Flight Mechanics - B.W. McCormick
John Wiley & Sons,Inc. - 1979.
3- Aircraft Design: A Conceptual Approach - D.P. Raymer - AIAA (American Institute of
Aeronautics and Astronautics) Education Series - 1999.
29